y y=cosx y=sin2x

5 6 p p

6

p p

2

p 2 5

6 p

6 1 2

x y

y=ln(x+1)

O -1 2

1

e

1 e 1

e

dt dx

1 e

3 -1

곡선 y=e≈ , y=e—≈ 과 직선 y=e 로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림 의 색칠한 부분이다.

y=e≈ 에서 x=lny, `y=e—≈ 에서 x=-lny이므로 구하는 넓이는

:!e {lny-(-lny)}dy=2:!e lnydy

:!e {lny-(-lny)}dy

=2[ylny-y]e!=2

[다른 해설]

y=e≈ 와 `y=e—≈ 의 그래프는 y축에 대하여 서로 대칭이므로 구하는 도형의 넓이는

2:)1 (e-e≈ )dx=2[ex-e≈ ]1)=2

3 -2

y=lnx에서 y'= 이므로 곡선 위의 점 (e, 1)에서의 접 선의 기울기는 ` 이고 접선의 방정식은

y-1= (x-e) HjK y= x 따라서 구하는 넓이는

¥e¥1-:!e lnxdx= -[xlnx-x]e!

¥e¥1- :!e lnxdx

= -1

[다른 해설]

y=lnx에서 x=e^y 또 y= x에서 x=ey 따라서 구하는 넓이는

:)1 (e^y-ey)dy=[e^y- y¤]1)

:)1 (e

^y

-ey)dy=

-1

핵심유형

4

곡선 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 곡선 y=f(x)와 대 칭이므로 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓 이의 2배와 같다.

따라서 구하는 넓이는 2:)`^;4“;{x- tan¤ x}dx

=2:)`^;4“;{x- sec¤ x+ } dx

=2[;2!;x¤ - tanx+ x]`^;4“;)

= p¤ -p 2 3 16

p 4 p

4

p 4 p

4 p 4

e 2

e 2 1

e

e 2 e 2 1

2

1 e 1

e 1

e

^{e x}

y

y=ln x O 1

1

y= x 1 e

1

x

O 1

1 -1

y=e—≈ e y=e≈

x

y

따라서 구하는 부피는

:)^pS(x)dx=:)^p(sinx-cosx)¤ dx

:)

^p

S(x)dx=

:)^p(1-2sinxcosx)dx

:)

^p

S(x)dx=

:)^p(1-sin2x)dx

:)

^p

S(x)dx=

[x+;2!;cos2x]^p)=p

5 -3

오른쪽 그림과 같이 밑면을 좌 표평면으로 하고, 밑면의 지름 AB를 x축, 밑면의 중심 O를 원점으로 하자. x축 위를 움직 이는 점 P(x, 0)(-1…x…1) 에 대하여

PQ”¤ =OQ”¤ -OP”¤

=1-x¤

∴ PQ”="√1-x¤

또 ∠PQR=90˘, ∠RPQ=60˘이므로 QR”=PQ”tan60˘='3¥"√1-x¤

점 P를 지나 x축에 수직인 평면으로 잘린 입체도형의 단면 의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=△PQR=;2!;¥PQ”¥QR”

S(x)

=;2!;¥"√1-x¤ ¥'3¥"√1-x¤ = (1-x¤ ) 따라서 구하는 부피는

:_1!S(x)dx=:_1! (1-x¤ )dx

:)1 S(x)dx

=2:)1 (1-x¤ )dx

:)1 S(x)dx='3[x-;3!;x‹ ]1) :)1 S(x)dx

=

핵심유형

6

^{=-3 cos2t sin t, =3 sin2t cos t}

이므로 t=0에서 t=;2“;까지 점 P가 움직인 거리는 :)^;2“;"√(-3 cos²t sin t)²√+(3 sin²t cos t)²dt

=:)^;2“;3 sin t cos t"√cos²t+sin²t dt {∵ 0…t…;2“;}

=:)^;2“;3 sin t cos t dt

=:)^;2“;;2#; sin 2t dt=[-;4#; cos 2t])

;2“;

=-;4#;(-1-1)=;2#;

6 -1

t=k일 때 점 P¡의 속도가 0이라 하면 sin k=0

dy dt dx

dt

2'33 '3

2 '32

'3 2

x x

y

O -1

1 B A Q

P R

S(x)

60˘

4 -1

곡선 y=f(x)와 y=g(x) 는 직선 y=x에 대하여 대칭 이므로 오른쪽 그림과 같이 :)1 f(x)dx,:#^e+2g(x)dx 의 값은 각각 영역 A, B의 넓이이다.

이때 f(0)=3, f(1)=e+2이므로 영역 B를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 영역 B'과 같다.

따라서 영역 A, B의 넓이의 합은 네 점 (0, 0)`, (1, 0), (1, e+2), (0, e+2)를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이 와 같다.

∴:)1 f(x)dx+:#^e+2g(x)dx=1¥(e+2)=e+2

핵심유형

5

x좌표가 x(1…x…e)인 점을 지나 고 x축에 수직인 평면으로 자른 정 삼각형의 한 변의 길이는 lnx이므 로 단면의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)= (lnx)¤

따라서 구하는 부피를 V라 하면 V=:!e (lnx)¤ dx

이때 f(x)=(ln x)¤ , g'(x)=1이라 하면 f'(x)=2ln x¥ , g(x)=x이므로

V=:!e (lnx)¤ dx

V=

[[x(ln x)¤ ]e!-:!e x¥2 ln x¥ dx]

V=

{e-2[x ln x-x]e!}

V=

e-5 -1

높이가 x일 때, 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=pcos x

따라서 구하는 부피는

:)^;2“;S(x)dx=:)^;2“;pcos xdx

:)

^;2“;

S(x)dx=p

[sinx]`^;2“;) =p

5 -2

x좌표가 x(0…x…p)인 점 을 지나고 x축에 수직인 평면 으로 자른 정사각형의 한 변 의 길이는 |sinx-cosx|이 므로 단면의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=|sinx-cosx|¤ =(sinx-cosx)¤

x p p

2 x y y=sinx

y=cosx

|sinx-cosx|

O 1

-1

'32

'34 '34

1 '3 x

4 '34

1 x '3

4 '3

4

x e x

y y=lnx

ln x O 1 O 3

1 1

3 e+2 x e+2

y

y=g(x) y=f(x) y=x

A B'

B

85

10.정적분의 활용 86`~`87쪽

● ● ●기출문제로내신대비하기^{● ● ●}

01 ③ 02 03 4 04 2

05 ③ 06 ① 07 ④

08 +'3-2 09 2ln2-1 10 p 11 64

12 ③ 13 2 14 e

12'3

8

1p

6

1p

2

01

= =

= = =

= =15

12154 111

14

[1x› ]2!14 111231

[1x› ]1)4 :!22222222222 x‹ dx

111333 :)1 x‹ dx lim¡ {1+;nK;}‹ ¥;n!;n

nڦ k=1

111111111n

lim¡ {;nK;}‹ ¥;n!;

nڦ k=1

¡ {1+;nK;}‹ ¥;n!;n

11111113k=1_n

¡ {;nK;}‹ ¥;n!;

k=1

limnڦ

¡ (n+k)‹n

111113k=1 n k=1¡k‹

lim

nڦ

(n+1)‹ +(n+2)‹ +y+(2n)‹

111111111111121‹ +2‹ +y+n‹

limnڦ

k>0이므로 k=p, 2p, 3p, y

즉, 점 P¡의 속도가 처음으로 0이 되는 시각은 p이다.

따라서 t=0에서 t=p까지 점 P™가 움직인 거리는 :)» (sin 2t+1)dt=[-;2!; cos 2t+t]»)=p

6 -2

=t-1, =2't

이때 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는 :)a "√(t-1)²+(2't )²dt

=:)a "√t²+2t+1 dt=:)a "√(t+1)²dt

=:)a (t+1)dt

=[;2!;t¤ +t]a)=;2!; a¤ +a 따라서 ;2!; a¤ +a=12이므로

a¤ +2a-24=0, (a+6)(a-4)=0

∴ a=4 (∵ a>0)

6 -3

=t-;t!;, =2에서 점 P의 시각 t에서의 속도는

{t-;t!;, 2}

이므로 점 P의 시각 t에서의 속력은 æ≠{t-;t!;}

2

+2²=t+;t!; (∵ t>0)

t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t+;t!;æ2Ƭt¥;t!;=2

이때 등호는 t=;t!;일 때 성립하므로 t¤ =1에서 t=1일 때 점 P의 속력이 최소가 된다.

따라서 a=1이므로 t=1에서 t=2까지 점 P가 움직인 거 리는

:!2 {t+;t!;}dt=[;2!;t²+ln t]2!

:!2 {t+;t!;}dt=;2#;+ln 2

핵심유형

7

=;2!;(e^x-e^-x)이므로 구하는 곡선의 길이는 :_1! æ≠1+{ }

2dx=:_1! æ≠1+;4!;(e^x-e^-x)²dx

:_1! æ≠1+{ }

2

dx=

:_1! æ≠;4!;(e^x+e^-x)²dx

:_1! æ≠1+{ }

2

dx

=;2!; :_1! (e^x+e^-x)dx

:_1! æ≠1+{ }

2

dx

=;2!; [e^x-e^-x]1_!

:_1! æ≠1+{ }

2

dx

=e-;e!;

dy dx dy

dx

dy dt dx

dt

dy dt dx

dt

7 -1

='x이므로 구하는 곡선의 길이는 :)3 æ≠1+{ }

2

dx=:)3 'ƒ1+x dx

:)3 æ≠1+{ }

2

dx

=;3@;[(x+1)^;2#;]3)

:)3 æ≠1+{ }

2

dx

=;3@;(8-1)=;;¡3¢;;

7 -2

=-sin t+'2 cos t, =-'2 sin t-cos t이므로 구하는 곡선의 길이는

:)» æ≠{ }

2

+{ }

2

dt

=:)» "√(-sint+'2cost)²√+(-'2 sin t√-cos t)²dt

=:)» '3 dt='3 [t]»)

='3`p

7 -3

:)1 øπ1+{πf'π(x)}¤ dx의 값은 0…x…1에서의 곡선 y=f(x) 의 길이이다. 이때 이 길이가 최소인 경우는 함수 y=f(x) 의 그래프가 원점 O와 점 (1, '3 )을 지나는 직선(일차함 수)일 때이므로 최솟값은

øπ1¤ +('3)¤ =2 dy dt dx

dt

dy dt dx

dt

dy dx dy

dx

02

∠AOP˚= ¥ = 이고, OP˚”=1이므로 P˚Q˚”=OP˚” sin =sin

∴ P˚Q˚”= sin …… ㉠

2sin{x+ }dx

=[-2cos{x+ }]_

;6“;

;6%;p

=4

04

두 곡선 y= sinx`와 y= sinx의 교점의 x좌표는

sinx= sinx에서 sinx=0

;2“;2cosh¥2coshdh=8:

;6“;

;2“;cos¤ h dh

cos 2h=2 cos¤ h-1에서 cos¤ h= 이므로

S=4:

;6“;

;2“;(1+cos2h)dh

S=4

[h+;2!;sin2h]

;6“;

2_{;2!;¥2¤ ¥;3“;-;2!;¥1¥'3}

=;3$;p-'3 :!e lnxdx=k¥(e-1), [xlnx-x]e!=k(e-1) 1=k(e-1) ∴ k=

[다른 해설]

:!e (lnx-k)dx=0이므로 1 1+cos 2h

2

87

10.정적분의 활용

[xlnx-x-kx]e!=0, -ke+1+k=0 k(e-1)=1 ∴ k=

07

조건 ㈎에서 0<f(1)<f(2)이 고, 역함수가 존재하므로 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

정적분:!2 f(x)dx의 값은 영역 A의 넓이이고,

:_f(1)^f(2)g(x)dx=:_f(1)^f(2)f(y)dy

이므로 정적분:_f(1)^f(2)g(x)dx의 값은 영역 B의 넓이이다.

영역 A, B의 넓이를 각각 a, b라 하면 조건 ㈏에서 2f(2)-f(1)=12이므로

a+b=12 yy㉠

그런데 조건 ㈐에서:_f(1)^f(2)g(x)dx=2:!2 f(x)dx이므로 b=2a yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=8

∴:!2 f(x)dx=a=4

08

y=2xsinx¤ 과 y=x는 모두 기함수이므로, xæ0`에서 둘러싸 인 부분의 넓이의 2배를 구하면 된다.

xæ0에서 y=2xsinx¤ 과 y=x의 그래프의 교점의 x`좌표는 2xsinx¤ =x에서

x=0 또는 sinx¤ =;2!; HjK x=0 또는 x¤ =;6“;

∴ x=0 또는 x=æ (∵ xæ0) 따라서 구하는 넓이를 S라 하면

S=2{ ¥æ ¥æ -:)^æ;6“;2xsin x¤ dx}

S=

-2:)^æ;6“;2xsin x¤ dx x¤ =t로 치환하면 =2x이고,

x=0일 때 t=0, x=æ 일 때 t= 이므로

S= -2:)^;6“;sintdt

S=

+2[cost]`^;6“;) = +'3-2

09

물의 부피 V는

`V=:)1 2xln(x¤ +1)dx

이때 x¤ +1=t로 치환하면 =2x이고, x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로

dt dx p 6 p

6 p 6

p 6 p

6 dt dx p

6

p 6 p 6 1 2

p 6

x y

f(2)

f(1)

y=f(x) y=x

y=g(x)

O 1 2

A B

1

e-1

`V=:!2 lntdt=[tlnt-t]2!=2ln2-1

10

x축 위의 점 P(x, 0){0…x… }을 지나고 x축에 수직인 평면 으로 잘린 입체의 단면이 반원이므로 반원의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=;2!;p{ }2 = sec¤ x 따라서구하는 부피는

:)^;3“;S(x)dx=:)^;3“; sec¤ xdx

:)

^;3“;

S(x)dx=

[tanx]`^;3“;) = p

11

=4(-sin t+cos t), =-2 sin 2t이므로 점 P가 t=0에서 t=2p까지 움직인 거리는

:)^2pæ≠{ }

2

+{ }

2

dt

l=

:)^2p"√{4(-sin t+cos t)}¤ √+(-2 sin 2t)¤ dt

l=

:)^2p"√16(1-sin 2t)√+4 sin²2tdt

l=

:)^2p2"4√(1-sin 2t)√+sin²2tdt

l=

:)^2p2"√(2-sin 2t)²dt

l=

:)^2p2(2-sin 2t)dt (∵ 2-sin 2t>0)

l=

[4t+cos 2t])^2p

l=8p+1-1 l=8p

따라서 ap=8p이므로 a=8

∴ a¤ =64

12

=;2!; x(x²+4)^;2!;이므로 구하는 곡선의 길이는 :)1 æ≠1+{ }

2

dx=:)1 Ƭ1+;4!; x²¬(x²+4)dx

:)1 æ≠1+{ }

2

dx=

:)1 æ≠{;2!; x²+1}²`dx

:)1 æ≠1+{ }

2

dx=

:)1 {;2!; x²+1}dx

:)1 æ≠1+{ }

2

dx=

[;6!;x³+x]1)=;6&;

13

오른쪽 그림과 같이 곡선 y=;[!;과 두 직선 y=;2!;x, y=;2K;x의 교점 을 각각 P, Q라 하자.

= x에서 x¤ =2

∴ x='2 (∵ x>0) 1

2 1

x

_x

y

y=1x O

P Q

2 k

y= x 1 2 y= x k

2

Æ '2

dy

dx dy

dx

dy dt dx dt

dy dt dx

dt

'3 8 p

8 p 8

p 8 secx

2

p 3

= x에서 x¤ =

∴ x=æ (∵ x>0)

따라서 P{'2, }, Q{æ , æ }이므로 ^{yy ❶} 색칠한 부분의 넓이는

;2!;¥æ ¥æ +:

æ;k@;

'2 dx-;2!;¥'2¥

=:

æ;k@;

'2 dx=[ln|x|]

æ;k@;

'2

=ln'2-lnæ =ln'k=;2!;lnk

즉, ;2!;lnk=;2!;ln2이므로 k=2 yy ❷

14

=1-;t!;, = 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는

{1-;t!;, }

t=2에서의 점 P의 속도가 {;2!;, }이므로 t=2에서의 점 P의 속력은

æ≠{;2!;}¤ +{ }¤ =æ≠;4!;+ =;2#;

∴ a²=16 yy ❶

따라서 t=1에서 t=e까지 점 P가 움직인 거리는 :!e æ≠{ }

2

+{ }

2

dt=:!e æ≠{1-;t!;}²+{ }

2

dt

:!e æ≠{ }

2

+{ }

2

dt=

:!e æ≠{1-;t!;}²+;t$; dt

:!e æ≠{ }

2

+{ }

2

dt=

:!e {1+;t!;}dt (∵ t>0)

:!e æ≠{ }

2

+{ }

2

dt=

[t+ln t]e!=e ^{yy ❷} a 2't dy

dt dx dt

a¤

8 a

2'2

a 2'2 a

2't a 2't dy dt dx

dt

2 k 1 x

'22 1

x k

2 2 k

k 2 2 '2 k

2 2 k

2 k k

2 1 x

채점 기준 배점

❶ a¤ 의 값 구하기

❷ t=1에서 t=e까지점 P가 움직인 거리 구하기

40 % 60 %

88`~`91쪽

01 ⑤ 02 ④ 03 ① 04 6

05 ⑤ 06 ② 07 ④ 08 ④

09 ④ 10 ① 11 ⑤ 12 5

13 ① 14 96 15 ③ 16 ②

17 ① 18 ⑤ 19 ① 20 ②

21 15

01

^⁄x…1일 때, f'(x)=e^x-1이므로

⁄

f(x)=: e≈ —⁄ dx=e≈ —⁄ +C¡ (단, C¡은 적분상수)

¤x>1일 때, f'(x)=;[!;이므로

⁄

f(x)=: ;[!;dx=lnx+C™ (단, C™는 적분상수) 함수 f(x)가 모든 실수에서 연속이므로 x=1에서도 연속이어 야 한다. 즉, f(x)= f(1)이어야 하므로

f(x)= (lnx+C™)=C™

f(1)=e^1-1+C¡=1+C¡

에서 C™=1+C¡ yy`㉠

주어진 조건에서 f(-1)=e+ 이므로

e^-2+C¡=e+ ∴ C¡=e C¡=e를 ㉠에 대입하면 C™=e+1

따라서 f(x)=[ 이므로

f(e)=lne+e+1=e+2

02

{ f(x)}‹ 을 x에 대하여 미분하면 3{ f(x)}¤ f '(x)

{ f(2x+1)}‹ 을 x에 대하여 미분하면 3{ f(2x+1)}¤ f '(2x+1)¥2

이므로 조건 ㈎의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면

;3@; { f(x)}‹ +C¡=;6!; { f(2x+1)}‹ +C™

(단, C¡, C™는 적분상수) 즉,

4{ f(x)}‹ ={ f(2x+1)}‹ +C (단, C는 적분상수) yy ㉠ 가 성립한다.

㉠의 양변에 x=-;8!;을 대입하면 4[f{-;8!;}]‹ =[f{;4#;}]‹ +C 4=[f{;4#;}]‹ +C (∵ 조건 ㈏`)

∴ [f{;4#;}]‹ =4-C yy ㉡

㉠의 양변에 x=;4#;을 대입하면 e≈ —⁄ +e (x…1) ln x+e+1 (x>1)

15e¤1

15e¤1

xlim⁄1+

xlim⁄1+

xlim⁄1+

● ● ●대단원 마무리하기^{● ● ●}

채점 기준 배점

❶ 곡선이 두 직선과 만나는 점의 좌표 구하기

❷ k의 값 구하기

40 %

60 %

89

03.

대단원`Ⅲ 마무리하기

4[f{;4#;}]‹ =[f{;2%;}]‹ +C 4(4-C)=[f{;2%;}]‹ +C (∵ ㉡)

∴ [f{;2%;}]‹ =16-5C yy ㉢

㉠의 양변에 x=;2%;를 대입하면 4[f{;2%;}]‹ ={ f(6)}‹ +C

4(16-5C)=8+C (∵ ㉢, 조건 ㈏) 64-20C=8+C

21C=56 ∴ C=;3*;

따라서 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 4{ f(-1)}‹ ={ f(-1)}‹ +;3*;

3{ f(-1)}‹ =;3*;, { f(-1)}‹ =;9*;

∴ f(-1)=‹Æ;9*;=‹Æ¬;2@7$;=

03

:

a-1

a+1f(a-x)dx=24에서

a-x=t로 치환하면 =-1이고,

x=a-1일 때 t=1, x=a+1일 때 t=-1이므로 :_a-1^a+1f(a-x)dx=-:_a-1^a+1f(a-x)¥(-1)dx

:

a-1

a+1

f(a-x)dx=-

:!^-1f(t)dt=:_1! f(t)dt=24 이때 함수 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이므로

:_1! f(t)dt=2:)1 f(t)dt=24

∴:)1 f(x)dx=12

04

조건 ㈏에서 u(x)=x-1, v'(x)=f'(x+1)로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=f(x+1)이므로

:)1 (x-1)f'(x+1)dx

=[(x-1)f(x+1)]1) -:)1 f(x+1)dx

=f(1)-:)1 f(x+1)dx

=2-:)1 f(x+1)dx (∵ 조건 ㈎)

=-4

∴:)1 f(x+1)dx=2+4=6 ……` ㉠

이때 x+1=t로 치환하면 =1이고, x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로

:)1 f(x+1)dx=:!2 f(t)dt=6 12dxdt 12dxdt

2 ‹'3 1153

∴:!2 f(x)dx=6

[다른 해설]

치환적분법부터 사용하면 구하는 식을 쉽게 찾을 수 있다.

:)1 (x-1)f'(x+1)dx에서 x+1=t로 치환하면 =1이고, x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로

:)1 (x-1)f'(x+1)dx=:!2 (t-2)f'(t)dt

:!2 (t-2)f'(t)dt에서 u(t)=t-2, v'(t)=f'(t)로 놓으면 v'(t)=1, v(t)=f(t)이므로

:!2 (t-2)f'(t)dt=[(t-2)f(t)]2!-:!2 f(t)dt

:!2 (t-2)f'(t)dt

=f(1)-:!2 f(t)dt

:!2 (t-2)f'(t)dt

=2-:!2 f(t)dt (∵ f(1)=2)

:!2 (t-2)f'(t)dt

=-4

∴:!2 f(t)dt=:!2 f(x)dx=2+4=6

05

f(x)= 에 x 대신 -x를 대입해 보면

f(-x)= =

이므로 f(x)=f(-x)가 성립한다. 즉, f(x)는 우함수이므로 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

또 f(x+2)=f(x)가 성립하므로 주기가 2인 주기함수이고, f(-1)=0, f(0)=1

이므로 y=f(x)의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

ㄱ. :)1 f(x)dx=A라 하면 임의의 정수 n에 대하여

ㄱ.

:Nⁿ⁺¹f(x)dx=A yy ㉠

ㄱ.

∴:_2@ f(x)dx=4A=4:)1 f(x)dx (참)

ㄴ. 1<x<2에서 함수 y=f(x)의 그래프에 접선을 그려 보면 그려지는 접선의 기울기는 모두 양수이므로

ㄱ. 1<x<2일 때 f'(x)>0이다. (참)

ㄷ. 2<x<3에서 함수 y=f(x)의 그래프에 접선을 그려 보면 그려지는 접선의 기울기는 모두 음수이므로

ㄱ. 2<x<3일 때 f'(x)<0이다.

ㄱ.

∴:!3 x|f'(x)|dx=:!2 xf'(x)dx-:@3 xf'(x)dx

ㄱ. 이때 u(x)=x, v'(x)=f(x)로 놓으면

ㄱ. u'(x)=1, v(x)=f(x)이므로

x y

y=f(x) 1

O

1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

…

…

(x¤ -1)¤

1222222x› +1 {(-x)¤ -1}¤

122222211(-x)› +1 (x¤ -1)¤

1222222x› +1 12dxdt

ㄱ.

:!2 xf'(x)dx=[xf(x)]2!-:!2 f(x)dx

ㄱ. :!2 xf'(x)dx

=2f(2)-f(1)-A (∵ ㉠)

ㄱ. :!2 xf'(x)dx

=2-A (∵ f(2)=1, f(1)=0)

ㄱ.

:@3 xf'(x)dx=[xf(x)]3@-:@3 f(x)dx

ㄱ. :@3 xf'(x)dx

=3f(3)-2f(2)-A (∵ ㉠)

2

f(x)dx=2ln2+

∴:

f(x)=ln

yy`㉠

(fΩf)(a)=ln 5HjK f(f(a))=ln 5에서 f(a)=k로 놓으면

08

ㄱ. 0<x<1 HjK 0<x¤ <1이므로

ㄱ.

x¤ sin <sin …… ㉠

91

03.

대단원`Ⅲ 마무리하기

ㄷ. ㄴ에 의하여 구간 (0, 1)에서 곡선 y=sin 은 아래로 볼

ㄷ.

록하므로 그 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

ㄷ.

이때 위의 그림에서 색칠한 삼각형의 넓이는

ㄷ.

;2!;¥1¥sin ;2!;=;2!; sin ;2!;이므로

ㄷ.

:)1 f(x)dx…;2!;sin;2!; (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

09

조건 ㈏의 식에서:)^;2“;f(t)dt=k(k는 상수)로 놓으면, g(x)=kcosx+3이므로 조건 ㈎의 식은

:

;2“;/ f(t)dt=(kcosx+3+a)sinx-2 yy ㉠ 이때 ㉠에 x=0을 대입하면

:

;2“;0 f(t)dt=(kcos0+3+a)sin0-2 -k=(k¥1+3+a)¥0-2

-k=-2 ∴ k=2 또 ㉠에 x=;2“;를 대입하면

:

;2“;

;2“;f(t)dt={kcos;2“;+3+a}sin;2“;-2 0=(k¥0+3+a)¥1-2

0=3+a-2

∴ a=-1

따라서 k=2, a=-1을 ㉠에 대입하면 :;2“;/ f(t)dt=(2cosx+2)sinx-2 이므로 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)=-2sinxsinx+(2cosx+2)cosx

f(x)=-2sin¤ x+2cos¤ x+2cosx

∴ f(0)=-2sin¤ 0+2cos¤ 0+2cos0

∴ f(0)=0+2+2=4

10

연속함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=-1임을 알 수 있다.

f(x)= :!≈ ±⁄ f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)= f(x+1)

∴ f(x+1)=2 f'(x) 1p 1p2 1p2

x y

sin

1 O

2 1 y=sin 2 x¤

14x¤2 ∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=p¤ :)1 x¥ f'(x)dx

∴ p¤ :)1 xf(x+1)dx

=2p:)1 xf '(x)dx

2p:)1 xf(x)에서 u(x)=x, v'(x)=f'(x)로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=f(x)이므로

∴

p¤:)1 xf(x+1)dx=2p[[xf(x)]1)-:)1 f(x)dx]

∴ p¤ :)1 xf(x+1)dx=2p[ f(1)-:)1 f(x)dx]

∴ p¤ :)1 xf(x+1)dx

=2p-2p:)1 f(x)dx

한편 f(x)= :!≈ ±⁄ f(t)dt의 양변에 x=-1을 대입한 식

f(-1)= :!0 f(t)dt 에서 f(-1)=-1이므로

-1=- :)1 f(t)dt

∴:)1 f(t)dt=

∴ p¤:)1 xf(x+1)dx=2p-2p:)1 f(x)dx

∴ p¤ :)1 xf(x+1)dx

=2p-2p¥

∴ p¤ :)1 xf(x+1)dx

=2(p-2)

11

주어진 식을 정리하면

[ :!^x+1f(t)dt]

= (x¤ +1)_ :!^x+1f(t)dt

=1_f(1)=3

f(x)=acos(px¤ )에서 f(1)=acosp=-a=3

∴ a=-3

따라서 f(x)=-3cos(px¤ )이므로 f(-3)=-3cos9p=-3_(-1)=3

12

1+ =x라 하면 ⁄ dx이고, 적분 구간은 [1, 2]이므로

f{1+ }= f{1+ }

f{1+ }

=:!2 (x-1)f(x)dx

∴:!2 (x-1)lnxdx

∴

=[{;2!;x¤ -x}lnx]2!-:!2 ;[!;{;2!;x¤ -x}dx

∴

=(0-0)-:!2 {;2!;x-1}dx

∴

=-[;4!;x¤ -x]2!

1n1 1kn 1nk

¡n

lim k=1 nڦ

1nk 14n¤k

¡n

lim k=1 nڦ

1n1 1kn

1x1 limx⁄0

limx⁄0

x¤ +1 1123x limx⁄0

12p 1p2

1p2 1p2 1p2

12p

∴

=-[(1-2)-{;4!;-1}]

∴

=;4!;

따라서 p=4, q=1이므로 p+q=5

13

∠P«–˚OP«≠˚=2k¥∠PºOP¡

∠P«–˚OP«≠˚=2k¥{;2¡n;¥;2“;}=;2Kn“;

이므로 삼각형 OP«–˚P«≠˚의 넓이 S˚는 S˚=;2!;¥1¤ ¥sin;2Kn“;=;2!;sin;2Kn“;

∴ ;n!; S˚= ;n!; ;2!; sin ;2Kn“;

∴ ;n!; S˚=;2!;

sin{;2“;¥ }¥;n!;

∴ ;n!; S˚=;2!;:)1 sin;2“;xdx

∴ ;n!; S˚=;2!;[-;ç@;cos;2“;x]1)

∴ ;n!; S˚=;2!;[0-{-

}]=

14

^f'(x)= :)^x(a-t)e† dt=(a-x)e≈

이때 f'(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f'(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 f(x)는 x=a에서 극대이고, 최댓값을 갖는다.

u(x)=a-x, v'(x)=e≈ 으로 놓으면 u'(x)=-1, v(x)=e≈ 이므로

f(x)=:)^x(a-t)e† dt

f(x)=

[(a-t)e† ])^x-:)^x(-e† )dt

f(x)=

[(a-t)e† ])^x+[e† ])^x

f(x)=(a-x)e≈ -a+e≈ -1 f(x)=(a+1-x)e≈ -a-1

이고, 함수 f(x)의 최댓값이 x=a일 때 32이므로 f(a)=eå -a-1=32

∴ eå -a=33 …… ㉠

한편 곡선 y=3e≈ 과 직선 y=3이 만나는 점의 x좌표는 3e≈ =3 ∴ x=0

따라서 곡선 y=3e≈ 과 두 직선 x=a, y=3으로 둘러싸인 부분 의 넓이는

:)a (3e≈ -3)dx

=[3e≈ -3x]a)

=(3eå -3a)-(3-0)

=3(eå -a)-3

=3¥33-3 (∵ ㉠)

=96

y

y=3e≈

x=a

y=3

a x O

3

12dxd

11p 1p2

1kn

¡n

lim k=1 n⁄ ¶

¡n k=1 nlim⁄ ¶

¡n k=1 nlim⁄ ¶

15

^A=:)k xsinxdx B=:K {;2“;-xsinx}dx

B=

:K ;2“;dx-:K xsinxdx 이때 A=B이므로

:)k xsinxdx=:K ;2“;dx-:K xsinxdx :)k xsinxdx+:K xsinxdx=:K ;2“;dx

∴:) xsinxdx=:K ;2“;dx

이 식의 좌변에서 f(x)=x, g'(x)=sin x로 놓으면 f'(x)=1, g(x)=-cos x이므로

(좌변)=[-xcosx]

0

-:) (-cosx)dx

(좌변)=:) cosxdx=[sinx]

0

=1

또 (우변)=[;2“;x]

k

= -;2“;k

따라서1= -;2“;k이므로

;2“;k= -1 ∴

k=;2“;-16

n=3일 때, A(8, 0), B(8, 8), C(0, 8)이다. 이때 선분 BC와 곡선 y=2≈ 의 교점을 E라 하면 E(3, 8)이다.

곡선 y=2≈ 과 직선 x=3 및 x축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓 이가

:)3 2≈ dx=[ ]3)

:)3 2≈ dx

= - =

이므로 직사각형 COE'E에서 곡선 y=2≈ 과 직선 y=8 및 y축 으로 둘러싸인 부분의 넓이는

3_8-

=24-∴ (색칠된 부분의 넓이)=8_8-2{24- }

∴ (색칠된 부분의 넓이)=16+

123ln214

123ln27 123ln27

123ln27

123ln27 123ln21 123ln28

123ln22≈

x y

O 1 E'(3, 0) A(8, 0) 1

C(0, 8) E(3, 8) B(8, 8)

D y= log ™x y=2≈

1p2 1p¤4

1p¤4

1p¤4

1p2

1p2 1p2

1p2 1p2

1p2 1p2

1p2 1p2

1p2 1p2

1p2 1p2

1p2

93

03.

대단원`Ⅲ 마무리하기

[다른 해설 1]

y=2≈ 과 y=log™x는 역함수 관계이므로 두 곡선은 직선 y=x 에 대하여 서로 대칭이다. 따라서 색칠된 부분의 넓이는 곡선 y=2≈ 과 직선 y=x, y=8 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배이다. 즉, 구하는 넓이는 다음 그림과 같이 ㉠, ㉡의 넓이의 합의 2배이다.

∴ (색칠된 부분의 넓이)

∴

=2{(㉠의 넓이)+(㉡의 넓이)}

∴

=2[ :)3 (2≈ -x)dx+;2!;_(8-3)¤ ]

∴

=2[[ -;2!;x¤ ]3)+:™2∞:]

∴

=2[[{ -;2(;}- ]+:™2∞:]

∴

=2{ +8}=16+

[다른 해설 2]

(색칠된 부분의 넓이)= OABC-2:!8 log™xdx

(색칠된 부분의 넓이)=8¤ -2

[xlog™x- ]8!

(색칠된 부분의 넓이)

=64-2{8¥3- + }

(색칠된 부분의 넓이)=64-48+

=16+

17

직선 y=g(x)가 점 A(1, 2)를 지나고 x축에 평행하므로 g(x)=2

이때 직선 y=2와 곡선 y=2'2sin;4“;x의 교점의 x좌표는 2=2'2sin;4“;x

sin;4“;x=

∴ x=1 또는 x=3

따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)에 의해 둘러싸인 부분 의 넓이는

y

y=g(x) y=f(x)

x

O 1 3 4

2 A

123 '2

2

123 ln2

14

123 ln2

14

123 ln2

1

123 ln2

8

123 ln2

x

123 ln2

14

123 ln2

7

123 ln2

1

123 ln2

8

11 ln2 2≈

x y

O

y=2≈ y=x

A(8, 0) 3

1 1

C(0, 8) E(3, 8) B{8, 8}

D y= log ™x

㉡

㉠

:!3 {2'2sin;4“;x-2}dx

=

[-2'2¥;ç$;cos;4“;x-2x]3!

={-2'2¥;ç$;cos;4#;p-6}-{-2'2¥;ç$;cos;4“;-2}

=;ç*;-6-{-;ç*;-2}

=;;¡ç§;;-4

18 ㄱ. 1<x<e일 때,

0<ln x<1

ㄱ.

즉, ln x>0이고 1-ln x>0이므로

ㄱ.

(ln x)ⁿ-(ln x)ⁿ⁺¹=(ln x)ⁿ(1-ln x)>0

ㄱ.

∴ (ln x)ⁿ>(ln x)ⁿ⁺¹

ㄱ.

한편 x=1 또는 x=e일 때 (ln x)ⁿ=(ln x)ⁿ⁺¹이다.

ㄱ.

따라서 1…x…e일 때, (ln x)ⁿæ(ln x)ⁿ⁺¹이다. (참) ㄴ. ㄱ이 참이므로 y=(ln x)ⁿ의 그래프와 y=(ln x)ⁿ⁺¹의 그

래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ.

∴ Sn<Sn+1(참)

ㄷ. 주어진 y=(ln x)ⁿ의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭 이동시키면 역함수 y=g(x)의 그래프가 된다.

ㄱ.

∴ Sn=:)1 g(x)dx (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 해설]

ㄴ. Sn=e¥1-:!e (lnx)ⁿdx

ㄴ. S

n=e-:!e (lnx)ⁿdx

ㄴ.

이고 Sn+1=e-:!e (lnx)ⁿ⁺¹dx이므로

ㄴ.

Sn+1-Sn=-:!e (lnx)ⁿ⁺¹dx+:!e (lnx)ⁿdx

ㄴ. 이고 S

n+1

-S

_n=:!e {(lnx)ⁿ-(ln x)ⁿ⁺¹} dx>0

ㄴ. 이고 S

n+1

-S

_n

=

(∵ 1<x<e일 때 (ln x)ⁿ>(ln x)ⁿ⁺¹)

ㄴ.

∴ Sn<Sn+1(참)

19

x=t {12'ßp2 …t…115'∂3p2 }일 때의 입체도형의 단면인 정사각형의

e y=x

O

y=g(x)

x e y

y=(lnx)

ⁿ

1 1

x e

y y=(lnx)

ⁿ⁺¹

y=(lnx)

ⁿ

1 1

O

한 변의 길이는 2"√tsint¤

이므로 단면의 넓이는

2"√tsint¤ ¥2"√tsint¤ =4tsint¤

따라서 구하는 입체도형의 부피는 : 4tsint¤ dt

이때 t¤ =u로 치환하면 2t= 이고

문서에서 굿비 미적분_해설 (페이지 83-94)