ㄴ.함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다

ㄴ.

f'(x)=-ㄴ.

f'(x)=0에서 x=-'2 또는 x='2

ㄴ.함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

3(x+'2)(x-'2) (x¤ +2)¤

-3x¤ +6 (x¤ +2)¤

3(x¤ +2)-3x¥2x (x¤ +2)¤

3x x¤ +2

2'5 5 2

'5 1 '5 2

'5 1 '5 2

'5

2'55 2

'5 sin x

e¤ ≈

07

^x2+5xy-2y2+11=0의 양변을 x에 대하여 미분하면

2x+5y+5x -4y =0

(5x-4y) =-2x-5y

∴ = (단, 5x-4y+0)

따라서 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기는

=2 이므로 접선의 방정식은

y=2(x-1)+4

∴ y=2x+2

이 접선의 x절편은 -1, y절편은 2이므로 구하는 넓이는

;2!;¥|-1|¥2=1

08

^f(x)= 에서 x>0이고

f'(x)=

f'(x)=

=

x>0이므로 f'(x)>0에서

-3+2`ln`x>0 ∴x>e'e 함수 f(x)가 증가하는 x의 값의 범위는

x>e'e ∴ aæe'e 따라서 a의 최솟값은 e'e이다.

[참고]

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

09

임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 x¡+x™이면 f(x¡)+f(x™)을 만 족시키는 함수 y= f(x)는 일대일함수이다.

함수 f(x)가 모든 실수에 대하여 연속이므로 f(x)는 실수 전 체의 집합에서 항상 증가하거나 항상 감소하여야 한다. 즉, 모든 실수 x에 대하여 `f'(x)æ0 또는 f'(x)…0이어야 한다.

f'(x)=5a sin x-4이고, f'(0)=-4<0이므로 모든 실수 x 에 대하여 f'(x)æ 0은 불가능하다.

즉, f'(x)…0이어야 한다.

한편 -1…sinx…1이므로

f'(x)=5asinx-4…5|a|-4…0

|a|…;5$; ∴ -;5$;…a…;5$;

따라서 a의 최댓값 M=;5$;, 최솟값 m=-;5$;이므로 M-m=;5$;-{-;5$;}=;5*;

-3+2`ln`x x‹

-3x+2x`lnx x›

-;[!;¥x¤ -(1-lnx)¥2x 11111111112x›

1-lnx x¤

-2-20 5-16

-2x-5y 5x-4y dy

dx dy dx

dy dx dy

dx

x f'(x) f(x)

(0)

y

e'e

y

- 0

+

↘

-

12

2e‹ 1

↗

x

f'(x)

f(x)

(0)

y p-a y 2p-a y

(2p)

+ 0 - 0 +

↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x f'(x)

f(x)

y -'2 y '2 y

- 0 + 0

-↘

-

11

3'2 4

↗ 11

3'2 4

↘

ㄱ.

따라서 f(x)의 극솟값은

ㄱ.

f(-'2)=- (거짓)

ㄷ. ㄴ의 표에서 f(x)는 -'2<x<'2에서 증가한다.(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12

^f(x)=e¤x-ae≈ +2x로 놓으면 f'(x)=2e¤ ≈ -ae≈ +2 f'(x)=0에서 e≈ =t(t>0)라 하면

2t¤ -at+2=0

함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식 2t¤ -at+2=0이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.

⁄ 이차방정식 2t¤ -at+2=0의 판별식을 D라 하면

⁄

D=a¤ -16>0, (a+4)(a-4)>0

⁄

∴ a>4 또는 a<-4

¤ (두 근의 합)=;2A;>0 ∴ a>0

‹ (두 근의 곱)=1>0

⁄, ¤, ‹에 의하여 a>4

함수 f(x)가 x=x¡에서 극댓값, x=x™에서 극솟값을 갖는다 고 하자.

주어진 조건에서 f(x¡)+f(x™)=-11`

즉, (e^2x¡-ae^x¡+2x¡)+(e^2x™-ae^x™+2x™)=-11 (e^x¡+e^x™)¤ -2e^x¡e^x™-a(e^x¡+e^x™)+2(x¡+x™)=-11

yy ㉠ 한편 e^x¡, e^x™은 2t¤ -at+2=0의 근이므로

e^x¡+e^x™=;2A;, e^x¡e^x™=e^x¡+x™=1 x¡+x™=0

이를 ㉠에 대입하면 {;2A;}¤ -2- =-11 - =-9, a¤ =36

∴ a=6 (∵ a>4)

13

ㄱ. 구간 (b, 0)에서g(x)= <0이고, x<0이므로

ㄱ.

f'(x)>0

ㄱ.

따라서 함수 f(x)는 열린구간 (b, 0)에서 증가한다. (참) ㄴ. g(b)= =0이고, x=b의 좌우에서 g(x)의 부호가

ㄱ.

양에서 음으로 바뀌고, x<0이므로 f'(x)의 부호는 음에서

양으로 바뀐다.

ㄱ.

따라서 함수 f(x)는 x=b에서 극솟값을 갖는다. (참) ㄷ. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

f'(b) b

f'(x) x a¤

4 a¤

2 3'24

ㄱ.

즉, x=b, c, d에서 3개의 극값을 갖는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

14

f(x)=(x+k)e—≈ 으로 놓으면

f'(x)=e—≈ -(x+k)e—≈ =(1-x-k)e—≈

곡선 위의 한 점 (t, (t+k)e^-t)에서의 접선의 기울기가 f'(t)=(1-t-k)e—† 이므로 접선의 방정식은

y-(t+k)e—† =(1-t-k)e—† (x-t) ……❶ 이 직선이 원점을 지나면

-(t+k)e—† =-t(1-t-k)e—†

(t¤ +kt+k)e—† =0

∴ t¤ +kt+k=0 (∵ e—† >0) yy ㉠ ……❷ 이때 원점에서 주어진 곡선에 접선을 그을 수 없으므로 ㉠을 만 족시키는 실수 t가 존재하지 않아야 한다. 즉, 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

D=k¤ -4k<0, k(k-4)<0

∴ 0<k<4 ……❸

따라서 정수 k는 1, 2, 3이므로 모든 정수 k의 값의 합은

1+2+3=6 ……❹

15

f(x)=x-2 sin x에서 f'(x)=1-2 cos x f'(x)=0에서 cos`x=;2!;이므로

x= 또는 x= p(∵ 0<x<2p) ……❶ 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 f(x)의 극댓값은 f{;3%;p}=;3%;p+'3, 극솟값은 f{;3“;}=;3“;-'3이므로

M=;3%;p+'3, m=;3“;-'3 ……❷

∴ (M-5m)¤ =[{;3%;p+'3}-5{;3“;-'3}]2

∴ (M-5m)¤

=(6'3)¤ =108 ……❸ 5

3 p

3

채점 기준 배점

❶ 접선의 방정식 구하기

❷ 원점을 지날 때 t, k의 관계식 찾기

❸ 판별식을 이용하여 k의 값의 범위 구하기

❹ 정수 k의 값의 합 구하기

30 % 30 % 30 % 10 %

x g(x) f'(x) f(x)

a

…

b

… (0) …

c

…

d

…

e

+ 0 - + 0

-

0 +

-

0

+

+ 0

-

0 +

↘ 극소 ↗ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x

f'(x) f(x)

(0)

y ;3“; y ;3%;p y

(2p)

- 0 + 0

-↘ ;3“;-'3 ↗ ;3%;p+'3 ↘

채점 기준 배점

❶ f'(x)=0으로부터 극값을 갖는 x의 값 구하기

❷ 극댓값과 극솟값 구하기

❸ 주어진 식의 값 구하기

40 %

40 %

20 %

49

07.도함수의 활용 ⑵

01

⑴ f(x)=x‹ -3x¤ +2로 놓으면 f'(x)=3x¤ -6x

f"(x)=6x-6=6(x-1) f"(x)=0에서 x=1

즉, 곡선 y=f(x)는 구간 (-¶, 1)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하고, 구간 (1, ¶)에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다.

따라서 x=1의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (1, 0)이다.

⑵ f(x)=xe¤ ≈ 으로 놓으면

f'(x)=e¤ ≈ +2xe¤ ≈ =(2x+1)e¤ ≈ f"(x)=2e¤ ≈ +2(2x+1)e¤ ≈ =4(x+1)e¤ ≈ f"(x)=0에서 x=-1 (∵ e¤ ≈ >0)

즉, 곡선 y=f(x)는 구간 (-¶, -1)에서 f"(x)<0이므 로 위로 볼록하고, 구간 (-1, ¶)에서 f"(x)>0이므로 아 래로 볼록하다.

따라서 x=-1의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 {-1, - }이다.

⑶ f(x)=ln(x¤ +1)로 놓으면 f'(x)=

f"(x)= =

f"(x)=-f"(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

즉, 곡선 y=f(x)는 구간 (-¶, -1) 또는 (1, ¶)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하고, 구간 (-1, 1)에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다.

따라서 x=-1, x=1의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (-1, ln2), (1, ln2)이다.

⑷ f(x)= 1 로 놓으면 x¤ +1

2(x+1)(x-1) (x¤ +1)¤

2(1-x¤ ) (x¤ +1)¤

2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤

2x x¤ +1

1 e¤

07. 도함수의 활용 ⑵

56`~`57쪽

● ● ● 개념확인^{● ● ●} 01 풀이 참조 02 풀이 참조

03 ⑴ 최댓값： , 최솟값：-1 ⑵ 최댓값：4e¤ , 최솟값：0 04 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 2

05 풀이 참조

06 ⑴ 속도 : 1, 가속도 : -1 ⑵ 속도 : 1, 가속도 : -2 07 ⑴ 속도 : (2, 2), 가속도 : (0, 2)

07

⑵ 속도 : {;2!;, }, 가속도 : {'3 , ;2!;}

'3

2 2

p

2

f'(x)=

f"(x)=

f"(x)=

f"(x)=

f"(x)=

f"(x)=0에서 x=- 또는 x=

즉, 곡선 y=f(x)는 구간 {-¶, - } 또는 { , ¶}에

서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하고, 구간 {- , } 에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하다.

따라서 x=- , x= 의 좌우에서 f"(x)의 부호가 바

뀌므로 변곡점의 좌표는 {- , ;4#;}, { , ;4#;}이다.

02

⑴ f(x)=e^-x¤으로 놓으면

⑴

정의역은 실수 전체의 집합이고, f(0)=1이므로 점`(0, 1) 을 지난다.

⑴

또한 f(-x)=f(x)이므로 y축에 대하여 대칭이다.

⑴

f'(x)=-2xe^-x¤

⑴

f"(x)=-2e^-x¤+4x¤ e^-x¤=2(2x¤ -1)e^-x¤

=2('2x+1)('2x-1)e^-x¤

⑴

f'(x)=0에서 x=0 (∵ e^-x¤>0)

⑴

f"(x)=0에서 x=- 또는 x=

⑴

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

⑴

이때 f(x)= f(x)=0이므로 점근선은 x축이다.

⑴

따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

⑵ f(x)=x+ 로 놓으면

⑵

정의역은 {x|x+0}이고, f(-x)=-f(x)이므로 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

1 x

O 1

x y

y=f(x) 1

'e

'2

- 2 '2

2

x⁄-¶lim

xlimڦ

'2 2 '2

2

'33 '33

'3 3 '3

3

'3 3 '3

3 '33 '33

'3 3 '3

3 2('3x+1)('3x-1)

(x¤ +1)‹

2(3x¤ -1) (x¤ +1)‹

-2(x¤ +1)+8x¤

(x¤ +1)‹

-2(x¤ +1)¤ +2x¥2(x¤ +1)¥2x (x¤ +1)›

-2x (x¤ +1)¤

x f'(x) f"(x) f(x)

y

+ +

-

12'2

2 +

0

12

1

'e y

+

-0 0

-1

y

-12'2

2

-0

12

1

'e y

-+

f'(x)=1- = =

03

⑴ f(x)=xsinx+cosx에서

f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx

문서에서 굿비 미적분_해설 (페이지 47-50)