적분법

x+2 2

x(x+2) 2

x¤ +2x

1 x+1 x‹ -2x

x+1

1 x+1 (x¤ -x-1)(x+1)+1

x+1 x‹ -2x

x+1 1 x ln x

dt dx 2x

x¤ +4

dt dx dt dx

10^3x+1 3 ln 10 10^t

3 ln 10 dt dx 1-sin¤ x

1-sin x cos¤ x

1-sin x

68`~`69쪽

01

⑴: dx=: dx

⑴ : dx=

: {4- +;[!;}dx

⑴ : dx=

: {4-4x^-;2!;+;[!;}dx

⑴ : dx=4x-4¥2x

^;2!;+ln|x|+C

⑴ : dx

=4x-8'x+ln|x|+C

⑵: (›'x+2)(›'x-2)dx=: ('x-4)dx=: (x^;2!;-4)dx

⑵ : (›'x+2)(›'x-2)dx=;3@;x

^;2#;-4x+C

⑵ : (›'x+2)(›'x-2)dx=;3@;x'x-4x+C

⑶: '3x^2'3-1dx='3¥ x^2'3-1+1+C=;2!;x^2'3+C

02

⑴: e^x+4dx=: e^x¥e⁴dx=e⁴: e^xdx=e⁴¥e^x+C=e^x+4+C

⑵: 5^x+1dx=: 5^x¥5dx=5: 5^xdx

⑶ : 5

^x+1

dx=5¥

+C= +C

⑶: (2^x+1)²dx=: (4^x+2¥2^x+1)dx

⑶ : (2

^x

+1)

²

dx=

: 4^xdx+2: 2^xdx+: dx

⑶ : (2

^x

+1)

²

dx=

+2^x+1+x+C ln 2 4^x ln 4

5^x+1 ln 5 5^x

ln 5 1 2'3-1+1

4 'x 4x-4'x+1 (2'x-1)¤ x

x

● ● ●개념확인^{● ● ●}

01 ⑴ 4x-8'x+ln |x|+C ⑵ ;3@;x'x-4x+C

⑶ ;2!;x^2'3

+C

02 ⑴ e^x+4

+C ⑵ +C ⑶ + +x+C

03 ⑴ -3 cos x+5 sin x+C ⑵ x-cos x+C

⑶ tan x-2x+C

04 ⑴`

+C ⑵` ;8!;(x¤ +1)› +C ⑶` ln(x¤ +4)+C

⑷ ln|ln x|+C

05 ⑴ ;3!;x‹ -;2!;x¤ -x+ln|x+1|+C ⑵ ln| |+C

⑶ ln

+C

06 ⑴ -x cos x+sin x+C ⑵ x ln x-x+C

⑶ e≈ (x-1)+C

(x-1)¤

1333123 |x|

121 x+2 x 10

^3x+1

11333 3 ln 10

2

^x+1

131 ln 2 4

^x

131 ln 4 5

^x+1

131 ln 5

적분법

08. 여러 가지 적분법

Ⅲ

67

08.여러 가지 적분법

⑶ = =;[A;+ 로 놓으면

⑶

;[A;+ = 이므로

⑶

x+1=a(x-1)+bx

⑶

위의 등식은 x에 대한 항등식이므로

⑶

a+b=1, -a=1 ∴ a=-1, b=2

⑶

∴: dx=: {- + }dx

⑶ ∴ : dx=-ln|x|+2 ln|x-1|+C

⑶ ∴ : dx=ln

+C

06

⑴ f(x)=x, g'(x)=sin x로 놓으면

⑴

f '(x)=1, g(x)=-cos x이므로

⑴

: x sin x dx=x¥(-cos x)-: (-cos x)dx

⑴ : x sin x dx

=-x cos x+sin x+C

⑵ f(x)=ln x, g'(x)=1로 놓으면

⑴

f '(x)=;[!;, g(x)=x이므로

⑴

: ln x dx=ln x¥x-: ;[!;¥x dx

⑴ : ln x dx

=x ln x-: dx

⑴ : ln x dx

=x ln x-x+C

⑶ f(x)=x, g'(x)=e^x으로 놓으면

⑴

f '(x)=1, g(x)=e^x이므로

⑴

: xe^xdx=xe^x-: e^xdx

⑴ : xe

^x

dx=xe

^x-e^x+C

⑴ : xe

^x

dx=e

^x(x-1)+C

⑴

[참고]

⑴

f(x)=ax¤ +bx+c일 때

⑴

: f(x)e≈ dx=f(x)e≈ -: f '(x)e≈ dx

⑴ : f(x)e≈ dx=f(x)e≈ -[ f '(x)e≈ -: f "(x)e≈ dx]

⑴ : f(x)e≈ dx=f(x)e≈ -[ f '(x)e≈ -: 2ae≈ dx]

(∵ f "(x)=2a)

⑴ : f(x)e≈ dx

=f(x)e≈ -f '(x)e≈ +2ae≈ +C

⑴ : f(x)e≈ dx

=e≈ {f(x)-f '(x)+f "(x)}+C (x-1)¤

|x|

2 x-1 1 x x+1

x¤ -x

a(x-1)+bx x(x-1) b

x-1

b x-1 x+1

x(x-1) x+1

x¤ -x

핵심유형

1

f '(x)=-;[!;이므로

f(x)=: {-;[!;}dx=-ln|x|+C 이때 곡선 y=f(x)가 점 (e, 0)을 지나므로

f(e)=-ln e+C=-1+C=0 ∴ C=1 따라서 f(x)=-ln|x|+1이므로

f(e‹ )=-ln e‹ +1=-3+1=-2

1 -1

f '(x)= 이므로

f(x)=: dx

f(x)=

: dx

f(x)=

: {1+ +;[$;}dx

f(x)=

: {1+4x^-;2!;+;[$;}dx

f(x)=x+4¥2x

^;2!;+4 ln|x|+C

f(x)

=x+8'x+4 ln|x|+C

f(1)=9이므로 1+8+C=9 ∴ C=0 따라서 f(x)=x+8'x+4 ln|x|이므로

f(4)=4+16+4 ln 4

f(4)=20+8 ln 2

1 -2

F(x)=: dx

F(x)=

: dx

F(x)=

: ('x+1)dx=: (x^;2!;+1)dx ('x+1)('x-1)

111111124 'x-1 1114x-1

'x-1 4 'x x+4'x+4

x ('x+2)¤

x ('x+2)¤

x

70`~`71쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

핵심유형 1 ④

1

-1 20+8 ln 2

1

-2 F(x)=;3@;x'x+x-;3!;

1

-3 4

핵심유형 2

1+

2

-1 f(x)=3e≈ -1

2

-2

⑤ 2

-3

④

핵심유형 3 ;3@;

3

-1

;3!; 3

-2 f(x)=;2!; ln|x¤ -2x-1|+1

3

-3

;2!; ln(e+1) 3

-4 e›

핵심유형 4

-ln 4

4

-1

ln|(x+2)(x-3)¤ |+C

핵심유형 5 ②

5

-1 e

5

-1

;2!;e^x(cos x+sin x)+C 1333ln 2

1

F(x)

=;3@;x^;2#;+x+C

F(x)

=;3@;x'x+x+C F(1)=;3$;이므로

;3@;+1+C=;3$; ∴ C=-;3!;

∴ F(x)=;3@;x'x+x-;3!;

1 -3

=-1에서 x⁄ 1일 때, (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이다.

즉, f(x)=0이므로 f(1)=0

= =f'(1)=-1이므로

1+a=-1 ∴ a=-2

∴ f(x)=: {;[!;-2}dx=ln|x|-2x+C f(1)=0이므로

ln |1|-2+C=0 ∴ C=2 따라서 f(x)=ln|x|-2x+2이므로 f(-1)=ln|-1|+2+2=4

핵심유형

2

^f(x)=: dx=: dx

f(x)=

: (2¤ ≈ -2≈ +1)dx=: (4≈ -2≈ +1)dx

f(x)=

- +x+C

f(0)= 이므로

- +C= ∴ C=

따라서 f(x)= - +x+ 이므로

f(1)= - +1+

f(1)=

- +1+

f(1)=1+

2 -1

f'(x)=ke≈ (단, k는 상수)이므로 f(x)=: ke≈ dx=ke≈ +C

주어진 곡선 위의 점 (0, 2)에서의 접선의 방정식은 y=3x+2이므로 f'(0)=3

ke⁰=3 ∴ k=3

곡선 f(x)=3e≈ +C가 점 (0, 2)를 지나므로 f(0)=3+C=2 ∴ C=-1

∴ f(x)=3e≈ -1 1 ln 2

1 ln 2 2

ln 2 4

2 ln 2

1 ln 2 2

ln 2 4 ln 4

1 ln 2 2≈

ln 2 4≈

ln 4

1 ln 2 1

ln 4 1

ln 2 1 ln 4

1 ln 4

2≈

ln 2 4≈

ln 4

(2≈ +1)(2¤ ≈ -2≈ +1) 2≈ +1 2‹ ≈ +1

2≈ +1

f(x)-f(1) lim x-1

x⁄1

f(x) lim x-1

x⁄1

lim

x⁄1

f(x) lim x-1

x⁄1

2 -2

f'(x)= 이므로

f(x)=

f(-p)=0이므로 0=sin(-p)+C¡

∴C¡=0

한편 f(x)는 x=0에서 연속이므로

f(0)= sin x= (-cos x+C™) 0=-1+C™ ∴ C™=1

따라서 f(x)= 이므로

f(p)=1+1=2

2 -3

f(x)=: (tan x+cot x)¤ dx

f(x)=

: (tan¤ x+cot¤ x+2)dx

f(x)=

: (sec¤ x-1+csc¤ x-1+2)dx

f(x)=

: (sec¤ x+csc¤ x)dx

f(x)=tan x-cot x+C

f{;4“;}=0이므로

1-1+C=0 ∴ C=0

따라서 f(x)=tan x-cot x이므로

f{;3“;}='3- =

[다른 해설]

f(x)=: (tan x+cot x)¤ dx=: { + }¤ dx

f(x)=

: { }¤ dx=: { }¤ dx

f(x)=

: dx=: dx

f(x)=

: 4csc¤ 2x dx=4¥{-;2!; cot 2x}+C

f(x)=-2 cot 2x+C

f{;4“;}=0이므로 0+C=0 ∴ C=0 따라서 f(x)=-2 cot 2x이므로

f{;3“;}=-2 cot

=-f{;3“;}

=- =

핵심유형

3

f(x)=sin‹ x dx=: sin¤ x sin x dx

f(x)=

: (1-cos¤ x)sin x dx

2'33 2 -'3

2 tan ;;™3…;;

2p 3

4 sin¤ 2x 1

{;2!;sin 2x}¤

1 sin x cos x sin¤ x+cos¤ x

sin x cos x

cos x sin x sin x

cos x 2'33

1 '3

sin x (x<0) -cos x+1 (xæ0) [

lim

x⁄0+

lim

x

⁄0-sin x+C¡ (x<0) -cos x+C™ (xæ0) [

cos x (x<0) sin x (x>0) [

69

08.여러 가지 적분법

이때 cos x=t로 치환하면 =-sin x이므로 : (1-cos¤ x)sin x dx

=-: (1-t¤ )dt=-t+;3!;t‹ +C

=-cos x+;3!; cos‹ x+C f {;2“;}=0이므로 C=0

따라서 f(x)=-cos x+;3!; cos‹ x이므로 f(p)=1-;3!;=;3@;

3 -1

x¤ +2=t로 치환하면 =2x이므로 : x"√x¤ +2 dx=:'t¥;2!; dt

: x"√x¤ +2 dx=;2!;: t

^;2!;dt

: x"√x¤ +2 dx=;2!;¥;3@; t

^;2#;+C

: x"√x¤ +2 dx=;3!;t't+C

: x"√x¤ +2 dx=;3!;(x¤ +2)"√x¤ +2+C

∴ a=;3!;

3 -2

x¤ -2x-1=t로 치환하면 =2(x-1)이므로 f(x)=: dx=: ;t!;¥;2!;dt

f(x)

=;2!; ln|t|+C

f(x)

=;2!; ln|x¤ -2x-1|+C f(0)=1이므로 C=1

∴ f(x)=;2!; ln|x¤ -2x-1|+1

3 -3

f'(x)= = 이므로

f(x)=: f '(x)dx=: dx 이때 e¤ ≈ +1=t로 치환하면 =2e¤ ≈ 이므로

f(x)=: dx

f(x)=

: ;t!;¥;2!;dt=;2!; ln|t|+C

f(x)

=;2!; ln|e¤ ≈ +1|+C

f(x)

=;2!; ln(e¤ ≈ +1)+C (∵ e¤ ≈ +1>0) 함수 f(x)의 그래프가 점 {0, ;2!; ln 2}를 지나므로

e¤ ≈ e¤ ≈ +1

dt dx e¤ ≈ e¤ ≈ +1 e¤ ≈

e¤ ≈ +1 e≈

e≈ +e—≈

x-1 x¤ -2x-1

dt dx dt dx

dt

dx f(0)=;2!; ln 2+C=;2!; ln 2 ∴ C=0

따라서 f(x)=;2!;ln(e¤ ≈ +1)이므로 f{;2!;}=;2!;ln(e+1)

[다른 해설]

f '(x)= 이므로

f(x)=: f'(x)dx=: dx 이때 e≈ =t로 치환하면 =e≈ 이므로

f(x)=: dx=: dt=: dt

f(x)

=;2!;: dt=;2!; ln|t¤ +1|+C

f(x)

=;2!; ln|e¤ ≈ +1|+C

f(x)

=;2!; ln(e¤ ≈ +1)+C (∵ e¤ ≈ +1>0)

3 -4

f(x)>0이므로 f'(x)=2x f(x)에서

=2x

: dx=: 2x dx ln f(x)=x¤ +C (∵ f(x)>0) 한편 f'(x)=2xf(x), f'(1)=2e이므로

2f(1)=2e ∴ f(1)=e 즉, ln f(1)=1+C이므로

1=1+C ∴ C=0

따라서 ln f(x)=x¤ 에서 f(x)=e^x¤이므로 f(2)=e›

핵심유형

4

^{= = - 이므로}

f(x)=: dx=: { - }dx

f(x)=ln|x-3|-ln|x+3|+C

f(x)

=ln| |+C f(0)=0이므로 C=0 따라서 f(x)=ln| |이므로

f(5)=ln ;4!;=-ln 4

4 -1

= = +

로 놓으면

=(a+b)x-3a+2b x¤ -x-6 3x+1

x¤ -x-6

b x-3 a

x+2 3x+1

(x+2)(x-3) 3x+1

x¤ -x-6

x-3 x+3 x-3 x+3

1 x+3 1

x-3 6

x¤ -9

1 x+3 1

x-3 6

(x-3)(x+3) 6

x¤ -9 f'(x)

f(x) f'(x)

f(x)

2t t¤ +1

t t¤ +1 1

t+;t!;

e≈

e≈ +e—≈

dt dx

e≈

e≈ +e—≈

e≈

e≈ +e—≈

이므로

a+b=3, -3a+2b=1

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2

∴: dx

∴

=: { + }dx

∴

=ln|x+2|+2 ln|x-3|+C

∴

=ln|(x+2)(x-3)¤ |+C

핵심유형

5

F(x)=xf(x)-x¤ ln x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-2x ln x-x¤ ¥;[!;

x f'(x)=2xln x+x f'(x)=2ln x+1이므로

f(x)=: (2ln x+1)dx=2: ln x dx+: dx u(x)= ln x, v'(x)=1로 놓으면

u'(x)=;[!;, v(x)=x이므로 f(x)=2: ln xdx+: dx

f(x)

=2{ln x¥x-: ;[!;¥xdx}+: dx

f(x)=2(xln x-x+C¡)+x+C™

f(x)=2xln x-x+C

f(1)=0이므로 -1+C=0 ∴ C=1 따라서 f(x)=2xln x-x+1이므로

f(e)=2e-e+1=e+1

5 -1

조건 ㈎에서 f'(x)=(x+1)e≈ 이므로 f(x)=: (x+1)e≈ dx

u(x)=x+1, v'(x)=e≈ 으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=e≈ 이므로

f(x)=: (x+1)e≈ dx

f(x)=(x+1)e≈ -

: e≈ dx

f(x)=(x+1)e≈ -e≈ +C f(x)=xe≈ +C

조건 ㈏에서 함수 f(x)는 미분가능한 함수이므로 f(x)는 x=1에서 연속이다.

즉, f(1)= f(x)이므로 e+C=2e ∴ C=e 따라서 f(x)=xe≈ +e이므로

f(0)=e

5 -2

u(x)=cos x, v'(x)=e≈ 로 놓으면 u'(x)=-sin x, v(x)=e≈

lim

x⁄1

2 x-3 1

x+2 3x+1 x¤ -x-6

∴: e≈ cos x`dx=cos x`¥e≈ -: (-sin x)¥e≈ dx

∴ : e≈ cos x`dx

=e≈ cos x+: e≈ sin x`dx yy`㉠

: e≈ sin x`dx에서 f(x)=sin x, g'(x)=e≈ 로 놓으면 f'(x)=cos x, g(x)=e≈

∴: e≈ sin x`dx=sin x¥e≈ -: cos x¥e≈ dx

∴ : e≈ cos x`dx

=e≈ sin x-: e≈ cos x`dx yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

: e≈ cos x`dx=e≈ cos x+e≈ sin x-: e≈ cos x`dx

∴: e≈ cos x`dx=;2!;e≈ (cos x+sin x)+C

72`~`73쪽

● ● ●기출문제로내신대비하기^{● ● ●}

01 02 ④ 03 4e^;4“;-3

04 f(x)=x+cos x-1 05 1 06 ;;¡3¢;;

07 ;2!;+;2E; 08 ;2%; 09 ;2%;+2ln2 10 1-ln 2

11 ⑤ 12 2 13 ②

14 y=tan x+sec x

15 f(x)=e^x

+2e

^-x, g(x)=-e≈ +2e—≈

133355

10'2

3

01

^f(x)=: {'∂x + +1}dx=: {x^;2!;+x^-;2!;+1}dx

f(x)

=;3@;x^;2#;+2x^;2!;+x+C=;3@;x'∂x +2'∂x +x+C f(1)=;3%;이므로

;3@;+2+1+C=;3%; ∴ C=-2 따라서 f(x)=;3@;x'∂x +2'∂x +x-2이므로

f(2)=

02

f'(x)=4≈ ±⁄ 이므로

f(x)=: f'(x)dx=: 4≈ ±⁄ dx

f(x)=

+C= +C

함수 f(x)의 그래프가 점 {0, }을 지나므로

f(0)= +C= ∴ C=- 1

2ln2 3

2ln2 4

2ln2

3 2ln2 4≈ ±⁄

2ln2 4≈ ±⁄

ln4 10'23

1 '∂x

71

08.여러 가지 적분법

따라서 f(x)= - 이므로

f(-1)= - =0

03

^f(x)=: dx

f(x)=

: (4e≈ -3 sec¤ x)dx

f(x)=4e≈ -3 tan x+C

f(0)=4이므로 4+C=4 ∴ C=0 따라서 f(x)=4e^x-3tan x이므로

f{ }=4e^;4“;-3

04

^f(x)=: {sin ;2{;-cos ;2{;}¤ dx

f(x)=

: {sin¤ ;2{;+cos¤ ;2{;-2 sin ;2{;cos ;2{;}dx

f(x)=

: {1-2 sin ;2{; cos ;2{;}dx

f(x)=

: (1-sin x)dx

f(x)=x+cos x+C

f(0)=0이므로 1+C=0 ∴ C=-1

∴ f(x)=x+cos x-1

05

f'(x)=sin 2x+sin x

f'(x)=2 sin x cos x+sin x f'(x)=sin x(2 cos x+1)=0

f'(x)=0에서 cos x=-;2!; (∵ 0<x<p) ∴ x=;3@;p 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=;3@;p에서 극댓값을 갖는다.

한편

f(x)=: f '(x)dx=: (sin 2x+sin x)dx

f(x)

=-;2!; cos 2x-cos x+C

이고 극댓값이 2이므로

f{;3@;p}=-{-;4!;}-{-;2!;}+C=;4#;+C=2

∴ C=;4%;

따라서 f(x)=-;2!; cos 2x-cos x+;4%;이므로 f{p }=-{-;4!; }-;2!; +;4%;=1

3 p 4

4e≈ cos¤ x-3 cos¤ x

1 2ln2 1

2ln2 1 2ln2 4≈ ±⁄

2ln2

06

ln x=t로 치환하면 =;[!;이므로

f(x)=: dx=: 't dt

f(x)

=;3@;t^;2#;+C=;3@;t't +C

f(x)

=;3@; ln x'∂ln x+C

f(e)=0이므로 ;3@; +C=0 ∴ C=-;3@;

따라서 f(x)=;3@; ln x'∂ln x-;3@;이므로 f(e› )=;3@;¥4¥2-;3@;

f(e› )

=;;¡3§;;-;3@;=;;¡3¢;;

07

조건 ㈎에서 함수 f(x)는 미분가능한 함수이므로

= +

=f'(x)+f'(x)=2f'(x) 즉, 2f'(x)=2xe^x¤에서 f'(x)=xe^x¤

∴ f(x)=: xe^x¤dx

x¤ =t로 치환하면 =2x이므로

f(x)=: xe^x¤dx=: e† ¥;2!;dt

f(x)

=;2!;e† +C=;2!;e^x¤+C

조건 ㈏에서 함수 f(x)는 미분가능한 함수이므로 x=1에서 연 속이다.

즉, f(1)= f(x)이므로

;2E;+C=e ∴ C=;2E;

따라서 f(x)=;2!;e^x¤+;2E;이므로 f(0)=;2!;+;2E;

08

f'(x)=tan‹ x+tan x이므로 f(x)=: (tan‹ x+tan x)dx

f(x)=

: tan x(tan¤ x+1)dx

f(x)=

: tan x sec¤ x dx

tan x=t로 치환하면 =sec¤ x이므로

f(x)=: tan x sec¤ x dx=: tdt

f(x)

=;2!;t¤ +C=;2!; tan¤ x+C

dt dx lim

x⁄1

dt dx

f(x-h)-f(x) lim -h

h⁄0

f(x+h)-f(x) lim h

h⁄0

f(x+h)-f(x-h) lim h

h⁄0

'∂ln x x

dt dx

x

(0) y ;3@;p y (p)

+ 0

-↗ 극대 ↘

f'(x)

f(x)

11

f '(x)=x cos x이므로 f(x)=: x cos xdx u(x)=x, v'(x)=cos x로 놓으면

u'(x)=1, v(x)=sin x이므로 f(x)=: x cos x dx

f(x)=x sin x-

: sin x dx

f(x)=x sin x+cos x+C

∴ f(p)-f{;2“;}=(-1+C)-{;2“;+C}=-1-;2“;

12

f(x)={x f(x)-x¤ e^-x}'에서

f(x)=f(x)+x f'(x)-2xe^-x+x¤ e^-x x f'(x)=2xe^-x-x¤ e^-x=x(2-x)e^-x

∴ f '(x)=(2-x)e^-x 즉, f(x)=: (2-x)e^-x에서 u(x)=2-x, v'(x)=e^-x으로 놓으면 u'(x)=-1, v(x)=-e^-x이므로

f(x)=: (2-x)e^-xdx=-(2-x)e^-x-: e^-xdx

f(x)=(x-2)e

^-x+e^-x+C=(x-1)e^-x+C f(0)=1이므로 -1+C=1 ∴ C=2 따라서 f(x)=(x-1)e^-x+2이므로

f(1)=2

13

u(x)=(ln x)¤ , v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=2 ln x¥;[!;= , v(x)=x이므로

f(x)=(ln x)¤ ¥x-: ¥x dx

f(x)=x(ln x)¤ -2

: ln x dx

f(x)=x(ln x)¤ -2(x ln x-x)+C f(x)=x(ln x)¤ -2x ln x+2x+C

f(1)=2이므로 2+C=2 ∴ C=0 따라서 f(x)=x(ln x)¤ -2x ln x+2x이므로

f(e)=e-2e+2e=e

14

^0<x< 에서 0<sin x<1이므로

f(x)=1+sin x+sin²x+sin‹ x+y는 수렴한다.

∴ f(x)= …… ❶

f(x)의 부정적분 중 하나를 F(x)라 하면 F(x)=: f(x)dx=: dx

F(x)=

: dx

F(x)=

: dx

F(x)=

: 1+sin x dx cos¤ x 1+sin x 1-sin¤ x

1+sin x (1-sin x)(1+sin x)

1 1-sin x 1

1-sin x p

2

2ln x x 2 ln x

x f(0)=1이므로 C=1

따라서 f(x)=;2!; tan¤ x+1이므로 f{ }=;2!; ¥3+1=;2%;

[다른 해설]

sec x=t로 치환하면 =sec xtan x이므로

f(x)=: tan x sec¤ x dx=: t dt

f(x)

=;2!;t¤ +C=;2!; sec¤ x+C f(0)=1이므로 ;2!;+C=1 ∴ C=;2!;

따라서 f(x)=;2!; sec¤ x+;2!;이므로 f{ }=;2!;¥4+;2!;=;2%;

09

: dx에서 e≈ -1=t로 치환하면 e≈ =t+1이고 =e≈ 이므로

: dx=: ¥e≈ dx

=: dt=: dt

=: {1+ +t—¤ }dt

=t+2ln|t|-t—⁄ +C¡

=(e≈ -1)+2ln|e≈ -1|- +C¡

=e≈ +2 ln|e≈ -1|- +C

f(ln2)=1이므로 2-1+C=1 ∴ C=0 따라서 f(x)=e≈ +2ln|e≈ -1|- 이므로

f(ln3)=3+2ln2-;2!;=;2%;+2ln2

10

^f(x)=: dx+: dx

f(x)=

: dx

f(x)=

: dx

f(x)=

: { - } dx

f(x)=ln|x-2|-ln|x+1|+C

f{;2!;}=1이므로 f{;2!;}=ln ;2#;-ln ;2#;+C=1

∴ C=1

따라서 f(x)=ln|x-2|-ln |x+1|+1이므로 f(1)=1-ln 2

1 x+1 1

x-2 3 (x-2)(x+1)

3 x¤ -x-2

4-x x¤ -x-2 x-1

x¤ -x-2

1 e≈ -1 1

e≈ -1 1 e≈ -1 2

t

t¤ +2t+1 t¤

(t+1)¤

t¤

e¤ ≈ (e≈ -1)¤

e‹ ≈ (e≈ -1)¤

dt dx e‹ ≈

(e≈ -1)¤

p 3

dt dx p

3

73

09.정적분

F(x)=

: sec¤ x dx+: sec x tan x dx

F(x)=tan x+sec x+C

…… ❷

함수 y=F(x)의 그래프가 점 { , 1+'2}를 지나므로

F{ }=1+'2+C=1+'2 ∴ C=0

∴ y=tan x+sec x …… ❸

15

조건 ㈎와 ㈏에서

f'(x)+g'(x)=-g(x)-f(x)=-{ f(x)+g(x)}이므로

=-1

: dx=-: dx이므로

ln{ f(x)+g(x)}=-x+C¡ (∵ f(x)+g(x)>0) 위의 식의 양변에 x=0을 대입하면

ln{ f(0)+g(0)}=C¡

조건 ㈐와 ㈑에서 f(0)+g(0)=3+1=4

∴ C¡=ln 4

따라서 ln{ f(x)+g(x)}=-x+ln 4이므로

f(x)+g(x)=e^{-x+ln 4}=4e^-x yy`㉠ …… ❶ 또한` 조건 ㈎와 ㈏에서

f'(x)-g'(x)=-g(x)+f(x)=f(x)-g(x)이므로

=1

: dx=: dx이므로

ln{ f(x)-g(x)}=x+C™ (∵ f(x)-g(x)>0) 위의 식의 양변에 x=0을 대입하면

ln { f(0)-g(0)}=C™

조건 ㈐와 ㈑에서 f(0)-g(0)=3-1=2

∴ C™=ln 2

따라서 ln { f(x)-g(x)}=x+ln 2이므로

f(x)-g(x)=e^{x+ln 2}=2e^x yy`㉡ …… ❷

㉠+㉡을 하면

2 f(x)=2e^x+4e^-x

∴ f(x)=e^x+2e^-x yy`㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

g(x)=4e^-x-(e^x+2e^-x)=-e^x+2e^-x …… ❸ f'(x)-g'(x)

f(x)-g(x) f'(x)-g'(x)

f(x)-g(x) f'(x)+g'(x)

f(x)+g(x) f'(x)+g'(x)

f(x)+g(x) p 4

p 4

채점 기준 배점

❶ f(x)+g(x) 구하기

❷ f(x)-g(x) 구하기

❸ f(x), g(x) 구하기

40 % 40 % 20 %

채점 기준 배점

❶ 등비급수를 이용하여 f(x) 구하기

❷ f(x)의 부정적분 구하기

❸ 조건을 만족시키는 함수 구하기

40 % 40 % 20 %

09. 정적분

74`~`75쪽

01

⑴:)9 'xdx=:)9 x^;2!;dx=[;3@;x^;2#;]9)

⑴ :)9 'xdx=;3@;_27-0=18

⑵:!e dt=[ln|t|]e!

⑵ :!e dt

=lne-ln1=1-0=1

⑶:

;4#;p

psec¤ x dx=[tan x]`

;4#;p p

⑵ :

;4#;p

p

sec¤ x dx=0-(-1)=1

02

⑴:)» cos¤ hdh-:˘0 sin¤ hdh

⑴

=:)» cos¤ hdh+:)» sin¤ hdh

⑴

=:)» (cos¤ h+sin¤ h)dh

⑴

=:)» dh=[h]») =p

⑵:)1 3≈ dx+:!3 3¥ dy=:)1 3≈ dx+:!3 3≈ dx

⑴ :)1 3≈ dx+:!3 3¥ dy

=:)3 3≈ dx=[ ]3)

⑴ :)1 3≈ dx+:!3 3¥ dy

= - =

⑶ |e≈ -1|=[ 이므로

:_1! |e≈ -1|dx

=:_0! (-e≈ +1)dx+:)1 (e≈ -1)dx

=[-e≈ +x]0_!+[e≈ -x]1)

={-1-(-e—⁄ -1)}+{(e-1)-1}

=e+;e!;-2

03

⑴ x¤ +1=t로 치환하면 =2x이고, x=0일 때 t=1, x=2일 때 t=5이므로

dt dx e≈ -1 (xæ0) -e≈ +1 (x…0)

26 ln3 1

ln3 27 ln3

3≈

ln3

` 1 t

● ● ●개념확인^{● ● ●} 01 ⑴ 18 ⑵ 1 ⑶ 1

02 ⑴ p ⑵ ⑶ e+;e!;-2

03 ⑴

-

⑵ ;2!;ln3 ⑶ ;2!;

04 ⑴` e¤ +1 ⑵ ;2“;-1 ⑶ 1

05 ⑴ 2e-;e@; ⑵ 0 ⑶ 6 06 ⑴ f(x)=2e¤ ≈ -1 ⑵ 2e¤ -1

1

1 3

1335

5'5 3

1335ln3

26

⑶ 함수 y=|sin2x|의 그래프는 다음 그림과 같다.

⑶

주기가 ;2“;이므로

⑶

:)^3p|sin2x|dx=6:)`^;2“;sin2xdx

⑶

0…x…;2“;에서 sin2xæ0이므로

⑶

:)^3p|sin2x|dx=6:)`^;2“;sin2xdx

⑶ :)

^3p

|sin2x|dx=6

[-;2!;cos2x]^;2“;)

⑶ :)

^3p

|sin2x|dx

=6¥{;2!;+;2!;}=6

06

⑴:)^xf(t)dt=e¤ ≈ -x의 양변을 x에 대하여 미분하면

⑴

f(x)=2e¤ ≈ -1

⑵ F'(t)=f(t)라 하면

⑴

:!^xf(t)dt=

⑴ :!

^x

f(t)dt=F'(1)=f(1)=2e¤ -1

F(x)-F(1) lim x-1

x⁄1

1 lim x-1

x⁄1

O p 3p

2

p p

y y=|sin2x|

3

2 2p 5 p 2

:)2 x"√x¤ +1dx=:!5 't ¥;2!;dt

:)2 x"√x¤ +1dx

=[;3!;t^;2#;]5!= -;3!;

⑵ 1+2sinx=t로 치환하면 =2cosx이고,

⑵

x=0일 때 t=1, x=;2“;일 때 t=3이므로

⑵

:)`<sup>;2“;</sup> dx=:!3 `;t!;¥;2!;dt

⑵ :)`

^;2“;

dx=

[;2!;ln|t|]3!

⑵ :)`

^;2“;

dx

=;2!;ln3

⑶ lnx=t로 치환하면 = 이고, x=1일 때 t=0, x=e일 때 t=1이므로

:!e dx=:)1 tdt

:!e dx=

[;2!;t¤ ]1)=;2!;

04

⑴ f(x)=x, `g'(x)=e≈ 으로 놓으면

⑵

f'(x)=1, `g(x)=e≈ 이므로

⑵

:)2 xe≈ dx=[xe≈ ]2)-:)2 e≈ dx=2e¤ -[e≈ ]2)

⑵ :)1 xe≈ dx

=2e¤ -(e¤ -1)=e¤ +1

⑵ f(x)=x, `g'(x)=cosx로 놓으면

⑵

f'(x)=1, `g(x)=sinx이므로

⑵

:)`<sup>;2“;</sup>xcosxdx=[xsinx]<sup>;2“;</sup>)-:)`^;2“;sinxdx

⑵ :)`

^;2“;

xcosxdx

=;2“;+[cosx]^;2“;)

⑵ :)`

^;2“;

xcosxdx

=;2“;-1

⑶ f(x)=lnx, g'(x)=1로 놓으면 f'(x)=;[!;, g(x)=x이므로

:!e lnxdx=[xlnx]e!-:!e x¥;[!;dx

:!e lnxdx

=e-:!e dx=e-[x]e!

:!e lnxdx

=e-(e-1)=1

05

⑴ f(x)=e≈ +e^-x이라 하면

⑵

f(-x)=e^-x+e≈ =f(x)이므로 f(x)는 우함수이다.

⑵

∴:_1! (e≈ +e—≈ )dx=2:)1 (e≈ +e—≈ )dx

⑵ ∴ :_1! (e≈ +e—≈ )dx

=2[e≈ -e—≈ ]1)

⑵ ∴ :_1! (e≈ +e—≈ )dx

=2(e-e—⁄ )=2e-

_;e@;

⑵ sinx는 기함수이므로 :_;2“;

;2“;`sinxdx=0 lnx

x

1 x dt dx cosx 1+2sinx

dt dx

5'53

76`~`77쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

핵심유형1 ⑤

1

-1

② 1

-2

;2!;e› -;2#;e¤ +e+1 1

-3

④

핵심유형2 ③

2

-1

;2!;-;2¡e; 2

-2

;2!;

2

-3

;9@;e‹ +;9!; 2

-4

;2!;e^;2“;

+;2!;

핵심유형3 ②

3

-1

③ 3

-2

505 3

-3

4

핵심유형4

3

4

-1

-

2

4

-2

④ 4

-3

⑴ 3e ⑵ -p 13333p+1

핵심유형

1

f(x)가 모든 실수에서 연속이므로 x=0에서도 연속이어야 한다.

즉, f(x)=f(0)이어야 하므로 e—≈ =a

lim

x⁄0-lim

x

⁄0-75

09.정적분

따라서 a=1이므로 :-ln2

a f(x)dx=:

-ln2 1 f(x)dx

:

-ln2

a

f(x)dx=

:

-ln2

0 e—^xdx+:)1 (‹'x+1)dx

:

-ln2

a

f(x)dx=

[-e—^x]0

-ln2+[;4#;x^;3$;+x]1)

:

-ln2

a

f(x)dx

=-1+2+;4#;+1

:

-ln2

a

f(x)dx

=:¡4¡:

1 -1

:$0 dx=:$0 dx

:$0 dx=

:$0 { - }dx

:$0 dx=

[ln|x+1|-ln|x+5|]0$

:$0 dx=(0-ln5)-(ln5-ln9)

:$0 dx=ln9-2ln5

:$0 dx

=2ln3-2ln5=2ln;5#;

∴ k=;5#;

1 -2

:!2 dx-:@1 dx

=:!2 dx+:!2 dx

=:!2 dx

=:!2 dx

=:!2 (e¤ ≈ -e≈ +1)dx=[;2!;e¤ ≈ -e≈ +x]2!

={;2!;e› -e¤ +2}-{;2!;e¤ -e+1}

=;2!;e› -;2#;e¤ +e+1

1 -3

sinx+'3 cosx=2{sinx¥;2!;+cosx¥ }

sinx+'3 cosx=2sin{x+;3“;}

이므로

|2 sin{x+;3“;}|=

∴:)^p|sinx+'3 cosx|dx

∴

=:)^p|2 sin{x+;3“;}|dx

∴

=:^;3@;p) 2sin{x+;3“;}dx

∴ =+

:

;3@;p p

[-2 sin {x+;3“;}]dx

2sin{x+;3“;} {0…x…;3@;p}

-2sin{x+;3“;} {;3@;p…x…p}

(\ {\ 9

'32 (e≈ +1)(e¤ ≈ -e≈ +1)

e≈ +1 e‹ ≈ +1 e≈ +1

1 e≈ +1 e‹ ≈

e≈ +1

1 e≈ +1 e‹ ≈

e≈ +1

1 x+5 1

x+1 4 (x+1)(x+5) 4

x¤ +6x+5

∴

=[-2cos{x+;3“;}]^;3@;p) +[2cos{x+;3“;}]

;3@;p p

∴

={2-(-1)}+(-1+2)=4

핵심유형

2

sinx=t로 치환하면 =cosx이고, x=;6“;일 때 t=;2!;, x=;2“;일 때 t=1이므로

:;6“;-^;2“; dx=:

;2!;1 dt

:

;6“;

-

^;2“;

dx=

[- ]`1

;2!;

:

;6“;

-

^;2“;

dx

=-;2!;-(-2)=;2#;

2 -1

-x¤ =t로 치환하면 =-2x이고, x=0일 때 t=0, x=1일 때` t=-1이므로

:)1 xe^-x¤dx=:)- 1 e^t¥{-;2!;}dt=:_0!`;2!;`e^tdt

:)1 xe

^-x¤

dx

=;2!; [e^t]0_!=;2!;(1-e—⁄ )

:)1 xe

^-x¤

dx

=;2!;-2 -2

lnx+1=t로 치환하면 = 이고, x=1일 때 t=1, x=e일 때 t=2이므로

:!e dx=:!2 dt=[- ]2!

:!e dx

=-;2!;-(-1)=;2!;

2 -3

f(x)=lnx, g'(x)=x¤ 으로 놓으면 f '(x)=;[!;, g(x)=;3!;x‹ 이므로

:!e x¤ lnxdx=[;3!;x‹ lnx]e!-:!e ;3!;x‹ ¥;[!; dx

:!e x¤ lnxdx=;3!;e‹ -:!e ;3!;x¤ dx

:!e x¤ lnxdx=;3!;e‹ -[;9!;x‹ ]e!=;3!;e‹ -;9!;(e‹ -1) :!e x¤ lnxdx=;9@;e‹ +;9!;

2 -4

:)`^;3“;f(x)dx-:

;2“;

;3“;`f(x)dx `

=:)`^;3“;f(x)dx+:

;3“;

;2“;f(x)dx

=:)`<sup>;2“;</sup>f(x)dx=:)`^;2“;e≈ sinxdx f(x)=sinx, `g'(x)=e≈ 으로 놓으면 f'(x)=cosx, `g(x)=e≈ 이므로

1 t 1

t¤

1 x(lnx+1)¤

1 x dt dx 1 2e dt dx

1 2t¤

1 t‹

cosx sin‹ x

dt dx

주기가 ;2“;이므로

:)^2p|cos{2x+;3“;}|dx=4:)`

;2“;

|cos {2x+;3“;}|dx

:)

^2p

|cos{2x+;3“;}|dx

=4:

;3“;

;3“;+;2“;

|cos2x|dx

:)

^2p

|cos{2x+;3“;}|dx

=4:)`^;2“;|cos2x|dx 함수 y=|cos2x|의 그래프는 다음 그림과 같다.

|cos2x|는 우함수이고, 0…x…;4“;에서 cos2xæ0이므로 :)`^;2“;|cos2x|dx=:_

;4“;

;4“;`|cos2x|dx

:)`

^;2“;

|sin2x|dx=2

:)`^;4“;|cos2x|dx

:)`

^;2“;

|sin2x|dx=2

:)`^;4“;cos2xdx=[sin2x]^;4“;)

:)`

^;2“;

|sin2x|dx=1

∴:)^2p|cos {2x+;3“;}|dx=4:)`

;2“;|cos2x|dx

∴ :)

^2p

|cos {2x+;3“;}|dx

=4¥1=4

핵심유형

4

:

ln2

xe† f(t)dt=e¤ ≈ -ae≈ +2의 양변에 x=ln2를 대입하면 0=e^2ln2-ae^ln2+2

0=4-2a+2 ∴ a=3

∴:

ln2

xe† f(t)dt=e¤ ≈ -3e≈ +2 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면

e≈ f(x)=2e¤ ≈ -3e≈

따라서 f(x)=2e≈ -3이므로 f(ln3)=2e^ln3-3=6-3=3

4 -1

:)» f(t)dt=a (a는 상수) …… ㉠ 로 놓으면 f(x)=sinx-a 이를 ㉠에 대입하면

:)» (sint-a)dt=a

[-cost-at]»)=a 1-ap+1=a, (p+1)a=2

O x

y y=|cos 2x|

p

4 3

4 p

O x

y y= | ^{cos 2x+} ( ) |

19p 12

25p 12 13p

12 7p 12 p 12

p 3

:)`<sup>;2“;</sup>e≈ sinxdx=[e≈ sin x]`) -:)`^{;2“; ;2“;}e≈ cosxdx

:)`

^;2“;

e≈ sinxdx=e

^;2“;-:)`^;2“;e≈ cosxdx …… ㉠

:)`^;2“;e≈ cosxdx에서 u(x)=cosx, v'(x)=e≈ 으로 놓으면 u'(x)=-sinx, v(x)=e≈ 이므로

:)`<sup>;2“;</sup>e≈ cosxdx=[e≈ cos x]`^;2“;) -:)`^;2“;(-e≈ sinx)dx

:)`

^;2“;

e≈ cosxdx=-1+

:)`^;2“;e≈ sinxdx …… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

:)`<sup>;2“;</sup>e≈ sinxdx=e<sup>;2“;</sup>-:)`^;2“;e≈ cosxdx

:)`

^;2“;

e≈ sinxdx=e

^;2“;+1-:)`^;2“;e≈ sinxdx 이므로

2:)`^;2“;e≈ sinxdx=e^;2“;+1

∴:)`^;2“;e≈ sinxdx=;2!;e^;2“;+;2!;

핵심유형

3

sinpx는 기함수이므로

:_1! (e≈ -sin px)dx=:_1! e≈ dx=[e^x]1_!=e-;e!;

3 -1

x는 기함수이고 cos 2x는 우함수이므로 x cos 2x는 기함수 이다.

또 cos x는 우함수이므로 :_;2“;

;2“;`(x cos 2x+cos x)dx=2:)`^;2“;cos xdx

:_

;2“;

;2“;

`(x cos 2x+cos x)dx=2

[sin x]`^;2“;) =2 [참고]우함수, 기함수의 곱

① (우함수)_(우함수)=(우함수)

② (우함수)_(기함수)=(기함수)

③ (기함수)_(기함수)=(우함수)

3 -2

조건 ㈎에서

:)6 f(x)dx-:# 6 f(x)dx+:#4 f(x)dx

=:)6 f(x)dx+:^3 f(x)dx+:#4 f(x)dx

=:)4 f(x)dx=1

조건 ㈏에서 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(x+4)이므로 :)4 f(x)dx=:$8 f(x)dx=y=:₂₀₁₆²⁰²⁰f(x)dx

∴:)²⁰²⁰f(x)dx=505:)4 f(x)dx=505¥1=505

3 -3

함수 y=|cos{2x+;3“;}|의 그래프는 다음 그림과 같다.

77

09.정적분

∴ a=

따라서 f(x)=sinx- 이므로

f(0)=-4 -2

f(x)=:)/ (x-t)sintdt

f(x)=

:)/ (xsint-tsint)dt

f(x)=x

:)/ sintdt-:)/ tsintdt 양변을 x에 대하여 미분하면

f'(x)=:)/ sintdt+xsinx-xsinx

f'(x)=

:)/ sintdt=[-cost]/)

f'(x)=-cosx+1

∴ f'{;3“;}=-;2!;+1=;2!;

4 -3

⑴ f(x)=x¤ e≈ , F'(x)=f(x)로 놓으면

⑴

:!^1+3hx¤ e≈ dx=

:!

^1+3h

x¤ e≈ dx=3

:!

^1+3h

x¤ e≈ dx=3F'(1)=3e

⑵ f(x)=xcosx, F'(x)=f(x)로 놓으면

⑵

:_p^xtcostdt=

=F'(p)=p¥(-1)

=-p

F(x)-F(p) lim x-p

x⁄p

1 lim x-p

x⁄p

F(1+3h)-F(1) lim 3h

h⁄0

F(1+3h)-F(1) lim h

h⁄0

1 lim h

h⁄0

2 p+1

2 p+1 2

p+1

78`~`79쪽

● ● ● 기출문제로내신대비하기^{● ● ●}

01 ③ 02 -;5@; 03 ⑴ + ⑵

04 1-;e@; 05 ② 06 e-2 07

08 4e-;e$; 09 ④ 10 4 11 ④

12 ;2#;e 13 ;2!; 14 2'2 15 2020 1p

2

1p

4

124'3

8

1p

6

01

:) f(p-x)dx에서 p-x=t로 치환하면 =-1이고, x=0일 때 t=p, x= 일 때 t= 이므로

:) f(p-x)dx=:P f(t)¥(-1)dt=:^pf(t)dt

:) f(p-x)dx

=:_p^pf(x)dx

2

p 2 p

2 p

2

p 2 p

2

dt dx

p 2

∴:) { f(x)+f(p-x)}dx

∴

=:) f(x)dx+:) f(p-x)dx

∴

=:) f(x)dx+:^pf(x)dx=:)p f(x)dx

[다른 해설]

f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면

:) {f(x)+f(p-x)}dx=[F(x)-F(p-x)])

=F{ }-F(0)-[F{ }-F(p)]

=F(p)-F(0)=:)p f(x)dx

02

cosx=t로 치환하면 =-sinx이고, x=0일 때 t=1, x=p일 때 t=-1이므로

:)» (1-cos‹ x)cosxsinxdx

=:!- 1 (1-t‹ )¥t¥(-1)dt

=2:)1 (-t› )dt (∵ t는 기함수, -t› 는 우함수)

=2[-;5!; tfi ]1)=-;5@;

03

⑴ x=sinh {- …h… }로 치환하면 =cosh이고,

⑴

x=0일 때 h=0, x= 일 때 h= 이므로

⑴

:) `"√1-x¤ dx=:)`^;3“;``"√1-sin¤ h¥coshdh

⑴ :) `"√1-x¤ dx

=:)`<sup>;3“;</sup>`cos¤ hdh

⑴

이때 cos2h=2cos¤ h-1에서 cos¤ h= 이므로

⑴

:)`<sup>;3“;</sup>`cos¤ hdh=:)`<sup>;3“;</sup>` dh

⑴ :)`

^;3“;

`cos¤ hdh=

[ + sin2h]`^;3“;)

⑴ :)`

^;3“;

`cos¤ hdh=

+

⑵ x=tanh {- <h< }로 치환하면 =sec¤ h이고

⑴

x=0일 때 h=0, x=1일 때 h= 이므로

⑴

:)1 dx=:)`^;4“; ¥sec¤ h dh

⑴ :)1 dx=

:)`^;4“; ¥sec¤ h dh

⑴ :)1 dx=

:)`<sup>;4“;</sup>dh=[h]`^;4“;) =p 4 1

sec¤ h 1 1+tan¤ h 1

1+x¤

p 4

dx dh p

2 p 2

'38 p 6

1 4 h 2

1+cos2h 2

1+cos2h 2

'3 2

p '3 3

2

dx dh p

2 p 2

dt dx

p 2 p

2

p 2 p

2

p 2 p

2

p 2 p

2 p 2

04

f(x)=x, g'(x)=e^-x으로 놓으면 f'(x)=1, g(x)=-e^-x이므로

:)1 xe—≈ dx=[-xe^-x]1)-:)1 (-e—≈ )dx

:)1 xe—≈ dx

=-e—⁄ -[e—≈ ]1)

:)1 xe—≈ dx

=- -{ -1}

:)1 xe—≈ dx

=1-05

:

;e!;

e

f(x)lnxdx=:

;e!;

1

xlnxdx+:!e lnxdx 이때:

;e!;

1

xlnxdx에서 u(x)=lnx, v'(x)=x로 놓으면

u'(x)= , v(x)=;2!;x¤ 이므로 :

;e!;

1xlnxdx=[;2!;x¤ lnx]

;e!;

1-:

;e!;

1

;2!;x ¤ ¥;[!;dx

:!e xlnxdx

= -:

;e!;

1

;2!;x dx= -[;4!;x¤ ]

;e!;

1

:!e xlnxdx

= -{;4!;- }= -;4!;

또:!e ;[!;lnxdx에서 lnx=t로 치환하면 =;[!;이고, x=1일 때 t=0, x=e일 때 t=1이므로

:!e ;[!;lnxdx=:)1 tdt =[;2!;t¤ ]1)=;2!;

∴:

;e!;

1f(x)lnxdx=:

;e!;

1xlnxdx+:!e ;[!;lnxdx

∴ :E

^e¤

f(x)lnxdx=

-;4!;+;2!;=;4!;{1+ }

06

sinx=t로 치환하면 =cosx이고,

x=0일 때 t=0, x= 일 때 t=1이므로 :)`^;2“;e^sinx(1-sinx)cosxdx=:)1 e† (1-t)dt 이때 f(t)=1-t, g'(t)=e† 으로 놓으면

f'(t)=-1, g(t)=e† 이므로

:)1 e† (1-t)dt=[e† (1-t)]1)-:)1 (-e† )dt

:)1 e† (1-t)dt

=[e† (1-t)]1)+[e† ]1)

:)1 e† (1-t)dt

=-1+(e-1)=e-2

07

sinx는 기함수이고,

x는 기함수, sin2x도 기함수이므로 xsin2x는 우함수이다.

∴:_

;2“;

;2“;`(sinx+xsin2x)dx=2:)`^;2“;xsin 2x dx u(x)=x, v'(x)=sin2x라 하면

p 2 dt dx

3 e¤

3 4e¤

dt dx 3 4e¤

1 4e¤

1 2e¤

1 2e¤

1 2e¤

1 x

1 x 2

e 1 e 1 e

u'(x)=1, v(x)=-;2!;cos2x이므로 2:)`^;2“;xsin2xdx

=2[x¥{-;2!;cos2x}]^;2“;) -2:)`^;2“;{-;2!; cos 2x }dx

= +[;2!;sin2x]^;2“;) =

08

조건 ㈎에서 f(-x)= =f(x)이므로 f(x)는 우함수이다.

∴:_1! f(x)dx=2:)1 f(x)dx=:)1 (e≈ +e—≈ )dx

∴ :_1! f(x)dx

=[e^x-e—≈]1)=e-;e!;

조건 ㈏에서 모든 실수 x에 대하여 f(x)= f(x+2)이므로 :-1

1 f(x)dx=:!3 f(x)dx=:#5 f(x)dx=:%7 f(x)dx

:

_-1¹

f(x)dx

=e-;e!;

∴:_-1⁷f(x)dx=:_-1¹ f(x)dx+:!3 f(x)dx

+:#5 f(x)dx+:%7 f(x)dx

∴ :

_-1⁷

f(x)dx

=4e-;e$;

09

:!/ (x+t)f(t)dt=e≈ +2x+1에서

x:!/ f(t)dt+:!/ tf(t)dt=e≈ +2x+1 위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면

:!/ f(t)dt+xf(x)+xf(x)=e≈ +2

∴:!/ f(t)dt+2xf(x)=e≈ +2 위의 등식의 양변에 x=1을 대입하면

2f(1)=e+2

∴ f(1)=

10

^f(x)=:)/ (x-t)f'(t)dt+2e≈ +2x

f(x)=x

:)/ f'(t)dt-:)/ tf'(t)dt+2e≈ +2x …… ㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

f'(x)=:)/ f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)+2e≈ +2

f'(x)=

:)/ f'(t)dt+2e≈ +2 …… ㉡

㉠, ㉡의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=2, f'(0)=4

e+2 2

e—≈ +e≈

2 p 2 p

2

79

09.정적분

한편 f(x)=e≈ (ax+b)에서

f'(x)=e≈ (ax+b)+e≈ ¥a=e≈ (ax+a+b) 이므로 두 식에 x=0을 대입하면

b=2, a+b=4 ∴ a=2

∴ ab=4

11

:!/ {4tf(t)-9}dt=(x¤ +2)f(x)-9x …… ㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

4xf(x)-9=2xf(x)+(x¤ +2)f'(x)-9 2xf(x)=(x¤ +2)f'(x)

= 이므로 : dx=: dx

∴ ln f(x)=ln(x¤ +2)+C (∵ f(x)>0, x¤ +2>0)

…… ㉡ 이때 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면

0=3f(1)-9 ∴ f(1)=3

㉡의 양변에 x=1을 대입하면

ln f(1)=ln3+C, ln3=ln3+C ∴ C=0 따라서 ln f(x)=ln(x¤ +2)이므로

f(x)=x¤ +2

∴ f(2)=6

12

f(x)=(x¤ +x+1)e≈ , F'(x)=f(x)로 놓으면 :!^'x(t¤ +t+1)e† dt

=

= ¥

=F'(1)¥;2!;=;2#;e

13

^f(x)=:)/ sintcostdt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'(x)=sin xcosx

f'(x)=0에서 cosx=0 (∵ 0<x<p) ∴ x=

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 f(x)는 x= 일 때 극댓값을 가지므로 f{ }=:)`^;2“;sin tcos tdt

f{ }=:)`

^;2“;;2!; sin 2tdt

f{ }

=[-;4!; cos 2t]^;2“;) =;2!;

p 2

p 2

p 2 1

'x+1 F('x)-F(1)

'x-1 lim

x⁄1

F('x)-F(1) lim x-1

x⁄1

1 lim x-1

x⁄1

2x x¤ +2 f'(x)

f(x) 2x

x¤ +2 f'(x) f(x)

14

^0…x… 일 때 sinx…cosx이고,

…x…p일 때 sinxæcosx이므로

|sinx-cosx|=

[

^{…… ❶}

∴:)» |sinx-cosx|dx

∴

=:)`^;4“;(cosx-sinx)dx+:

;4“;» (sinx-cosx)dx

…… ❷

∴

=[sinx+cosx]`^;4“;) -[cosx+sinx]

;4“;»

∴

=[{ + }-1]-[-1-{ + }]

∴

=2'2 ^{yy ❸}

15

f(n)=I«+I«≠™

f(n)=

:)`<sup>;4“;</sup>tan« x dx+:)`^;4“;tan« ±¤ xdx

f(n)=

:)`^;4“;tan« x(1+tan¤ x)dx

f(n)=

:)`^;4“;tan« xsec¤ xdx …… ❶ tanx=t로 치환하면 =sec¤ x이고,

x=0일 때 t=0, x= 일 때 t=1이므로

f(n)=:)`<sup>;4“;</sup>`tan« xsec¤ xdx

f(n)=

:)1 t« dt=[ t« ±⁄]1)= ^{…… ❷}

f(n)= 에서

= 1 ∴ n=2020 …… ❸

2021 1

n+1 1 2021

1 n+1 1

n+1 p 4 dt dx

'2 2 '2

2 '2

2 '2

2

cosx-sinx {0…x…;4“;}

sinx-cosx {;4“;…x…p}

p 4

p 4

채점 기준 배점

❶ 절댓값을 포함한 함수를 두 함수로 나타내기

❷ 적분 구간 분리하기

❸ 정적분의 값 구하기

40 % 40 % 20 %

x

(0) y ;2“; y (p)

+ 0

-↗ 극대 ↘

f'(x) f(x)

채점 기준 배점

❶ 정적분의 성질 이용하기

❷ 치환적분법을 활용하여 f(n) 구하기

❸ n의 값 구하기

40 %

40 %

20 %

10. 정적분의 활용

80`~`82쪽

01

⑴ f(x)=x¤ , a=0, b=3으로 놓으면

⑴

Dx= , xk=

⑴

∴ { }¤ ¥ = f(xk)D`x

⑴ ∴ { } ¤ ¥

=:)3 x¤ dx

⑴ ∴ { } ¤ ¥

=[;3!; x‹ ]3)=9

⑵ f(x)=ln x, a=1, b=2로 놓으면

⑴

D`x=;n!;, x^k=1+;nK;

⑴

∴ ln{1+;nK;}¥;n!;= f(xk)D`x

⑴ ∴ ln{1+;nK;}¥;n!;

=:!2 ln x dx

⑴ ∴ ln{1+;nK;}¥;n!;

=[x ln x-x]2!

⑴ ∴ ln{1+;nK;}¥;n!;

=2 ln 2-1 [참고]

ln x의 부정적분: lnx=xlnx-x+C는 자주 등장하므로 외워서 공식으로 이용할 수 있도록 하자.

02

구하는 도형의 넓이를 S라 하자.

⑴ S=:)9 'xdx=[ x^;2#;]9)

⑴ S=18

⑵ S=:_1!|e≈ -1|dx

⑴ S=

:_0!{-(e≈ -1)}dx+:)1 (e≈ -1)dx

⑴ S=

[-e≈ +x]0_!+[e≈ -x]1)

⑴ S=e+

1-2 e

x y y=e≈ -1

O 1 -1

x

y y='x

O 9

2 3

¡n k=1 n

lim

⁄ ¶

¡

n k=1 n

lim

⁄ ¶

¡

n k=1 n

lim

⁄ ¶

3 n 3k

n

¡

n k=1 n

lim

⁄ ¶

3k n 3

n

● ● ●개념확인^{● ● ●} 01 ⑴ 9 ⑵ 2 ln 2-1

02 ⑴ 18 ⑵ e+

-2 ⑶ 4 ⑷

03 ⑴ 2'2-2 ⑵ 04 e› +3

05 ⑴

t't ⑵ 36

06 ⑴ 9'5 ⑵ p

07 ⑴ 4'6-2'3 ⑵

- 1 2e e 2 4

3

1 3

38 3 1

e

⑶ S=:)^2p|sinx|dx

⑴ S=

:)^psinxdx

⑴ S=+

:_p^2p(-sinx)dx

⑴ S=

[-cosx])^p+[cosx]_p^2p

⑴ S=2+2=4

⑷ y=x¤ -4에서 x¤ =y+4

∴ x='ƒy+4 (∵ xæ0)

∴ S=:)5 '∂y+4dy

∴ S=

[;3@;(y+4)^;2#;]5)=:£3•:

03

구하는 도형의 넓이를 S라 하자.

⑴ 두 곡선 y=sinx, y=cosx

⑴

의 교점의 x좌표는

⑴

sinx=cosx HjK tanx=1

⑴

∴ x=;4“; {∵ 0…x… }

⑴

∴ S=:)^p|sinx-cosx|dx

⑴ ∴ S=

:)`^;4“;(cosx-sinx)dx+:

;4“;

;2“;(sinx-cosx)dx

⑴ ∴ S=

[sinx+cosx]`^;4“;) +[-cosx-sinx]

;4“;

;2“;`

⑴ ∴ S

=('2-1)+(-1+'2)=2'2-2 [다른 해설]

위의 그림에서 어두운 두 부분은 직선 x= 에 대하여 대칭이다.

∴ S=:)`^;4“;(cosx-sinx)dx+:

;4“;

;2“;(sinx-cosx)dx

∴ S=2

:)`^;4“;(cosx-sinx)dx

∴ S=2

[sinx+cosx]`^;4“;)

∴ S

=2'2-2

⑵ 두 곡선 y='x, y=x¤ 의 교점의 x 좌표는

⑵

'x=x¤ , x=x›

x(x‹ -1)=0

⑵

x(x-1)(x¤ +x+1)=0

⑵

∴ x=0 또는 x=1

⑴

∴ S=:)1 ('ßx-x¤ )dx

⑴ ∴ S=

[;3@;x^;2#;-;3!;x‹ ]1)=;3!;

x y

y='x y=x¤

O 1

1

p 4 p

2

x y=sinx y=cosx

p O 4

1

p 2 y

x y y=x¤ -4

O 5

-4

x y

y=sin x

p 2p

O

81

10.정적분의 활용

04

S(x)=2e¤ ≈ +x+1이라 하면 구하는 도형의 부피는 :)2 S(x)dx=:)2 (2e¤ ≈ +x+1)dx

:)2 S(x)dx

=[e¤ ≈ +;2!;x¤ +x]2)

:)2 S(x)dx

=(e› +2+2)-1

:)2 S(x)dx

=e› +3

05

t=0에서의 위치가 0이므로

⑴:)t 2'tdt=[;3$;t^;2#;]t)=;3$;t't

⑵:)9 2'tdt=[;3$;t^;2#;]9)=36

06

⑴ =2t, =4t이므로

⑴

{ }¤ +{ }¤ =(2t)¤ +(4t)¤ =20t¤

⑴

따라서 구하는 거리는

⑴

:)3 "ç20t¤ dt=:)3 2'5tdt=['5t¤ ]3)=9'5

⑵ =2cost, =2sint이므로

⑴

{ }¤ +{ }¤ =(2cost)¤ +(2sint)¤ =4

⑴

따라서 구하는 거리는

⑴

:)^;2“;'4 dt=[2t])

;2“;=p

07

⑴ y'=(x+1)^;2!;이므로 구하는 곡선의 길이는

⑴

:!4 æ≠1+{≠(x+≠1)^;2!;}¤ dx=:!4 'ƒx+2dx

⑴ :)4 æ≠1+{≠(x+≠1)

^;2!;

}¤ dx=

[;3@;(x+2)^;2#;]4!

⑴ :)4 æ≠1+{≠(x+≠1)

^;2!;

}¤ dx

=4'6-2'3

⑵ y'= 이므로 구하는 곡선의 길이는

⑵

:)1 æ≠1+{ }¤ dx=:)1 æ≠ dx

⑵ :)1 æ≠1+{ } ¤ dx=

:)1 æ≠{ }¤ dx

⑵ :)1 æ≠1+{ } ¤ dx=

:)1 dx

⑵ :)1 æ≠1+{ } ¤ dx

=;2!;[e≈ -e—≈ ]1)

⑵ :)1 æ≠1+{ } ¤ dx=

- 1 122e 1e2

e≈ +e—≈

114152 e≈ +e—≈

114152 e¤ ≈ +2+e—¤ ≈ 1141522234 e≈ -e—≈

114152 e≈ -e—≈

114152 12dydt 12dxdt

12dydt 12dxdt

12dydt 12dxdt

12dydt 12dxdt

핵심유형

1

함수 f(x)=3x¤ +2ax에 대하여

;n!; f { }=;3!; f { } ;n#;

;n!; f { }=;3!;:)3 f(x)dx

;n!; f { }=;3!;:)3 (3x¤ +2ax)dx

;n!; f { }=;3!;[x‹ +ax¤ ]3)

;n!; f { }=;3!;(27+9a)=9+3a

9+3a=f(1)이므로

9+3a=3+2a

∴ a=-6

1 -1

;n!;[{ }‹ +{ }‹ +y+{ }‹ ]

= ;n!;[{1+;n!;}‹ +{1+;n@;}‹ +y+{1+ }‹ ]

= ;n!; {1+;nK;}‹ =:!2 x‹ dx

=[;4!;x› ]2!=4-;4!;=;;¡4∞;;

1 -2

⑴ sin = sin[ ¥{ }2 ]

⑴ sin

=:)1 xsin x¤ dxp 2

k n p 2 k n

¡n k=1

1 lim n

nڦ

pk¤

2n¤

k n¤

¡n

lim k=1 nڦ

¡n

lim k=1 nڦ

1nn limnڦ

122nn 112n+2n

112n+1n

nlimڦ

123kn

¡n

limk=1 nڦ

123kn

¡n

lim k=1 nڦ

83`~`85쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

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