굿비 미적분_해설

수열의 극한

01. 수열의 극한

10`~`12쪽

01

⑴ a«=2n+1이라 하면 오른쪽 ⑴그림에서 n의 값이 한없이 커 질 때, a«의 값은 한없이 커지 므로 이 수열은 양의 무한대로 발산한다. ⑴ ⑵ a«=(-2)n 이라 하면 오른쪽 ⑴그림에서 n의 값이 한없이 커 질 때, a«의 값은 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한 대로 발산하지도 않으므로 이 수열은 진동한다. 즉, 발산한다. ⑶ a«=;n!;+1이라 하면 오른쪽 그림에서 ⑴n의 값이 한없이 커질 때 a«의 값은 1 에 한없이 가까워지므로 이 수열은 1 에 수렴한다. ⑴ ⑷ a«= 이라 하면 오른쪽 그 ⑴림에서 n의 값이 한없이 커질 때, a«의 값은 0에 한없이 가까워지므 로 이 수열은 0에 수렴한다. ⑴ n a« 1 2 3 ;2!; -1 4 5 O a«=;;;;;;;;;;;;;;;(-1)«_n (-1)« 1113_n n a« 1 2 3 1 2 4 O a«=;;;;;+1_n1 n a« 1 23 4 -8 16 4 O -2 a«=(-2)« n a« 1 2 3 3 5 7 9 4 O a«=2n+1

Ⅰ

● ● ●_개념확인● ● ● 01 ⑴ 발산 ⑵ 발산 ⑶ 수렴, 1 ⑷ 수렴, 0 02 ⑴ 5 ⑵ 1 ⑶ 6 ⑷ ;3@; 03 ⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 1 04 ⑴ 수렴, ;3%; ⑵ 수렴, 0 ⑶ 발산 ⑷ 수렴, 1 05 ⑴ 발산 ⑵ 수렴, 2 ⑶ 수렴, ;3@; ⑷ 발산 06 ;2!; 07 ⑴ 수렴 ⑵ 발산 ⑶ 수렴 08 ⑴ 수렴, -1 ⑵ 발산 ⑶ 수렴, 5 09 ⑴ -;3!;<r…;3!; ⑵ -2…r<2 ⑶ -5<r…5 10 0<r<1일 때 0, r=1일 때 ;2!;, r>1일 때 1

02

⑴ (a«+b«)= a«+ b«=2+3=5 ⑵ (2a«-b«)=2 a«- b«=2¥2-3=1 ⑶ a«b«= a«¥ b«=2¥3=6 ⑷ = _=;3@;

03

⑴ {3+ }= 3+2 =3+2¥0=3 ⑵ { +1}{2- }= { +1}¥ {2- } ⑵ { +1}{2- }=1¥2=2 ⑶ = _=;1!;=1

04

⑴ = _=;3%; ⑵ = _=;1);=0 ⑶ = =¶ ⑷ = = =1

05

⑴ (n¤ -6n)= _{n¤ {1-;n^;}=¶} ⑵ ("√n¤ +4n+11-n) ⑵= ⑵= ⑵= = =2 ⑶ ⑵= 1111111111111"√n¤ +3n+n ("√n¤ +3n-n)("√n¤ +3n+n) lim n⁄¶ 1 1111123 "√n¤ +3n-n lim n⁄¶ 4 113₁₊₁ 11 4+₁₂ n 111111123_{4 11} Æ1¬+1+13+1_{n n¤} lim n⁄¶ 4n+11 111111123 "√n¤ +4n+11+n lim n⁄¶ ("√n¤ +4n+11-n)("√n¤ +4n+11+n) 11111111111111111 "√n¤ +4n+11+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 2+1 n 1112₂ lim n⁄¶ 2n+1 11224_2n lim n⁄¶ 2n+1 1111 "√9n¤ -n lim n⁄¶ n¤ 111₂ 1+1_n lim n⁄¶ n‹ 112_2+n lim n⁄¶ 4 1 1+13_{n n¤} 111112_{2 3} 1-1+13 n n¤ lim n⁄¶ 4n+1 11111_{n¤ -2n+3} lim n⁄¶ 1 5+13 n¤ 1113₁ 3-13 n¤ lim n⁄¶ 5n¤ +1 1112_{3n¤ -1} lim n⁄¶ 1 lim{1+1} n⁄¶ n 111115555₁ lim{1-13} n⁄¶ n¤ 1 1+1 n 1113₁ 1-13 n¤ lim n⁄¶ 4 1_n lim n⁄¶ 3 1_n lim n⁄¶ 4 1_n 3 1_n lim n⁄¶ 1 1_n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 1_n lim n⁄¶ lim a« n⁄¶ 11233_{lim b«} n⁄¶ a« 12_b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶

정답

및

해설

T H I N K M O R E A B O U T Y O U R F U T U R E

3

01.수열의 극한 ⑵= = = _=;3@; ⑷ = ⑵ = =¶

06

모든 자연수 n에 대하여 <a«< 이고, =;2!;, =;2!;이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 a«=;2!;

07

⑴ 공비가` 0.3이고, -1<0.3<1이므로 0에 수렴한다. ⑵ 공비가` -2이고, -2<-1이므로 발산한다. ⑶ 공비가` -;4!;이고, -1<-;4!;<1이므로 0에 수렴한다.

08

⑴ [{;3@;}« -1]= {;3@;}« - 1=0-1=-1 ⑵ = = 16¥4« =¶ ⑶ = _=;1%;=5

09

⑴ 공비가` 3r이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 ⑴ -1<3r…1 <sub>∴ -;3!;<r…;3!;</sub> ⑵ 공비가` -;2R;이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 ⑴ -1<-;2R;…1 ∴ -2…r<2 ⑶ 공비가` ;5R;이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 ⑴ -1<;5R;…1 ∴ -5<r…5

10

⁄0<r<1일 때, r« =0이므로 ⁄ = =0 ¤r=1일 때, r« =1이므로 ⁄ = _=;2!; ‹r>1일 때, r« =¶, 즉 =0이므로 ⁄ = =1 따라서 0<r<1일 때 0, r=1일 때 ;2!;, r>1일 때 1이다. 1 1113₁ 13+1_r« lim n⁄¶ r« 111_1+r« lim n⁄¶ 1 155_r« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 112₁₊₁ r« 111_1+r« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 0 112₁₊₀ r« 111_1+r« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 5-{1}₅ « 11113₂ 1+{1}₅ « lim n⁄¶ 5« ±⁄ -2« 11311_{5« +2«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 16¥4¤ « 11233_4« lim n⁄¶ 4¤ « ±¤ 112_4« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3n 111_6n+1 lim n⁄¶ n 111_2n+1 lim n⁄¶ 3n 111_6n+1 n 111_2n+1 'ƒn+2+'n 111111₂ lim n⁄¶ 'ƒn+2+'n 111111111111 ('ƒn+2-'n)('ƒn+2+'n) lim n⁄¶ 1 111112 'ƒn+2-'n lim n⁄¶ 1+1 113₃ 3 Æ1¬+1+1_n 111112₃ lim n⁄¶ "√n¤ +3n+n 111111_3n lim n⁄¶ 01.수열의 극한 13`~`15쪽 ● ● ●_{핵심유형으로개념정복하기}● ● ● 핵심유형 1 2 1-1① 1-2;3!; 1-33 1-412 핵심유형 2 2-1③ 2-2③ 2-39 2-42 핵심유형 3 -;5(; 3-123 3-214 3-332 3-46 핵심유형 4 6 4-12 4-20 핵심유형 5 7 5-1;3@; 5-22 핵심유형 6 65 6-140 6-23 6-317 핵심유형 7 2 7-1① '2 12₂ 핵심유형

1

f(n)=1+2+3+y+n= 이므로 { f(n)}¤ =[ ]¤ = f(3n¤ )= ∴ = ∴ = ∴ = ∴ = _=;1¡8; 따라서 a=;1¡8;이므로 36a=36¥;1¡8;=2

1

-1 = = _=;2#;

1

-2 1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ = k¤ = 1+3+5+y+(2n-1)= (2k-1) 1+3+5+y+(2n+1)=2¥11113n(n+1)-n=n¤ 2 n ¡ k=1 n(n+1)(2n+1) 11111111₆ n ¡ k=1 2 1 3+1-13 n n¤ 111112₁ 2+13 n¤ lim n⁄¶ 3n¤ +2n-1 111112_{2n¤ +1} lim n⁄¶ (n+1)(3n-1) 1111111_{2n¤ +1} lim n⁄¶ 2 1 1+1+13 n n¤ 1111123₆ 18+13 n¤ lim n⁄¶ n¤ +2n+1 111122_{18n¤ +6} lim n⁄¶ (n+1)¤ 111123_{6(3n¤ +1)} lim n⁄¶ n¤ (n+1)¤ 11111₄ 1111112_{3n¤ (3n¤ +1)} 111111₂ lim n⁄¶ { f(n)}¤ 1112_{f(3n¤ )} lim n⁄¶ 3n¤ (3n¤ +1) 1111123₂ n¤ (n+1)¤ 111123₄ n(n+1) 111233₂ n(n+1) 111233₂

∴ f(n)= ∴ f(n)= ∴ f(n)= ∴ = ∴ = ∴ = _=;3!;

1

-3 log™(4n+1)+log™(2n-1)-2 log™(n+3) =log™ =log™ ∴ (주어진 식)= log™ ∴ (주어진 식)=log™ ∴ (주어진 식)=log™ 8=3 [참고] 일반적으로 수열 {a«}에 대하여 a«=a(a«>0, a>0)일 때,

log a«=log ( a«)=log a

1

-4 a+0이면 주어진 수열은 발산하므로 a=0이어야 한다. 즉, = = _=;4B; ;4B;=3이므로 b=12 ∴ a+b=12 핵심유형

2

2+3+y+(n+1)= (k+1)= +n 2+3+y+(n+1)= 1+2+3+y+n= k= = ∴ (주어진 식) ∴= _{{Æ… -Æ… }} ∴= lim_{("√n¤ +3n-"√n¤ +n)} n⁄¶ 1 125 '2 n¤ +n 111₂ n¤ +3n 111555₂ lim n⁄¶ n¤ +n 111₂ n(n+1) 1112555₂ n ¡ k=1 n¤ +3n 1112₂ n(n+1) 1112555₂ n ¡ k=1 2 b+1 n 111₅ 4+1 n lim n⁄¶ bn+2 1113_4n+5 lim n⁄¶ an¤ +bn+2 1111133_4n+5 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 1 8-1-15 n n2 111115_{6 9} 1+1+15 n n2 lim n⁄¶ 8n¤ -2n-1 1111133_{n¤ +6n+9} lim n⁄¶ 8n¤ -2n-1 1111133_{n¤ +6n+9} (4n+1)(2n-1) 111111133_(n+3)¤ 1¥2 11₆ 1 1 {1+1} {2+1}_{n n} 11111113₆ lim n⁄¶ (n+1)(2n+1) 11111113_6n¤ lim n⁄¶ f(n) 112_n lim n⁄¶ (n+1)(2n+1) 1111111_6n n(n+1)(2n+1) 11111111₆ 111111111_n¤ 1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ 11111111112_{1+3+5+y+(2n-1)} ∴= ∴= ∴= ∴= ¥ =

2

-1 = = = = =3

2

-2 n("√n¤ +1-n) = = = = _=;2!;

2

-3 = = = {Æ…a+;nA;+'a} =2'a

따라서 2'a=6이므로 'a=3 ∴ a=9

2

-4 a…0이면 주어진 수열이 발산하므로 a>0이어야 한다. ` {"√n¤ +3n-(an+b)} `= `= `= yy ㉠ 이때 주어진 수열이 수렴하므로 1-a¤ =0이어야 한다. ∴ a=1 (∵ a>0) ∴ ㉠= ∴ ㉠= =1113-2b 2 b¤ 3-2b-13 n 11111112_{3 b} Æ…1+1+1+1_{n n} lim n⁄¶ (3-2b)n-b¤ 11111112 "√n¤ +3n+n+b lim n⁄¶ (1-a¤ )n¤ +(3-2ab)n-b¤ 1111111111113 "√n¤ +3n+(an+b) lim n⁄¶ n¤ +3n-(an+b)¤ 1111111133 "√n¤ +3n+(an+b) lim n⁄¶ {"√n¤ +3n-(an+b)}{"√n¤ +3n+(an+b)} 1111111111111111113 "√n¤ +3n+(an+b) lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ "√an¤ +an+n'a 111111133_n lim n⁄¶ '∂an('ƒn+1+'n) 11111111111133_{n('ƒn+1-'n)('ƒn+1+'n)} lim n⁄¶ '∂an 111111333_n('ƒn+1-'n) lim n⁄¶ 1 113₁₊₁ 1 1111133₁ Æ…1+12+1_n¤ lim n⁄¶ n 11111 "√n¤ +1+n lim n⁄¶ n("√n¤ +1-n)("√n¤ +1+n) 1111111111113 "√n¤ +1+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3(1+1) 1111₂ 2 1 3 {Æ…1+1+Æ…1+13}_{n n¤} 1111111111₁ 2-1 n lim n⁄¶ 3("√n¤ +2n+"√n¤ +1) 1111111113_2n-1 lim n⁄¶ 3("√n¤ +2n+"√n¤ +1) 111111111111111113 ("√n¤ +2n-"√n¤ +1)("√n¤ +2n+"√n¤ +1) lim n⁄¶ 3 111111113 "√n¤ +2n-"√n¤ +1 lim n⁄¶ '2 125₂ 2 115₁₊₁ 1 125 '2 2 111111115_{3 1} Æ…1+1+Æ…1+1_{n n} lim n⁄¶ 1 125 '2 2n 11111111 "√n¤ +3n+"√n¤ +n lim n⁄¶ 1 125 '2 ("√n¤ +3n-"√n¤ +n)("√n¤ +3n+"√n¤ +n) 111111111111115555 "√n¤ +3n+"√n¤ +n lim n⁄¶ 1 125 '2

5

01.수열의 극한 =;2%;이므로 3-2b=5 ∴ b=-1 ∴ a-b=1-(-1)=2 핵심유형

3

=b«으로 놓으면 3a«-7=4a«b«+b«, (3-4b«)a«=b«+7 ∴ a«= 이때 b«=2이므로 a«= = _=-;5(; [참고] 수열 {a«}이 수렴한다는 조건이 없으므로 주어진 식에는 수열의 극한에 대한 기본 성질을 적용할 수 없음에 주의하자.

3

-1 수열 {a«}이 수렴하므로 a«=a라 하면 a«≠¡=a =;4#;에서 =;4#; 20+8a=9a-3 ∴ a=23

3

-2 (2n+4)a«=b«으로 놓으면 a«= 이때 b«=7이므로 이때 (4n-1)a«= 이때 (4n-1)a«= ¥ _b« 이때 (4n-1)a«=2¥7=14

3

-3 (n+1)a«=c«, (3n¤ -1)b«=d«으로 놓으면 a«= , b«= 이때 c«=12, d«=8이므로 (n+1)‹ a«b« = (n+1)‹ ¥ ¥ = ¥_c«d« = ¥ c«¥ d« =;3!;¥12¥8=32

3

-4 a«-b«=c«으로 놓으면 1- = yy`㉠ 이때 c«=2, a«=¶에서 13c«=0이므로 a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ c« 13<sub>a«</sub> b« 13<sub>a«</sub> lim n⁄¶ lim n⁄¶ n¤ +2n+1 111113<sub>3n¤ -1</sub> lim n⁄¶ (n+1)¤ 1111<sub>3n¤ -1</sub> lim n⁄¶ d« 1131<sub>3n¤ -1</sub> c« 1133<sub>n+1</sub> lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ d« 1131<sub>3n¤ -1</sub> c« 1133<sub>n+1</sub> ` lim n⁄¶ 4n-1 1113_2n+4 lim n⁄¶ (4n-1)b« 11111_2n+4 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ b« 111_2n+4 5+2a 1113_3a-1 5+2a«≠¡ 111225_3a«-1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2+7 1115_3-4¥2 b«+7 1115_3-4b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ b«+7 1115_3-4b« 3a«-7 1112_4a«+1 3-2b 111₂ {1- }=0 (∵ ㉠) ∴ =1 ∴ { - } ∴= ∴= ∴= _(a«-b«){ +1+ _} ∴= (a«-b«)¥ { +1+ } ∴=2¥(1+1+1)=2¥3=6 핵심유형

4

4n¤ +n<a«<4n¤ +2n에서 < < 이때 = =6이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 =6

4

-1 4n-2<(n+1)a«<4n+3에서 <a«< 이때 = =4이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 a«=4 ∴ = ¥ _a« ∴ =;2!;¥4=2

4

-2 -1…sin nh…1이므로 - … … 이때 {- }= =0이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 =0 핵심유형

5

_'7=7;2!;, "√7'7='7¥"√'7=7;2!;+;4!;, øπ7"√7'7="√7'7¥øπ"√'7=7;2!;+;4!;+;8!;, y이므로 a«=7;2!;+;4!;+;8!;+y+{;2!;}« a«=7 =7[1-{;2!;}« ] 이때 [1-{;2!;}« ]=1이므로 이때 a«=_lim7[1-{;2!;}« ]_{=7⁄ =7} n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ;2!;[1-{;2!;}« ] 1111113 1-;2!; n¤ sin nh 11115_{n‹ +3} lim n⁄¶ n¤ 111_{n‹ +3} lim n⁄¶ n¤ 111_{n‹ +3} lim n⁄¶ n¤ 111_{n‹ +3} n¤ sin nh 11115_{n‹ +3} n¤ 111_{n‹ +3} lim n⁄¶ n-1 111_2n+1 lim n⁄¶ (n-1)a« 11112_2n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 4n+3 111_n+1 lim n⁄¶ 4n-2 111_n+1 lim n⁄¶ 4n+3 111_n+1 4n-2 111_n+1 3a« 1112_{2n¤ +n} lim n⁄¶ 3(4n¤ +2n) 111112_{2n¤ +n} lim n⁄¶ 3(4n¤ +n) 11111_{2n¤ +n} lim n⁄¶ 3(4n¤ +2n) 111112_{2n¤ +n} 3a« 1112_{2n¤ +n} 3(4n¤ +n) 11111_{2n¤ +n} b« 13_a« a« 13_b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ b« 13_a« a« 13_b« lim n⁄¶ (a«-b«)(a«¤ +a«b«+b«¤ ) 111111111113_a«b« lim n⁄¶ a«‹ -b«‹ 1111_a«b« lim n⁄¶ b«¤ 23333_a« a«¤ 23333_b« lim n⁄¶ b« 13_a« lim n⁄¶ b« 13_a« lim n⁄¶

[다른 해설]

주어진 수열 {a«}이 수렴함을 알고 있다면 다음과 같이 풀 수 있다.

수열 {a«}에 대하여 a«≠¡='∂7a«이므로 a«≠¡= a«=a라 하면

a_{='∂7a, a¤ =7a, a(a-7)=0} ∴ a=7(∵ a>0)

5

-1 = =6a=4 ∴ a=;6$;=;3@;

5

-2 a«=5¥2n-1, S«= =5¥2n-5이므로 = = =2 핵심유형

6

x>1일 때, x« =¶이므로 = =3x+4 ∴ f(x)=

_[

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 f(x)는 x=1에서 연속이다. 즉, f(x)=f(1)이므로 (3x+4)=;2!;+k 3+4=;2!;+k ∴ k=;;¡2£;; ∴ 10k=65

6

-1 수열 [{ }«]이 수렴하려면 -1< …1이어야 하므로 -4<2x-3…4, -1<2x…7 ∴ -;2!;<x…;2&; 따라서 정수 x의 개수는 0, 1, 2, 3의 4개이므로 k=4 ∴ 10k=40

6

-2 ⁄r=-1일 때 ⁄수열 {r« }은 -1, 1, -1, 1, y로 진동하므로 수열 ⁄_{[ ]도 -;2!;, ;4!;, -;2!;, ;4!;, y로 진동(발산)한다.} ¤|r|<1일 때 ⁄ r« =0이므로 = =0 ‹r=1일 때 ⁄ r« =1이므로 =1131 _=;4!; 3+1 r« 111_3+r« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 0 113₃₊₀ r« 111_3+r« lim n⁄¶ lim n⁄¶ r« 111_3+r« 2x-3 1122₄ 2x-3 1122₄ lim x⁄1+ lim x⁄1+ ;2!;x+k (x…1) 3x+4 (x>1) 3x+4 1111₂ 1+12 x« lim n⁄¶ 3x« ±⁄ +4x« 1111223_{x« +2} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 10-5¥{;2!;}n-1 111111555₅ lim n⁄¶ 5¥2« -5 1111_{5¥2« —⁄} lim n⁄¶ S« 12_a« lim n⁄¶ 5(2« -1) 11115_2-1 5 6a-{1}₆ « 11111₅ 1+{1}₆ «« lim n⁄¶ a_6« ±⁄ -5« 111112_{6« +5«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ›|r|>1일 때 ⁄ |r« |=¶이므로 ⁄ = =1 ⁄~›에서 A=[0, ;4!;, 1] ∴ n(A)=3

6

-3 ⁄0<x<1일 때, x« =0이므로 ⁄ f(x)= = ¤x=1일 때, x« =1이므로 ⁄ f(1)= = ‹x>1일 때, x« =¶이므로 ⁄ f(x)= =ax 이때 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 f(x)= f(x)=f(1)이 성립해야 한다. 즉, = ax= 에서 ;b$;=a= ∴ ab=4 이때 a, b는 서로 다른 자연수이므로

a=1, b=4 또는 a=4, b=1 ∴ a¤ +b¤ =17

핵심유형

7

곡선 y= 과 직선 y=- +4의 교점의 x좌표는 =- +4에서 3n¤ =-x¤ +4nx x¤ -4nx+3n¤ =0, (x-n)(x-3n)=0 ∴ x=n 또는 x=3n 따라서 두 교점의 좌표는 (n, 3), (3n, 1)이므로 l«="√(3n-n)¤ +(1-3)¤ ="√4n¤ +4=2"√n¤ +1 ∴ = = =2

7

-1 원점을 지나고 원 C«에 접하는 직선 중 y축이 아닌 직선의 기울기가 a«이므로 직선의 방정식을 y=a«x로 놓을 수 있 다. 한편 점 P«(n, n¤ )에서 직선 y=a«x, 즉 a«x-y=0 까지의 거리는 원 C«의 반지름의 길이 n과 같으므로 =n, =1, |a«-n|="√a«¤ +1 양변을 제곱하면 a«¤ -2na«+n¤ =a«¤ +1

2n a«=n¤ -1 ∴a«= ∴ = = _{;2!;-111 _}=;2!; 2n¤ lim n⁄¶ n¤ -1 111_2n¤ lim n⁄¶ a« 12_n lim n⁄¶ n¤ -1 111_2n |a«-n| 11124 "√a«¤ +1 |a«¥n-n¤ | 11111 "√a«¤ +1 1 2Æ1¬+12_n¤ 111124₁ lim n⁄¶ 2"√n¤ +1 1111_n lim n⁄¶ l« 12_n lim n⁄¶ x 1_n 3n 12_x x 1_n 3n 12_x a+4 1133_1+b a+4 1133_1+b lim x⁄1+ 3x+1 11333_b lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-3 1 ax+11+13 x« —⁄ x« 1111111_b 1+13 x« lim n⁄¶ lim n⁄¶ a+4 1133_1+b a+3+1 1111_1+b lim n⁄¶ 3x+1 11333_b 0+3x+1 111133_0+b lim n⁄¶ 1 1113₃ 12+1_r« lim n⁄¶ r« 111_3+r« lim n⁄¶ lim n⁄¶

7

01.수열의 극한 01.수열의 극한 16`~`17쪽 ● ● ● _{기출문제로내신대비하기}● ● ● 01 ① 02 ⑤ 03 ⑤ 04 36 05 1 06 ② 07 ① 08 ③ 09 ③ 10 ③ 11 33 12 3 13 ① 14 ;2!; 15 ;4#;

01

= = _=;2@;=1

02

= = = = =3

03

(2n¤ -3)a«=b«으로 놓으면 a«= 이고, b«=8이므로 (4n¤ +3)a«= (4n¤ +3)¥ (4n¤ +3)a«= ¥ b« (4n¤ +3)a«= ¥ _b« (4n¤ +3)a«=2¥8=16

04

(n+1)a«=2, (n¤ +1)b«=9이므로 = ¥ = ¥ =;2(; =;2(; =;2(;¥8=36

05

a«=a (a는 상수)로 놓으면 a«≠¡=a이고, a«+2<3a«≠¡<2a«+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 9 1 8+1+15_{n n¤} 1141115₁ 1+15_n¤ lim n⁄¶ 8n¤ +9n+1 11115515_{n¤ +1} lim n⁄¶ (n+1)(8n+1) 11115511555_{n¤ +1} (n¤ +1)b« 1111553_(n+1)a« lim n⁄¶ (n+1)(n¤ +1) 1111551155_{(n+1)(n¤ +1)} (8n+1)b« 11115535_a« lim n⁄¶ (8n+1)b« 1111533_a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ` lim n⁄¶ 3 4+13 n¤ 1112<sub>3</sub> 2-13 n¤ lim n⁄¶ ` lim n⁄¶ 4n¤ +3 1113_{2n¤ -3} lim n⁄¶ ` b« 1113_{2n¤ -3} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ b« 1113_{2n¤ -3} 3(1+1) 11132₂ 1 1 1 1 3{Æ1¬+1+12+Æ1¬-1+12 }_{n n¤ n n¤} 111111111111111₂ lim n⁄¶ 3("√n¤ +n+1+"√n¤ -n+1) 1111111111113_2n lim n⁄¶ 3("√n¤ +n+1+"√n¤ -n+1) 1111111111111111111113 ("√n¤ +n+1-"√n¤ -n+1)("√n¤ +n+1+"√n¤ -n+1) lim n⁄¶ 3 11111111112 "√n¤ +n+1-"√n¤ -n+1 lim n⁄¶ 2 111 '9-1 2 2+1 n 1111123₃ Æ…9+13-1_n¤ lim n⁄¶ 2n+2 111112 "√9n¤ +3-n lim n⁄¶ 이 성립하므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 (a«+2)… 3a«≠¡… (2a«+1) ∴ a+2…3a…2a+1 이때 a+2…3a에서 aæ1 yy ㉠ 3a…2a+1에서 a…1 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서 a«=a=1

06

n<a«<n+1이므로 k< a˚< (k+1) < a˚< 각 변의 역수를 취하고, n¤ 을 곱하면 < < 이때 =2, =2이므로 = =2

07

ㄱ. a«<b«이므로 a«… b« ㄱ.이때 a«=¶이므로 b«=¶ (참) ㄴ. (반례) a«=;n!;, b«=;n@;이면 a«<b«이지만 ㄱ. a«= b«=0 (거짓) ㄷ. (반례) a«=n, b«=n+;n!;이면 ㄱ. (b«-a«)= ;n!;=0이지만 ㄱ. a«=¶, b«=¶ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

08

a«=3¥3« —⁄ =3« 이므로 = = _{{3- }=3}

09

공비가 2 cos x이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<2 cos x…1, -;2!;<cos x…;2!; ∴ …x< p`(∵ 0…x<p)

10

=k (k+0)라 하고, =b«이라하면 b«=k yy ㉠ 한편111_{3« +4}5« a« =b«에서` a«=1113« +4_5« b«이므로 lim n⁄¶ 5« a« 111_{3« +4} 5« a« 111_{3« +4} lim n⁄¶ 2 1₃ p 1₃ 2 13_3« lim n⁄¶ 3« ±⁄ -2 1112_3« lim n⁄¶ 3« ±⁄ -2 1112_a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ n¤ 1133n ¡ a˚ k=1 lim n⁄¶ n¤ 1111111_{a¡+a™+y+a«} lim n⁄¶ 2n¤ 111233_n(n+1) lim n⁄¶ 2n¤ 11112_n(n+3) lim n⁄¶ 2n¤ 111233_n(n+1) n¤ 1133n ¡ a˚ k=1 2n¤ 11112_n(n+3) n(n+3) 11112₂ n ¡ k=1 n(n+1) 111233₂ n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶

이므로 함수g(x)는 f(x)=-1, f(x)=1을 만족시키는 x에 서 불연속이다. 이차함수 f(x)=x¤ -2에 대하여 f(x)=-1에서 x¤ -2=-1 x¤ =1 ∴ x=—1 f(x)=1에서 x¤ -2=1 x¤ =3 _{∴ x=—'3} 따라서 함수g(x)가 불연속이 되도록 하는 모든 실수 x의 값의 곱은 1_(-1)_'3_(-'3)=3

13

S«=;2!;(1+3n )¥n= T«=;2!;(3n -1)¥n= ∴ = = ∴ = =1

14

자연수 n에 대하여 "√16n¤ -8n+1<"√16n¤ -4n<"√16n¤ 이므로 "√(4n-1)¤ <"√16n¤ -4n<"√(4n)¤ 4n-1<"√16n¤ -4n<4n 따라서 "√16n¤ -4n의 정수 부분이 4n-1이므로 yy ❶ 소수 부분 a«은 a«="√16n¤ -4n-(4n-1) yy ❷ ∴ a«= {"√16n¤ -4n-(4n-1)} ∴ a«= ∴ a«= ∴ a«= = _=;2!; yy ❸ 4 1112 '∂16+4 1 4-1 n 11111111_{4 1} Ƭ16-1+4-1_{n n} lim n⁄¶ 4n-1 1111111125 "√16n¤ -4n+4n-1 lim n⁄¶ 16n¤ -4n-(4n-1)¤ 1111111112 "√16n¤ -4n+4n-1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1+{1}₃ « 11411₁ 1-{1}₃ « lim n⁄¶ 3« +1 1123_{3« -1} lim n⁄¶ n(3« +1) 11112₂ 114111_{n(3« -1)} 11112₂ lim n⁄¶ S« 11_T« lim n⁄¶ n(3« -1) 11113₂ n(3« +1) 11113₂ x A(0, 1) R«(0, 3« ) P«(n, 3« ) Q«(n, 0) O y T« S« 채점 기준 배점 ❶ "√16n¤ -4n의 정수 부분 구하기 ❷ a« 구하기 ❸lima«의 값 구하기 n⁄¶ 40 % 20 % 40 % 한편 = = 한편∴ = 한편 ∴ = = _{(∵ ㉠)=;3%;}

11

a˚= 에서 ;k^;의 값의 범위를 나누어 a˚의 값을 구해 보면 ⁄k=7, 8, 9, 10일 때, {;k^;}« =0이므로 ⁄ _a˚= = =0 ¤k=6일 때, {;k^;}« =1이므로 ⁄ _a˚= = _=;2!; ‹k=1, 2, 3, 4, 5일 때, { }« =¶이므로 ⁄ _a˚= = = _=;k^; ⁄, ¤, ‹에 의하여 ka˚= {k_;k^;}+6_;2!;= 6+3 ka˚=30+3=33

12

g(x)= 에서 ⁄| f(x)|<1일 때, { f(x)}¤ « =0이므로 ⁄ g(x)= =1 ¤| f(x)|=1일 때, { f(x)}¤ « =1이므로 ⁄ _{g(x)= =;2!;} ‹| f(x)|>1일 때, { f(x)}¤ « =¶이므로 ⁄ g(x)= =0 ⁄, ¤, ‹에서 g(x)=

_[

1 (| f(x)|<1) ;2!; (| f(x)|=1) 0 (| f(x)|>1) 1 111112_{1+{ f(x)}¤ «} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 113₁₊₁ lim n⁄¶ 1 113₁₊₀ lim n⁄¶ 1 111113_{1+{ f(x)}¤ «} lim n⁄¶ 5 ¡ k=1 5 ¡ k=1 10 ¡ k=1 6 1_k 112₁₊₀ 6 1_k 111223_k 1+{1}₆ n lim n⁄¶ 6 {1} n+1 k 111223₆ {1} n +1 k lim n⁄¶ 6 1_k lim n⁄¶ 1 113₁₊₁ 6 {1} n+1 k 111223₆ {1} n +1 k lim n⁄¶ lim n⁄¶ 0 113₀₊₁ 6 {1} n+1 k 111223₆ {1} n +1 k lim n⁄¶ lim n⁄¶ 6 {1} n+1 k 111223₆ {1} n +1 k lim n⁄¶ 5k 2333_3k 4 5{1+15}b«_3« 1111122₄ {3+15} b«≠¡_3« lim n⁄¶ 5(3« +4)b« 111111_{(3« ±⁄ +4)b«≠¡} lim n⁄¶ a« 11_a«≠¡ lim n⁄¶ 5(3« +4)b« 111111_{(3« ±⁄ +4)b«≠¡} 3« +4 1313b«_5« 111112_{3« ±⁄ +4} 131323b«≠¡_{5« ±⁄} a« 11_a«≠¡

9

02.급수

15

næ2일 때 a«=S«-S«–¡=4n+1 +3n -(4n +3n-1 ) a«=S«-S«–¡=4¥4n +3¥3n-1 -4n -3n-1 a«=S«-S«–¡=3¥4n +2¥3n-1 yy ❶ ∴ = ∴ = =_;4#; yy ❷ 1 3 3+1¥{1}« —⁄ 2 4 1141111₃ 4+{1}₄ « lim n⁄¶ 3¥4« +2¥3« —⁄ 1111112_{4« ±⁄ +3«} lim n⁄¶ a« 12_S« lim n⁄¶ 채점 기준 배점 ❶ a« 구하기 ❷ lim12_S«a« 의 값 구하기 n⁄¶ 50 % 50 %

02. 급수

18`~`19쪽

01

⑴ 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 ⑴ S«= = {;k!;- } ⑴ S«=[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;n!;- }] ⑴ S« =1-⑴ ∴ = S«= {1- }=1 ⑴따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다. ⑵ 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 ⑴ S«= {;3!;} k-1 = =;2#;[1-{;3!;}n] ⑴ ∴ {;3!;} n-1 = S«= ;2#;[1-{;3!;} n ] ⑴ ∴ {;3!;} n-1 =;2#;¥1=;2#; ⑴따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 ;2#;이다. ⑶ 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 1 1-{1}₃ n 11113₁ 1-1 3 n ¡ k=1 1 113_n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 11155555_n(n+1) ¶ ¡ n=1 1 113_n+1 1 113_n+1 1 113_k+1 n ¡ k=1 1 1111_k(k+1) n ¡ k=1 ● ● ● 개념확인● ● ● 01 ⑴ 수렴, 1 ⑵ 수렴, ;2#; ⑶ 발산 02 발산 03 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 04 ⑴ 1 ⑵ 12 ⑶ -5 05 ⑴ ;4!; ⑵ ⑶ ;6%; 06 ⑴ -;3!;<x<;3!; ⑵ 0<x<1 '2 12₂ ⑴ S«= ('ƒ2k+1-'ƒ2k-1) ⑴ S«=('3-1)+('5-'3)+('7-'5)+y +('ƒ2n+1-'ƒ2n-1) ⑴ S«='ƒ2n+1-1 ⑴ ∴ ('ƒ2n+1-'ƒ2n-1)= S« ⑴ ∴ ('ƒ2n+1-'ƒ2n-1)= _{('ƒ2n+1-1)=¶} ⑴따라서 주어진 급수는 발산한다.

02

제 n항을 a«이라 하면 a«= 제 n항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= S«= S«=;2!; ('ƒk+2-'ßk ) S«=;2!;{('3-1)+('4-'2) +y+('ƒn+1-'ƒn-1)+('ƒn+2-'ßn )} S«=;2!;('ƒn+1+'ƒn+2 -1-'2) ∴ S«= ;2!;('ƒn+1+'ƒn+2-1-'2 )=¶ 따라서 주어진 급수는 발산한다.

03

⑴ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열의 합이므로 제 n항을 a«이라 하면 a«=1+(n-1)¥2=2n-1 ⑴ ∴ a«= (2n-1)=¶+0 ⑴따라서 주어진 급수는 발산한다. ⑵ log =log 3+0 ⑴따라서 주어진 급수는 발산한다.

04

⑴ (2a«+b«)=2 a«+ b«=2¥2+(-3)=1 ⑵ (3a«-2b«)=3 a«-2 b«=3¥2-2¥(-3)=12 ⑶ = _{{;2!;a«+2b«}=;2!;} a«+2 b« ⑶ =;2!;¥2+2¥(-3)=1-6=-5

05

⑴ {;5!;}« = =;4!; ⑵ ('2-1)« = = ⑵ ('2-1)«= = = '112 2 1 123 '2 '2-1 111112 '2('2-1) '2-1 1113_2-'2 '2-1 111112_1-('2-1) ¶ ¡ n=1 1 1₅ 1113₁ 1-1 5 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 a«+4b« 11123₂ ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 3n¤ 115555_{n¤ +2} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ n ¡ k=1 'ƒk+2-'ßk 1111111111112_{('ƒk+2+'ßk )('ƒk+2-'ßk )} n ¡ k=1 1 111112 'ƒk+2+'ßk n ¡ k=1 1 111112 'ƒn+2+'ßn lim n⁄¶ ` lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 n ¡ k=1

= _{log™ {} ¥ _}

= [log™ {;2!;¥;2#;}+log™ {;3@;¥;3$;}+log™ {;4#;¥;4%;}

+y+log™ { ¥ }] = _{log™[{;2!;¥;2#;}_{;3@;¥;3$;}_{;4#;¥;4%;}} _y_{ ¥ }] = log™ =log™;2!;=-1

1

-2 a«=2+(n-1)¥2=2n이므로 S«= a˚= 2k=2¥ =n(n+1) ∴ = ∴ = ∴ = _{{;k!;- }} ∴ = _{[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}} +y+{;n!;- }] ∴ = _{{1- }} ∴ =1

1

-3 급수의 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 ㄱ. S¡=1, S™=-1, S£=2, S¢=-2, y이므로 ㄱ. S™«=-n, S™«–¡=n ㄱ.따라서 주어진 급수는 발산한다. ㄴ. S«=0+0+0+y+0=0이므로 ㄱ. S«=0 ㄱ.따라서 주어진 급수는 0으로 수렴한다. ㄷ. S¡=-1, S™=0, S£=-1, S¢=0, y이므로 ㄱ. S™«=0, S™«–¡=-1 ㄱ.따라서 주어진 급수는 발산한다. 이상에서 수렴하는 것은 ㄴ뿐이다. 핵심유형

2

이 수렴하므로 =0 ∴ ∴= a« 1 3 13+4-1¥{1}_{4« 4 4} n-1 1111111123_{1 3} 1+3¥{1}_{4 4} n lim n⁄¶ a«+4« ±⁄ -3« —⁄ 1111112_{4« —⁄ +3« ±⁄} lim n⁄¶ a« 13_4« lim n⁄¶ a« 13_4« ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ ` ` 1 112_n+1 lim n⁄¶ ` ` 1 112_n+1 lim n⁄¶ ` ` 1 112_k+1 n ¡ k=1 lim n⁄¶ ` ` 1 1111_k(k+1) n ¡ k=1 lim n⁄¶ ` ` 1 1111_n(n+1) ¶ ¡ n=1 1 12_S« ¶ ¡ n=1 n(n+1) 1111₂ n ¡ k=1 n ¡ k=1 n+1 112_2n lim n⁄¶ n+1 112_n n-1 112_n lim n⁄¶ n+1 112_n n-1 112_n lim n⁄¶ k+1 112_k k-1 112_k n ¡ k=2 lim n⁄¶ 20`~`21쪽 ● ● ●_{핵심유형으로개념정복하기}● ● ● 핵심유형 1 6 1-1② 1-21 1-3ㄴ 핵심유형 2 16 2-115 2-2② 2-37 핵심유형 3 _;;§3¢;; 3-1⑤ 3-29 3-3④ 3-4;6“; 핵심유형 4 16 4-1_{⑴ ;1£1; ⑵ ;1•5;} 4-22(2+'3) 4-33 핵심유형

1

주어진 급수의 제n항을 a«이라 하면 a«= = 이때 제n항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= a˚= = ;2!; {;k!;- } S«=;2!;[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+y+{;n!;- }] S«=;2!; {1+;2!;- - } ∴ S«= ;2!; {;2#;- - } ∴ S«=;2!;¥;2#;=;4#; 따라서 급수의 합은 ;4#;이므로 k=;4#; ∴ 8k=6

1

-1 log™ {1- } = log™111k¤ -1 k¤ n ¡ k=2 lim n⁄¶ 1 12_n¤ ¶ ¡ n=2 1 112_n+2 1 112_n+1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 112_n+2 1 112_n+1 1 1123_n+2 1 1123_k+2 n ¡ k=1 1 111233_k(k+2) n ¡ k=1 n ¡ k=1 1 111233_n(n+2) 1 111112_{(n+1)¤ -1} ⑶ = _[{;5#;}« -_{;5@;}«_{]= {;5#;}}« - _{;5@;}« ⑶ = - =;2#;-;3@;=;6%;

06

⑴ 첫째항이 1, 공비가 -3x인 등비급수이므로 이 등비급수가 수렴하려면 ⑶ -1<-3x<1 ∴ -;3!;<x<;3!; ⑵ 첫째항이 1, 공비가 2x-1인 등비급수이므로 이 등비급수가 수렴하려면 ⑶ -1<2x-1<1 ∴ 0<x<1 2 1₅ 1113₂ 1-1 5 3 1₅ 1113₃ 1-1 5 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 3« -2« 111_5« ¶ ¡ n=1

11

02.급수 ∴= =16

2

-1 이 수렴하므로 =0 ∴ a«=5 ∴ = = =15

2

-2 a«=a, b«=b라 하면 (a«+2b«)=8에서 a«+2 b«=8 ∴ a+2b=8 yy ㉠ (2a«+3b«)=13에서 2 a«+3 b«=13 ∴ 2a+3b=13 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 ∴ (a«-b«)= a«- b« ∴ (a«+b«)=a-b=2-3=-1

2

-3 b«=a«- 이라 하면 a«=b«+ 이때 = _{ - _{}= {} - _} = _{[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}} = _{[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{} - _}] = _{{1- }=1} 이고, b«=6이므로 a«= [b«+ ] a«= b«+ a«=6+1=7 핵심유형

3

수열 {a«}이 a¡=4, a£=1인 등비수열이므로 공비를 r라 하면 r¤ = _=;4!; ∴ a«¤ = (4rn-1 )2 = 16(r2 )n-1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 a£ 13_a¡ ` 1 1111<sub>n(n+1)</sub> ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 1 1111<sub>n(n+1)</sub> ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 1 1155<sub>n+1</sub> lim n⁄¶ 1 1155<sub>n+1</sub> 1 1<sub>n</sub> lim n⁄¶ 1 1155<sub>k+1</sub> 1 1<sub>k</sub> n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 1155<sub>n+1</sub> 1 1<sub>n</sub> ¶ ¡ n=1 1 1111<sub>n(n+1)</sub> ¶ ¡ n=1 1 1111<sub>n(n+1)</sub> 1 1111<sub>n(n+1)</sub> ` ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ` ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ` ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 3¥5+0 11134₁₊₀ 5 3a«+1_n 11132₃ 1+1 n lim n⁄¶ 3na«+5 1111_n+3 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 5-a« 1213₂ lim n⁄¶ 5-a« 1213₂ ¶ ¡ n=1 1 0+4-1¥0 4 111112₁ 1+3¥0₄ ∴ a«¤= _16¥{;4!;}n-1= _=;;§3¢;;

3

-1 = [{;3@;} n +{-;2!;}n] = _{;3@;}n+ _{-;2!;}n = + =2-;3!;=;3%;

3

-2 첫째항이 a¡, 공비가 ;4!;인 등비급수의 합이 12이므로 =12, ;3$;a¡=12 ∴ a¡=9

3

-3 (x+2){1-;3{;} n-1 이 수렴하려면 x+2=0 또는 -1<1-;3{;<1 이어야 한다. ⁄x+2=0에서 x=-2 ¤_{-1<1-;3{;<1에서} ¤ _{-2<-;3{;<0 ∴ 0<x<6} ⁄, ¤에 의하여 구하는 정수 x는 -2, 1, 2, 3, 4, 5로 6개 이다.

3

-4 0<x< 에서 0<sin x<1이므로

1+sin x+sin¤ x+y=

따라서 =2이므로 1-sin x=;2!; ∴ sin x=;2!; ∴ x= {∵ 0<x< } 핵심유형

4

a=OP¡”-P™P£”+P¢P∞”-P§P¶”+y a_{=1-{;4#;}¤ +{;4#;}› -{;4#;}fl +y} a= _=;2!5^; b=P¡P™”-P£P¢”+P∞P§”-P¶P•”+y b_{=;4#;-{;4#;}‹ +{;4#;}fi -{;4#;}‡ +y} 1 1111233₉ 1-{-13}₁₆ p 1₂ p 1₆ 1 1111_{1-sin x} 1 1111_{1-sin x} p 1₂ ¶ ¡ n=1 a¡ 1113₁ 1-1 4 1 -1 2 1113134₁ 1-{-1}₂ 2 1₃ 111₂ 1-1 3 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 4« +(-3)« 1111233_6« ¶ ¡ n=1 16 1113₁ 1-₁ 4 ¶ ¡ n=1

22`~`23쪽 ● ● ●_{기출문제로내신대비하기}● ● ● 01 ② 02 ② 03 ③ 04 ② 05 ② 06 13 07 16 08 ② 09 ;;•3º;; 10 ① 11 32 12 ;8&; 13 ;6$1); 14 -;3!; 15 283

01

2« ¥3« ±⁄ 의 모든 양의 약수의 개수 a«은 a«=(n+1)(n+2) ∴ = ∴ = _4{ - _} ∴ = _{4[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}} +y+{ - }] ∴ = _{4{;2!;- }=4¥;2!;=2}

02

S«= 이므로 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의 하여 a«=S«-S«–¡ a«= -a«= a«=3n+1 (단, næ2) 이때 a¡=S¡=4이므로 a«=3n+1 (næ1) ∴ ∴= ∴= ∴= ;3!; { - } ∴= _{;3!; [{;2!;-;5!;}+{;5!;-;8!;}+{;8!;-;1¡1;}} +y+{ - }] ∴= _{;3!; {;2!;- }=;3!;¥;2!;=;6!;}

03

x¤ -2nx+(n¤ -1)=0에서 x¤ -2nx+(n+1)(n-1)=0 {x-(n+1)}{x-(n-1)}=0 ∴ x=n+1 또는 x=n-1 이때 자연수 n에 대하여 a«>b«이므로 1 111_3n+2 lim n⁄¶ 1 111_3n+2 1 111_3n-1 lim n⁄¶ 1 111_3k+2 1 111_3k-1 n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 111111123_(3k-1)(3k+2) n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 1111111_{(a˚-2)(a˚+1)} n ¡ k=1 lim n⁄¶ 1 1111111_{(a«-2)(a«+1)} ¶ ¡ n=1 3n¤ +5n-3n¤ +n+2 1111111112₂ (n-1)(3n+2) 111111333₂ n(3n+5) 111133₂ n(3n+5) 111133₂ 1 13323_n+2 lim n⁄¶ 1 13323_n+2 1 13323_n+1 lim n⁄¶ 1 13323_k+2 1 13323_k+1 n ¡ k=1 lim n⁄¶ 4 1111112_(n+1)(n+2) ¶ ¡ n=1 4 13_a« ¶ ¡ n=1 b= = _=;2!5@; ∴ 100(a-b)=100{;2!5^;-;2!5@;}=16

4

-1 ⑴ 0.H2H7=0.27+0.0027+0.000027+y ⑴ 0.H2H7= = = ⑵ 0.5H3=0.5+0.03+0.003+0.0003+y ⑴ 0.5H3=0.5+ =0.5+ ⑴ 0.5H3=;2!;+;9£0;=;1•5;

4

-2 ∠P™P¡O=60˘이므로 P¡P™”=OP¡” cos 60˘=2¥;2!;=1 ∠P™P¡P£=60˘이므로 P™P£”=P¡P™” sin 60˘=1¥ = ∠P£P™P¢=60˘이므로 P£P¢”=P™P£” sin 60˘= ¥ _{={ }}¤ ⋮ ∴ P¡P™”+P™P£”+P£P¢”+y ∴=1+ _{+{ }}¤ +y ∴= = ∴=2(2+'3)

4

-3 정삼각형의 세 변의 중점을 이어 만든 정삼각형의 각 변의 길 이는 처음 정삼각형의 한 변의 길이의 ;2!;이다. 삼각형 A¡B¡C¡의 한 변의 길이는 A¡B¡”=;2!; AB”=;2!;¥1=;2!; 이므로 a¡=;2!;¥3=;2#; 마찬가지로 A™B™”=;2!; A¡B¡”=;2!;¥;2!;= 이므로 a™= ¥3= 따라서 수열 {a«}은 첫째항이 ;2#;, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 a«= + + +y= =3 3 1₂ 111₁ 1-1 2 3 15_2‹ 3 15_2¤ 3 1₂ ¶ ¡ n=1 3 15_2¤ 1 15_2¤ 1 15_2¤ 2 1115 2-'3 1 11133 '3 1-125 2 '3 15555₂ '3 15555₂ '3 15555₂ '3 15555₂ '3 15555₂ '3 15555₂ '3 15555₂ 0.03 115_0.9 0.03 1115_1-0.1 3 155₁₁ 0.27 115_0.99 0.27 111555_1-0.01 3 1₄ 113₂₅ 133₁₆ 3 1₄ 111113₉ 1-{-13}₁₆

13

02.급수 a«=n+1, b«=n-1 ∴ { - } ∴= { - }= { - } ∴= [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;} ∴ +y+{ - }] ∴= {1+;2!;-;n!;- }=;2#;

04

급수 {a«+ }이 수렴하므로 {a«+ }=0 이때 c«=a«+ 이라 하면 c«=0이고 a«=c«- 이므로 a«= {c«- } a«= c«- =0-2=-2 또 급수 (2a«-b«)도 수렴하므로 (2a«-b«)=0 이때 2a«-b«=d«이라 하면 d«=0이고 b«=2a«-d«이므로 b«= (2a«-d«)=2 a«- d« b«= (2a«-d«)=2¥(-2)-0=-4 ∴ = =2

05

ㄱ. a«, b«이 수렴하면 ㄱ. a«=0, b«=0 ㄱ. ∴ a«b«= a« b«=0 (참) ㄴ. a«=a, (a«-b«)=b라 하면 ㄱ. b«= {a«-(a«-b«)} ㄱ. b«= a«- (a«-b«) ㄱ. b«=a-b (참) ㄷ. (반례) {a«} : 0, 1, 0, 1, 0, 1, y ㄱ. (반례){b«} : 1, 0, 1, 0, 1, 0, y ㄱ.이면 a«b«=0으로 수렴하고 a«+0이지만 ㄱ. b«+0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 -4 232555_-2 b« 12_a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 2n 112_n-1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2n 112_n-1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2n 112_n-1 lim n⁄¶ 2n 112_n-1 2n 112_n-1 lim n⁄¶ 2n 112_n-1 ¶ ¡ n=1 1 13323_n+1 lim n⁄¶ 1 13323_n+1 1 13323_n-1 lim n⁄¶ 1 13323_k+1 1 13323_k-1 n ¡ k=2 lim n⁄¶ 1 13323_n+1 1 13323_n-1 ¶ ¡ n=2 1 12_a« 1 12_b« ¶ ¡ n=2

06

2a«-3b«=c«으로 놓으면 2a«=3b«+c« ∴ a«=;2#;b«+;2!;c« 이때 b«=6, c«=8이므로 a«= {;2#;b«+;2!;c«}=;2#; b«+;2!; c« a«=;2#;¥6+;2!;¥8=13

07

등비수열 {a«}의 공비를 r라 하면 a¶=r‹ ¥a¢ 즉, 64=r‹ _512이므로 r‹ =;8!; ∴ r=;2!; r=;2!;이므로 a¡º=r‹ a¶=;8!;¥64=8 ∴ a«= = =16

08

= _{{ }}«이 수렴하려면 -1< <1, -64<3å -1<64 -63<3å <65 ∴ 0<3å <65 따라서 자연수 a의 개수는 1, 2, 3으로 3개이다.

09

두 등비수열 {a«}, {b«}의 공비를 r라 하면 a«=10에서 =10 ∴ a¡=10(1-r) yy`㉠ b«=8에서 =8 ∴ b¡=8(1-r) yy`㉡ 이때 a¡-b¡=1이므로 ㉠, ㉡에서 a¡-b¡=10(1-r)-8(1-r)=1 2(1-r)=1 ∴ r=;2!; ∴ a¡=5, b¡=4 따라서 a«=5¥{;2!;}n-1, b«=4¥{;2!;}n-1이므로 a«b«=5¥{;2!;}n-1¥_4¥{;2!;}n-1 a«b«=20¥{;2!;}2(n-1)=20¥{;4!;}n-1 ∴ a«b«= =;;•3º;;

10

수열 {7« a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라 하면 S«= 7˚ a˚=3« -1 ⁄n=1인 경우 ⁄ _{S¡=7a¡=3⁄ -1=2 ∴ a¡=;7@;} n ¡ k=1 20 1113₁ 1-1 4 ¶ ¡ n=1 b¡ 1133_1-r ¶ ¡ n=1 a¡ 1133_1-r ¶ ¡ n=1 3å -1 1133₆₄ 3å -1 1133₆₄ ¶ ¡ n=1 (3å -1)« 1111_{4‹ «} ¶ ¡ n=1 8 1113₁ 1-1 2 a¡º 131_1-r ¶ ¡ n=10 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1 ¶ ¡ n=1

서 두 변의 길이의 비가 1 : 2이므로 EF”=x라 하면 GH”=x, FG”=EH”=2x ⁄이때 △ABDª△FBE이므로 ⁄ 1 : 2=BF” : x ⁄ _{∴ BF”=;2{;} ⁄△ABDª△GHD이므로 ⁄ 1 : 2=x : GD” ∴ GD”=2x ⁄BD”=BF”+FG”+GD”이므로 ⁄ _{"√1¤ +2¤ =;2{;+2x+2x} ⁄ _{;2(;x='5 ∴ x=} ⁄ ∴ a¡=EF”_FG” ⁄ ∴ a¡=x_2x=2x¤ =;8$1); ¤ 공비：직사각형 ABCD와 직사각형 EFGH가 서로 닮음이고 ¤_{닮음비는 1 : x=1 :} 이므로 A¡과 A™의 닮음비도 ¤1 : 이고, 넓이의 비는 ¤ _{1¤ : { }}2_{=1 : ;8@1);} ¤ _{∴ (공비)=;8@1);} ⁄, ¤에 의하여 _{a«=;8$1);¥{;8@1);}}n-1 ∴ S«= a˚= =_;6$1);

14

이 수렴하므로 =0 yy ❶ =b«으로 놓으면 a«b«-2b«=3a«+1, (b«-3)a«=2b«+1 ∴ a«= 이때 b«=0이므로 a«= = _=-;3!; yy ❷

15

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 등비수열의 일반 항은 a«=ar« —⁄ 이므로 a™«a™«≠™=ar2n-1 ar2n+1 =a2 r4n yy ❶ 2¥0+1 11155_0-3 2b«+1 11155_b«-3 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2b«+1 11155_b«-3 3a«+1 11155_a«-2 3a«+1 11155_a«-2 lim n_⁄¶ 3a«+1 11155_a«-2 ¶ ¡ n=1 ;8$1); 1113 1-;8@1) n ¡ k=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2'5 114₉ 2'5 114₉ 2'5 114₉ 2'5 114₉ ¤næ2인 경우 ⁄ _{7« a«=S«-S«–¡=(3« -1)-(3« —⁄ -1)=2¥3« —⁄} ⁄ ∴ a«= (næ2) yy`㉠ 이때 ㉠에 n=1을 대입한 값이 ⁄의 a¡의 값과 같으므로 a«= (næ1) ∴ = { _ } ∴ = = _=;3!;

11

등비수열 {a«}의 공비를 r (r>0)라 하면 a¡+a™=a¡+a¡r=a¡(1+r)=40 ∴ a¡= yy`㉠ 또 a«=;3*;이므로 -1<r<1이고 a«= = a«= = _=;3*; 120r¤ =8-8r¤ , 128r¤ =8 r¤ =;1¡6; ∴ r=;4!; (∵ r>0) r=;4!;을 ㉠에 대입하면 a¡= =32

12

주어진 두 조건을 이용하여 a¡, a™, a£, y을 구해 보면 {a«}：2, 1, 2, 1, 2, 1, y ∴ =;3@;+ + + + + +y ∴ ={;3@;+ +y}+{ + _+y} ∴ = ∴ =;4#;+;8!;=;8&;

13

R¡에 있는 색칠된 직사각형을 A¡이라 하고, R«에서 R«≠¡이 될 때 새로 생긴 크기가 같은 2개의 직사각형 중 색칠된 하나를 A«≠¡이라 하자. 이때 A«≠¡은 A«을 일정한 비율로 축소한 것이 므로 A«의 넓이를 a«이라 하면 수열 {a«}은 등비수열을 이룬다. ⁄ 첫째항：오른쪽 그림과 같 이 R¡에서 삼각형 ABD에 내접하는 직사각형의 꼭짓 점을 각각 E, F, G, H라 하자. 직사각형 EFGH에 A D E F H G B C 2x x 2 1 ` ;3@; ;9!; 1123+1123 1-;9!; 1-;9!; 1 15_3› 1 15_3¤ 2 15_3‹ 1 15_3fl 2 15_3fi 1 15_3› 2 15_3‹ 1 15_3¤ a« 15_3« ¶ ¡ n=1 40 1113₁ 1+1 4 40r¤ 1313_1-r¤ 40r¤ 1311111_(1+r)(1-r) a¡r¤ 131_1-r a£ 131_1-r ¶ ¡ n=3 ¶ ¡ n=3 40 1313_1+r 2 1₇ 111₁ 1-1 7 2 13_7« ¶ ¡ n=1 2¥3« —⁄ 1113_7« 1 11_{3« —⁄} ¶ ¡ n=1 a« 11_{3« —⁄} ¶ ¡ n=1 2¥3« —⁄ 1113_7« 2¥3« —⁄ 1113_7« 채점 기준 배점

❶lim11153a«+1_a«-2 =0임을 알기 n⁄¶

❷lima«의 값 구하기 n⁄¶

40 %

15

01.대단원Ⅰ 마무리하기 ∴ a«= = _=;2$;=2

03

= = = = = _='k 즉, '∂k=5이므로 k=25

04

2n장의 카드에서 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수가 되려면 세 수 모두 짝수 이거나 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수이어야 한다. ⁄ 세 수가 모두 짝수인 경우 ⁄짝수 n개 중 3개를 택하는 경우의 수와 같으므로 ⁄ _{«C£= =} ¤ 세 수 중 두 수는 홀수이고 나머지 한 수는 짝수인 경우 ⁄홀수 n개 중 2개를 택하고 짝수 n개 중 한 개를 택하는 경우 의 수와 같으므로 ⁄ _{«C™_«C¡= _n=} ⁄, ¤에서 a«= + a«= a«= ∴ = ∴ = ∴ = _=;3@;

05

수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 3n¤ +2n<a«<3n¤ +3n이므로 < < 이때 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 5(3n¤ +3n) 111112_{n¤ +2n} 5a« 1112_{n¤ +2n} 5(3n¤ +2n) 111112_{n¤ +2n} 1¥2 11₃ {1-;n!;} {2-;n!;} 111121125₃ lim n_⁄¶ n(n-1)(2n-1) 11121112455_3n‹ lim n⁄¶ a« 15_n‹ lim n⁄¶ n(n-1)(2n-1) 1112111242₃ n(n-1)(n-2+3n) 111211124115₆ n¤ (n-1) 11121₂ n(n-1)(n-2) 111211124₆ n¤ (n-1) 11121₂ n(n-1) 111225_2! n(n-1)(n-2) 111211124₆ n(n-1)(n-2) 111211124_3! '∂k(1+1) 11112₂ Æ˚k+;n!; {Æ˚1+;n!;+Æ˚1-;n!;} 1111111111111₂ lim n⁄¶ 'ƒkn+1('ƒn+1+'ƒn-1) 111111111112_2n lim n⁄¶ 'ƒkn+1('ƒn+1+'ƒn-1) 111111111113_{n{(n+1)-(n-1)}} lim n⁄¶ 'ƒkn+1('ƒn+1+'ƒn-1) 1111111111111111_{n('ƒn+1-'ƒn-1)('ƒn+1+'ƒn-1)} lim n⁄¶ 'ƒkn+1 111111112 n('ƒn+1-'ƒn-1) lim n⁄¶ 4 1113_1+'1 4 111112₄ 1+æ≠1+1_n lim n⁄¶ 이때 수열 {a2na2n+2}는 첫째항이 a 2 r4 , 공비가 r4인 등비수열임 을 알 수 있다. 주어진 조건에서 a™=ar=;4!; yy`㉠ a¢=ar‹ =;2¡4; yy`㉡ ㉡÷㉠을 하면 r¤ =;6!; ∴r› =;3¡6; ㉠_㉡을 하면 a¤ r› =;9¡6; ∴ a2na2n+2= = =;28#0; yy ❷ 따라서 p=280, q=3이므로 p+q=283 yy ❸ 1 13₉₆ 1113₁ 1-13 36 a¤ r› 1123_1-r› ¶ ¡ n=1 채점 기준 배점 ❶ 수열 {a™«a™«≠™}의 일반항 구하기 ❷ 급수의 합 구하기 ❸ p+q의 값 구하기 30 % 60 % 10 %

01

a¡+a™+y+a«=log;1@;+log;2#;+y+log a¡+a™+y+a«=log{;1@;_;2#;_y_ } a¡+a™+y+a«=log(n+1) ∴ = = ∴ = =1

02

x¤ +2nx-4n=0의 양의 실근 a«은 a«=-n+"√n¤ +4n ∴ a«= (-n+"√n¤ +4n) ∴ a«= ∴ a«= 11111244n n+"√n¤ +4n lim n⁄¶ (-n+"√n¤ +4n)(n+"√n¤ +4n) 11111111111111 n+"√n¤ +4n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1114₁ 1+1 n lim n⁄¶ n 121_n+1 lim n⁄¶ n 12112₁₀log(n+1) lim n⁄¶ n 1211133₁₀a¡+a™+y+a« lim n⁄¶ n+1 121_n n+1 121_n 24`~`27쪽 ● ● ● 대단원 마무리하기 ● ● ● 01 ① 02 2 03 25 04 ② 05 15 06 12 07 ③ 08 ④ 09 ④ 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 12 14 ⑤ 15 ② 16 19 17 ② 18 37 19 ① 20 ② 21 ③

한편 삼각형 A«OB«의 내접원의 반지름의 길이를 r«이라 하면 △A«OB«=△A«OC«+△C«OB«+△A«C«B«에서 ;2!;¥n¥1=;2!;¥r«¥(n+1+"√n¤ +1) ∴r«= 따라서 삼각형 A«OC«의 넓이 S«은 S«=;2!;¥"√n¤ +1¥ S«= ∴ = ∴ = ∴ = _=;4!;

08

직선 y=2nx와 수직인 직선의 기울기는 -;2¡n;이고, 이 직선이 점 P(n, 2n¤ )을 지나므로 y-2n¤ =-;2¡n;(x-n) ∴ y=-;2¡n;x+2n¤ +;2!; 이 직선이 x축과 만나는 점 Q의 x좌표는 0=-;2¡n;x+2n¤ +;2!;, ;2¡n;x=2n¤ +;2!; ∴ x=4n‹ +n 따라서 점 Q의 좌표는 (4n‹ +n, 0)이므로 l«=OQ”=4n‹ +n ∴ = ∴ = _{{4+ }} ∴ =4+0=4

09

그림에서 확인할 수 있듯이 수열 a¡, a™, a£, y, a«에 대하여 수열 a¡, a™-p, a£-2p, y, a«-(n-1)p

는 n이 한없이 커짐에 따라 ;2“;에 한없이 가까워진다. 즉, {a«-(n-1)p}=;2“; ∴ = _111111111113{a«-(n-1)p}+(n-1)p n lim n⁄¶ a« 13_n lim n⁄¶ lim n⁄¶ x a™ a¡ a™-p a£-2p a£ y 2p 2p p p O 1 2 3 p 3 2 p 2 5₂p ` ` 1 14_n¤ lim n⁄¶ ` ` 4n‹ +n 14115_n‹ lim n⁄¶ l« 14_n‹ lim n⁄¶ 1 11123₂₍₁₊₁₎ 1 Æ…1+14_n¤ 1111111113₁ 2{1+;n!;+Æ…1+14}_n¤ lim n⁄¶ "√n¤ +1 11111111 2(n+1+"√n¤ +1) lim n⁄¶ S« 12_n lim n⁄¶ n"√n¤ +1 111111113 2(n+1+"√n¤ +1) n 11111123 n+1+"√n¤ +1 n 11111123 n+1+"√n¤ +1 … … 이 성립하고, = =15, = =15 이므로 =15 [다른 해설] 수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 3n¤ +2n<a«<3n¤ +3n 이므로 < < 이때 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 … … 이 성립하고, = {3+;n@;}=3, = _{3+;n#;}=3 이므로 =3 ∴ = = =15

06

f(x)=2x¤ -2nx+;2!;n¤ +6n+1 f(x)_{=2{x¤ -nx+;4!;n¤ }+6n+1} f(x)_{=2{x- }}¤ +6n+1 이므로 이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 P«{;2;˜;;, 6n+1} ∴ x«=;2;˜;;, y«=6n+1 ∴ = = =12

07

A«(n, 1), B«(n, 0)이므로

OB«”=n, A«B«”=1, OA«”="√n¤ +1

O Cn Bn rn n 1 n¤ +1 An "√ 1 6+1 n 111₁ 1₂ lim n⁄¶ 6n+1 111_n 1₂ lim n⁄¶ y« 13_x« lim n⁄¶ n 1₂ 5¥3 112₁₊₀ a« 5¥12 n¤ 1112₂ 1+1 n lim n⁄¶ 5a« 1112_{n¤ +2n} lim n⁄¶ a« 13_n¤ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3n¤ +3n 1111_n¤ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3n¤ +2n 1111_n¤ lim n⁄¶ 3n¤ +3n 1111_n¤ lim n⁄¶ a« 13_n¤ lim n⁄¶ 3n¤ +2n 1111_n¤ lim n⁄¶ 3n¤ +3n 1111_n¤ a« 13_n¤ 3n¤ +2n 1111_n¤ 5a« 1112_{n¤ +2n} lim n⁄¶ 3 5{3+1}_n 11112₂ 1+1 n lim n⁄¶ 5(3n¤ +3n) 111112_{n¤ +2n} lim n⁄¶ 2 5{3+1}_n 11112₂ 1+1 n lim n⁄¶ 5(3n¤ +2n) 111112_{n¤ +2n} lim n⁄¶ 5(3n¤ +3n) 111112_{n¤ +2n} lim n⁄¶ 5a« 1112_{n¤ +2n} lim n⁄¶ 5(3n¤ +2n) 111112_{n¤ +2n} lim n⁄¶

17

01.대단원Ⅰ 마무리하기 ∴ = =p [다른 해설 1] y=tanx의 주기가 p이므로 0<a¡<;2“; p_{<a™<;2“;+p} 2p<a£<;2“;+2p ⋮ (n-1)p<a«<;2“;+(n-1)p 각 변을 n으로 나누면 p< < + p 이때 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 p… … _{ + p} 가 성립하고, p=p, { + p}=p 이므로 =p [다른 해설 2] 자연수 n에 대하여 tanx=n {0…x<;2“;}을 만족시키는 x의 값을 k«이라 하면 a«=k«+(n-1)p 이때 k«은 0과 ;2“; 사이의 수로써 상수로 취급할 수 있으므로 a«을 바로 대입하여 극한을 구할 수 있다. = =p

10

원 x¤ +y¤ =4n¤ +3n의 반지름의 길이 r는 r="√4n¤ +3n yy ㉠ 또 이 원의 중심 O에서 점A«(n, '3n)까지의 거리는 O’A«”="√n¤ +3n¤ =2n yy ㉡ 이때 ㉠, ㉡의 크기를 비교해 보면 r¤ >O’A«”¤ 이므로 점 A«은 원의 내부에 위치한다. 따라서 원 위의 점 P에 대하여 선분 PA«의 길이의 최솟값 a«은 a«=r-O’A«”="√4n¤ +3n-2n ∴ a«= ("√4n¤ +3n-2n) ∴ a«= ∴ a«= ∴ a«= =₁₁₁3 _=;4#; '4+2 3 111112₃ æ≠4+1+2_n lim n⁄¶ 3n 1111112 "√4n¤ +3n+2n lim n⁄¶ ("√4n¤ +3n-2n)("√4n¤ +3n+2n) 111111111111111 "√4n¤ +3n+2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ k«+(n-1)p 1111114 _n lim n⁄¶ a« 13 _n lim n⁄¶ a« 13_n lim n⁄¶ n-1 112_n p 12_2n lim n⁄¶ n-1 112_n lim n⁄¶ n-1 112_n p 12_2n lim n⁄¶ a« 13_n lim n⁄¶ n-1 112_n lim n⁄¶ n-1 112_n p 12_2n a« 13_n n-1 112_n ;2“;+(n-1)p 11221121_n lim n_⁄¶

11

두 곡선 y=a≈ —⁄ 과 y=3≈ 의 교점의 x좌표가 k이므로 x=k일 때 y의 값이 같다. 즉, a˚ —⁄ =3˚ _{HjK ;a!;¥a˚ =3˚} a˚ —⁄ =3˚ HjK =a a˚ —⁄ =3˚ HjK {;3A;}˚ =a 한편 a>3이므로 ;3A;>1 ∴ {;3A;}« =¶ ∴ = ∴ = = =3

12

("√16« +a« -4« ) = _{[("√16« +a« -4« )_ ]} = = 이 수열이 수렴하려면 {;4A;}n 이 수렴해야 하므로 -1<;4A;…1이어야 한다. ∴ -4<a…4 그런데 a는 자연수이므로 a=1, 2, 3, 4 따라서 구하는 자연수 a의 개수는 4이다.

13

의 값이 1로 수렴하므로 =0 ∴ a«=3 ∴ = ∴ = =12

14

{na«- }이 3으로 수렴하므로 {na«- }=0 이때 x«=na«- 이라 하면 limx«=0이고, n⁄¶ n¤ +1 111_2n+1 n¤ +1 111_2n+1 lim n⁄¶ n¤ +1 1113_2n+1 ¶ ¡ n=1 4¥3+0 1112_1-0 4a«+;n%; 11115 1-;n#; lim n⁄¶ 4na«+5 1111_n-3 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3-a« 11253₂ lim n⁄¶ 3-a« 11253₂ ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ {;4A;}n 1111111 Æ1…+ {;1Å6;}n +1 lim n⁄¶ a« 22111115 "√16« +a« +4« lim n_⁄¶ "√16« +a« +4« 22111115 "√16« +a« +4« lim n⁄¶ lim n⁄¶ a 12 ;3A; {;3A;}˚ 112 ;3A; {;3A;}˚ 11111 ;3A;+{;a#;}« lim n⁄¶ {;3A;}« ±˚ 11111 {;3A;}« ±⁄ +1 lim n⁄¶ lim n_⁄¶ a˚ 13_3˚