EBS 올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 미적분 답지 정답

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(1)올림포스 전국연합학력평가 기출문제집. 미적분. 정답 과 풀이. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 1. 2020-10-14 오전 11:07:34.

(2) 정답 과 풀이 02. 01  수열의 극한 개념. 본문 7 쪽. 확인 문제. 01 ⑴ 수렴, 극한값 1 ⑵ 발산. ⑶ 발산. 02 ⑴ 12. ⑵ 8. ⑶ 5. ⑷ 18. ⑹ 13. ⑺ ;2!;. ⑻ ;9!;. 03 ⑴ 1. ⑵ 6. ⑶ 0. ⑷ ;2!;. 04 ⑴ ;2!;. ⑵ 2. ⑶ ¦. ⑷0. 05 ⑴ 0. ⑵ 2. 06 ⑴ ;3!;. ⑵1. ⑸ 9. 07 ⑴ -3<rÉ3 ⑵ ;3!;. 08 ⑴ 2. ⑶ ¦. ⑶ 1. n. 3 1+ a n. =. -2+0 =-2 1+3_0 답. ①. 답. ①. 답. 12. 답. 21. 03. lim bn= lim {3an-(3an-bn)}=3 lim  an- lim (3an-bn) . n Ú¦. n Ú¦. n Ú¦. n Ú¦. =3_2-4=2. 04 an-1=cn이라 하면 an=cn+1. ⑷ -¦. lim (an-1)=2에서 lim cn=2이므로. n Ú¦. ⑵ -3<rÉ-1. 1 -2+ a. ⑷ 발산. ⑸ 수렴, 극한값 ;2!; ⑹ 수렴, 극한값 0  ⑺ 발산(진동)  ⑻ 발산. -2an+1 = lim lim an+3 n Ú¦ n Ú¦. n Ú¦. lim an= lim (cn+1)=2+1=3. ⑶ -1<rÉ3. n Ú¦. ⑷ ;5!;. n Ú¦. an+2bn=dn이라 하면 bn=;2!; (dn-an)이고 lim (an+2bn)=9에서 lim dn=9이므로. n Ú¦. n Ú¦. lim bn= lim ;2!; (dn-an)=;2!;(9-3)=3. n Ú¦. 내신. &. 학평. 본문 8~19 쪽. 유형 연습. 01 33 07 ⑤ 13 ② 19 ① 25 ① 31 ① 37 6 43 ① 49 ⑤ 55 ⑤ 61 ①. 02 ① 08 ④ 14 ④ 20 ④ 26 ③ 32 20 38 ③ 44 ② 50 ⑤ 56 ② 62 ④. 03 ① 09 ② 15 ③ 21 ③ 27 ① 33 ④ 39 ③ 45 ⑤ 51 ⑤ 57 ① 63 9. 04 12 10 12 16 ① 22 20 28 4 34 2 40 ④ 46 ⑤ 52 32 58 2 64 ③. 05 21 11 ② 17 ① 23 ② 29 ② 35 ④ 41 ③ 47 9 53 ⑤ 59 ①. 06 ④ 12 ① 18 ④ 24 ① 30 4 36 40 42 5 48 10 54 ② 60 ④. lim  nan(bn+2n). = lim (nanbn+2n2an)= lim {n2an_ n Ú¦. n Ú¦. lim. n Ú¦. lim. n Ú¦. 따라서 an+bn=;3!; (cn+dn)이므로. 답. ④. 답. ⑤. 답. ④. 5-;n!; 5n2-n = =;2%; lim 2n2+1 n Ú¦ 2+ 1 2 n. 3 8- 2 n 8n2-3 = lim =4 lim 2 9 n Ú¦ 2n +7n-9 n Ú¦ 2+;n&;+ 2 n. n Ú¦. =;3!; ( lim cn+ lim dn)=;3!;_(9+90)=33 n Ú¦. 답. 2 올림포스. 6 6n2 6n2 =6 = lim = lim 2 (n+1)(n+2) n Ú¦ n +3n+2 n Ú¦ 1+;n#;+ 2 2 n. 08. lim (an+bn)= lim ;3!; (cn+dn)=;3!; lim (cn+dn)  n Ú¦. bn +2 lim n2an=3_5+2_3=21 n n Ú¦. 07. n Ú¦. 2_㉠-㉡에서 3bn=2cn-dn이므로 bn=;3!; (2cn-dn). n Ú¦. n Ú¦. bn +2n2an} n. 06. 2_㉡-㉠에서 3an=2dn-cn이므로 an=;3!; (2dn-cn). n Ú¦. n Ú¦. = lim  n2an_ lim. lim cn= lim (an+2bn)=9, lim dn= lim (2an+bn)=90 n Ú¦. n Ú¦. n Ú¦. an+2bn=cn    yy ㉠,  2an+bn=dn    yy ㉡이라 하면 n Ú¦. 따라서 lim an(1+bn)=3_(1+3)=12. 05. 01. n Ú¦. n Ú¦. 33. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 2. 2020-10-14 오전 11:07:35.

(3) 09 lim. n Ú¦. 15 an+2 = lim 2n-1 n Ú¦. a+;n@; 2-;n!;. ¾Ð1-;n!;+2 "Ãn2-n+2n 1+2 = =3 = lim 1 n Ú¦ n Ú¦ 1 "n2+1 ¾Ð1+ 2 n. =;2A;. lim. 이때 ;2A;=1이므로 a=2 답. ②. n Ú¦. 따라서 a=2, b=10이므로 a+b=12 답. 12. 11. n Ú¦. 답. ①. 답. ④. 답. ①. 정답과 풀이. 3. 6n-1 a 6n+1 É lim   n É lim   lim   n n n Ú¦ n n Ú¦. 6n-1 6n+1 =6, lim   =6이므로 이때 lim   n n n Ú¦ n Ú¦. (2n+1)an (2n+1)(n+1)bn = lim    n Ú¦ 3n2 3n2 = lim . lim  nan=3. n Ú¦. n Ú¦. 따라서 lim . ①. 3n2-n 3n2+2n =3, lim   2 =3이므로 이때 lim   2 n Ú¦ n +1 n Ú¦ n +1. 17. an =bn이라 하면 an=(n+1)bn이고 lim bn=3이다. n+1 n Ú¦. n Ú¦. 답. 3n2-n 3n2+2n <nan< 2 2 n +1 n +1. 3n2-n 3n2+2n É lim  nanÉ lim   2 이므로 lim   2 n Ú¦ n +1 n Ú¦ n Ú¦ n +1. (a-2)n+b (a-2)n2+bn =5 = lim   2n-1 n Ú¦ 2-;n!;. lim. ③. 16 각 변에 n을 곱하면. 10. 답. a lim   n =6 n. (2n+1)(n+1) _ lim bn  n Ú¦ 3n2. n Ú¦. =;3@;_3=2 답. ②. 18. 조건 ㈏에서 lim  anbn=3 n Ú¦. 12. 3 b ab 따라서 lim   n = lim   n n = =6 n Ú¦ n n Ú¦ nan ;2!;. 1+an 1 = +1=n2+2에서 aÇ aÇ 1 1 =n2+1, 즉 aÇ= 2 aÇ n +1. 19. 1 n2 1 2 = =1 = lim   따라서 lim  n an= lim   2 1 1+0 n Ú¦ n Ú¦ n +1 n Ú¦ 1+ 2 n. 각 변을 5n 으로 나누면. 3. 답. 13 lim. n Ú¦. ①. 2n3+2n a 2n3+5n+1 É n3 É 3 5n 5n3 5n. 2n3+2n a 2n3+5n+1 É lim   n3 É lim   lim   3 n Ú¦ n Ú¦ 5n 5n3 5n. n Ú¦. 2n3+2n 2n3+5n+1 =;5@;, lim   =;5@;이므로 이때 lim   3 n Ú¦ n Ú¦ 5n 5n3 8-;n!; 8n-1 8-0 = =8 = 2 'Ä1+0 1 "n +1 ¾±1+ 2 n. a lim   n3 =;5@; 5n. n Ú¦. 답. ②. 20. 14. 각 변에. 4n n 4n 4 lim = lim =4 = lim 2 n Ú¦ "n +2 n Ú¦ n Ú¦ 2 n2 2 ¾± 2 + 2 ¾±1+ 2 n n n. 2n2-n an 2n2+n < < 2n+3 (3n-1)(2n+3) (3n-1)(2n+3) 답. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 3. ④. 1 을 곱하면 2n+3. 2n2-n a 2n2+n Élim   n Élim   lim   (3n-1)(2n+3) n Ú¦ 2n+3 n Ú¦ (3n-1)(2n+3). n Ú¦. 2020-10-14 오전 11:07:36.

(4) 정답 과 풀이. 25. 2n2-n 2n2+n =;3!;, lim   =;3!; 이때 lim   n Ú¦ (3n-1)(2n+3) n Ú¦ (3n-1)(2n+3). Á (ak+bk)=Sn이라 하면 n. a 이므로 lim   n =;3!; n Ú¦ 2n+3. k=1. 답. ④. 21. an+bn=Sn-Sn-1=. -n2` =-1 lim  n2(an+bn)= lim   n Ú¦ n Ú¦ n(n+1). x=-1이 이차방정식 anxÛ`+2an+1x+an+2=0의 근이므로. 2 또 조건 ㈏에 의해 lim  n bn=2이므로 n Ú¦. an-2an+1+an+2=0, 즉 2an+1=an+an+2. lim  n2an= lim  (n2an+n2bn-n2bn) . 이므로 수열 {an}은 등차수열이다.. n Ú¦. n Ú¦. = lim  n2(an+bn)- lim  n2bn=-1-2=-3. 수열 {an}의 첫째항을 a(a+0), 공차를 d라 하면. n Ú¦. an=a+(n-1)d, an+2=a+(n+1)d. n Ú¦. 답. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 (-1)_bn=. 1 1 -;n!;=(n¾2)이므로 n+1 n(n+1). 26. an+2 an+2 a+(n+1)d =이므로 bn=an an a+(n-1)d. lim ("Ãn2+2n-n)= lim  . n Ú¦. Ú d=0인 경우, lim  bn=-;aA;=-1. n Ú¦. n Ú¦. Û d+0인 경우, lim  bn=- lim n Ú¦. n Ú¦. dn+a+d =-1 dn+a-d. n Ú¦. 답. ③. 22. 답. ③. 답. ①. lim  ("Ã4n2+2n+1-"Ã4n2-2n-1). n Ú¦. = lim   n Ú¦. a1=S1=4 an=Sn-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1 (n¾2)이므로 lim. 2 2n =1 = lim   n Ú¦ "Ãn +2n+n ®É1+;n@;+1 2. 27. 따라서 lim  bn=-1. n Ú¦. ①. = lim   n Ú¦. 10an 10(2n+1) = lim =20 n n n Ú¦ 답. 4n+2 "Ã4n2+2n+1+"Ã4n2-2n-1 4+;n@;. 1 1 ¾Ð4+;n@;+ 2 +¾Ð4-;n@;- 2 n n. =. 4 =1 2+2. 20. 28. 23 a1=S1=4. lim ("Ãn2+8n+10-n)= lim  . n Ú¦. an=Sn-Sn-1=2n+2 (n¾2)이므로. n Ú¦. 8+ 10 n 8 = = lim =4 1+1 n Ú¦ 10 ¾±1+;n*;+ 2 +1 n. an=2n+2 (n¾1) 따라서 lim. n Ú¦. an 2n+2 = lim =2 n n Ú¦ n 답. 4. 29. Sn= Á kak=n (n+1)이라 하면. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하자.. 2. k=1. a3=a+2d=5, a6=a+5d=11이므로 a=1, d=2. Ú n¾2일 때,. 따라서 an=2n-1이므로. nan=Sn-Sn-1 . lim '§n ('¶an+1-'§an )= lim '§n ('¶2n+1-'¶2n-1 ). n Ú¦. =n2(n+1)-(n-1)2n=3n2-n. n Ú¦. 2'§n '§n {2n+1-(2n-1 )} = lim   = lim n Ú¦ n Ú¦ 'Ä2n+1+'Ä2n-1 'Ä2n+1+'Ä2n-1. Û n=1일 때, 1_a1=S1=2 Ú, Û에 의하여 nan=3n2-n, 즉 an=3n-1 (n¾1). = lim . a 3n-1 =3 따라서 lim n = lim n n Ú¦ n n Ú¦. n Ú¦. 답. 4 올림포스. 답. ②. 24. n. 8n+10   "Ãn2+8n+10+n. ①. 2. ¾Ð2+;n!;+¾Ð2-;n!;. =. '2 2 = 2 2'2. 답. ②. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 4. 2020-10-14 오전 11:07:36.

(5) 30. 2. 2. 2. 원 Cn의 넓이 Sn은 그림과 같이 원 x +y =n 과 x축의 교점 (n, 0). lim ("Ãn2+an-n+2a)= lim . n Ú¦. n Ú¦. = lim n Ú¦. 을 중심으로 하고 직선 y=;n!; x에 접하는 원 Cn'의 넓이 Sn'과 같다.. 5an-4a2   "Ãn2+an+n-2a 4a2 5a- n. ¾ÐÐ1+;nA;+1-;ªn;. 원 Cn'의 반지름의 길이를 rn이라 하면 rn은 점 (n, 0)과 직선 y=;n!; x 사이의 거리와 같으므로 rn=. =;°2;. 따라서 Sn=Sn'=(rn)  p= 2. 이때 ;°2; =10이므로 a=4 답. 4. lim Sn= lim . n Ú¦. n Ú¦. n` "ÃnÛ`+1. n2 p이므로 nÛ`+1. pn2 =p nÛ`+1 답. 31. ④. 다른 풀이 1. a1=1, a2+a4=(a1+d)+(a1+3d)=2a1+4d=18. 원 Cn의 반지름의 길이를 rn이라 하면 원 Cn의 중심의 y좌표는 원. 에서 d=4 S n=. Cn의 반지름의 길이 rn과 같고, 직선의 기울기가 ;n!;이므로 원 Cn의. n{2a1+(n-1)d} n{2+4(n-1)} = =2n2-n 2 2. 중심의 x좌표는 nrn이다.. Sn+1=2(n+1)2-(n+1)=2n2+3n+1. 원점에서 원 Cn의 중심까지의 거리가 n이므로. 따라서. (nrn)2+rn2=n2, (n2+1)rn2=n2, 즉 rn2=. lim  ("ÃSn+1-"ÅSn)= lim  ("Ã2n +3n+1-"2n -n)  2. n Ú¦. 2. n Ú¦. 4n+1 4 = lim   ='2 = 2 2 n Ú¦ "Ã2n +3n+1+"Ã2n -n 2'2 답. ①. 2. 따라서 Sn=p_rn =. n2 nÛ`+1. n2 p이므로 lim  Sn=p n Ú¦ nÛ`+1. 다른 풀이 2. 원 x +y =n 과 직선 y=;n!; x의 교점의 y좌표가 원 Cn의 반지름의 2. 32. 2. 2. 2. 두 실수 a, b에 대하여 두 점 Pn{a, ;nĽ;+1}, Qn{b, ;n©;+1}이라 하 면 a, b는 이차방정식 x -{4+;n!;}x+;n$;=;n!; x+1의 두 근이므로. 2. 2. 길이이므로 x +y =n 에 x=ny를 대입하면 (ny)2+y2=n2, (n2+1)y2=n2, 즉 y2=. 2. a+b=4+;n@;. n Ú¦. a+b 2 +2}=;3!; {;n$;+ +2} n nÛ`. 따라서 30` lim aÇ=30` lim ;3!; {;n$;+ n Ú¦. n Ú¦. n2 p nÛ`+1. 이므로 lim  Sn=p. 한편 삼각형 OPnQn의 무게중심의 y좌표 an은 aÇ=;3!; {0+;nÄ;+1+;n©;+1}=;3!; {. 2. 따라서 원의 넓이 Sn은 Sn=py =. n2 nÛ`+1. 34. 2 +2}=10_(0+0+2)=20 nÛ`. 원의 중심과 점 (n, n)을 지나는 직선은 직선 y=x와 수직이므로. 20. 원의 중심이 두 점 (n, n), (1, 0)으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있. 답. 원의 중심은 직선 y=-x+2n 위에 있다. 즉 bn=-an+2n 으므로. 33 원 x +y =nÛ 과 직선 y=;n!; x가 제1사분면에서 만나는 점을 중심 2. 2. (an-n)2+{(-an+2n)-n}2=(an-1)2+(-an+2n)2. 2. 으로 하고 x축에 접하는 원을 Cn이라 하자. y n. xÛ`+yÛ`=nÛ`. -n. CÇ. O. -n. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 5. n. 2n2+1 2n2+1 +2n , bn=2 2 2. 1 y=nx. 따라서 an-bn=2n -2n+1이므로 lim  . n Ú¦. x CÇ'. an=. an-bn 2n2-2n+1 = lim   =2 2 n Ú¦ n2 n 답. 2. 정답과 풀이. 5. 35 원주각과 중심각의 관계에 의하여 ∠AnPnBn=60ù이므로 ∠AnOBn=120ù. 2020-10-14 오전 11:07:37.

(6) 정답 과 풀이 선분 OP의 길이는 OBÓÉOPÓÉOAÓ. 원점 O에서 직선 AnBn에 내린 수선의 발을 Hn이라 하자. y. Ó 3n=8n, OBÓ=OGnÓ-3n=2n OAÓ=OGn+. AÇ. y. HÇ. P CÇ. BÇ O. A. x. QÇ. 3n. 60ù. P. GÇ B. PÇ. 삼각형 AnOBn이 이등변삼각형이고. O. OAnÓ=n, ∠AnOHn=60ù이므로 OHnÓ=;2N;. OPÓ=2n 또는 OPÓ=8n일 때 점 P의 개수는 각각 1개이고, 2n+1ÉOPÓÉ8n-1일 때, 선분 OP의 길이가 자연수인 점 P의 개. 원점 O와 직선 anx-y-(n+1)an=0 사이의 거리는 ;2N;이므로. 수는 각각 2개이다.. |-(n+1)an| (n+1)2an2 n2 = =;2N;에서 2 2 4 an +1 "Ãan +1. 그러므로 구하는 점 P의 개수는 2+2_(6n-1)=12n이므로 an=12n. a2 n2 따라서 lim   2 n = lim   2 =;4!; n Ú¦ an +1 n Ú¦ 4(n+1). 답. ④. 36 y. x. 4n. 1 n 1 12n(n+1) ]=6 따라서 lim   2 Á ak= lim [ 2 _ 2 n Ú¦ n k=1 n Ú¦ n. 답. 6. 38. y=f(x). 2. 2. 2. 원 x +y =n 과 곡선 y='Äx+n이 만나는 두 점은. B. (-n, 0), (n-1, 'Ä2n-1)이므로 두 점 사이의 거리는. Q. an="Ã4n2-2n이고 원의 지름의 길이는 bn=2n이다.. P. 따라서 O. A. 2n lim  (bn-an)= lim  (2n-"Ã4n2-2n)= lim     2 n Ú¦ n Ú¦ 2n+"Ã4n -2n. x. n Ú¦. x+y=n. 2 =;2!; = lim   n Ú¦ 2+¾Ð4-;n@;. A(n, 0), B(0, n)이고 P {;3@;n, ;3N;}, Q {;3N;, ;3@;n}이다. 2. 이차함수 f(x)=x +anx+bn이라고 하자.. 답. 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x+n의 교점이 P, Q이므로 방정식 x +anx+bn=-x+n의 두 근은 두 점 P, Q의 x좌표이다. 2. 즉 이차방정식 x +(an+1)x+(bn-n)=0의 두 근이 ;3N;, ;ª3÷;이므 2. 39 직선 OP의 기울기가. 2n2 =2n이므로 점 P(n, 2n2)을 지나고 직선 n. 로 근과 계수의 관계에 의해. OP에 수직인 직선 l의 방정식은 y-2n2=-;2Án;(x-n). -(an+1)=;3N;+;ª3;÷ =n, bn-n=;3N;_;ª3÷;=;9@;n2. 이고 점 Q의 좌표는 {0, 2n +;2!;}이다. 2. an=-n-1, bn=;9@;n2+n. 또 OPÓ="Ãn +(2n ) ="Ã4n +n 이므로. 9b 2n2+9n =-2이므로 따라서 lim   n = lim   2 n Ú¦ nan n Ú¦ -n -n. n Ú¦. 2. 2 2. 4. 2. lim  (OPÓ-OQÓ)= lim  ["Ã4n4+n2-{2n2+;2!;}]  n Ú¦. -n2-;4!;. k=-2이고 10k2=40 답. 40. 37. = lim     n Ú¦ "Ã4n4+n2+{2n2+;2!;} -1-. 원 Cn은 x축에 접하는 원이므로 반지름의 길이는 3n이다.. 원 Cn의 중심이 Gn(4n, 3n)이므로 OGnÓ="Ã(4n) +(3n) =5n 2. 2. 그림과 같이 직선 OGn과 원 Cn이 만나는 점을 각각 A, B라 하면   . 6 올림포스. ③. 1 4n2. =-;4!; = lim   n Ú¦ 1 1 ¾Ð4+ 2 +{2+ 2 } n 2n 답. ③. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 6. 2020-10-14 오전 11:07:38.

(7) 40. 따라서 a=-;4!;, b=;4!;이므로 40(a +b )=5 2. 원점을 지나고 기울기가 bn인 직선의 방정식은 y=bnx이다.. 2. 답. 이 직선이 곡선 y=-(x-n)(x-n-2)에 접하므로. 43. 이차방정식 bn x=-(x-n)(x-n-2)의 근 x=an은 중근이다.. 점 P에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자.. 2. 그러므로 이차방정식 x +{bn-2(n+1)}x+n(n+2)=0에서 2 이차식 x +{bn-2(n+1)}x+n(n+2)는 완전제곱식으로 나타내. 어진다. 즉 x +{bn-2(n+1)}x+n(n+2)={x+'Än(n+2)} 2. 2. 2 또는 xÛ`+{bn-2(n+1)}x+n(n+2)={x-'Än(n+2)}. 삼각형 PAB의 넓이는 ;2!;_ABÓ_PHÓ이고 선분 PH의 길이는   직선 PH가 원의 중심 O를 지날 때 최대이다. 직선 AB의 기울기가 ;2!;이므로 점 P는 직선 y=-2x와 원. 그런데 an>0이므로. x2+{bn-2(n+1)}x+n(n+2)={x-'Än(n+2)}2=0. x2+y2=n이 만나는 점 중 x좌표가 양수인 점이다.. x의 계수에서 bn-2(n+1)=-2'Än(n+2), 즉. an>0이므로 an=. 점 P(an, -2an)이라 하면 an +4an =n 2. 에서 an= 'Än(n+2) 이고,. bn= 2{n+1-'Än(n+2)}. 2. 'n '5. 따라서 lim  'n (an+1-an)= lim  'n {. 이다. 따라서. lim  an bn= lim  2"Ãn(n+2){n+1-"Ãn(n+2)} . n Ú¦. n Ú¦. 2'Än(n+2) = lim   = lim   n Ú¦ n+1+"Ãn(n+2) n Ú¦. 5. n Ú¦. 2¾Ð1+;n@; 1+;n!;+¾Ð1+;n@;. n Ú¦. 'Än+1-'n }  '5. 'n '5 = lim   = 10 n Ú¦ '5('Än+1+'n). =1. 답. ①. 44. f(n)="Ãn(n+2), g(n)=2{n+1-"Ãn(n+2)}, a=1이고. y. f(1)='3, g(1)=2(2-'3). PªÇÐÁ PªÇ. n. 따라서 2 f(1)+g(1)=2'3+2(2-'3)=4 ④ P°. 3. 41. 두 점, An(n, 'Ä5n+4), Bn(n, 'Ä2n-1)이므로. 1. an="Ãn2+5n+4, bn="Ãn2+2n-1. n Ú¦. = lim   n Ú¦. 4 1 +¾Ð1+;n@;- 2  } n2 n 3+;n%;. 1. P¢ Pª. 2. y, a2m-1="Ã(m-1)2+(m-1)2, a2m="Ãm2+(m-1)2 Ú n=2m-1(m은 자연수)일 때. =8. lim  (an+1-an)= lim  (a2m-a2m-1) . n Ú¦. m Ú¦. = lim {"Ã2mÛ`-2m+1 -"Ã2(m-1)Û` } . ③. m Ú¦. = lim. m Ú¦. 두 점 An(n, '¶3n), Bn(n, 'n)이므로 삼각형 AnBnBn+1의 넓이는. '¶3n-'n 'n('3-1) = Sn=;2!;_AnBnÓ_1= 2 2. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 7. '3-1 'n '3-1 =  lim   2 n Ú¦ 'Än+1+'n 4. 2m-1 '2 = 2 2 "Ã2m -2m+1+"Ã2(m-1) 2. Û n=2m(m은 자연수)일 때. lim  (an+1-an)= lim  (a2m+1-a2m) . n Ú¦. m Ú¦. = lim  {"Å2m2-"Ã2m2`-2m+1 }  m Ú¦. '3-1 ('Än+1-'n)]  lim  'n(Sn+1-Sn)= lim  'n[ 2 n Ú¦ n Ú¦ =. n n+1 x. Ó "Ã22+12 , a5=P1P5Ó="Ã22+22 , a3=P1P3Ó="Ã12+12 , a4=P1P4=. 답. 42. .... 3. n=3, 4, 5, y를 an=PÁPnÓ에 대입하면. 12("Ãn2+5n+4+"Ãn2+2n-1)   3n+5 12{¾Ð1+;n%;+. PÁ. O. 12 12 = lim   2 lim     2 n Ú¦ an-bn  n Ú¦ "Ãn +5n+4-"Ãn +2n-1 = lim  . P£. 2. .... 답. = lim. m Ú¦. 2m-1 '2 = 2 2 "Ã2m +"Ã2m -2m+1 2. Ú, Û에 의해 lim  (an+1-an)= n Ú¦. '2 2 . 답. ②. 정답과 풀이. 7. 2020-10-14 오전 11:07:39.

(8) 정답 과 풀이. 45. 이므로. a2n-1=3_{;3@;}. =3_{;3@;}. n-1. 5 5_4n 5 = lim   =5 lim   n n = 1+0 n Ú¦ 4 +1 n Ú¦ 1+{;4!;} 답. 46. ⑤. Á  a2n-1=. 16-{;2!;} 1+{;4!;}. n=1. n. n. =. 16-0 =16 1+0 답. ⑤. 32-2_{;3@;}. 3. -2 lim   n 3 +2n n Ú¦. = lim   n Ú¦. 1+{;3@;}. n. 5_2n+1-1 = lim   lim   2n+1 n Ú¦ n Ú¦. 5_2-{;2!;} 1+{;2!;}. n. n-1. 3 1-;9$;. =:ª5¦:. 답. 32. 답. ⑤. 53. n Ú¦. n+1. ax f(x)= lim  . =9. n Ú¦. 답. 48. =3_{;9$;}. Ú 0<x<1인 경우, lim  xn=0이므로. n. n+1. 2(n-1). 따라서 p=5, q=27이므로 p+q=32. 47 n+2. (2n-1)-1. 수열 {a2n-1}은 첫째항이 3, 공비가 ;9$;인 등비수열이므로 ¦. 4n+2-2n = lim   lim   n 4 +1  n Ú¦ n Ú¦. 9. -2a-1 -2a-1 = 2xn+3 3. Û x=1인 경우, f(1)=. a-2a-1 -a-1 = 2+3 5. 1 Ü x>1인 경우, lim  xn=¦이므로 lim   n =0 n Ú¦ n Ú¦ x. n. =10 답. 10. axn+1-2a-1 = lim   lim   2xn+3 n Ú¦ n Ú¦. 2a+1 xn =;2A;x 3 2+ n x. ax-. x=1에서 연속이므로 lim `f(x)= lim `f(x)=f(1)에서. 49. x Ú1+. ;2A;=. n 2n+a_5n+1 = lim  [{;5@;} +5a]=5a lim   n 5 n Ú¦ n Ú¦. 이때 5a=3이므로 a=;5#; 답. ⑤. 50. 54. an=a1_3. [{ ⑤. 2 3n-1 a1 이므로 lim   9+2a = n Ú¦ 1 9+2a1. n. 에서. -1<. 4x-1 É1, 즉 -2<xÉ;2%; 9 (4x-1)n ]이 수렴하도록 하는 모든 정수 x의 개수는  23n+32n. 4이다. 답. a1 =;5@;이므로 a1=18 9+2a1 답. ⑤. 52 수열 {an}이 aÁ=3이고, 모든 자연수 n에 대하여 an+1=;3@; an이므로. 8 올림포스. {;9*;} +1. 4x-1 n } ]이 수렴해야 한다. 9. 따라서 수열 [. a1-. 수열 {an}은 첫째항이 3, 공비가 ;3@;인 등비수열이다.. 4x-1 n 9 }. n. 답. n-1. {. n Ú ¦일 때, {;9*;} Ú 0이므로 주어진 수열이 수렴하려면 등비수열. 이때 ;5A;=3이므로 a=15. 51. n. (4x-1) (4x-1) = n = 23n+32n 8 +9n. a+{;4!;} n n lim  {;4!;} =0, lim  {;2!;} =0이므로 lim   n =;5A; n Ú¦ n Ú¦ n Ú¦ 5+{;2!;}. x Ú1-. -2a-1 -a-1 = , 즉 a=-;7@; 3 5. n. n. 이때. 따라서 an=3_{;3@;}. ②. 55 수열 [{ -1<. x-3 n x-3 } ]은 공비가 인 등비수열이므로 수렴할 조건은 2 2. x-3 É1, 즉 -2<x-3É2 2. 따라서 1<xÉ5이므로 모든 정수 x의 값의 합은 2+3+4+5=14 답. ⑤. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 8. 2020-10-14 오전 11:07:39.

(9) 56. 59. a>b>0이므로 0<;aB;<1에서. x축, y축에 동시에 접하고 원의 중심이 직선 y=x 위에 있는 두 원. lim  {;aB;} =0이므로 주어진 식의 분모, 분자를 a 으로 각각 나누면 n. n. n Ú¦. (x-a)2+(y-a)2=a2, (x+b)2+(y+b)2=b2 n 이다. 두 원의 중심 (a, a), (-b, -b)에서 직선 3x-4y+4 =0까. 2an 2 2 =2 lim   n n = lim   n = 1+0 n Ú¦ a +b  n Ú¦ 1+{;aB;}. 지의 거리가 각각 a, b이므로 답. ②. 57. a=. |3a-4a+4n| |-a+4n| = 5 "Ã32+42. 즉 a>0이므로 a=. Ú 0<;;5 M;<1, 즉 0<m<5이면 lim  {;;5;M } =0이므로 2. n Ú¦. b=. {:5:} M +2 0+2 = =2 lim   n n Ú¦ 0+1 {:5:} M +1 n+1. 의 반지름의 길이를 각각 a, b라 하면 두 원의 방정식은. 4n 6. |-3b+4b+4n| |b+4n| = 2 2 5 "Ã3 +4. 즉 b>0이므로 b=. 4n 4. 그러므로 자연수 m의 값은 1, 2, 3, 4이다.. 두 원의 반지름의 길이는 각각. Û ;;5 M;=1, 즉 m=5이면 lim  {;;5;M } =1이므로. an=. n. n Ú¦. lim  . n Ú¦. {:5:} M. n+1. +2. {:5:} M +1 n. =. n. n Ú¦. lim  . n Ú¦. +2. :5:+2_ M. {:5:} M +1 n. = lim   n Ú¦. 1+. 2n+1. 1 {:5M:} 1. {:5M:}. n. =. :5M:+0 1+0. =;;5M;. 따라서 lim   n Ú¦. n+1. n. 2n+1. ①. 2_;1ð0;+. 58 수열 {(x+2)(x -4x+3). n-1. = lim  . }이 수렴하기 위해서는. n Ú¦. 1+. Ú 첫째항이 x+2=0일 때, x=-2 Û 공비가 r=x -4x+3이므로 -1<x -4x+3É1 2. 2. [. 2 2 x -4x+4>0이고 x -4x+2É0. 1 n. ④. 정답과 풀이. 9. n. {;1ð0;}. 에서 정수 x는 1, 3이다.. 1 n. {;1ð0;}. +. =. 1 {;1ð0;}. ;5K;+0 1+0+0. 이므로. ;5K; (k>10). Á ak= Á ak+a10+ Á ak= Á 0+1+ Á ;5K;  20. 따라서 Ú, Û에 의하여 정수 x는 -2, 1, 3이므로. k=1. 모든 정수 x의 합은 2이다.. 9. 20. 2. 9. =1+ Á {2+;5K;}=1+20+;5!;_ k=1. k=11. 10. 답. =;5K;. 2n. 0 (0<k<10). 따라서 ak= 1 (k=10). 2 (x-2) >0이고 2-'2ÉxÉ2+'2. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 9. 답. 2_1+1 =;3#;=1 1+1+1. 2_{;1ð0;} +{;1ð0;} ak= lim     2n n n Ú¦ {;1ð0;} +{;1ð0;} +1. 5이다. 답. 2_0+0 =0 0+0+1. Ü ;1ð0;>1, 즉 k>10일 때. =2가 되도록 하는 자연수 m의 개수는. 2. n. Û ;1ð0;=1, 즉 k=10일 때, ak=. +2. {:5:} M +1. ①. 2_{;1ð0;} +{;1ð0;} ak= lim   에서 2n n n Ú¦ {;1ð0;} +{;1ð0;} +1 Ú 0<;1ð0;<1, 즉 0<k<10일 때, ak=. n. 즉 ;;5 M;=2에서 m=10 {:5:} M. 답. 60. Ü ;;5;M >1, 즉 m>5이면 lim  {;;5;M } =¦이므로 n+1. 4n 4n 5_4n + = 6 4 12. 5_4n ;1°2; 12 a = lim   따라서 lim   n n = lim   n n =;1°2; 4 +1 4 +1 n Ú¦ n Ú¦ n Ú¦ 1+{;4!;}. 1+2 =;2#; 1+1. 그러므로 m+5. {:5:} M. 4n 4 n , 이므로 6 4. k=1. k=1. 20. k=11. 10_11 =32  2. 2020-10-14 오전 11:07:40.

(10) 정답 과 풀이. 61. 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.. Ú 0<x<1일 때, lim  x =0이므로. y=f(x). n. y. n Ú¦. axn f(x)= lim   n =0 n Ú¦ 1+x. y=g(x). 2 1. Û x=1일 때, lim  xn=1이므로 n Ú¦. -1. axn f(1)= lim   n =;2A; n Ú¦ 1+x. O 1 -1 -2. x. 1 Ü x>1일 때, lim   n =0이므로 n Ú¦ x ① a=0인 경우, 서로 다른 세 점에서 만난다.. a axn =a f(x)= lim   n = lim   1 n Ú¦ 1+x n Ú¦ n +1 x. ② a=1인 경우, 서로 만나지 않는다. ③ a>1, a<-1인 경우, 한 점에서 만난다.. Ú, Û, Ü에 의하여. [. h(0)=3이고, h(1)=0에서 lim  h(a)=1이다.. 0 (0<x<1). a Ú1+. f(x)= ;2A; (x=1). 따라서 h(0)+ lim  h(a)=3+1=4 a Ú1+. a (x>1). 답. 따라서 f {;5!;}=f {;5@;}=f {;5#;}=f {;5$;}=0,. 63. f(1)=;2A;,. 점 An(0, n+1), 점 Bn(n+1, 0), 점 Cn(3 점 Dn(n+1, 3. f {;5^;}=f {;5&;}=f {;5*;}=f {;5(;}=f(2)=a이므로. n+1. +n, n+1), . +n)이므로 선분 CnDn을 대각선으로 하는 정사. Sn=(3n+1-1)2=32n+2-2_3n+1+1. 10. k=1. 따라서. 이때 :Á2Á:a=33이므로 a=6. lim  . 답. ①. n Ú¦. Sn 32n+2-2_3n+1+1 2n = lim     n Ú¦ 32n 3 = lim  {. 62. n Ú¦. 1 Ú |x|>1일 때, lim   2n =0이므로 n Ú¦ x. 32n+2 2_3n+1 1 + 2n }=9 2n 3 3 32n 답. 직선 y=g(x)는 원점과 점 (3, 3)을 지나므로 직선의 방정식은. Û |x|<1일 때, lim  x2n= lim  x2n+1=0이므로. 주어진 그래프에서 f(2)=4, g(2)=2이므로. y=x이다.. n Ú¦. 2n+1. 2x f(x)= lim   2n =0 n Ú¦ 1+x. h(2)= lim   n Ú¦. 2n+1. n Ú¦. =1이므로. 2x2n+1 2 =1 f(1)= lim   2n = 1+1 n Ú¦ 1+x Ý x=-1일 때, lim  x2n=1, lim  x2n+1=-1이므로 n Ú¦. n Ú¦. 2x2n+1 -2 =-1 f(-1)= lim   2n = 1+1 n Ú¦ 1+x 2x (|x|>1). 0 (|x|<1) . Ú~Ý에 의하여 f(x)=. 1 (x=1) -1 (x=-1). 10 올림포스. { f(2)}n+1+5{ g(2)}n 4n+1+5_2n = lim     n n 4n+2n n Ú¦ { f(2)} +{ g(2)}. 4+5_{;4@;} 4+5_0 = lim   = =4 n 1+0 n Ú¦ 1+{;4@;} n. Ü x=1일 때, lim  x = lim  x 2n. 9. 64. 2x =2x f(x)= lim   1 n Ú¦ 2n +1 x. n Ú¦.  . n+1. 각형의 넓이 Sn은. Á `f {;5K;}=;2A;+5a=:Á2Á:a. n Ú¦. ④. 마찬가지로 주어진 그래프에서 f(3)=3, g(3)=3이므로 { f(3)}n+1+5{ g(3)}n h(3)= lim   n Ú¦ { f(3)}n+{ g(3)}n  = lim . 3n+1+5_3n   3n+3n. = lim . 8_3n =;2*;=4 2_3n. n Ú¦. n Ú¦. 따라서 h(2)+h(3)=4+4=8 답. ③. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 10. 2020-10-14 오전 11:07:40.

(11) 서술형. 본문 20 쪽. 연습. 01 2 . 02 24. [. 따라서 f {;k%;}= 5 (k=5). 01 2. 점 (n, 3n )과 직선 3n x-(n+2)y+1=0 사이의 거리 dn은 dn=. 2. |3n -(n+2)_3n +1| |-6n +1| =  "Ã(3n2)2+(n+2)2 "Ã9n4+n2+4n+4. k=5. 4. 10. k=1. k=6. 단계. 6n2-1  "Ã9n4+n2+4n+4. 10. = Á 1+5+ Á 3=4+5+15=24 . ㉮. 2. ㉯. 따라서. k=6. ㉰ 답. 채점 기준 x의 값의 범위에 따른 함수 f(x)를 구한 경우. 50%. ㉯. k의 값의 범위에 따른 f {;k%;}의 값을 구한 경우. 30%. Á `f {;k%;}의 값을 구한 경우 10. 6n -1 lim  dn= lim   4 2 n Ú¦ n Ú¦ "Ã9n +n +4n+4  1 6- 2 n = lim   =;3^;=2  n Ú¦ 1 4 4 ¾Ð9+ 2 + 3 + 4 n n n. ㉰ 답. 단계. 채점 기준 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식에 의해 dn을 식으로 나타낸 경우. 2. 비율. 01 ④ 07 ⑤. 풀이 전략. n이 자연수임을 이용하여 dn의 절댓값을 구한 경우. 30%. ㉰. lim dn의 값을 구한 경우. 20%. k`Ú¦. 본문 21~23 쪽. 02 ③ 08 ②. 03 4 09 ①. 04 ⑤ 10 32. 05 4 11 ②. 06 ① . 01. 50%. ㉯. 20%. k=1. 도전. 1등급. 24. 비율. ㉮. ㉰. 2. ㉮. 5. k=1. 2. 이때 n이 자연수이므로 -6n +1<0이 되어 dn=. 3 (k¾6). 4. k=1. 3. ㉯. 이므로 . Á `f {;k%;}= Á `f {;k%;}+ Á `f {;k%;}+ Á `f {;k%;} 10. 2. 1 (1ÉkÉ4). 원의 중심에서 직선 y=;n!;까지의 거리를 이용하여 ln의 식. 을 구한다. 문제 풀이 1단계 1단계1 STEP. 원의 중심의 좌표를 C, AnBnÓ 의 중점을 Mn이라 하고 좌표평면에 직. 각삼각형 CMnBn을 나타낸다.. 02. 주어진 원의 중심을 C(0, 1), 선분 AnBn의 중점을 Mn이라 하면 삼. f(x)= lim   n Ú¦. 각형 CMnBn은 직각삼각형이다.. x2n+6xn+3  을 x의 값의 범위에 따라 분류해 보자. x2n+1. y. Ú |x|>1인 경우 lim  x =¦이므로 2n. 2. n Ú¦. f(x)= lim  . 6 3 + xn x2n =1 1 1+ 2n x. 1+. n Ú¦. C 1 1 1 1-n AÇ MÇ. Û |x|<1인 경우 lim  x2n= lim  xn=0이므로 f(x)=3 n Ú¦. xÛ`+(y-1)Û`=1. BÇ. 1 y=n x. O. n Ú¦. Ü x=1인 경우 lim  x = lim  x =1이므로 2n. n Ú¦. n. n Ú¦. 1+6+3 =5  f(1)= 1+1. 1단계 1단계2 STEP. ㉮. 등비수열의 극한을 이용하여 f {;k%;}의 값을 k의 값의 범위에 따라 분 류하면 ① ;k%;>1, 즉 k<5이면 f {;k%;}=1. 직각삼각형 CMnBn에서 선분 BnMn의 길이를 구한다. CMnÓ=COÓ-OMnÓ. CBnÓ=1, CMn= Ó 1-;n!;이므로 피타고라스 정리에 의해. C 1 1-n MÇ. BnMn Ó =CBn Ó -CMnÓ =1Û`-{1-;n!;} =;n@;2. 1단계 1단계3 STEP. 2. 2. 2. 1. 1 nÛ`. BÇ. lim n(ln)2의 값을 구한다. n Ú¦. ② ;k%;=1, 즉 k=5이면 f {;k%;}=5. ln=2BnMnÓ이므로 (ln)Û`=4BnMnÓ =4_{;n@;-. ③ ;k%;<1, 즉, k>5이면 f {;k%;}=3. 2 따라서 lim n(ln) = lim  n{;n*;-. 2. n Ú¦. n Ú¦. 1 4 }=;n*;nÛ` nÛ`. 4 }= lim  {8-;n$;}=8 n Ú¦ nÛ`. 답. 정답과 풀이. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 11. ④. 11. 2020-10-14 오전 11:07:41.

(12) 정답 과 풀이. 02. 삼각형 AEB와 삼각형 BOD는 서로 닮음이므로. 풀이 전략. (n+3):n=n:ODÓ, 즉 ODÓ=. 문제 풀이 1단계 1단계1 STEP. 수열 {an}의 수렴, 발산을 알아본다.. ㄱ. ‌수열 {an}은 1, 2, 1, 2, y. an=. (-1)n+3  에 n 대신 1, 2, 3, y을 대입한다.  2. 이므로 수열 {an}은 발산(진동)한다. (참) 1단계 1단계2 STEP. 1단계 1단계2 STEP. n2 n+3. 사각형 OBCD의 둘레의 길이와 넓이를 각각 구한다.. ODÓ=CDÓ, BOÓ=BCÓ이므로 ln=2_{. 수열 {bn}의 수렴, 발산을 알아본다.. ㄴ. 수열 {bn}은 p+q, -p+q, p+q, -p+q, y . n2 4n2+6n +n}= n+3 n+3. Sn=2_(삼각형 BOD의 넓이)=2_{;2!;_n_. 이므로 p=0인 경우 수열 {bn}은  q, q, q, y가 되어 수렴한다. (참) 1단계 1단계3 STEP. 두 각이 같은 AA 닮음. AEÓ:EBÓ=BOÓ:ODÓ에서. 수열이 수렴할 조건을 이용하여 극한값을 추론한다.. 1단계 1단계3 STEP. 두 수열 {an+bn}, {anbn}의 수렴 조건을 구한다.. ㄷ. 수열 {an+bn}은 1+p+q, 2-p+q, 1+p+q, 2-p+q, y  이므로 수열 {an+bn}이 수렴하기 위해서는  1+p+q=2-p+q, 즉 p=;2!;. lim  . n Ú¦. ln_Sn 의 값을 구한다. n3. 따라서 l _S 1 4n2+6n n3 _ }  lim   n 3 n = lim  { 3 _ n+3 n+3 n Ú¦ n  n Ú¦ n = lim  . 수열 {anbn}은  . n Ú¦. 4n2+6n =4 (n+3)2. 1_(p+q), 2_(-p+q), 1_(p+q), 2_(-p+q), y 이므로 수열 {anbn}이 수렴하기 위해서는.  . 04. 그러므로 q=3_;2!;=;2#;. 풀이 전략. n Ú¦. 1단계 1단계1 STEP. 또한 1_(p+q)=2_(-p+q)=2이므로 lim anbn=2 n Ú¦. 그러므로. 2. ¦ ¦ 꼴의 수열의 극한을 활용하여 도형 문제를 해결한다. Ó 내린 두 원 C1, C2의 중심을 각각 O1, O2라 하고 점 O2에서 PnO1에. 두 원 C1, C2의 중심을 각각 O1, O2라 하고 점 O2에서 선분 O1Pn에. x +y =(x+y) -2xy를 이용한다.. 내린 수선의 발을 Hn, 점 Pn에서 선분 O1O2에 내린 수선의 발을 Mn. n Ú¦. = lim (an+bn)_ lim (an+bn)-2 lim anbn  n Ú¦. n Ú¦. n Ú¦. 이라 하자. PÇ. =32`-2_2=5 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. 03 풀이 전략. 답. n-1 HÇ. ③. MÇ OÁ(0, 0). ¦ ¦ 꼴의 수열의 극한을 활용하여 도형 문제를 해결한다.. 문제 풀이 1단계 1단계1 STEP. 그림과 같이 점 A에서 원에 그은 두 접선의 접점 중 점 C가 아닌 점. 직각삼각형 PnHnO2에서. 을 E(2n, 0)이라 하자.. Ó ¾Ðn2-{ O2Hn=. y A(2n, n+3). 1단계 1단계2 STEP. Oª(n, 0). n-1 이고 2. n-1 2 "Ã3n2+2n-1 }= 2 2. 삼각형 O2PnO1의 넓이에 대한 식으로 PnMnÓ의 길이를 구한다.. n+3. B. n. E. ;2!;_PnO1_ Ó O2Hn= Ó ;2!;_O1O2_ Ó PnMnÓ이므로 x. ;2!;_(n-1)_ Ó 즉 PnMn=. 12 올림포스. n. 삼각형 O2PnO1의 넓이는. C D. n. n. Ó 삼각형 O2PnO1이 이등변삼각형이므로 PnHn=. 닮음인 두 삼각형에서 ODÓ의 길이를 구한다.. O. 4. 수선의 발을 Hn이라 하고 O2HnÓ의 길이를 구한다.. 2. lim {an2+bn2`}= lim {(an+bn)2`-2anbn} . n Ú¦. 답. 9 n2. 문제 풀이. 그러면 1+p+q=2-p+q=3이므로 lim (an+bn)=3. 2. 4+;n^;. 1+;n^;+. 1_(p+q)=2_(-p+q), 즉 q=3p. n2 n3 }= n+3 n+3. "Ã3n2+2n-1 =;2!;_n_PnMnÓ 2. (n-1)"Ã3n2+2n-1 2n. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 12. 2020-10-14 오전 11:07:42.

(13) lim . 1단계 1단계3 STEP. n Ú¦. PnQnÓ 의 값을 구한다. n. 즉 정사각형의 개수는 2 2 2 (4n +4n+1)-2n =2n +4n+1. PnQn= Ó 2PnMn이 Ó 므로. 1단계 1단계3 STEP. PQÓ (n-1)"Ã3n +2n-1 ='3 lim n n = lim n n Ú¦ n Ú¦ n2 2. Ú, Û에서 Sn+1-Sn=(2n2+2n)+(2n2+4n+1)=4n2+6n+1 답. ⑤. 이므로 lim  . n Ú¦. 05. Sn+1-Sn 4n2+6n+1 1 = lim   = lim  {4+;n^;+ 2 }=4 2  n Ú¦ n Ú¦ n2 n n 답. 4. Sn+1-Sn의 값은 2n-1Éx<2n+1에서 조건을 만족시키. 풀이 전략. 는 정사각형의 개수와 같음을 이용한다.. 06. 문제 풀이. 2n-1Éx<2n일 때 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 구한다.. 풀이 전략. 연립부등식을 만족시키는 점을 포함하는 정사각형의 개수를 구한다.. 문제 풀이. f(x)=x2, g(x)=;2!;xÛ`이라 하자.. 1단계 1단계1 STEP. 1단계 1단계1 STEP. 수열의 극한값을 구한다.. y. y=xÛ y=xÛ. y= 1 xÛ 2. ¦-¦ 꼴의 수열의 극한을 활용하여 도형 문제를 해결한다. 각 점의 좌표를 n에 대한 식으로 나타낸다.. 각 점의 좌표는 그림과 같다. y= 1 xÛ 2. y GÇ. DÇ Oª. (2n+1, 4nÛ +4n+1). BÇ OÁ. O EÇ (2n, 4nÛ ). x. AÇ FÇ CÇ x=n. x=-n+1. An(2n, 0), Bn(n, n), Cn(n, -n), Dn(-n+1, n-1), En(-n+1, -n+1), Fn(n-1, -n+1), Gn(n-1, n-1) 1단계 1단계2 STEP. y좌표가 모두 정수인 점들의 개수 an을 구한다.. (2n, 2nÛ ) O 2n-1 2n+1 x. 오각형 AnBnDnEnCn에서 삼각형 AnBnCn의 둘레 및 내부에 있는 {2n-1, 2nÛ -2n+;2!;}. n. 이므로 정사각형 EnFnGnDn의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 x좌. 2 2 g(2n-1)=;2!;_(2n-1) =2n -2n+;2!;. 2. 표와 y좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 (2n-1) 2. 이므로 조건을 만족시키는 정사각형의 개수는 2n -2n보다 크거 2. 2. 정사각형의 아랫쪽 변이 있는 점의 y좌표의 2 2 범위는 2n -2nÉy<4n. 2. 2. 따라서 an=(n+1) +(2n-1) =5n -2n+2이므로 1단계 1단계3 STEP. 나 같고 4n 보다 작은 자연수의 개수와 같다.. 1단계 1단계2 STEP. Á (2k+1)=n(n+1)+n=n2+2n. k=1. 변 DnEn 위의 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 2n-1. 2 2 f(2n)=(2n) =4n ,. 2 2 2 4n -(2n -2n)=2n +2n. 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점들의 개수는 1+3+y+(2n+1)=(n+1)2. Ú 2n-1Éx<2n일 때,. 즉, 정사각형의 개수는. 오각형 AnBnDnEnCn의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서 x좌표와. lim ('5n-'¶an )의 값을 구한다. n Ú¦. lim  ('5n-'¶an )= lim  ('5n-"Ã5n2-2n+2) . n Ú¦. 2nÉx<2n+1일 때 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 구한다.. Û 2nÉx<2n+1일 때,. n Ú¦. 2n-2 '5 = lim   = 2 5 n Ú¦ '5n+"Ã5n -2n+2 답. ①. 2 2 f(2n+1)=(2n+1) =4n +4n+1, 2 2  g(2n)=;2!;_(2n) =2n 2. 이므로 조건을 만족시키는 정사각형의 개수는 2n 보다 크거나 같 2. 고 4n +4n+1보다 작은 자연수의 개수와 같다.. 07 풀이 전략. 주어진 함수의 그래프의 영역에 속하는 x좌표와 y좌표가 자. 연수인 점의 개수를 구하여 수열의 극한을 구한다.. 정사각형의 아랫쪽 변에 있는 점의 y좌표의 범위는 2n2Éy<4n2+4n+1. 정답과 풀이. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 13. 13. 2020-10-14 오전 11:07:43.

(14) 정답 과 풀이 |h(a)|n+1 2n+1 Û |h(a)|=2일 때, lim   n n = lim   n n =1 n Ú¦ 2 +|h(a)| n Ú¦ 2 +2. 문제 풀이. 두 점 Pn, Qn을 지나는 직선의 방정식을 구한다.. 1단계 1단계1 STEP. 두 점 Pn(2n, 0), Qn(0, 4n )이므로 직선 PnQn의 기울기는. 이 되어 k=1. 0-4n2 -4n2 = =-2n 2n-0 2n. Ü |h(a)|>2일 때, |. 2. 2. 곡선 y=(x-2n) 위의 점이므로 꼭짓점의 좌표 Pn(2n, 0) y절편은 x=0을 대입하면 y=(0-2n)2=4n2, 즉 QÇ(0, 4n2). 이고 y절편은 4n 이므로 직선 PnQn의 방정식은 2. y=(기울기)_x+(y절편). y= -2n _x+4n2. 주어진 영역에 포함된 x좌표와 y좌표가 자연수인 점의 개수 an을. 1단계 1단계2 STEP. 구한다.. |h(a)| |h(a)|n+1 =|h(a)| lim   n n = lim   n 2 n Ú¦ 2 +|h(a)| n Ú¦ | | +1 h(a). 이 되어 k=|h(a)|. Á g(k)의 값을 구한다. 17. 1단계 1단계3 STEP. k=3. x좌표가 k(k는 2n-1 이하의 자연수)일 때 영역에 속하는 점의. a-2 |=|;a!;-;2!;|=k (k¾3인 자연수)를 만족시키는 2a. y좌표는 (k-2n)2부터 ( -2n _k+4n2)까지이므로 그 개수는. |h(a)|=|. ( -2n _k+4n2)-(k-2n)2+1=-k2+1+2nk. 실수 a의 값을 구하면. an= Á (-k2+1+2nk)  2n-1. ;a!;-;2!;=k일 때 a=. k=1. =-. (2n-1)_2n_(4n-1) (2n-1)_2n +(2n-1)+2n_ 6 2 . =(2n-1){;3@; n2+;3N;+1} 1단계 1단계3 STEP. lim n Ú¦. an 의 값을 구한다. n3. an 그러므로 lim   3 = lim   n Ú¦ n  n Ú¦ 1단계 1단계4 STEP. (2n-1){;3@; nÛ`+;3N;+1} nÜ`. 등비수열의 극한을 이용하여 함수의 극한값을 구한다. | f(3-a)|n+1  을 간단히 한다. 2 +|(1-f(3+a)|n n. x-1 에 대하여 함수 f(x)= 2x-6. (3+a)-1 a-2 |=| | 2(3+a)-6 2a. a-2 (a+0)이라 하면 2a. |f(3-a)|n+1 |h(a)|n+1 lim   n n = lim   n n n Ú¦ 2 +|1-f(3+a)| n Ú¦ 2 +|h(a)| |h(a)|n+1 |h(a)|의 값의 범위에 따라 lim  n  의 값을 구한다. n Ú¦ 2 +|h(a)|n. h(a) h(a) n Ú |h(a)|<2일 때, | |<1이고 lim  | | =0이므로 2 2 n Ú¦ h(a) n+1 | 2 |h(a)| =0이 되어 k=0 lim   n n = lim   h(a) n n Ú¦ 2 +|h(a)| n Ú¦ 1+| | 2 n+1. 14 올림포스. k=3. 1 1 }=-;3!5@; 2k-1 2k+1 답. 2|. ②. 그래프 위의 점을 이용하여 도형의 넓이를 구하고 수열의 극. 문제 풀이 1단계 1단계1 STEP. 삼각형 PnOQn의 넓이 Sn을 구한다.. ⑤. y=f(x). y. y=3n+1의 교점이므로 PÇ. x2=3n+1이고. QÇ y=3n+1. x>0이므로 x='Ä3n+1. RÇ. 따라서 점 Qn('Ä3n+1, 3n+1)이므로 삼각형 PnOQn의 넓이 Sn은 Sn=;2!;_OPnÓ_PnQnÓ . (3-a)-1 2-a a-2 |=| |=| | |f(3-a)|=| 2(3-a)-6 -2a 2a. 1단계 1단계2 STEP. k=3. 2. 문제 풀이. h(a)=. 17. 점 Qn의 좌표는 곡선 y=x 과 직선 답. |1-f(3+a)|=|1-. 17. 한값을 구한다.. p_f(3)_g(4)의 값을 구한다.. 따라서 p_f(3)_g(4)=;3$;_(-6)_(-15)=120. 1단계 1단계1 STEP. 1 1 } 2k-1 2k+1. 따라서 Á g(k)=-2 Á {. 풀이 전략. 2 f(n)=-2n,  g(k)=-k +1, p=;3$;이고 f(3)=-6, g(4)=-15. 풀이 전략. 이므로 g(k)=-2{. 2 2 , ;a!;-;2!;=-k일 때 a=2k+1 2k-1. 09. = ;3$;. 08. n 2 2 |<1이고 lim | | =0이므로 h(a) h(a) n Ú¦. O. x. =;2!; (3n+1)'Ä3n+1 1단계 1단계2 STEP. 삼각형 PnORn의 넓이가 최대가 되는 점 Rn의 좌표를 구해 넓이 Tn. 을 구한다.. 점 Rn은 곡선 위의 점이고 y좌표가 자연수이므로 자연수 a에 대하여 ('§a , a)로 놓을 수 있다. 그런데 직선 PnRn의 기울기가 음수이므로 a<3n+1. 삼각형 PnORn의 넓이가 최대가 되기 위해서는 점 Rn의 x좌표 '§a가. 최대일 때이다. a는 자연수이므로 a=3n인 경우이고, 이때 점 Rn의 좌표는 ('¶3n, 3n)이다. 즉 삼각형 PnORn의 넓이 Tn은 Tn=;2!;_OPn_ Ó '¶3n=;2!; (3n+1)'¶3n. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 14. 2020-10-14 오전 11:07:44.

(15) 1단계 1단계3 STEP. lim n Ú¦. 11. Sn-Tn 의 값을 구한다. 'n. S -Tn 1 = lim   [;2!; (3n+1)'Ä3n+1-;2!;(3n+1)'¶3n ] lim   n n Ú¦ n Ú¦ 'n 'n. 3n+1 ('Ä3n+1-'¶3n ) = lim   n Ú¦ 2'n. 분모를 1로 보고 분자를 유리화한다.. ('Ä3n+1-'¶3n)('Ä3n+1+'¶3n)=(3n+1)-3n=1 3n+1 = lim   n Ú¦ 2("Ã3nÛ`+n+"Ã3nÛ`)` '§n ('Ä3n+1+'¶3n ). 3+;n!;. '3 = = lim   4  n Ú¦ 2{®Â3+;n!;+'3 }. 답. ①. 래프를 추론한다. 문제 풀이 1단계 1단계1 STEP. 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 본다.. 3x2n+|x| -1<xÉ1일 때, f(x)= lim   2n  이므로 n Ú¦ x +1 0+|x| =|x| Ú |x|<1일 때, f(x)= 0+1 Û x=1일 때, f(x)=. 3+1 =2이고, f(x+2)=f(x)이므로 1+1. 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.. 10. 풀이 전략. 공비의 범위에 따른 등비수열의 극한을 이용하여 함수의 그. 풀이 전략. 따라서. y. 수열의 극한을 이용하여 도형 문제를 해결한다.. y=f(x). 2. 문제 풀이 1단계 1단계1 STEP. 좌표평면에 점 A, B, C를 나타내고 a, b, c의 조건을 알아본다.. -4. y 2Ç C. 1단계 1단계2 STEP. -2. 2. O. x. 4. f(3)의 값을 구한다.. ㄱ. f(3)=2 (참) 1단계 1단계3 STEP. y. -2Ç. -1O. y. y 2. y=f(x). A -4. 1 2 3 y 2Ç -1 2Ç x 2. n n 조건 ㈏에 의하여 a는 -2 ÉaÉ-1, 1ÉaÉ2 인 정수이다.. 1단계 1단계4 STEP. 1ÉaÉ2n일 때 삼각형 ABC의 넓이의 합을 구한다.. -2. x. 4. 2. O. 2. 원 x +y =2는 y=f(x)의 그래프와 만나지 않는다. (참). 조건 ㈎에 의하여 b=2, a+0 1단계 1단계2 STEP. 2. ㄴ. . y 2B. 2. 원 x +y =2와 함수 y=f(x)의 그래프가 만나는지 알아본다.. 2 2 원 x +y =k와 함수 y=f(x)의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만. 나도록 하는 조건을 알아본다.. Ú 1ÉaÉ2 인 경우 n. ㄷ. . y. 모든 삼각형 ABC의 넓이의 합은 xÛ +yÛ =k. n n n ;2!;_(2 -2)_{1+2+3+y+(2 -1)+2 }. BCÓ. ABÓ의 길이의 합. 2n(1+2n) =;4!;(8n-4n-2n+1) =;2!;_(2 -2)_ 2 1단계 1단계3 STEP. y=f(x). 2. n. 1. -2nÉaÉ-1일 때 삼각형 ABC의 넓이의 합을 구한다.. O. Û -2nÉaÉ-1인 경우. 1. 2. 3. 4. x. 모든 삼각형 ABC의 넓이의 합은 Ú과 같다. 1단계 1단계4 STEP. 삼각형 ABC의 넓이의 합 Sn을 구한다.. Ú, Û에 의하여 Sn=2_;4!;(8n-4n-2n+1)=;2!;(8n-4n-2n+1) lim n Ú¦. Sn 의 값을 구한다. 8n-2. . 1단계 1단계5 STEP. 만나려면 점 (1, 2), (3, 2), (5, 2), …를 지나야 한다.. 따라서 n. n. Sn 8 -4 -2 =;2!; lim   lim   n-2  n Ú¦ 8 n Ú¦ 8n-2. 2 2 원 x +y =k가 함수 y=f(x)의 그래프와 서로 다른 네 점에서. n+1. 즉, 자연수 n에 대하여 점 (2n-1, 2)를 지나야 한다. 이때 . 1 2 1- n - n 2 4 =;2!; lim   =32 n Ú¦ ;6Á4; 답. 32. 따라서 100 이하의 k의 개수는 5이다. (거짓). 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. 답. 정답과 풀이. (001-015)고등수학해설(미적분)01.indd 15.  . (2n-1)2+22=k이고 kÉ100이므로 n=1, 2, 3, 4, 5이다.. ②. 15. 2020-10-14 오전 11:07:45.

(16) 정답 과 풀이. 03. 02  급수. 급수 Á {;2(;-an}이 수렴하므로 lim {;2(;-an}=0이다. ¦. n Ú¦. n=1. 본문 25 쪽. 확인 문제. 개념. 01 ⑴ 발산. ⑵ 수렴, ;2!;. ⑶ 발산. ⑷ 수렴, 0. 02 ⑴ 수렴, 1. ⑵ 발산. ⑶ 발산. ⑷ 수렴, ;2!;. ⑹ 수렴, 1. ⑸ 발산. n Ú¦. lim (8an+7)=8 lim an+ lim 7=8_;2(;+7=43. n Ú¦. ⑵ 5. 급수 Á {an¦. ⑸ 수렴,. 27+9 '3   ⑹ 발산 2. 06 ⑴ -;2!;<r<;;2!; . lim . n Ú¦. ⑷2. ⑺ 수렴, ;7$;. &. = lim {an-. ⑻ 발산. n Ú¦. 01 ④ 07 ③ 13 36 19 ④ 25 ② 31 ④ 37 ① 43 ③. 02 16 08 6 14 13 20 21 26 ③ 32 ③ 38 32 44 ④. 답. 급수 Á { ¦. n=1. 05 4 11 ⑤ 17 7 23 14 29 ② 35 ② 41 ① 47 ③. 06 ② 12 ④ 18 ② 24 ② 30 ⑤ 36 ③ 42 ① 48 ②. an a -2}가 수렴하므로 lim { n2 -2}=0이다. n Ú¦ n2 n. n Ú¦. an =2이므로 n2. 5a 2+ 2n n 2n2+5an 2+5_2 = lim = =4 lim 2 an 1+2 n Ú¦ n Ú¦ n +an 1+ 2 n 답. 06. ¦. n=1. n Ú¦. ¦ a a 급수 Á { nn +1}이 수렴하므로 lim   nn =-1이다. n=1 n Ú¦ an nan+3n2 -1+3 n +3 = lim   따라서 lim   2 1 = 1+0 =2 n Ú¦ n Ú¦ n +1 1+ 2 n. cn-an+7 =;2!;{ lim  cn- lim  an+7} 2 n Ú¦ n Ú¦. 답. ②. 07. 급수 Á {an¦. ④. n=1. 7n 7n }이 수렴하므로 lim {an}=0이다. 3n+2 3n+2 n Ú¦. 7n =;3&;이므로 따라서 lim  an= lim   n Ú¦ n Ú¦ 3n+2. 급수 Á (an-5)가 수렴하므로 lim (an-5)=0이다. ¦. (3n+5)an 3n+5 = lim   _ lim  an lim   n+3  n Ú¦ n+3 n Ú¦. n Ú¦. n Ú¦. 따라서 lim  an=5이므로 n Ú¦. =3_;3&;=7. lim (3an+1)=3 lim an+ lim 1=3_5+1=16 n Ú¦. 답. 16 올림포스. n Ú¦. =;2!;_(0-3+7)=2. 답. n Ú¦. n Ú¦. 따라서. lim  bn= lim  . n Ú¦. 4. an+2bn-7=cn이라 하면 급수 Á  cn이 수렴하므로 lim  cn=0이다.. 01. n=1. 27. 05. 본문 26~36 쪽. 04 27 10 ① 16 23 22 ④ 28 ⑤ 34 ③ 40 ③ 46 ④. 6n 6n }+ lim =0+6=6 n+1 n Ú¦ n+1. n Ú¦. ⑵ ;3¢3;       ⑶ ;ª9Á9ª9;£. 03 43 09 ⑤ 15 ④ 21 ② 27 ⑤ 33 ⑤ 39 30 45 ④. 6n 6n }+ ] n+1 n+1. 따라서 lim (4an+3)=4_6+3=27. ⑷ 0<r<2. 유형 연습. 학평. 02. n Ú¦. 따라서 lim . 내신. 6n 6n }이 수렴하므로 lim {an}=0이다. n+1 n+1 n Ú¦. lim an= lim [{an-. 07 ⑴ ;2#;       ⑵ ;1°2;       ⑶ ;1ª5; 08 ⑴ :Á9¢:     . 43. 6n =6이므로 n+1. n Ú¦. ⑵ -4<r<0. ⑶ 1<r<2 . n=1. ⑵ 수렴, ;4#;   ⑶ 수렴, ;1Á1; ⑷ 발산. 05 ⑴ 수렴, 1. ⑶ 11. n Ú¦. 04. ¦ 2n+1-1 2n+1-1 은 발산한다. ⑵ lim  n =2+0이므로 급수 Á  2 2n n Ú¦ n=1. 04 ⑴ 6. n Ú¦. 답. ¦ 3n+2 3n+2   =;4#;+0이므로 급수 Á  는 발산한다. 03 ⑴ lim n Ú¦ 4n-1 n=1 4n-1. 따라서 lim  an=;2(;이므로. 16. 답. ③. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 16. 2020-10-14 오전 11:08:33.

(17) 08. 2n 2n 급수 Á {  an-1}이 수렴하므로 lim {  a -1}=0 12n+3 n n=1 12n+3 n Ú¦ ¦. 이다. 즉, lim. n Ú¦. 2n  a =1 12n+3 n. lim  bn=1, an= lim  an= lim {. n Ú¦. n Ú¦. 12n+3 12n+3 _bn}= lim   _ lim  bn=6_1=6 2n 2n n Ú¦ n Ú¦ 6. 2. n Ú¦. 2. 답. 13. ¦. n Ú¦. n=1. 즉 lim  an=5 n Ú¦. 따라서 lim (2an+3)=2 lim  an+3=2_5+3=13. ¦. n=1. an-n2 +1-;n!; n2 = lim   =;2!; n Ú¦ an-n2 +2 n2. n Ú¦. n Ú¦. ⑤. n Ú¦. n Ú¦. 2_;2%;-3. 5n 5n }이 수렴하므로 lim  {an}=0이다. n+2 n+2 n Ú¦. lim  (4an+3)=4_5+3=23. n Ú¦. =5. 답. 답. ①. 급수 Á   ¦. 급수 Á (2an-5)가 수렴하므로 lim  (2an-5)=0이어야 한다.. nan-7n+1 na -7n+1 =0이다.  이 수렴하므로 lim   n 2n-1 2n-1 n Ú¦. an-7+;n!; a -7 =0에서 lim   n =0 lim   2 n Ú¦ 2-;n!;. n Ú¦. 즉 2 lim   an=5. n Ú¦. n Ú¦. 따라서 lim   an=;2%;. 따라서 lim  an=7. n Ú¦. n Ú¦. 답. 수열 {an}에 대하여 급수 Á {7¦. n=1. 7. 18. 급수 Á {. an }이 수렴하므로 2n. ¦. a bn=7- nn 이라 하면 lim bn=0이다. 2 n Ú¦ an = lim (7-bn)=7이므로 2n n Ú¦ an a =;2!;_ lim nn =;2!;_7=;2&; lim n+1 n Ú¦ 2 n Ú¦ 2. 답. ⑤. 12. n=1. an a -3}이 수렴하므로 lim   n =3이다. n n Ú¦ n. 2an = lim   따라서 lim   n Ú¦ n+an+3 n Ú¦. 따라서 lim n Ú¦. 답. ④. 2an n 2_3 = =;2#; an 1+3+0 1+ n +;n#; 답. 정답과 풀이. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 17. 23. 17. n=1. ¦. n=1. ④. 5n =5이므로 따라서 lim  an= lim   n Ú¦ n Ú¦ n+2. 따라서 lim  an=;2%;이므로. n Ú¦ 4an = = 2an-3 2 lim  an-3. 급수 Á  {ann=1. n Ú¦. 4_;2%;. 2n =;3@; 3n+1. 16. ¦. 급수 Á  (2an-5)가 수렴하므로 lim (2an-5)=0이다. 4 lim  an. n Ú¦. 답. ¦. n=1. 2n 2n }이 수렴하므로 lim {an}=0이다. 3n+1 3n+1 n Ú¦. 따라서 lim  an= lim  . 답. 11. 36. 급수 Á (an-5)가 수렴하므로 lim (an-5)=0이다.. 급수 Á {an-. 2. a -n (a -n )+n -n lim   n 2 = lim   n n Ú¦ an+n  n Ú¦ (an-n2)+2n2. lim  . 답. 15. 따라서. n Ú¦. 따라서 lim  an=36. 2. n=1. 10. an a -9}가 수렴하므로 lim  { n -9}=0이다. 4 4 n Ú¦. n Ú¦. 급수 Á  (an-n )이 수렴하므로 lim  (an-n )=0이다. ¦. ¦. n=1. 14. 12n+3  bn이므로 2n. 답. 09. 급수 Á  {. n Ú¦. 2n  a 이라 하면 수열 {bn}을 bn= 12n+3 n n Ú¦. 13. ②. 17. 2020-10-14 오전 11:08:33.

(18) 정답 과 풀이. 19. 24. 급수 Á (2an-5bn)이 수렴하므로 lim (2an-5bn)=0이다. ¦. an=5+2(n-1)=2n+3이므로. ¦ ¦ 2 2 Á  Á anan+1 =  n=1  (2n+3)(2n+5). n Ú¦. n=1. lim  an=5이므로 lim  bn=2. n Ú¦. n Ú¦. = lim Á {. n=1. n. 따라서 lim  bn(an+2bn)=2_(5+4)=18 n Ú¦. n Ú¦ k=1. 20. = lim [{;5!;-;7!;}+{;7!;-;9!;}+y+{. ④. 답. n Ú¦. 급수 Á an= lim  Sn이 수렴하므로 lim  an=0이다.. = lim {;5!;-. ¦. n Ú¦. n=1. 1 1 } 2k+3 2k+5. n Ú¦. n Ú¦. 1 1 }] 2n+3 2n+5. 1 }=;5!; 2n+5 답. 따라서 lim (2an+3Sn)=2 lim  an+3 lim  Sn=2_0+3_7=21 n Ú¦. n Ú¦. n Ú¦. 답. 21. 21. Ú 급수 Á {nan¦. n=1. 2n2 2n2 }이 수렴하므로 lim  {nan}=0 n+1 n+1 n Ú¦. an=2n2+2n (n¾1). n n 1 1 1 ]=;2!; lim {;1!;}=;2!; lim  Á   = lim  [;2!; Á   ak  n Ú¦ n+1 k=1 k(k+1) n Ú¦. n Ú¦ k=1. 2n2 =cn이라 하면, lim  cn=0이므로 n+1 n Ú¦. lim  an= lim  {. n Ú¦. n Ú¦. ¦ 1 따라서 Á   =;2!; n=1 an. cn 2n + }=2 n n+1. Û lim  (3an-5bn)=3에서 3an-5bn=dn이라 하면 n Ú¦. n Ú¦. 2. ¦ n n 2 2 2 Á  a = lim Á   = lim Á   n  n Ú¦ k=2 ak n Ú¦ k=2 (k-1)(k+1). n Ú¦. 2a +5bn = 따라서 lim   n n Ú¦ an+10bn. 2_2+5_;5#; 2+10_;5#;. n=2. = lim Á  { n. =;8&;. n Ú¦ k=2. 답. 1 1 } k-1 k+1. = lim [{;1!;-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+y n Ú¦. ②. 22. . lim [. n Ú¦. 1 1 1 + +y+ ] 1_3 2_4 n(n+2). =;2!; lim [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+y+{ n Ú¦. . n Ú¦. ③. 27. 1 }] n+2. 2 다항식 an x +anx+2=f(x)라 하면 f(x)를 x-n으로 나눈 나머 2. 지는 f(n)=an n +an n+2 f(n)=20에서 답. ④. 23. ¦ n 84 1 1 = } Á  lim  Á  84_;2!;{  (2n+1)(2n+3) 2k+1 2k+3 n=1 n Ú¦ k=1. an=. 18 1 =18{;n!;}이므로 n(n+1) n+1. Á  an= Á  18{;n!;¦. ¦. n=1. n=1. 1 } n+1. =18 lim [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;n!;n Ú¦. 1 }=14 2n+3. =18 lim {1답. 18 올림포스. 1 }=1+;2!;=;2#; n+1 답. =;2!;_;2#;=;4#;. n Ú¦. 1 1 1 n-2 -;n!;}+{ n-1 - n+1 }]. 1 1 } n-1 n+1. 1 1 =;2!; lim {1+;2!;} n+1 n+2 n Ú¦. = lim  42{;3!;-. +{. = lim {;1!;+;2!;-;n!;-. +{;n!;-. ②. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 an=n -1이므로. lim  bn= lim  {;5#; an-;5!; dn}=;5#;. n Ú¦. 답. 26. lim  dn=3이고, Ú에서 lim  an=2이므로. n Ú¦. n n-1 an a a = Á   k - Á   k =2n+2 (n¾2)이므로 n k=1 k k=1 k. a1=4이고. 이다.. nan-. 25. ②. 14. n Ú¦. 1 }] n+1. 1 }=18 n+1 답. ⑤. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 18. 2020-10-14 오전 11:08:34.

(19) 28. 위 그림에서 a1=2, a2=3, a3=4, a4=5, y 따라서 an=n+1이므로. ㈎ log`an+log`an+1+log`bn=0에서. ¦ ¦ 2 2 Á  =Á  an_an+2  n=1 (n+1)(n+3). log`anan+1bn=0, 즉 anan+1bn=1. = lim Á . n=1. 따라서. n. 1 1 1 1 1 1 bn= a a = a -a { a - a }=;3!;{ a - a } n n+1 n+1 n n n+1 n n+1. n Ú¦ k=1. 2 (k+1)(k+3). = lim Á { n. n Ú¦ k=1. 이므로. ¦ ¦ n 1 1 1 1 Á  bn= Á  ;3!;{ a - a }= lim Á  ;3!;{ a - a } n n+1 k k+1 n=1 n Ú¦ k=1. 1 1 } k+1 k+3. = lim [{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;}+y n Ú¦. n=1. 1 1 1 1 1 1 = lim  ;3!;[{ a - a }+{ a - a }+y+{ a - a }] 1 2 2 3 n n+1 n Ú¦. +{;n!;-. . = lim {;2!;+;3!;-. 1 1 1 1 = lim  ;3!;{ a - a }= lim  ;3!;{ a - 3n+a } 1 n+1 1 1 n Ú¦ n Ú¦. n Ú¦. 1 1 1 }+{ }] n+2 n+1 n+3. 1 1 } n+2 n+3. =;6%;. 1 1 =;3!;_ a = 3a 1 1. 답. 1 따라서 3a =;1Á2;에서 a1=4 1 답. ⑤. ⑤. 31. 등비급수 Á  {. x-3 n x-3 } 이 수렴하려면 -1< <1이어야 한다. 2 2. ¦. n=1. 29. -2<x-3<2, 즉 1<x<5. an=2+(n-1)_2=2n이므로. 따라서 이것을 만족시키는 정수 x는 2, 3, 4이므로 모든 정수 x의 값. a2n=4n, a2n-1=4n-2. 의 합은 9이다.. 4n(n+1) Á  a2k Á  4k 2 k=1 k=1 = n bn= n = 4n(n+1) Á  a2k-1 Á  (4k-2) -2n  2 k=1 k=1 n. n. 답. 32. 등비급수 Á  { ¦. 2. 2n +2n = =1+;n!; 2n2. 이고 bn+1-bn=. n=1. 즉 -2<x<5. ¦. = lim [{;2!;-1}+{;3!;-;2!;}+y+{ n Ú¦. 따라서 이것을 만족시키는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3, 4이므로. n Ú¦. n Ú¦. 구하는 정수 x의 개수는 6이다.. 1 -;n!;}] n+1. =- lim [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;n!;=- lim {1-. 2x-3 n 2x-3 } 이 수렴하려면 -1< <1이어야 한다. 7 7. -7<2x-3<7, -4<2x<10. 1 -;n!;이므로 n+1. 1 Á  (bn+1-bn)= Á  { -;n!;} n+1 n=1 n=1 ¦. ④. 답. ③. 33. 1 }] n+1. 등비급수 Á  { ¦. 1 }=-1 n+1. n=1. 답. ②. x-4 n x-4 } 이 수렴하려면 -1< <1이어야 한다. 3 3. -3<x-4<3, 즉 1<x<7 따라서 이것을 만족시키는 정수 x는 2, 3, 4, 5, 6이므로 구하는 정. 30. 수 x의 개수는 5이다.. 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=;n!;x의 그래프는 그림과 같다. y. y=/2!/x y=/3!/x. y=x. y=/4!/x y y. 1. y=f(x) O. 1. 2. 3. 4. x. 답. ⑤. 답. ③. 34 수열 {an}은 첫째항이 3, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 Á  an= ¦. n=1. 3 1-;2!;. =6. 정답과 풀이. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 19. 19. 2020-10-14 오전 11:08:34.

(20) 정답 과 풀이. 35. ¦ ¦ ¦ n n n n 1+(-1)n Á  = Á  [{;3!;} +{-;3!;} ]= Á  {;3!;} + Á  {-;3!;} 3n n=1 n=1 n=1 n=1 ¦. ;3!;. =. 1-;3!;. +. -;3!;. 1-{-;3!;}. =;2!;-;4!;=;4!; 답. ②. 다른 풀이. S=. Á  bn=. =3_{;9$;}. 3 1-;9$;. =:ª5¦:. Á  an=¦. Á  an= ¦. ㉠에서. Á  anbn=. 1. ¦. n=1. 1-;8#;. 30. 답. ③. 1 >1이므로 |1-m|>1 |r|. 그러므로 10N=30. , bn={;2!;}. 답. a2 =r이므로 m=1-;r!; a1. 1 =2이므로 r2=;2!; 1-r2. an={;4#;}. 32. a2 a =- 1 1-r m. 1-m<-1 또는 1-m>1, 즉 m<0 또는 m>2. n-1. 답. a1 이므로 |r|<1   yy ㉠ m. 1 =4이므로 r1=;4#; 1-r1. n-1. n-1. 등비수열 {an}의 공비를 r(r+0)이라 하자.. n=2. 36. n=1. 2(n-1). 수열 {a2n-1}은 첫째항이 3, 공비가 ;9$;인 등비수열이므로. n=2. 수열 {an}의 공비를 r1, 수열 {bn}의 공비를 r2라 할 때,. ¦. =3_{;3@;}. 39. ;9@; ¦ 1+(-1)n =;4!; = 따라서 S= Á   n 3 n=1 1-;9!;. n=1. (2n-1)-1. 따라서 p=5, q=27이므로 p+q=32. 2 2 2 +0+ 4 +0+ 6 +0+y 32 3 3. 이므로 이 급수는 첫째항이 ;9@;이고 공비가 ;9!;인 등비급수의 합과 같다.. ¦. n-1. a2n-1=3_{;3@;}. n=1. n. 2 2 2 2 + 4 + 6 + 8 +y 32 3 3 3. Á  an=. an=3_{;3@;}. ¦. 1+(-1) S= Á   3n n=1 S=0+. 수열 {an}은 첫째항이 3이고 공비가 ;3@;인 등비수열이므로. Á  a2n-1=. 주어진 급수의 합을 S라 하면 ¦. 38. 따라서 자연수 m의 최솟값은 3. 에서 anbn={;8#;}. n-1. 이므로. 40. =;5*;. 등비수열 {an}의 공비를 r(r+0)이라 하면 100 100 ㄱ. a101=a1r <0 (a1<0, r >0) (참). 답. ③. n-3 ㄴ. (반례) an=2 이면 a1<a2<1이지만. lim  an=¦이다. (거짓). 37. n Ú¦. anan+1+an+1=kan2`+kan (n¾1)에서. ㄷ. a1<a2<0에서 a1<a1r<0이다.. (an+1)an+1=kan(an+1)이고, an>0이므로 an+1+0. 양변을 an+1로 나누면 an+1=kan. ¦. 수열 {an}은 a1=k, 공비가 k인 등비수열이므로 an=k ` ¦. Á  an= Á  kn= ¦. ¦. n=1. n=1. k 이다. 1-k. 41. ¦ a1 이므로 Á  an<a1이다. (참) 1-r n=1. Á  an=x, Á  bn=y라 하면. k =5에서 1-k. ¦. ¦. Á (an+bn)=;4(;이므로 x+y=;4(;. n=1. k=5(1-k), 6k=5. n=1. ¦. 따라서 k=;6%;. Á (an-bn)=;4#;이므로 x-y=;4#;. n=1 ¦. 답. 20 올림포스. n=1. 1 >1 1-r. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 수열 {an}의 공비 k가 0<k<1이므로 n=1. Á  an=. n. 등비급수 Á  an은 수렴하고 그 합은. a1<0이고 0<r<1이므로. ①. n=1. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 20. 2020-10-14 오전 11:08:35.

(21) 따라서 x=;2#;, y=;3$;. 이다.. 첫째항이 1인 두 등비수열 {an}, {bn}의 공비를 각각 p, q라 하면. 따라서 f(p)=;p#;, g(p)=p-3, k=9이므로. 1 1 =;2#;, =;4#; 1-p 1-q. f(9)_g(9)=;3!;_6=2. 따라서 p=;3!;, q=-;3!; 그러므로 an={;3!;}. , bn={-;3!;}. n-1. Á (an2+bn2)=2 Á {;9!;} ¦. ¦. n=1. n=1. =. 이므로. 2. n-1. 43. n-1. 1-;9!;. 삼각형 A1B1C1은 이등변삼각형이므로 선분 B1C1의 중점을 M이라. =;4(;. 하면 원 O1의 중심은 M이다. 답. 813 124 3. ①. Á (an+bn)= Á  an+ Á  bn= ¦. ¦. Á (an-bn)= Á  an- Á  bn=. n=1. n=1. n=1. ¦. ¦. ¦. n=1. n=1. n=1. ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 p=;3!;, q=-;3!; 2. 2. 2. 두 등비수열 {an }, {bn }의 공비는 각각 p , q 이다. Á (an2+bn2)= Á  an2+ Á  bn2= ¦. ¦. ¦. n=1. n=1. n=1. =. 1. 1-;9!;. +. 1. 1-;9!;. 1 1 + 1-p2 1-q2. =. OÁ RÁ. 삼각형 A1B1M에서 B1MÓ=4이므로 ∠A1B1M=30ù. 첫째항이 1인 두 등비수열 {an}, {bn}의 공비가 각각 p, q이므로 2. 9 9 + =;4(; 9-1 9-1. 원 O1과 직선 A1B1이 접하는 점을 N이라 하면 원 O1의 반지름의 길 이 MNÓ은 MNÓ=4 sin 30ù=2 따라서 A1MÓ=4 tan 30ù= S1=;2!;_8_. 4'3 이므로 3. 4'3 16'3 -;2!;_p_22= -2p 3 3 AÇ. 42. AÇ*Á. pn+3pn-1+32pn-2+y+3n-1p+3n은 첫째항이 pn, 공비가 ;p#; 인. BÇ. 등비수열의 첫째항부터 제(n+1)항까지의 합이고, p+3이므로 n. n-1. 2 n-2. pn+1-3n+1 p+3 = p-3. n-1. +3 p. 이다. 0<. p 3 <1, 0< <1이므로 p+3 p+3. Á  ¦. +y+3. BÇ*Á. CÇ*Á OÇ*Á. n. p +3p. n=1. pn+3pn-1+32pn-2+y+3n-1p+3n (p+3)n. pn+1-3n+1 =Á  n n=1 ( p-3 )_(p+3). ¦ ¦ n n 1 p 3 [p Á { } -3 Á { }] p+3 p+3 n=1 n=1 p-3. p 3 p+3 p+3 1 = áp_ p -3_ 3 â p-3 11p+3 p+3 1 p2 9 { - } = p-3 3 p 2. =. p +3p+ 9 3p. CÇ. OÇ. 삼각형 AnBnCn과 삼각형 An+1Bn+1Cn+1은 서로 닮음이고 ;2!;_BnCnÓ=Bn+1Cn+1이 Ó 므로 닮음비는 2:1이다. 삼각형 AnBnCn과 삼각형 An+1Bn+1Cn+1의 닮음비가 2:1이므로 넓이의 비는 4:1이다.. ¦. =. CÁ. M. 4. 1 1 + =;4(; 1-p 1-q 1 1 =;4#; 1-p 1-q. 413 124 3. 2. BÁ. 첫째항이 1인 두 등비수열 {an}, {bn}의 공비를 각각 p, q라 하면. AÁ. N. 다른 풀이. ¦. ①. 답. 그러므로 수열 {Sn}은 첫째항이. 16'3 -2p이고 공비가 ;4!;인 등비 3. 수열의 첫째항부터 제n항까지의 합이다. 따라서 lim  Sn= n Ú¦. 16'3 -2p 3 1-;4!;. =. 64'3 -;3*;p 9 답. 44 그림 R1에서 반원의 중심을 O라 하면 OPÓ=2, ONÓ=1이므로. NPÓ='3이다.. 정답과 풀이. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 21. ③. 21. 2020-10-14 오전 11:08:36.

(22) 정답 과 풀이 D. P 2. 그림 Rn과 Rn+1에서 새로 얻어진 두 삼각형은 서로 닮음이고 닮음. B. 2-'2 3-2'2 이므로 넓이의 비는 1: 이다. 2 2 3-2'2 인등 그러므로 수열 {Sn}은 첫째항이 2'2-2이고 공비가 2 비가 1:. 13. O 1 N. A. C. 비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합이다.. RÁ. 따라서 그림 R1에서 색칠되어 있는 부분의 넓이 S1은 다음과 같다.. 따라서 lim  Sn= n Ú¦. S1=(반원 O의 넓이)-(삼각형 ABP의 넓이) =;2!;_p_22-;2!;_4_'3=2(p-'3). 2'2-2 12-4'2 = 7 3-2'2 12 답. 한편 그림 Rn에서 그림 Rn+1을 얻을 때 새로 그려지는 사각형들은. 46. 그림 Rn에서 새로 그린 사각형보다 넓이는 {;2!;} 배로 줄어들고, 개 2. CÁ HÁ. 수는 2배가 되므로 수열 {Sn}은 첫째항이 2(p-'3)이고 공비가 r={;2!;} _2=;2!;인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합이다. 2. 따라서 lim  Sn= n Ú¦. A. 30ù. 2(p-'3) S1 =4(p-'3) = 1-r 1-;2!;. Oª OÁ. Bª. BÁ. RÁ 답. 45. ④. ④. ∠B1AC1=30ù이므로 직각삼각형 C1AB1에서 AC1Ó=4'3. 그림 R1에서 µ B1C2=µ D1C2이므로 대각선 ACÓ는 점 C2를 지난다.. 직각삼각형 C1AB2에서 ABÓ2=6. 선분 C1C2와 선분 B1D1이 만나는 점을 H라 하자.. 선분 AB1의 중점을 O1, 선분 AB2의 중점을 O2, 선분 AC1의 중점. A. DÁ. Ó 2, H1O2= Ó '3이므로 을 H1이라 하면 O1H1=. S1=(부채꼴 O1B1C1+삼각형 O1C1A). Cª 2. -(부채꼴 H1B2C1+삼각형 H1AB2). . H. ={16p_ BÁ. CÁ RÁ. B1D1= Ó 2'2, HC2= Ó C1C2Ó C1HÓ=2-'2이므로 S1=;2!;_B1D1_ Ó HC2= Ó ;2!;_2'2_(2-'2)=2'2-2. 60ù 60ù +;2!;_4_2'3}-{12p_ +;2!;_6_'3} 360ù 360ù. =16{;6Ò;+. '3 '3 }-12{;6Ò;+ } 4 4. =;3!;(2p+3'3) 다음은 그림 Rn의 일부이다. CÇ. 다음은 그림 Rn+1의 일부이다. A BÇ*Á. DÇ*Á. DÇ A. CÇ*Á. 30ù OÇ*Á OÇ rÇ*Á rÇ. BÇ*Á. BÇ. ABn을 Ó 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 rn, ABn+1Ó을 지름으 BÇ. CÇ. ACn+1Ó=ACnÓ-Cn+1CnÓ=ACnÓ-BnCnÓ '2 2-'2 _ACnÓ= =ACnÓ ACnÓ 2 2 Ó BnDnÓ이므로 이고 ACn= Ó BnDnÓ:Bn+1Dn+1Ó=1: ACnÓ:ACn+1=. 22 올림포스. 2-'2 2. 로 하는 반원의 반지름의 길이를 rn+1이라 하자. Ó 2rn, ∠BnACn=30ù이므로 직각삼각형 CnABn에서 ABn= ACnÓ='3 rn. ∠Bn+1ACn=30ù이므로. Ó ;2#; rn 직각삼각형 CnABn+1에서 ABn+1= 따라서 rn+1=;4#;rn. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 22. 2020-10-14 오전 11:08:37.

(23) 그림 Rn에서 새롭게 색칠되는 도형의 넓이를 Tn이라 하면. BÁ. Tn+1=;1»6; Tn이고, Sn= Á  Tk이므로. Aª. n. lim  Sn= lim  Á  Tk. Oª. k=1. n. n Ú¦. n Ú¦ k=1. =. ;3!;(2p+3'3) 1-;1»6;. HÁ. FÁ. CÁ. EÁ DÁ OÁ. =;2!1^;(2p+3'3). MÁ. AÁ. O1M1Ó=O1O2Ó='2이고 삼각형 O1M1O2는 직각이등변삼각형이므로. 따라서 p=21, q=16이므로 p+q=37. O2M1Ó=2, ∠O1O2E1=45ù이다. 답. ④. 삼각형 O 1 E 1 O 2 도 ∠O 1 E 1 O 2 =90 ù이므로 직각이등변삼각형이고 O1E1= Ó 1이다. A2C1Ó=O2M1Ó=2이므로 삼각형 O1C1A2는 정삼각형이고 O1H1= Ó '3. 47. 이다.. 그림 RÇ에서 새로 색칠된 도형의 넓이를 aÇ이라 하자.. 또 △O1D1F1»△O1C1A2이고 O1E1Ó:O1H1Ó=1:'3이므로. A. 두 삼각형의 넓이의 비는 1:3이다. FÁ. 2 DÁ. RÁ. 그러므로 S1=(삼각형 O1C1A2의 넓이)-(삼각형 O1D1F1의 넓이). x. 60ù B. x. EÁ. 4-x. C. =(삼각형 O1C1A2의 넓이)-;3!;(삼각형 O1C1A2의 넓이). 그림 R1에서 삼각형 ABC와 삼각형 F1E1C가 닮음이므로. =;3@;(삼각형 O1C1A2의 넓이)=;3@;_{;2!;_2_'3 }=. ABÓ`:`F1E1= Ó BCÓ`:`E1CÓ 마름모 D1BE1F1의 한 변의 길이를 x라 하면. OnAn= Ó rn, On+1An+1= Ó rn+1이라 하면. 2`:`x=4`:`(4-x)이므로. OnMn= Ó OnOn+1Ó=. 2x=4-x, 즉 x=;3$;. '2 r 2 n. AÇ*ª BÇ*Á BÇ OÇ*ª OÇ*Á. 그림 R1에서 색칠된 부분의 넓이는 마름모 D1BE1F1의 넓이에서 부 채꼴 BE1D1의 넓이를 뺀 값이므로. 2'3 3. CÇ*Á AÇ*Á. 8(3'3-p) 60ù = a1=;3$;_;3$;_sin`60ù-p_{;3$;} _ 360ù 27 2. MÇ*Á FÇ. HÇ CÇ. EÇ DÇ. 이때 그림 R1에서 삼각형 ABC와 삼각형 F1E1C의 닮음비는. OÇ. MÇ. AÇ. ABÓ`:`F1E1= Ó 2`:`;3$;=1`:`;3@;. 두 삼각형 OnMnOn+1, OnEnOn+1은 직각이등변삼각형이므로. 이므로 모든 자연수 n에 대하여 an+1=;9$; an이 성립한다.. On+1MnÓ=rn이고 OnEnÓ=;2!;rn이다.. 따라서 수열 {an}은 첫째항이. 8(3'3-p) 이고 공비가 ;9$;인 등비수 27. 열이므로 lim  SÇ= Á  an= ¦. n Ú¦. n=1. 8(3'3-p) 27 1-;9$;. An+1Cn= Ó On+1Mn= Ó rn이므로 삼각형 OnCnAn+1은 정삼각형이다. OnHn= Ó. '3 r 이므로 2 n. rn+1=EnHn= Ó OnHnÓ OnEn= Ó. 8(3'3-p) = 15. 수열 {Sn}은 첫째항이 답. ③. 48 점 O1에서 선분 C1A2에 내린 수선의 발을 H1이라 하고, 선분 O1C1,. '3 '3-1 r -;2!;rn= rn 2 n 2. '3-1 2 '3 2'3 } =1인등 이고 공비가 { 2 2 3. 비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합이다.. 따라서 lim  Sn= n`Ú¦. 2'3 3. '3 1-{1- 2 }. =;3$; 답. ②. O1H1, O1A2가 선분 M1O2와 만나는 점을 각각 D1, E1, F1이라 하자.. 정답과 풀이. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 23. 23. 2020-10-14 오전 11:08:37.

(24) 정답 과 풀이 Á  ln= ¦. 서술형. 본문 37 쪽. 연습. 01 17 . 02 6. n=1. =. 2'2 =4+2'2  '2-1. ㉰ ㉱ 답. 2 이차함수 y=x +n과 직선 y=mx의 교점이 존재하므로 이차방정. 단계. 2. 식 x +n=mx는 실근을 가져야 한다. 2 2 따라서 D=(-m) -4n¾0, 즉 m ¾4n이므로 양수 m의 최솟값. 은 2'n이다. 즉 an=2'n . ㉮. 1 1 1 = = 이므로  anan+1 2'n_2'Än+1 4'Än(n+1). ㉯. Á  { ¦. 1 1'2. 따라서 p=4, q=2이므로 p+q=6 . 01. n=1. 2. ¦ ¦ 2 2 1 1 1 } =;1Á6; Á   } = Á  { anan+1 n=1 n=1 n(n+1) 4'Än(n+1). =;1Á6; Á  {;n!;¦. n=1. 1 1 }=;1Á6; lim  {1} n+1 n+1 n Ú¦. ㉰. 따라서 p=16, q=1이므로 p+q=17 . ㉱ 답. 단계. 채점 기준. 17. 비율. ㉮. 을 이차방정식의 실근의 존재성과 연관지어 설명하. 수열 {ln}이 등비수열임을 설명한 경우. 40%. ㉯. 수열 {ln}의 일반항을 구한 경우. 30%. ㉰. 주어진 급수의 합을 구한 경우. 20%. ㉱. p+q의 값을 구한 경우. 10%. 40%. 본문 38~39 쪽. 도전. 01 75 05 ④. 02 ② . 를 계산한다. y. 1 anan+1  을 구한 경우. 20%. ㉰. 주어진 급수의 합을 구한 경우. 30%. ㉱. p+q의 값을 구한 경우. 10%. 04 ②. 역함수의 그래프의 성질을 이용하여 수열 Sn을 구하고 급수. 고 an을 구한 경우. ㉯. 03 ① . 01 풀이 전략. 이차함수의 그래프와 직선의 교점이 존재한다는 것. 비율. ㉮. 1등급. =;1Á6; . 채점 기준. y=f(x). P. y=-x+n+2 y=g(x) Q. 02. O. 삼각형 ABC1이 직각이등변삼각형이므로 점 C2는 변 AB의 중점이 고 삼각형 C1C2B도 직각이등변삼각형이다.. 문제 풀이. 같은 방법으로 점 C3는 변 BC1의 중점이므로 삼각형 C2C3B도 직각. 1단계 1단계1 STEP. x. 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=-x+n+2의 교점 P의 좌표를. 이등변삼각형이다.. 구한다.. 이와 같이 2 이상의 자연수 n에 대하여 점 Cn+1은 변 BCn-1의 중점. x2+nx=-x+n+2에서. 이 되고 계속해서 만들어지는 직각삼각형 Cn-1CnB는 모두 닮은 도. x2+(n+1)x-(n+2)=0, (x-1)(x+n+2)=0. 형이다.. x¾0이므로 x=1. Ó Cn+1Cn+2= Ó Cn+1Cn+2: Ó Cn+2Cn+3이 Ó 고 따라서 CnCn+1:. 따라서 P(1, n+1). ln:ln+1=ln+1:ln+2이므로 ln+12=lnln+2가 되어 수열 {ln}은 등비. ㉮. 수열이다.  l1=C1C2= Ó 2 tan ;4Ò;=2이고. 1 n-1 } 이므로  '2. 점 Q의 좌표를 구한다.. 점 Q는 점 P와 직선 y=x에 대한 대칭인 점이므로 Q(n+1, 1) 점 P와 Q는 역함수 관계인 두 그래프 위의 두 점이다.. PQÓ="Ã{(n+1)-1}2+{1-(n+1)}2="2n2="2 n 1단계 1단계3 STEP. 1 인 등비수열이다. 수열 {ln}은 첫째항이 2이고 공비가 '2 따라서 ln=2_{. 1단계 1단계2 STEP. 이다. 그러므로. Ó C1C2 Ó sin ;4Ò;='2이므로 l2=C2C3=. 24 올림포스. 6. 원점 O에서 직선 y=-x+n+2까지의 거리를 구한다.. 점 O에서 직선 y=-x+n+2까지의 거리(d)는. ㉯. d=. |n+2| n+2 = 2 2 '2 "Ã1 +1. 점 (x1, y1)에서 직선 ax+by+c=0까지의 |ax1+by1+c| 거리는  이다. "Ãa2+b2. 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분. (016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 24. 2020-10-14 오전 11:08:38.

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