복소수와 복소함수
Complex Numbers and Functions
복소수와 복소함수
Complex Numbers and Functions
장윤석
부경대학교 전기공학과
2012. 8. 16
코시 - 리만 방정식 코시 - 리만 방정식
14.3
복소함수 복소함수14.2
초등함수의 복소함수 초등함수의 복소함수14.4
복소수의 항등
복소수의 연산에 대한 기본 법칙
직교좌표와 극좌표
복소수의 정의
복소수 는 실수부 와 허수부 로 구성됨 실수부와 허수부의 표현 식 (14.1) 에서 허수부의 부호만 다른 복소수를 의 공액복소수라고 정의함 (14.1) (14.2) (14.3)복소수의 기본 성질
복소수의 연산
복소수의 기본 연산법 (14.4) (14.5) (14.7) (14.6) 복소수 와 공액복소수 와의 사칙연산
공액복소수 간의 합과 차를 구하면
복소수의 기본 성질
두 복소수를 사칙연산한 결과의 공액에 대해 다음 성질이 성립함
예제 14-1
복소평면의 정의
가로의 좌표축 ( 실수부를 나타내는 실수축 ) +
복소수의 기본 성질
극형식 표현
직교좌표에서의 한 점을 나타내는 를 극좌표로 바꾸려면 따라서 임의의 복소수 를 다음과 같이 나타낼 수 있음 . 이를 복소수 의 극형식이라 함 식 (14.11) 의 은 복소수 의 크기이며 , 로 나타냄 는 원점에서 복소수 가 위치한 점까지의 거리 는 복소수 의 편각이라 하며 , 로 나타냄 (14.1 0) (14.1 1)복소수의 극형식
복소수의 크기와 편각을 식으로 나타내면 다음과 같음
(14.1 2)
무수히 많은 편각 중 유일한 값 , 주편각은 다음과 같이 정의됨 주편각을 사용하여 복소수의 편각을 나타내면 다음과 같음 예제 14-3 (14.1 3) (14.1 4)
복소수의 극형식
오일러의 공식을 이용하면 식 (14.11) 을 다음과 같이 표현할 수 있음 식 (14.1) 을 거듭제곱하면 는 로 나타낼 수 있으므로 결과적으로 다음 식을 얻음 드 므아브르 공식 (14.1 5) (14.1 6) (14.1 7)곱셈과 나눗셈
곱셈과 나눗셈을 행할 두 복소수를 다음과 같이 가정할 때 두 복소수의 곱셈은 다음과 같고 나눗셈은 다음과 같이 계산됨 (14.1 8) (14.1 9)복소수의 극형식
오일러공식을 이용하여 식 (14.18) 과 식 (14.19) 에서 지수함수 형태를 삼각함수 형태로 변환하면 곱셈과 나눗셈의 편각은 다음과 같이 나타낼 수 있음 (14.2 0) (14.2 1) (14.2 2) (14.2 3)복소수의 극형식
제곱근
임의의 복소수가 이라 할 때 , 일 때 다음 식이 성립함 , 라 두고 , 에 대입하면 드 므아브르 공식을 적용하면 다음 식이 성립함 의 제곱근 (14.24) 위 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있음 식 (14.25) 를 사용해 를 극형식으로 표현하면 을 대입하여 얻은 값을 의 주 값이라고 함 (14.2 5) (14.2 6)
복소함수
복소함수의 정의
함수 가 있을 때 , 를 복소변수라 하고 , 복소변수 로 이루어진 점의 집합이 의 정의역이 됨 복소변수 로 나타낸 함수 가 복소함수
복소평면상의 원
(14.2 7) (14.2 8) 중심이 원점이고 , 반지름이 1 인 경우 : 단위원 경계를 제외한 원판 : 열린 원판 경계를 포함한 : 닫힌 원판 는 원의 외부를 나타냄
복소평면상의 원
복소함수
도함수와 해석함수
함수 f(z) 는 점 에서 연속이라 함 점 에서 복소함수의 도함수 이때 함수 는 점 에서 미분가능하다고 함 도함수 값은 어떤 경로를 거치든 동일해야 한다 . (14.2 9) (14.3 0)복소함수
[ 그림 14-9] 에 복소함수의 도함수를 구하기 위해 접근할 수 있는 경로를 제시 부터 시작하는 경로 (A) 를 따라가면 도함수는 부터 시작하는 경로 (B) 를 따라가면 도함수는 경로에 따라 도함수의 값이 달라지므로 , 복소함수 의 도함수는 존재하지 않으므로 , 미분불가능한 경우가 됨 함수 가 임의의 정의역 내의 를 포함한 부근의 모든 점에서 미분가능하면 , 점 에서 해석적이라고 함 . 정의역 내부의 모든 점에서 해석적이면 를 해석함수라 함 예제 14-7
복소함수
코시 - 리만 방정식 :
복소함수가 해석적인지 아닌지 판단할 수 있는 중요한 방정식 다음과 같은 복소함수가 있다고 할 때 이 함수가 점 의 근방에서 미분가능하면 , 복소함수의 도함수는 다음과 같 음 (14.3 1) 를 대입하여 식 (14.31) 을 복소함수 의 실수부와 허수부인 와 로 표현하 면
다음과 같은 형태의 식이 됨
복소함수
식 (14.32) 의 도함수를 완성하기 위해 [ 그림 14-10] 의 경로 (I) 를 선 택하면 부터 시작하는 경로를 따르는 것임 가 0 이 되면 이 결과를 적용하여 식 (14.32) 를 다시 쓰면 위 식을 와 항으로 나눠 쓰면 위 식의 우변의 항은 각각 에 대한 와 의 편도함수가 됨 (14.3 3)
복소함수
경로 (II) 의 경우 부터 시작하는 적분으로 , 을 적용하면 가 됨 . 이를 식 (14.32) 에 대입하면 에 대한 편도함수 식으로 정리하면 다음과 같음 (14.3 4) 식 (14.33) 과 식 (14.34) 의 도함수는 경로만 다를 분 같은 값을 가져야 하므로 , 각각의 실수부와 허수부를 비교하여 다음 식을 얻을 수 있음 예제 14-8 코시 - 리만 방정 식 (14.3 5)
복소함수
극형식을 이용하여 복소함수를 표현하면 다음과 같음
극형식으로 나타낸 코시 - 리만 방정식
(14.3 6)
초등함수 :
지수함수 , 로그함수 , 다항함수 , 삼각함수 등 기본적인 함수 자 체와 그 합성으로 이루어진 함수복소지수함수
복소지수함수의 도함수는 다음과 같이 되는 성질을 갖고 있음 식 (14.37) 의 도함수를 구해보면 , 식 (14.38) 을 증명할 수 있음 (14.3 7) (14.3 8)초등함수
오일러 공식을 나타내는 식 에서 인 경우를 보면 다음과 같은 식을 얻을 수 있음 복지수함수 은 주기가 인 주기함수이며 , 이를 식으로 나타내면 (14.3 9) (14.4 0) 식 의 크기를 구하면 다음과 같으므로 복소지수함수의 크기는 다음과 같이 계산된다 . 복소지수함수는 모든 에 대해 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있다 . (14.4 1)
초등함수
복소삼각함수
복소삼각함수의 도함수는 일반 미적분과 같은 형태로 얻어짐 식 (14.42) 에 적용된 것처럼 , 다음 오일러 공식도 복소함수에서 사용될 수 있음 (14.4 2) (14.4 3) (14.4 4)복소쌍곡선함수
복소쌍곡선함수의 도함수 복소삼각함수와 복소쌍곡선함수의 관계 (14.4 5) (14.4 6) (14.4초등함수
복소로그함수
유일한 값을 갖는 단가함수로 정의하기 위해 주편각을 사용하여 식 (14.49) 를 다음과 같이 나타냄 주편각과 편각과의 관계는 다음 식과 같으므로 복소로그함수 는 다음과 같이 되며 최종적으로 다음 식을 얻을 수 있음 복소로그함수의 주값 (14.4 9) (14.5 0) (14.5 1)예제 14-9
