1
정답 및 해설
수리 영역
‘가형’ 정답
1
④2
②3
①4
②5
⑤6
③7
①8
④9
②10
③11
③12
④13
⑤14
④15
①16
①17
③18
②19
②20
③21
⑤22
1723
1624
1225
1526
4827
1928
51329
1030
19해설
1. [출제의도] 로그 계산하기 log log log log
․ log
2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기
①∪
②∩
③∪
④
⑤
3. [출제의도] 이중근호 계산하기
4. [출제의도] 지수 계산하기
×
×
5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기
cos cos cos ․cos sec sec sec ․sec
sec sec sec ․ sec
cos ․ cos
cos cos
× cos ․cos
6. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건 이 해하기
두 행렬
,
의 역행렬이 존재하지 않
으므로
두 식을 연립하면 ㄱ. 이므로 이 존재한다.(참) ㄴ.
이고,
, 에 의하여
이므로
∴ (참) ㄷ. ㄴ에 의하여이므로
의 역행렬이 존재하지 않으므로
의 역행렬이 존재하지 않는다.
(거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
7. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기
∴
그러므로 행렬의 모든 성분의 합은
8. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기
의 정수부분이 네 자리이므로, log ≦ …①
log 의 지표가 9이므로 는 가수이 고, ≦
∴ ≦ …②
log 의 지표가 이 므로 은 가수이고, ≦
∴
≦ …③
②, ③에서 의 범위는
≦
∴ log 의 가수의 최솟값은
9. [출제의도] 나머지정리 이해하기
…①
′ …②
①에서 이고,
②에서 이므로
∴
10. [출제의도] 행렬을 이용한 수학 내적문제 추론하기
ㄱ. 이므로
A A′ B B′ 이다.
∴ (참) ㄴ.
이므로
∴ ≠ (거짓) ㄷ. 역행렬이 존재하지 않으므로
, 는 양수이므로 이고, 이때의 사각형은 정사각형이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
11. [출제의도] 함수의 성질 이해하기 ㄱ. ×
×
(참) ㄴ. × ,
(거짓) ㄷ.
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
12. [출제의도] 부정방정식의 해 구하기 소수인 두 근을 라 할 때, 은 자연 수이므로 이다.
(ⅰ) 이면, 이므로, 이고,
(ⅱ) 이면, 이므로, 이 고,
∴
(ⅲ) 이면, 은 두 소수의 합 로 나타낼 수 없다.
따라서 모든 의 값의 합은 이다.
13. [출제의도] 연산 및 유리함수 이해하기 연산
⊙
에 대한 항등원을 라 하면, 모든 실수에 대하여 ⊙ ⊙ 를 만족하는 항등원 은 이다.
따라서 ⊙ ⊙
≠ 일 때,
따라서 는 를 점근선으 로 하는 유리함수이다.
14. [출제의도] 제2코사인법칙의 증명 과정 이 해하기
A E
AD cos cos
또 ∠C 가 공통이고,
∠A D F ∠AG F ∠A G C 이므로,
∆AC G ∆FC D
cos
∴ cos
15. [출제의도] 유리함수와 직선 사이의 최단거 리 구하기
직선 QR 의 방정식은 이고, 점 P
에서 직선 Q R 까지의 거리 는
는 양수이므로
≧
따라서
≧
이다.
∴ ∆P Q R의 넓이의 최솟값은
× ×
16. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조 건 이해하기
양수 에 대하여 직선
과 원점 사이의 거리
이고,
가 역행렬이 존재하지 않으려면 이다.따라서,
가 양수이므로 이다.
17. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산 하기
P 에 대하여
log 이므로 P log 이므로 P
log 이므로 P
18. [출제의도] 삼각비를 활용하여 도형의 길이 구하기
∠FC G 이므로, C G 이다.
그림과 같이 원 P 의 중심이 움직인 거리는
×
∴
19. [출제의도] 지수와 상용로그의 관계 이해하기
동물의 표준대사량을
이라 하면, 동물의 표준대사량는
이므로,
log
log
log log log
∴
20. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 계산하기 logtan logtan logtan
logtan logtan logtan
logtan × tan × tan
logtan × tan × cot
log
21. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활 문 제 해결하기
축의 속력의 최솟값은과을 연결할 때 이고, 그 값을 라 하자. 또, 축의 속력의 최댓 값은과을 연결할 때이다.
주어진 조건에 의하여 축의 속력의 최댓값은
이다.
log log log
log 이므로,
따라서축의 속력의 최댓값은 최솟값의 배이다.
22. [출제의도] 역행렬 계산하기
이므로
이다.그러므로 모든 성분의 합은 이다.
23. [출제의도] 자료의 분산 구하기
이므로 이고,
분산은
24. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립방정식의 근이 존재하지 않을 조건 이해하기
연립방정식이 해를 갖지 않으므로
따라서 모든 값의 합은
25. [출제의도] 로그의 성질 이해하기
log log 이고,
log
log
log 이므로
log log
26. [출제의도] 상용로그의 지표를 이해하고 계 산하기
은 두 자리 자연수이므로, ≦ log 이고, log의 값을 소수점 첫째자리에서 반올림하면 1 또는 2이다.
따라서, log
또는
또는
또는
∴ 모든의 값의 합은 48
27. [출제의도] 행렬을 이용한 식의 값 계산하기 주어진 행렬의 곱셈 결과 얻어지는 연립방정식
⋯ ① ⋯ ② 에서 식 ①의 양변을 제곱하면,
이고, 식 ②에 의하여 이므로
∴
28. [출제의도] 로그를 이용한 식의 값 계산하기
×
이므로, × 이다.
log log log
log 이고,
따라서
29. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기 주기가 이므로
에서
cos
에서
(사각형의 넓이)
․
∴
30. [출제의도] 원의 성질을 이해하고 도형의 넓이 구하기
원의 중심을 O 라 하자.
∆AB C의 넓이가 11이므로,
AC ․ B C A C ․ B C …①
∆AB C가 직각삼각형이므로,
A C B C AB …②
①, ②에서 AC B C …③
한편 A C ⊥ O P, B C ⊥ O Q일 때, ∆ ACP 와
∆ B C Q의 넓이가 각각 최대이다.
∆ A C P 와 ∆B C Q의 넓이의 합의 최댓값은
□AO C P □B Q C O ∆AB C
× × A C
× × B C
× ×
A C B C
× × (∵ ③ 에 의하여)
3
‘나형’ 정답
1
④2
②3
①4
②5
⑤6
③7
②8
④9
②10
③11
③12
④13
⑤14
④15
①16
④17
③18
②19
②20
③21
⑤22
1223
1624
2325
1526
4827
2228
51329
1030
19해설
1. [출제의도] 로그 계산하기 log log log log
․ log
2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기
①∪
②∩
③∪
④
⑤
3. [출제의도] 이중근호 계산하기
4. [출제의도] 지수 계산하기
×
×
5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기
cos cos cos ․cos sec sec sec ․sec
sec sec sec ․ sec
cos ․ cos
cos cos
× cos ․cos
6. [출제의도] 역함수의 함숫값 계산하기
이므로
∴ 따라서
이므로 ,
∴
7. [출제의도] 로그의 연산 이해하기
, ∴
log log log log
log log
log
log
8. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기
의 정수부분이 네 자리이므로, log ≦ …①
log 의 지표가 9이므로 는 가수이 고, ≦
∴ ≦ …②
log 의 지표가 이 므로 은 가수이고, ≦
∴
≦ …③
②, ③에서 의 범위는
≦
∴ log 의 가수의 최솟값은
9. [출제의도] 나머지정리 이해하기
…①
′ …②
①에서 이고,
②에서 이므로
∴
10. [출제의도] 판별식을 이용하여 이차방정식 의 문제 해결하기
두 근을 라 하면, (ⅰ) 판별식 ≧ ,
≧
∴ ≦ ≧ …① 근과 계수의 관계에서 (ⅱ) …② (ⅲ) , …③
①, ②, ③에 의하여 ≧
11. [출제의도] 함수의 성질 이해하기 ㄱ. ×
×
(참) ㄴ. × ,
(거짓) ㄷ.
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
12. [출제의도] 부정방정식의 해 구하기 소수인 두 근을 라 할 때, 은 자연 수이므로 이다.
(ⅰ) 이면, 이므로, 이고,
(ⅱ) 이면, 이므로, 이 고,
∴
(ⅲ) 이면, 은 두 소수의 합 로 나타낼 수 없다.
따라서 모든 의 값의 합은 이다.
13. [출제의도] 연산 및 유리함수 이해하기 연산
⊙
에 대한 항등원을 라 하면, 모든 실수에 대하여 ⊙ ⊙ 를 만족하는 항등원 은 이다.
따라서 ⊙ ⊙
≠ 일 때,
따라서 는 를 점근선으 로 하는 유리함수이다.
14. [출제의도] 제2코사인법칙의 증명 과정 이 해하기
A E
AD
cos cos 또 ∠C 가 공통이고,
∠A D F ∠AG F ∠A G C 이므로,
∆AC G ∆FC D
cos
∴ cos
15. [출제의도] 유리함수와 직선 사이의 최단거 리 구하기
직선 QR 의 방정식은 이고, 점 P
에서 직선 Q R 까지의 거리 는
는 양수이므로
≧
따라서
≧
이다.
∴ ∆P Q R의 넓이의 최솟값은
× ×
16. [출제의도] 직선의 방정식의 그래프 이 해하기
그림에서 점 D B 를 지나는 직선의 절편은
이고, 점 A C 를 지나는 직선의 절편은 이다.
(직선 D E 의 기울기)=(직선 BE 의 기울기) …① (직선 AF의 기울기)=(직선 CF의 기울기) …②
①에서
∴
②에서
∴ 따라서
17. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산 하기
P 에 대하여
log 이므로 P log 이므로 P
log 이므로 P
18. [출제의도] 삼각비를 활용하여 도형의 길이 구하기
∠FC G 이므로, C G 이다.
그림과 같이 원 P 의 중심이 움직인 거리는
×
∴
19. [출제의도] 지수와 상용로그의 관계 이해하기 동물의 표준대사량을
이라 하면, 동물의 표준대사량는
이므로,
log
log
log log log
∴
20. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 계산하기 logtan logtan logtan
logtan logtan logtan
logtan × tan × tan
logtan × tan × cot
log
21. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활 문 제 해결하기
축의 속력의 최솟값은과을 연결할 때 이고, 그 값을 라 하자. 또, 축의 속력의 최댓 값은과을 연결할 때이다.
주어진 조건에 의하여 축의 속력의 최댓값은
이다.
log log log
log 이므로,
따라서축의 속력의 최댓값은 최솟값의 배이다.
22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그의 값 계산하기
log ․ log log log
․ log log
log
log
․ log
log
23. [출제의도] 자료의 분산 구하기
이므로 이고,
분산은
24. [출제의도] 이차함수와 원의 그래프 이해하기
이차함수 의 그래프와 원
의 그래프가 세 점 A , B c d, C c d 에서 만날 때, 세 점 A B C 가 원의 둘레를 삼등분한다.
원점 O 에 대하여 ∠AOB 이므로,
…①
또 B c d 는 원 위의 점이므로 …②
①, ②에 의하여
한편 는 점 A 를 지나므 로, 이고, 점 B 은 포물선 위의 점이므로 이다.
∴ 이므로
25. [출제의도] 로그의 성질 이해하기
log log 이고,
log
log
log 이므로
log log
26. [출제의도] 상용로그의 지표를 이해하고 계 산하기
은 두 자리 자연수이므로, ≦ log 이고, log의 값을 소수점 첫째자리에서 반올림하면 1 또는 2이다.
따라서, log
또는
또는
또는
∴ 모든의 값의 합은 48
27. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용한 부 등식의 해 구하기
이므로,
따라서, 부등식 는
이고,
이 부등식을 만족하는 의 범위 에 대 하여, 이다.
28. [출제의도] 로그를 이용한 식의 값 계산하기
×
이므로, × 이다.
log log log
log 이고,
따라서
29. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기 주기가 이므로
에서
cos
에서
(사각형의 넓이)
․
∴
30. [출제의도] 원의 성질을 이해하고 도형의 넓이 구하기
원의 중심을 O 라 하자.
∆AB C의 넓이가 11이므로,
AC ․ B C A C ․ B C …①
∆AB C가 직각삼각형이므로,
A C B C AB …②
①, ②에서 AC B C …③
한편 A C ⊥ O P, B C ⊥ O Q일 때, ∆ ACP 와
∆ B C Q의 넓이가 각각 최대이다.
∆ A C P 와 ∆B C Q의 넓이의 합의 최댓값은
□AO C P □B Q C O ∆AB C
× × A C
× × B C
× ×
A C B C
5
× × (∵ ③ 에 의하여)
