x-1=t로 놓으면 x⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로
=
= [ ¥ + ]
=;2!;¥1+;2%;=3=b
5 t+2 ln (t+1)
t t+1 lim t+2
t⁄0
(t+1) ln (t+1)+5t t(t+2) limt⁄0
x ln x+5x-5 (x-1)(x+1) limx⁄1
x ln x+5x-5 (x-1)(x+1) limx⁄1
f(x)-5 x¤ -1 limx⁄1
1 2 1
2
1 x
1 2
1 x+1 f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
f(x)-f(1) (x-1)(x+1) limx⁄1
f(x)-5 x¤ -1 limx⁄1
limx⁄1
f(x)-5 x¤ -1 limx⁄1
limx⁄0
e› ≈ -1 lim 4x
x⁄0
limx⁄0
e› ≈ -1 lim 4x
x⁄0
limx⁄0
∴ f'(1)=2e2-1
∴ (주어진 식)=2f'(1)=2(2e¤ -1)=4e¤ -2
11
=5에서 x`⁄`1일때(분모)``⁄`0이고극한값이존재 하므로 (분자)`⁄`0이다.즉 f(x)=0이므로 f(1)=0
∴ = =f'(1)=5
f(x)=a-b ln x에서 f'(x)=-;[B;이므로 f(1)=0에서 a=0
f'(1)=5에서 -b=5 ∴ b=-5 따라서 f(x)=5lnx이므로
f(e¤ )=5lne¤ =10
12
f(0)=0이므로=-3 [ ¥ ]
=-3{ f'(0)¥1}=6
∴ f'(0)=-2 [다른 해설]
ln(1-3h)=t로 놓으면 h⁄ 0일 때 t ⁄ 0이므로
= =f'(0)
13
f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속이어야 하므로(ln x+bx‹ )=f(1)
∴ a=b yy ㉠
또 f'(1)이 존재해야 하므로 f'(x)=
에서
ae
x-1= {
;[!;+3bx¤}
∴ a=1+3b yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;2!;, b=-;2!;
∴ a+b=-1
14
f(x)ln(1+3x)=12이므로f(x)ln(1+3x)= [ f(x)¥3x¥ ]
f(x)ln(1+4x)=
3xf(x)¥f(x)ln(1+4x)=3
xf(x)=12∴limxf(x)=4 …… ❶
x⁄0
limx⁄0
ln(1+3x) lim 3x
x⁄0
limx⁄0
ln(1+3x) lim 3x
x⁄0
limx⁄0
limx⁄0
xlim ⁄1-xlim⁄1+
aex-1 (x>1)
;[!;+3bx¤ (x<1) (\{\
9
x⁄1-lim
f(t)-f(0) lim t-0
t⁄0
f(ln(1-3h))-f(0) ln(1-3h)-0 limh⁄0
ln(1-3h) -3h f(ln(1-3h))-f(0)
ln(1-3h)-0 limh⁄0
f(ln(1-3h)) lim h
h⁄0
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
f(x) lim x-1
x⁄1
limx⁄1
f(x) lim x-1
x⁄1
채점 기준 배점
❶lim
x f(x)의 값 구하기
x⁄0
❷lim
f(x)(e› ≈ -1)의 값 구하기
x⁄0
60 % 40 %
채점 기준 배점
❶ f(1)의 값을 이용하여 a의 값 구하기
❷ 주어진 식 간단히 하기
❸ b의 값 구하기
50 %
30 %
20 %
27
04.삼각함수의 미분
01
⑴ csc`h=csc`120˘= = =sec`h=sec`120˘= = =-2
cot`h=cot`120˘= =
=-⑵ csc`h=csc`330˘= = =-2
sec`h=sec`330˘= = =
cot`h=cot`330˘= = =-'3
⑶ csc`h=csc`;4“;= = ='2
sec`h=sec`;4“;= = ='2
cot`h=cot``;4“;= =;1!;=1
⑷ csc`h=csc`;6&;p= = =-2
sec`h=sec``;6&;p= =
=-cot`h=cot``;6&;p= = 1 ='3 12'33
02
⑴ sin`105˘=sin`(60˘+45˘)sin`105˘=sin`60˘cos`45˘+cos`60˘sin`45˘
sin`105˘=
¥ + ¥ =⑵ cos`75˘=cos`(30˘+45˘)
cos`75˘=cos`30˘cos`45˘-sin`30˘sin`45˘
cos`75˘=
¥ - ¥ =⑶ tan`15˘=tan`(45˘-30˘)
tan`15˘=
tan`15˘=
= =2-'303
⑴ y=sin`h+cos`h='2{sin`h¥ +cos`h¥ }⑴ y=sin`h+cos`h
='2{sin`hcos` +cos`hsin` }⑴ y=sin`h+cos`h
='2`sin{h+ }⑴
이때 -1…sin{h+ }…1이므로⑴`
y의 최댓값은 '2, 최솟값은 -'2이다.⑵ y=sin`h+'3`cos`h=2{sin`h¥ +cos`h¥ }
⑵ y=sin`h+'3`cos`h=2{sin`hcos +cos`hsin }
⑵ y=sin`h+'3`cos`h=2`sin`{h+ }
⑵
이때 -1…sin{h+ }…1이므로⑵
y의 최댓값은 2, 최솟값은 -2이다.⑶ y='3`sin`h-cos`h=2{sin`h¥ -cos`h¥ }
⑶ y='3`sin`h-cos`h=2{sin`hcos -cos`hsin }
⑶ y='3`sin`h-cos`h=2`sin`{h- }
⑶
이때 -1…sin{h- }…1이므로 y의 최댓값은 2, 최솟값은 -2이다.04
cos¤ a=1-sin¤ a=1-{ }2 = 이므로 cos`a= {∵ 0<a< }∴ tan`a= = =
⑴ sin`2a=2`sin`a`cos`a=2¥;5#;¥;5$;=;2@5$;
3
⑵ cos`2a=cos¤ `a-sin¤ `a={;5$;}¤ -{;5#;}¤ =;2¶5;
⑶ tan`2`a= = =;;™7¢;;
[다른 해설]
⑶ tan`2`a= = =;;™7¢;;
05
⑴ sinx=sin =⑵ tanx=tan =
⑶ tanxcscx= ¥ =
tanxcscx=
=2⑷ = =
= =1
06
⑴ = ¥;2!;=1¥;2!;=;2!;⑵ = ¥2=1¥2=2
⑶ = ¥ ¥2=1¥1¥2=2
⑷ =
⑷
= ¥ =1¥ =07
⑶ `y'=cos`xcos`x+sin`x(-sin`x)=cos¤ `x-sin¤ `x=cos2x
180 p 180
p 180
p sin`x lim x
x⁄0
sin`x
;18“0; x limx⁄0
sin`x lim x˘
x⁄0
2x sin2x tan4`x lim 4x
x⁄0
tan4`x sin2`x limx⁄0
tan`6x lim 6x
x⁄0
tan`6x lim 3x
x⁄0
sin`x lim x
x⁄0
sin`x lim 2x
x⁄0
1 2cos;3“;
1 2cosx lim
x⁄;3“;
sin`x 2sinxcosx lim
x⁄;3“;
sin`x sin2x lim
x⁄;3“;
1 cos;3“;
1 lim cosx
x⁄;3“;
1 sinx sin`x lim cosx
x⁄;3“;
lim
x⁄;3“;
'33 p lim 6
x⁄;6“;
'22 p lim 4
x⁄;4“;
;2@5$;
11
;2¶5;
sin`2`a cos`2`a
2¥134 11113
1-{1}24 2`tan`a
1-tan¤ `a
핵심유형
1
csc h`sec h<0에서 h는 제`2`사분면 또는 제`4`사분면의 각 이고 sin h`cot h<0에서 h는 제2`사분면 또는 제3`사분면의 각이므로 h는 제2`사분면의 각이다.∴ "√1+tan¤ `h"√csc¤ `h-1="√sec¤ `h"√cot¤ `h
∴ "√1+tan¤ `h"√csc¤ `h-1
=(-sech)(-coth)∴ "√1+tan¤ `h"√csc¤ `h-1
= ¥∴ "√1+tan¤ `h"√csc¤ `h-1
= =csch1 -1
OP”="√3¤ +(-4)¤ =5이므로 csch=-;4%;, sech=;3%;∴ csch+sech=-;4%;+;3%;=;1∞2;
1 -2
csc¤ h=1+cot¤ h=1+2¤ =5 sec¤ h=1+tan¤ h=1+{;2!;}2 =;4%;∴ csc¤ h+sec¤ h=5+;4%;=;;™4∞;;
핵심유형
2
두 직선 y=x, y=-2x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면tan`a=1, tan`b=-2
∴ tan`h=|tan(b-a)|
∴ tan`h
=| |∴ tan`h
=| |=32 -1
cos 70˘sin 140˘-cos 20˘sin 50˘=cos(90˘-20˘)sin(90˘+50˘)-cos 20˘sin 50˘
=sin 20˘cos 50˘-cos 20˘sin 50˘
=sin(20˘-50˘)=sin(-30˘)
=-sin 30˘=-;2!;
114112231+(-2)¥1-2-1 tan`b-tan`a 11411111+tan`btan`a
O x
y y=x
y=-2x
h b a
1sin`h cos`h sin`h 1
cos`h
38`~`39쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 ④
1
-1
;1∞2; 1-2
;;™4∞;;핵심유형 2 3
2
-1
② 2-2
;1!3@; 2-3
;1^2%; 2-4
①2
-5
;6!; 2-6
;3$;핵심유형 3 ;3$;
3
-1
⑤ 3-2
② 3-3
4 3-4
1핵심유형 4 -;2“;
4
-1
① 4-2
-2 4-3
1 4-4
④29
04.삼각함수의 미분
2 -2
∠CAB=a, ∠EAD=b라 하면 AC”=AE”="√3¤ +2¤ ='∂13이므로sin`a= , cos`a=
sin`b= , cos`b=
∴ cos`h=cos`(a-b)
=cos`a`cos`b+sin`a`sin`b
∴ cos`h=
¥ + ¥ =;1!3@;2 -3
5sin h+12cos h=13{sin h¥;1∞3;+cos h¥;1!3@;}=13sin(h+a)
{단, sin a=;1!3@;, cos a=;1∞3;}
∴ r=13
cot a= = =;1∞2;이므로
rcot a=13¥;1∞2;=;1^2%;
2 -4
f`(x)=sin`{x+ }+2`cos`xf`(x)=sin`x`cos
+cos`x`sin +2`cos`xf`(x)=
sin`x+ cos`x+2`cos`xf`(x)=
sin`x+;2%;`cos`xf`(x)
='7{sin`x¥ +cos`x¥ }f`(x)
='7`sin(x+a) {단, sin`a= , cos`a= } 이때 -1…sin(x+a)…1이므로-'7…'7sin(x+a)…'7 따라서 f(x)의 최댓값은 '7이다.
2 -5
sin¤ h=1-cos¤ h이므로 2`sin¤ h-cos¤ h=;4!;에서2(1-cos¤ h)-cos¤ `h=;4!;
3`cos¤ h=;4&; ∴ cos¤ `h=;1¶2;
∴ cos 2h=2 cos¤ h-1=2¥;1¶2;-1=;6!;
2 -6
원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 ;2!;이므로
∠BAO=
이때 직선 AB의 기울기가` ;2!;이므로 h
2
112'7'3 112'75
115 2'7 11'3
2'7 12'32
112 12'32
1p6 1p6
1p6
;1∞3;
11
;1!3@;
cos a sin a
2 '∂13 3 '∂13 3 '∂13 2 '∂13
3 '∂13 2
'∂13
2 '∂13 3
'∂13
tan =;2!;
∴ tan`h=tan`{2¥ }=
∴ tan`h=tan`{2¥ }
= =;3$;핵심유형
3
=
¥ ¥ ¥
;3$;=1
¥
1¥
1¥
;3$;=;3$;3 -1
=t로 놓으면 x⁄¶일 때 t ⁄0이고 x= 이므로 ax`tan` = tan`t= 2a¥ =2a
따라서 2a=8이므로 a=4
3 -2
==
=
=
= ¥ ¥
=1¥1¥;2!;=;2!;
3 -3
x → 0일 때 (분모) → 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) → 0이어야 한다.즉, ln(a+3x)=0이므로 ln a=0 ∴ a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면
= ¥ ¥;2#;
=1¥1¥;2#;=;2#;
∴ b=;2#; ∴ a+2b=1+3=4
3 -4
△ABCª△ACH이므로∠ACH=∠ABC=h
△CBH에서 CH”=sinh
△ACH에서
AH”=CH” tanh=sinh tanh
A
B H
h h
1 C
2x tan 2x ln(1+3x)
lim 3x
x⁄0
ln(1+3x) tan2x limx⁄0
limx⁄0
1113331+cosx1 113tanxx
sin`x 113x limx⁄0
sin`x tan`x(1+cos`x) limx⁄0
sin¤ `x sin`x`tan`x(1+cos`x) limx⁄0
1-cos¤ `x sin`x`tan`x(1+cos`x) limx⁄0
(1-cos`x)(1+cos`x) sin`x`tan`x(1+cos`x) limx⁄0
1-cos`x sin`x`tan`x limx⁄0
tan`t lim t
t⁄0
2a lim t
t⁄0
2 lim x
xڦ
2 t 2
x
sin`4x 4x 3x sin`3x sin`(sin`4x)
sin`4x limx⁄0
sin`(sin`4x) sin`3x limx⁄0
111411 1-14
2`tan``1h2 111123h
1-tan¤ `12 h
2 h
2
∴ =
∴
= ¥ =1¥1=1핵심유형
4
f(x)=x`cos`x에서 f`{ }=0이므로= = f`'{ }
f(x)=x`cos`x에서
f`'(x)=1¥cos`x+x¥(-sin`x)=cos`x-x`sin`x
∴ f`'{ }=cos - sin
=-4 -1
f`(x)=e≈ sin`x에 대하여f`'(x)=e≈ ¥sin`x+e≈ ¥cos`x=e≈ (sin`x+cos`x)
∴ f`'(p)=ep(sin`p+cos`p)=-ep
4 -2
=
=
-= +
=f`'{ }+f`'{ }=2f`'{ }
``f(x)=cos¤ `x=cos x¥cos x에서
`f`'(x)=-sin x¥cos x+cos x¥(-sin x)
=-2 sin x cos x`=-sin 2x
`f`'{ }=-sin =-1이므로 2 f'{ }=-2
4 -3
tan`h의 값은 곡선 y=sin`x 위의 점 (0, 0)에서의 접 선의 기울기와 같다. 즉, tan`h=f`'(0)f(x)=sin`x에 대하여 f`'(x)=cos`x
∴ f`'(0)=cos`0=1 [다른 해설]
tan`h는 직선 OP의 기울기이므로 tan`h=
∴ tan`h= =1
4 -4
f(x)가 x=0에서 미분가능하려면 x=0에서 연속이어야 하 므로`(x+b)=`f(0) ∴ b=0
xlim
⁄0-sin`a lim a
a⁄0
lima⁄0
sin`a a lima⁄0
lima⁄0
p 4 p
2 p
4
p 4 p
4 p 4
p p
`f{1-h}-`f{1}4 4 11111111-h limh⁄0
p p
`f{1+h}-`f{1}4 4 11111111h limh⁄0
p p
``f{1-h}-`f{1}4 4 11111111h limh⁄0
p p
``f{1+h}-`f{1}4 4 11111111h limh⁄0
p p p p
`f{1+h}-f{1}-f{1-h}+f{1}4 4 4 4 1111111111111111h limh⁄0
p p
`f{1+h}-f{1-h}4 4 11111111145h limh⁄0
p 2 p 2 p 2 p 2 p
2
p 2 f(x)-f`{1}p2
1111114p x-12 limx⁄;2“;
111f(x)p x-12 lim
x⁄;2“;
p 2
tanh h sinh lim h
h⁄0+
sinh tanh lim h¤
h⁄0+
AH”
lim h¤
h⁄0+ 또 f`'(0)이 존재해야 하므로
f`'(x)=[
에서 a`cos`x=1
∴ a=1
`∴ a+b=1
xlim⁄0+
1 (-1<x<0) a`cos`x (0<x<1)
40`~`41쪽
● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ●
01 ⑤ 02 ③ 03 ① 04 6
05 ① 06 ⑤ 07 ② 08 ④
09 12 10 ③ 11 ④ 12 ;2#;p
13 -;2!; 14 ;2@5$; 15 -;2#;
01
-=
= =2 cot h+2
02
sin`a=;3!;이므로cos a=æ≠1-{;3!;}¤ = {∵ 0<a<;2“;}
∴ cos {;6“;+a}=cos ;6“; cos a-sin ;6“; sin a
∴ cos {;6“;+a}
= ¥ -;2!;¥;3!;∴ cos {;6“;+a}
= -;6!;=03
cos`A+cos`B= , sin`A-sin`B= 의 양변을 각각 제곱하면cos¤ `A+2`cos`A`cos`B+cos¤ `B=;2#; …… ㉠ sin¤ `A-2`sin`Asin`B+sin¤ `B=;2!; …… ㉡
㉠+㉡을 하면
2+2(cos`A`cos`B-sin`A`sin`B)=2 cos`A`cos`B-sin`A`sin`B=0
∴ cos(A+B)=0
04
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan`a+tan`b=a, tan`a`tan`b=22
'22 '62
2'6-1 '6 6
3 2'2
3 '3
2 2'2
3 2 cot h+2
csc¤ h-cot¤ h
(1+sin h)(csc h+cot h)-(1-sin h)(csc h-cot h) (csc h-cot h)(csc h+cot h)
1-sin h csc h+cot h 1+sin h
csc h-cot h
31
04.삼각함수의 미분
∴ tan(a+b)=
∴ tan(a+b)=
=-즉, - =-3이므로 a=6
05
`sin`x+'3``cos`x+2=2{;2!;``sin`x+ `cos`x}+2`sin`x+'3``cos`x+2=2`sin{x+ }+2
0…x…p에서 …x+ … p이므로
- …sin{x+ }…1
2-'3…2sin`{x+ }+2…4 따라서 M=4, m=2-'3이므로
∴ 3`AP”+4`BP”=10`sin(h+a)
{단, sin`a=;5$;, cos`a=;5#;}
이때 0<h< , 0<a< 이므로 0<h+a<p ∴ 0<sin(h+a)…1
∴ 0<10sin(h+a)…10
따라서 3AP”+4BP”의 최댓값은 10이다.
07
0<h< 에서 sin`2h>0이므로 sin`2h="√1-cos¤ `2hsin`2h
=æ≠1-{ }2 =(sin`h+cos`h)¤ =sin¤ `h+cos¤ `h+2`sin`h`cos`h
(sin`h+cos`h)¤
=1+sin`2h(cos`h+sin`h)¤
=1+;3!;=;3$;이때 sin`h와 cos`h가 모두 양수이므로 sin`h+cos`h= =
08
=∴ a+b=8+4=12 [참고] 111231 1-12
sin`x+sin1+y+sin142 2«
1111111111124x limx⁄0
채점 기준 배점
∴
=;2!;¥BC”¥CD”sinh∴
=;2!;¥ ¥ ¥sinh∴ S(h)=;2!;¥BC”¥BD”sin2h
∴ S(h)
=;2!;¥BC”¥ ¥sin2h∴ S(h)
=;2!;¥ª +tanhº¤¥sinh sin2h (∵ ㉠) 11111sin3h 1111
tan;2Ω;
BC” sinh 1111 sin3h BC” sinh
1111 sin3h 1111155sin(p-3h)BC”
1144 sin hBD”
1111 tan;2Ω;
1111121 tan{;2“;-h} 1155cosh1 11255sin3h3h 111;2Ω;
tan;2Ω;
1155sinhh (
tan¤ ;2Ω;sin3h cosh
sin2h 111111113
sin3h cosh tan;2Ω;
1111121 cosh tan;2Ω;
sin2h 111111113
sin3h cosh tan;2Ω;
BC” sin2h 1111555sin3h
11115555555sin(p-3h)BC”
1122sin2hCD”
1111121 cosh tan;2Ω;
1125coshAM”
∴ {h_S(h)}
f`'(x)=cos x¥cos`x+sin`x¥(-sin`x)
=cos¤ x-sin¤ x=cos 2x
∴ f`'`{ }=cos p=-;2!;
14
`f(x)=sin`x이므로 sin`a=;5#;, sin`b=;5$;cos a>0이므로
cos`a="√1-sin¤ a=æ≠1-{;5#;}2 =;5$; yy ❶ cos`b>0이므로
cos`b="√1-sin¤ b=æ≠1-{;5$;}2 =;5#; yy ❷
∴ cos`(a-b)=cos`a`cos`b+sin`a`sin`b
∴ cos`(a+b)
=;5$;¥;5#;+;5#;¥;5$;=;2@5$; yy ❸ 111111px-13 lim
x⁄;3“;
sin x cos x-12'34 11111111p
x-13
11111115555p x-13 1122sin3h3h sin2h
11222h
1225sinhh {;2Ω;}¤
33
⁄0-1111-2`sin`xx
x⁄0+lim
x`sin`x 11111113(1-2sin¤ x)-1
xlim⁄0+
02
⑴ y'=3(x+sinx)¤ (x+sinx)'=3(x+sinx)¤ (1+cosx)⑵ y'=4x‹¥ln4¥(x‹ )'=4x‹¥6x¤ ln2
⑶ y'= ¥ =
⑷ y'= = =cotx
03
주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln|y|=ln| |ln|y|=ln|x|+ln|x-1|-2 ln|x+1|
양변을 각각 x에 대하여 미분하면
2x(x+1)-(x¤ +2) (x+1)¤
y'=-06
⑸ y'=secx(tan x+sec x) ⑹ y'=cscx(csc x-cot x) 02 ⑴ y'=3(x+sin x)¤ (1+cos x) ⑵ y'=4x‹¥6x¤ ln2[다른 해설]
`f(x)= = 이므로
` f'(x)=
`
f'(x)=
`
f'(x)=
04
⑴ y'=(x;3!;)'=;3!;x-;3@;=⑵ y= =x-;2#;이므로
⑵
y'=-;2#;x-;2%;=-;2#;¥=-⑶ y='ƒ2x-1=(2x-1);2!;이므로
⑵
y'=;2!;(2x-1)-;2!;(2x-1)'=⑷ y'=(x“ )'=ex“ —⁄
05
⑴ =1, =3t¤ -2이므로⑴
= = =3t¤ -2⑵ =sec¤ h, =sech tanh이므로
⑴
= = = =sinh06
⑴ x¤ +2y¤ =1의 양변을 x에 대하여 미분하면⑴
(x¤ )+ (2y¤ )= (1)⑴
2x+4y =0 ∴ =- (y+0)⑵ x‹ y› =6의 양변을 x에 대하여 미분하면
⑴
x‹ y› = (6)⑴
3x¤ y› +x‹ ¥4y‹ =0 ∴ =- (x+0)⑶ =3의 양변에 xy를 곱하면 x¤ -y¤ =3xy
⑶
이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면⑶
2x-2y =3y+3x⑶
(-3x-2y) =-2x+3y⑶
∴ = 2x-3y (3x+-2y) 121133x+2y12dydx
12dydx
12dydx 12dydx
x¤ -y¤
1212xy
124x3y 12dydx 12dydx
12dxd 12dxd
122yx 12dydx 12dydx
12dxd 12dxd
12dxd
tan h 1215sec h sech tanh
121212555sec¤ h 12dydh
122dx 12dh 12dydx
12dydh 12dxdh
3t¤ -2 12121 12dydt
122dx 12dt 12dydx
12dydt 12dxdt
1 'ƒ2x-1
3 2x¤ 'ßx 1
x¤ 'ßx 1
x'ßx
1 3‹"çx¤
3x-1 (x+1)‹
(x+1){(2x¤ +x-1)-(2x¤ -2x)}
(x+1)›
(2x-1)(x+1)¤ -(x¤ -x)¥2(x+1) (x+1)›
x¤ -x (x+1)¤
x(x-1) (x+1)¤
07
⑴ x=y‹ 의 양변을 y에 대하여 미분하면 =3y¤⑵
∴ = = =⑵ y=fi'ƒx-1에서 yfi =x-1 HjK x=yfi +1이므로 양변을 y에 대하여 미분하면 =5y›
⑵
∴ = = =⑶ x="√y‹ +1의 양변을 y에 대하여 미분하면
⑵
=⑵
∴ = = = (x+—1)08
⑴g(2)=a라 하면 f(a)=2이므로⑴
a‹ +a=2, a‹ +a-2=0⑴
(a-1)(a¤ +a+2)=0 ∴ a=1 (∵ a¤ +a+2>0)⑴
따라서g(2)=1이고` f'(x)=3x¤ +1에서` f'(1)=4이므로⑴
g'(2)= =;4!;⑵g(30)=a라 하면 f(a)=30이므로
⑴
a‹ +a=30, a‹ +a-30=0⑴
(a-3)(a¤ +3a+10)=0⑴
∴ a=3 (∵ a¤ +3a+10>0)⑴
따라서g(30)=3이고 f'(x)=3x¤ +1에서 f'(3)=28⑴
이므로 g'(30)= =;2¡8;09
⑴ y'=e≈ +xe≈ =(1+x)e≈⑵
∴ y"=e≈ +(1+x)e≈ =(x+2)e≈⑵ y'=cos3x¥(3x)'=3cos3x
⑵
∴ y"=-3sin3x¥(3x)'=-9sin3x⑶ y'= = =x(x¤ -1)-;2!;
⑵
∴ y"=(x¤ -1)-;2!;-;2!;x(x¤ -1)-;2#;¥(x¤ -1)'⑵ ∴ y"=
-∴ y"=-
1 (x¤ -1)"√x¤ -1x¤
(x¤ -1)"√x¤ -1 1
"√x¤ -1`
x
"√x¤ -1`
2x 2"√x¤ -1
1 f'(3) 1
f'(1)
2x 3 ‹"√(x¤ -1)¤
2"√y‹ +1 3y¤
1112dxdy1 dy dx
3y¤
2"√y‹ +1 dx
dy
1 5 fi"√(x-1)›
1 5y›
11dx1 12dy dy dx
dx dy 1 3 ‹"çx¤
1 3y¤
11dx1 12dy dy dx
dx dy
35
05.여러 가지 미분법
∴ f'{- }= =
∴ f'{- }
= =;2™5;핵심유형
2
f'(x)=-csc x cot x¥cot x+csc x¥(-csc¤ x)f'(x)=-csc x(cot¤ x+csc¤ x)
∴ f'{ }=-2¥(3+4)=-14
2 -1
=f'f(x)= 에서
f'(x)=
f'(x)=
f'(x)=
f'(x)=
=∴ f'{ }= = =;3@;
핵심유형
3
g(x)={xf(x)}› 에서g'(x)=4{xf(x)}‹ ¥{xf(x)}'
=4{xf(x)}‹ ¥{f(x)+xf'(x)}
이때 f(1)=1, f'(1)=3이므로 g'(1)=4{f(1)}‹ ¥{f(1)+f'(1)}
=4¥1‹ ¥(1+3)=16
3 -1
f(x)=(e¤ ≈ +10x)‹ 에서f'(x)=3(e¤ ≈ +10x)¤ (e¤ ≈ +10x)'
=3(e¤ ≈ +10x)¤ (2e¤ ≈ +10)
∴ f'(0)=3¥1¤ ¥12=36
3 -2
f(x)=xlog™|x¤ -1|에서f'(x)=log™|x¤ -1|+x¥ ¥
f'(x)=log™|x¤ -1|+
∴ f'('3)=log™2+ =1+
3 -3
(sin› x cos 4x)=4 sin‹ x cos x¥cos 4x+sin› x¥(-4 sin 4x) d
dx
3 ln2 6
2ln2 2x¤
(x¤ -1)ln2 2x x¤ -1 1
ln2 2 2+1 sec1p3
1111555p sec1+13 p
3
sec x sec x+1 sec x(1+sec x)
(sec x+1)¤
sec x(1+tan¤ x+sec x-tan¤ x) (sec¤ x+1)¤
sec x(sec¤ x+sec x-tan¤ x) (sec x+1)¤
sec¤ x(sec x+1)-tan x¥sec x tan x (sec x+1)¤
tan x sec x+1
p {1}3
p p
f {1+h}- f {1}3 3 111111112h lim
h⁄0
p 6
123;2!;
;;™4∞;;
-1-3¥{-;2!;}
1141111 {-;2!;+3}¤ -1-3sin{-1}p6
111111231p [sin{-1}+3]¤
6 p
6
핵심유형
1
f(x)=- 에서f'(x)= =
∴ f'(1)= =2
1 -1
f(x)= 에서f'(x)=-f(1)= =2에서 a+b=3 …… ㉠
f'(0)=- =-12에서 a=2b¤ …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
2b¤ +b-3=0, (2b+3)(b-1)=0
∴ b=1 (∵ b>0) b=1을 ㉡에 대입하면 a=2
∴ a-b=2-1=1
1 -2
f(x)= 에서 f'(x)=f'(x)=
f'(x)=
-1-3sinx (sinx+3)¤-sinx(sinx+3)-cos¤ x (sinx+3)¤
(cosx)'(sinx+3)-cosx(sinx+3)' (sinx+3)¤
cosx sinx+3
6a b¤
6 a+b
6a (ax+b)¤
6 ax+b
18 3¤
18x¤
(2x‹ +1)¤
3(2x‹ +1)' (2x‹ +1)¤
3 2x‹ +1
45`~`47쪽
● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ●
핵심유형 1 2
1
-1
1 1-2
;2™5;핵심유형 2 -14 2
-1
;3@;핵심유형 3 ④
3
-1
36 3-2
④ 3-3 5
3-4 12
핵심유형 4
4
4-1
④핵심유형 5 ;;¡3§;;
5
-1
2 5-2
1-'3핵심유형 6 ;3%;
6
-1
2 6-2
⑤핵심유형 7 ;3@;
7
-1
-1핵심유형 8 50
8
-1
② 8-2
③ 8-3
2핵심유형 9 ③
9
-1 4
9-2
① 9-3
41양변을 x에 대하여 미분하면
=lnx+x¥ =lnx+1
∴ f'(x)=f(x)(1+lnx)=x≈ (1+lnx)
∴ f'(2)=2¤ (1+ln2)=4(1+ln2)
핵심유형
5
f(x)= =x(x+9)-;2!;`에서ln| f(x)|=-;2!; ln|tan x+1|
양변을 x에 대하여 미분하면 2(tan x+1)
sec¤ x
1111115p 2{tan 1+1}3 p
3
sec¤ x 2(tan x+1) f'(x)
f(x)
sec¤ x 2(tan x+1)'ƒtan x+1
f'(x) f(x) 11113¥2¤
2"√2‹ +1
11113x¤
2"√x‹ +1
한편 f(f(1))=f(0)=1이므로
=
ln f(x)=lnx≈ =xlnx (x-2)(7x-2)
(x+1)›
(x-2){(3x-2)(x+1)-3x(x-2)}
(x+1)›
(x-2)(3x-2)(x+1)‹ -3x(x-2)¤ (x+1)¤
(x+1)fl
{1¥(x-2)¤+x¥2(x-2)}(x+1)‹-x(x-2)¤ ¥3(x+1)¤
{(x+1)‹ }¤
37
05.여러 가지 미분법
핵심유형
6
= , = 이므로= = (t+0)
t=ln 2일 때 = =;3%;
6 -1
=2t-a, =3이므로= = {t+;2A;}
t=-1에서의 접선의 기울기가 -;4#;이므로
= =-;4#;
∴ a=2
6 -2
= ¥3
=3f'(-1)
이때 x=-8 cos3t, y=8 sin3t에서
=24 sin t cos2t, =24 sin2t cos t
이므로 = = =tan t
x=-8 cos3t=-1에서
cos t=;2!; ∴ t=;3“; {∵ 0<t< } 따라서 t=;3“;일 때 =tan ;3“;='3이므로
f'(-1)='3
∴ 3f '(-1)=3'3
핵심유형
7
2x¤ -4xy+y¤ -1=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 4x-4y-4x +2y =0(2y-4x) =4y-4x
∴ = (2x+y)
따라서 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는
=4-2=;3@;
1214-1 12dydx
2x-2y 12112x-y 12dydx
12dydx
12dydx 12dydx
12dxdy
1p2 sin t
112cos t 12dydt
12dxdt 12dxdy
12dydt 12dxdt
f(-1+3h)-f(-1) 111231111213h limh⁄ 0
f(3h-1)-f(-1) 1112311112h limh⁄ 0
1112-2-a3 12dydx
1112t-a3 12dydt
122dx 12dt 12dydx
12dydt 12dxdt
2+;2!;
1112-;2!;
12dxdy e† +e—†
1113e† -e—†
12dydt 122dx
12dt 12dydx
e† +e—†
11132 12dydt
e† -e—†
11132
12dxdt
7 -1
x-cos y+xy=0의 양변을 x에 대하여 미분하면1+sin y +y+x =0
(sin y+x) =-y-1
∴ =- (sin y+x+0)
따라서 x=1, y=0일 때의 의 값은
=- =-1
핵심유형
8
g(1)=a라 하면 f(a)=1에서 f(a)=a‹ +2a+1=1, a‹ +2a=0 a(a¤ +2)=0 ∴ a=0 (∵`a¤ +2>0) 따라서g(1)=0이고, f'(x)=3x¤ +2이므로g'(1)= = =;2!;
∴ 100g'(1)=100¥;2!;=50
8 -1
x= 의 양변을 y에 대하여 미분하면= =
∴ =
=-따라서 y=0일 때의 접선의 기울기는
- =-1
8 -2
g(2)=a라 하면 f(a)=2에서f(a)=2sina+1=2 ∴ sina=;2!;
∴ a= {∵ 0…a… }
따라서 g(2)= 이고, f'(x)=2cosx이므로
g'(2)= =
g'(2)
= = =8 -3
=3에서 x⁄ 2일 때, (분모) ⁄ 0이고 극 한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다.즉, {g(x)-1}=0이므로 g(2)=1
∴ = =g'(2)=3
이때 f(x)의 역함수가g(x)이면 g(x)의 역함수는 f(x) g(x)-g(2)
lim x-2
x⁄2
g(x)-1 lim x-2
x⁄2
lim
x⁄2
g(x)-1 lim x-2
x⁄2
'3 3 1 '3 11131 p 2cos16
11131p f'{1}6 1
f'(g(2)) p 6
p 2 p
6 (-1)¤
1
(y¤ -1)¤
y¤ +1 1112dxdy1
dy dx
-y¤ -1 (y¤ -1)¤
(y¤ -1)-2y¤
(y¤ -1)¤
dx dy y y¤ -1
1 f'(0) 1
f'(g(1)) 11122sin 0+11 12dxdy
12dydx 11122sin y+xy+1 12dydx
12dydx
12dydx 12dydx
이므로 f(1)=2, f'(1)= = =;3!;
∴ f(1)f'(1)g(2)g'(2)=2¥;3!;¥1¥3=2
핵심유형
9
f(x)=e≈ sinx에서f'(x)=e≈ sinx+e≈ cosx=e≈ (sinx+cosx) f"(x)=e≈ (sinx+cosx)+e≈ (cosx-sinx)
=2e≈ cosx
∴ f'(0)+f"(0)=1+2=3
9 -1
f(x)=-ln|cosx|에서f'(x)= =tanx, f"(x)=sec¤ x
∴ =f"{ }
=sec¤ =4
9 -2
f(x)=(2x+a)bx에서f'(x)=2ebx+(2x+a)¥bebx
=ebx(2bx+ab+2) 이므로
f"(x)=bebx(2bx+ab+2)+ebx¥2b
=bebx(2bx+ab+4) 이때 f'(0)=5, f"(0)=-14이므로
f'(0)=ab+2=5 ∴ ab=3 …… ㉠ f"(0)=b(ab+4)=-14 …… ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
7b=-14 ∴ b=-2 b=-2를 ㉠에 대입하면
-2a=3 ∴ a=-;2#;
∴ a-b=-;2#;-(-2)=;2!;
9 -3
y=e¤ ≈ cosx에서y'=2e¤ ≈ cosx-e¤ ≈ sinx=e¤ ≈ (2cosx-sinx) y"=2e¤ ≈ (2cosx-sinx)+e¤ ≈ (-2sinx-cosx)
y"=e¤ ≈ (3cosx-4sinx)
이때 y"+ay'+by=0이므로 y"+ay'+by
=e¤ ≈ (3cosx-4sinx)+ae¤ ≈ (2cosx-sinx)
=+be¤ ≈ cosx
=e¤ ≈ (3+2a+b)cosx+e¤ ≈ (-4-a)sinx=0 주어진 등식이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하고, e¤ ≈ >0 이므로
3+2a+b=0, -4-a=0
∴ a=-4, b=-2a-3=5
∴ a¤ +b¤ =16+25=41
p 3 p 3
p p
f'{1+h}-f'{1}3 3 111111112h lim
h⁄0
sinx cosx
1 g'(2) 1
g'(f(1)) 48`~`49쪽
● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ●
01 ② 02 ⑤ 03 55 04 2
05 ① 06 9 07 10 08 ①
09 7 10 4 11 ① 12 130
13 ㄱ, ㄴ 14 ;1¡0; 15 6 16 ;2#;
01
g(x)= 에서g'(x)=- =
이때g'(0)= =3이므로 f(0)=12
02
f(x)= 에서f'(x)=
f'(x)=
이때 f'(k)>0이려면 f'(k)의 분모 (k¤ -2k+2)¤ >0이므로 분자 -k¤ +6k-4>0이어야 한다. 즉,
k¤ -6k+4<0 ∴ 3-'5<k<3+'5
따라서 f'(k)>0을 만족시키는 정수 k는 1, 2, 3, 4, 5의 5개 이다.
03
자연수 n에 대하여 (x—« )'nx—« —⁄=-f(x)=1+ + + +y+ 에서 f(1)=10
f'(x)=- - - -y- 에서
f'(1)=-(1+2+3+y+9)
f'(1)=-
=-45∴ f(1)-f'(1)=10-(-45)=55
04
f(x)=ln(esinx+esin2x+esin3x)이라 하면 f(0)=ln 3이므로;[!;ln
=
= =f'(0)
f'(x)= 이므로
f'(0)=;3^;=2
[다른 해설]
f(x)=lnx, g(x)=esinx+esin2x+esin3x이라 하면 g(0)=3이고, f'(x)= , 1
x
esinxcosx+2esin2xcos2x+3esin3xcos3x esinx+esin2x+esin3x
f(x)-f(0) lim x-0
x⁄0
ln(esinx+esin2x+esin3x)-ln3 lim x
x⁄0
esinx+esin2x+esin3x lim 3
x⁄0
9¥(9+1) 2
9 x⁄ ‚ 3
x›
2 x‹
1 x¤
1 x·
1 x‹
1 x¤
1 x
n x« ±⁄
-x¤ +6x-4 (x¤ -2x+2)¤
(x¤ -2x+2)-(x-3)(2x-2) (x¤ -2x+2)¤
x-3 x¤ -2x+2
f(0) 4
f(x)+xf'(x) {2-xf(x)}¤
{2-xf(x)}' {2-xf(x)}¤
1 2-xf(x)
39
05.여러 가지 미분법
08
x>1에 대하여 f(x)=(lnx)≈ >0이므로 양변에 자연로그를 취하면lnf(x)=ln(lnx)≈ =xln(lnx) 양변을 x에 대하여 미분하면
=ln(lnx)+x¥ =ln(lnx)+
∴ f'(x)=f(x)[ln(lnx)+ ]
∴ f'(x)=(lnx)≈ [ln(lnx)+
]∴ f'(e)=(lne)“ [ln(lne)+ ]=1
09
x=t2에서 =2ty=2t3-at-6a2에서 =6t2-a
∴ = = (t+0)
t=2일 때 =3이므로
=3, 24-a=12 ∴ a=12
따라서 t=3일 때 = =7
10
ax3+xy+y3-b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 3ax2+y+x +3y2 =0(x+3y2) =-3ax2-y
∴ =- (x+3y2+0)
점 (1, 1)에서의 접선의 기울기가` -1이므로 - =-1, 3a+1=4 ∴ a=1 또 점 (1, 1)이 곡선 x3+xy+y3-b=0 위의 점이므로
1+1+1-b=0 ∴ b=3
∴ a+b=1+3=4
11
f(x)=(x-1)ex에서f '(x)=ex+(x-1)ex=xex
g(x)는 f(x)의 역함수이므로 곡선 y=g(x) 위의 점 (e¤ , 2) 에서의 접선의 기울기는
g'(e¤ )= =
12
=h라 하면 n⁄ ¶일 때, h ⁄ 0이므로 n[g{1+ }-g{1- }]1n 2
lim n
nڦ
1 n
1 2e¤
1 f'(2) 1113a+14
3ax¤ +y 1111x+3y¤
12dxdy 12dydx
12dydx 12dydx
54-12 1212556 12dxdy
121224-a4 12dxdy
6t¤ -a 12122t 12dydt
122dx 12dt 12dxdy
12dydt 12dxdt
1 lne
1 lnx 1 lnx
1 lnx (lnx)'
lnx f'(x)
f(x) g'(x)=esinxcosx+2esin2xcos2x+3esin3x cos3x이므로
f'(3)= ,g'(0)=1+2+3=6
∴ ln
∴
=∴
=∴
=∴
=f'(g(0))g'(0)∴
=f'(3)g'(0)=;3!;¥6=205
f(2x-1)=4sin { x}의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(2x-1)¥2=4¥ ¥cos { x}∴ f'(2x-1)=pcos { x}
2x-1=3에서 x=2이므로 위의 식의 양변에 x=2를 대입하면 f'(3)=pcosp=-p
또한 2x-1=1에서 x=1이므로 f(2x-1)=4sin { x}의 양 변에 x=1을 대입하면
f(1)=4sin =4
∴ f(1)f'(3)=4¥(-p)=-4p
06
f(x)가 x=0에서 미분가능하려면 x=0에서 연속이어야 하므로 f(0)= (ae2x+b)0+sin0=a+b ∴ a+b=0 yy ㉠ 또한 f'(0)이 존재해야 하므로
f'(x)=[
에서 {1+cos(sinx)¥cosx}= 2ae2x 1+cos0=2a ∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면 b=-1
∴ 10a+b=10¥1+(-1)=9
07
f(x)=(x+1);2#;에서 f(0)=1 f'(x)=;2#;(x+1);2!이므로 f'(0)=;2#;이때 h(x)=(g Á f)(x)=g (f(x))에서 h'(x)=g'(f(x))f'(x)이므로
h'(0)=g'(f(0))f'(0)=g'(1)¥;2#;=15
∴g'(1)=15¥;3@;=10
lim
x
⁄0-lim
x⁄0+
1+cos(sinx)¥cosx (x>0) 2ae¤ ≈ (x<0) lim
x
⁄0-p 2
p 2 p
2 p 2 p 2 p 2
f(g(x))-f(g(0)) lim x-0
x⁄0
lng(x)-lng(0) lim x
x⁄0
lng(x)-ln3 lim x
x⁄0
esinx+esin2x+esin3x 3 1
lim x
x⁄0
1 3
=
=
= [ - ]
= [ ¥2+ ]
=2g'(1)+g'(1)
=3g'(1)
이때 f(a)=1에서 a‹ +a-9=1 a‹ +a-10=0, (a-2)(a¤ +2a+5)=0
∴ a=2 (∵ a¤ +2a+5>0) 즉, f(2)=1이므로 g(1)=2 f'(x)=3x¤ +1에서 f'(2)=13이므로
g'(1)= =;1¡3;
∴ = = =130
13
ㄱ. f(x)=ln(x+"√x¤ +1)에서ㄱ.
f'(x)= =ㄱ. f'(x)=
=ㄱ.
∴ f'(0)=1 (참)ㄴ. ㄱ에서 f'(x)=(x¤ +1)-;2!;이므로
ㄱ.
f"(x)=-;2!;(x¤ +1)-;2#;¥(x¤ +1)'ㄱ.
f"(x)=-ㄱ.
∴ (x¤ +1)f"(x)+xf'(x)ㄱ. ∴
=(x¤ +1)¥[- ]+ㄱ. ∴
=- + =0 (참)ㄷ. f'(x)+f"(x)=
-ㄷ. f'(x)+f"(x)=
ㄷ.
∴ {f'(x)+f"(x)}ㄷ. ∴
=ㄷ. ∴
= =0 (거짓)따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
1 1 1
1-13+13x x¤ x‹
1 1
{1+13}Æ…1+13x¤ x¤
lim
xڦ
x¤ -x+1 (x¤ +1)"√x¤ +1 lim
xڦ
lim
xڦ
x¤ -x+1 (x¤ +1)"√x¤ +1
x (x¤ +1)"√x¤ +1 1
"√x¤ +1 x
"√x¤ +1 x
"√x¤ +1
x
"√x¤ +1 x
(x¤ +1)"√x¤ +1 x
(x¤ +1)"√x¤ +1 1
"√x¤ +1
"√x¤ +1+x 11111
"√x¤ +1 x+"√x¤ +1
1+11112x 2"√x¤ +1 x+"√x¤ +1 (x+"√x¤ +1)'
x+"√x¤ +1 30
;1£3;
30 3g'(1) 30
L 1 f'(2)
g(1-h)-g(1) -h g(1+2h)-g(1)
lim 2h
h⁄0
g(1-h)-g(1) h g(1+2h)-g(1)
lim h
h⁄0
g(1+2h)-g(1)+g(1)-g(1-h) lim h
h⁄0
g(1+2h)-g(1-h) lim h
h⁄0
14
함수 y=2f'(x)의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 x=2f'(y)이 그래프가` y=x‹ +2x의 그래프와 일치하므로 2f'(x‹ +2x)=x
이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
2f"(x‹ +2x)¥(3x¤ +2)=1 …… ㉠ x‹ +2x=3에서 x‹ +2x-3=0
(x-1)(x¤ +x+3)=0
∴ x=1 (∵ x¤ +x+3>0) 따라서 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면
2f"(3)¥5=1 ∴ f"(3)=;1¡0;
[다른 해설]
g(x)=x‹ +2x로 놓으면 g'(x)=3x¤ +2
2f'(x)는g(x)의 역함수이므로 곡선 y=2f'(x) 위의 점 (x, y) 에 대하여
2f"(x)=
한편g(a)=3에서 a‹ +2a=3
a‹ +2a-3=0, (a-1)(a¤ +a+3)=0
∴ a=1 (∵ a¤ +a+3>0)
따라서g(1)=3에서 2f'(3)=1이고 g'(1)=3¥1+2=5이므로 2f"(3)= =;5!;
∴ f"(3)=;1¡0;
15
=2에서 x `⁄`1일 때 (분모)`⁄`0이고 극한값이 존재하므로 (분자) `⁄`0이다.즉, {f(x)+2}=0이므로 f(1)=-2
∴ =
=f'(1)=2 yy ❶
=3에서 x `⁄`-1일 때 (분모)`⁄`0이고 극한값 이 존재하므로 (분자) `⁄`0이다.
즉, {g(x)-1}=0이므로 g(-1)=1
∴ =
∴
=g'(-1)=3 yy ❷이때 y=(fΩg)(x)=f(g(x))에서 y'=f'(g(x))g'(x)이므 로 x=-1에서의 미분계수는
f'(g(-1))g'(-1)=f'(1)g'(-1)=2¥3=6 yy ❸ g(x)-g(-1)
x-(-1) lim
x⁄-1
g(x)-1 lim x+1
x⁄-1
lim
x⁄-1
g(x)-1 lim x+1
x⁄-1
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
f(x)+2 lim x-1
x⁄1
lim
x⁄1
f(x)+2 lim x-1
x⁄1
1 g'(1)
1 g'(y)
채점 기준 배점
❶ f(1), f'(1)의 값 구하기