정적분의 활용 - 유형 연습 - EBS 올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 미적분 답지 정답

유형 연습

10 정적분의 활용

함수 g(x)의 열린구간 (0, 4)에서의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x (0) y a1 y a2 y a3 y a4 y (4)

g '(x) + 0 - 0 + 0 - 0 +

g(x) ↗ e^a+b ↘ 0 ↗ e^-a-b ↘ 0 ↗

STEP 3

1단계1단계 m의 값을 구한다.

함수 g(x)는 x=0과 x=4에서 극값을 갖지 않고 열린구간 (0, 12)에서 g(x+4)=g(x)를 만족한다.

열린구간 (0, 12)에서 함수 g(x)가 극댓값을 갖도록 하는 서로 다 른 x의 개수와 극솟값을 갖도록 하는 서로 다른 x의 개수는 각각 6 이므로

m=12

STEP 4

1단계1단계 두 극댓값의 합으로 a, b의 값을 구한다.

함수 g(x)는 열린구간 (0, 4)에서 x=a1과 x=a3일 때 각각 극댓 값 e^a+b, e^-a-b를 갖는다.

함수 g(x)의 서로 다른 두 극댓값의 합이 e³+e^-3이므로 (e^a+b)+(e^-a-b)=e^a+e^-a=e³+e^-3

a는 음수이므로 a=-3

f(a2)=f(a4)=-;3!;이고 ㉡에 대입하면 g(a2)=e^-3f(a²⁾+bf(a2)=e-;3!;b=0에서 b=3e

STEP 5 1단계1단계 mp:

` g(x)`cos`;2Ò; x`dx의 값을 구한다.

mp:_a

` g(x)`cos`;2Ò; x`dx

=12p:_a

[e-3`sin`;2Ò; x+3e`sin`;2Ò; x]cos`;2Ò; x`dx sin`;2Ò; x=t로 놓으면 ;2Ò;`cos`;2Ò; dx=dt이고 sin`;2Ò; a3=sin`;2#; p=-1, sin`;2Ò; a4=-;3!;이므로 12p:_a

[e-3`sin`;2Ò; x+3e`sin`;2Ò; x]cos`;2Ò; x`dx

=24:_!`^-;3!; (e^-3t+3et)dt

=24[-;3!;e^-3t+;2#;et²]_-1^-;3!;

=8e³-40e

STEP 6

1단계1단계 p-q의 값을 구한다.

따라서 p=8, q=-40이므로 p-q=48

답 48

(094h-104)고등수학해설(미적분)10.indd 94 2020-10-14 오전 11:14:12

정답과 풀이

95

n`Ú¦lim;n!;^n-1Á

k=1 Sk =16 lim

n`Ú¦;n!;^n-1Á

k=1`sin`;ðnÉ;

=16:)1``sin`px`dx

=16 [-;!;`cos`px]1)=:£ª:

따라서 a=32

답 32

05

Sn=Áⁿ

k=1[ f {;ªnð;}-f {2k-2

n }];nK;라 하면 Sn =;n!;[ f {;n@;}-f(0)]+;n@;[f {;n$;}-f {;n@;}]

+;n#;[ f {;n^;}-f {;n$;}]+y+n-1

n [ f {2n-2

n }-f {2n-4 n }]

+;nN;[f {;ªn÷;}-f {2n-2 n }]

=-;n!;`f(0)-;n!;`f {;n@;}-;n!;`f {;n$;}-y-;n!;`f {2n-2

n }+f(2)

=f(2)-^n-1_k=0Á^`f{;ªnð;};n!;

;nK;=x^k라 하면 ;n!;=Dx이므로

n`Ú¦lim

n-1_k=0Á^`f{;ªnð;};n!; =lim

n`Ú¦

n-1_k=0Á^`f(2x^k^)Dx

=:)1``f(2x)dx=;2!;:)2``f(t)dt

=;2!;_;4!;=;8!;

따라서

n`Ú¦lim Sn =lim

n`Ú¦`[ f(2)-^n-1Á

k=0`f {;ªnð;};n!;]

=f(2)-lim

n`Ú¦

n-1Á

k=0`f {;ªnð;};n!;

=1-;8!;=;8&;

답 ⑤

06

y=sinÛ``x`cos`x

O y

p x -2

0ÉxÉ;2Ò;에서 방정식 sinÛ``x`cos`x=0의 해를 구하면 sinÛ``x=0 또는 cos`x=0

즉 x=0 또는 x=;2Ò;

0ÉxÉ;2Ò;일 때, sinÛ``x`cos`x¾0이므로 구하는 넓이는

02

xk=1+;ªnð;로 놓으면 Dx=;n@;이므로 정적분의 정의에 의하여

n Ú¦lim;n@;_k=1Áⁿ `^f{1+;ªnð;}=:!3`^` f(x)dx

=:!3`^` 1

x²+xdx=:!3` {;[!;- 1 x+1 }dx

=[ln`|x|-ln|x+1|]3!

=[ln| x x+1 |]3!

=ln`;2#;

답 ④

03

xû=1+;nK;로 놓으면 Dx=;n!;이므로 정적분의 정의에 의하여

n`Ú¦lim Án k=1

nÛ` f {1+;nK;}=lim

n`Ú¦

Án

k=1;nK; f {1+;nK;} ;n!;

=:!2` (x-1) f(x) dx

=:!2` (x-1) ln`x`dx

=[{;2!; xÛ`-x} ln`x]2!-:!2``;[!; {;2!;xÛ`-x}dx

=(0-0)-:!2``{;2!; x-1}dx

=-[;4!; xÛ`-x]2!

=-(1-2)+{;4!;-1}

=;4!;

따라서 p=4, q=1이므로 p+q=5

답 5

04

삼각형 OQkB에서

∠OBQk=∠AOPk=;2KnÒ;이고 OBÓ=8이므로 OQkÓ=8 sin`;2KnÒ;, BQ^kÓ=8 cos`;2KnÒ;

Sk =;2!;_OQkÓ_BQkÓ

=;2!;_8 sin`;2KnÒ;_8 cos`;2KnÒ;

=16 sin`;ðnÉ;

이므로

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96

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 :₀^;2Ò;|sinÛ``x`cos`x|dx=:₀^;2Ò;`sinÛ``x`cos`x`dx sin`x=t로 놓으면 cos`x dx=dt이고 x=0일 때 t=0, x=;2Ò; 일 때 t=1이므로 :₀^;2Ò;`sinÛ``x`cos`x`dx =:)1``tÛ``dt=[;3!; tÜ`]1)=;3!;

답 ②

07

곡선 y=e^x과 접선 l이 만나는 접점의 x좌표를 t라 하면 점 (t, e^t)에 서의 접선의 기울기는 e^t이므로 접선 l의 방정식은

y=e^t(x-t)+e^t

접선 l이 점 (1, 0)을 지나므로 e^t(1-t)+e^t=0, (2-t)e^t=0 즉 t=2

따라서 접선 l의 방정식은 y=e²x-e²

곡선 y=e^x과 y축 및 직선 l로 둘러싸인 부분은 그림에서 색칠된 부 분과 같다.

1 2 y=eÅ

(2, eÛ ) l

O x

따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S =:)2` {e^x-(e²x-e²)}dx

=:)2` (e^x-e²x+e²)dx

=[e^x-e²

2 x²+e²x]2)=e²-1

답 ⑤

08

곡선 y=e^x-1 위의 점 P(1, e-1)에서 그은 접선 l의 방정식은 y-(e-1)=e(x-1)

즉 y=ex-1

따라서 :)1``(e^x-ex)dx=[e^x-;2E;x²]1)=;2E;-1

답 ①

09

곡선 y='x-3과 x축이 만나는 점의 좌표는 (9, 0)

-3

y=1x-3

O x

곡선 y='x-3의 그래프는 그림과 같으므로 곡선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S는 S =:)9`|'x-3|dx=:)9` (-'x+3)dx

=[-;3@;x^;2#;+3x]9)=9

답 ⑤

10

O A

B C

1 x

y=xeÅ l y

4개의 점 O(0, 0), A(1, 0), B(1, e), C(0, e)를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이는 1_e=e

곡선 y=xeÅ` 과 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 S =:)1``xeÅ``dx

=[xeÅ` ]1)-:)1``eÅ` `dx

=e-(e-1)=1

따라서 구하는 도형의 넓이는 e-S=e-1

답 ⑤

11

두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이는

:)1`à2Å`-{;2!;}Å` ¡dx = 2Å`

ln`2 -{;2!;}Å`

ln`;2!;

=» 2 ln`2

-;2!;

ln`;2!;¼-

¦

^{ln`2 -}¹ _ln`¹_;2!;

¥

= 5 2 ln`2 - 2

ln`2

= 1 2 ln`2

답 ④

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정답과 풀이

97

12

f(x)=k`ln`x라 하자.

O 1 Q P

x y

y=f(x) y=x

접점의 좌표를 P(p, p)라 하면

f(p)=k`ln`p=p …… ㉠

f '(x)=;[K;이므로 f '(p)=;pK;=1 yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여 p=e, k=e이므로 f(x)=e`ln`x

따라서 구하는 넓이 S는

S =(삼각형 OPQ의 넓이)-:!e`` f(x)dx

=;2!;e²-:!e`` e`ln`x`dx

=;2!;e²-e[x`ln`x-x]e!

=;2!;e²-e(e`ln`e-e+1)

=;2!;e²-e

따라서 a=;2!;, b=1이므로 100ab=50

답 50

13

곡선 y=;[!;과 두 직선 x=1, x=2 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S는

S=:!2`^`;[!; dx=[ln`x]2!=ln`2

곡선 y=;[!;과 두 직선 x=1, x=a 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓 이는 2S=2 ln`2이므로

Ú a>1일 때,

:!a`^`;[!; dx=[ln`x]a!=ln`a=2 ln`2 에서 a=4

Û 0<a<1일 때,

:A1` ;[!; dx=[ln`x]1A=-ln`a=2 ln`2 에서 a=;4!;

따라서 모든 a의 값의 합은 4+;4!;=;;Á4¦;;

답 ②

14

모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이므로 f(2x+1)>0

구하는 넓이는 :!2`` f(2x+1) dx

이때 2x+1=t로 놓으면 dx=;2!;dt이고 x=1일 때 t=3, x=2일 때 t=5이므로 :!2`` f(2x+1) dx =:#5`` f(t)

2 dt=;2!; :#5`` f(t) dt

=;2!;_36=18

답 ②

15

곡선 y=;ª[÷;과 직선 y=-;n{;+3의 교점은 An(n, 2), Bn(2n, 1)

nÉxÉ2n에서 ;ª[÷;É-;n{;+3이므로 Sn=:N2`n` [{-;n{;+3}-;ª[÷;]dx

=[- 1

2nx²+3x-2n ln|x|]2Nn`

=n{;2#;-2 ln`2}

따라서 Sn+1-Sn=;2#;-2 ln`2

답 ①

16

x¾1이면 f(x)¾0이고, x<1이면 f(x)<0이므로 영역 A의 넓이는

:)1`^`| f(x)|dx=-:)1`^`f(x)dx 영역 B의 넓이는

:!3`^`| f(x)|dx=:!3`^` f(x)dx

따라서 영역 A의 넓이와 영역 B의 넓이의 합은 -:)1`^` 2x-2

x²-2x+2dx+:!3` 2x-2 x²-2x+2dx

=-[ln`(x²-2x+2)]1)+[ln`(x²-2x+2)]3!

=ln`2+ln`5=ln`10

답 ④

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98

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

17

직선 l의 방정식은 y=(tan`h)x이므로 -x³+x=(tan`h)x에서

x(x²+tan`h-1)=0

x¾0에서 x=0 또는 x="Ã1-tan`h

따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 S(h) =:)^'Ä1-tan`h {(-x³+x)-(tan`h)x}dx

=[-;4!;x⁴+;2!;(1-tan`h)x²])^'Ä1-tan`h

=;4!;(1-tan`h)² 이므로

h Ú;4Ò;-0lim S(h)

{h-;4Ò;}²= lim

h Ú;4Ò;-0;4!;

{

^tan`h-1_h-;4Ò;

}

f(h)=tan`h라 하면 f '(h)=sec²`h, tan`;4Ò;=1이므로

h Ú;4Ò;-0lim

tan`h-1 h-;4Ò; = lim

h Ú;4Ò;-0

f(h)-f {;4Ò;}

h-;4Ò; =f '{;4Ò;}

따라서 lim

h Ú;4Ò;-0

S(h)

{h-;4Ò;}²=;4!;[ f '{;4Ò;}]²=;4!;_2²=1

답 ④

18

f(x)=ax², g(x)=ln`x에서

두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프가 만나는 점 P의 x좌표를 k라 하면

ak²=ln`k yy ㉠ f '(x)=2ax, g '(x)=;[!;

두 곡선 위의 점 P에서의 접선의 기울기가 서로 같으므로 2ak=;k!;, 2ak²=1 yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여 ln`k=;2!;, k='e a=;2Áe;, f(x)=x²

2e 이고 점 P의 좌표는 {'e, ;2!;}이므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

1 1e

O x

y y=f(x)

y=g(x)

따라서 구하는 넓이는

:)``^'e`x²

2e `dx-:!``

'e`ln`x`dx

=[x³ 6e ])

'e -[[x`ln`x]!^'e -:!``^'e`{x_;[!;}dx]

=[x³ 6e ])

'e -[x`ln`x]!^'e +[x]!^'e

=2'e-3 3

답 ②

19

선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는

(

'x e^;2{Ò;

)

²^=xe^x

따라서 구하는 입체도형의 부피는 :!^ln`6 xe^xdx =[xe^x]!^ln`6-:!^ln`6 e^xdx

=[xe^x-e^x]!^ln`6=-6+6 ln`6 따라서 a=6, b=6이므로 a+b=12

답 12

20

입체도형을 직선 x=t (0ÉtÉ2)를 포함하고 x축에 수직인 평면으 로 자른 단면인 정사각형의 한 변의 길이는

(2'¶2t+1)-'¶2t='¶2t+1 이므로 단면의 넓이는 ('¶2t+1)Û`=2t+2'¶2t+1 구하는 입체도형의 부피 V는 V =:)2` (2t+2'¶2t+1)dt

=[tÛ`+;3$;t'§2t+t]2)=:£3¢:

따라서 30V=340

답 340

21

x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=x+;4Ò; sin {;2Ò;x}

따라서 구하는 부피 V는 V=:!4`^`S(x)dx

V=:!4`^`[x+;4Ò; sin {;2Ò; x}]dx

V=[;2!;x²-;2!; cos {;2Ò;x}]4!=7

답 7

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정답과 풀이

99

22

점 (t, 0) { 'p

2 ÉtÉ '¶3p2 }를 지나고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이는

{2 f(t)}Û`=(2"Ãt`sin`t²)²=4t sin`tÛ`

따라서 구하는 입체도형의 부피는 :_'p

2 '¶3p2

4t sin`tÛ` dt

이때 tÛ`=u로 놓으면 2t dt=du이고 t= 'p

2 일 때 u=p

4 , t='¶3p

2 일 때 u=3p 4 이므로 :_'p

2 '¶3p2

4t sin`tÛ` dt =2:p 4 3p4

sin`u`du

=2_[-cos`u]^3p⁴

;4Ò;

=-2 {cos`3p

4 -cos`p 4 }=2'2

답 ①

23

직선 x=t (1ÉtÉ2)를 포함하고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면 의 넓이를 S(t)라 하면

S(t) = '3

4 {3t+;t@;}²

= '3

4 {9t²+12+4 t²} 따라서 구하는 부피 V는 V =:!2`^`S(t)dt

=:!2`^`'3

4 {9t²+12+4 t²}dt

=35'3 4

답 ①

24

x=e y=ln`x y

O 1

e y=eÅ` 의 역함수는 y=ln`x이므로

점 (0, 1)은 점 (1, 0)으로, 점 (0, e)는 점 (e, 0)으로 이동한다.

그런데 x=t (1ÉtÉe)일 때 정삼각형의 한 변의 길이는 ln`t이므로 정삼각형의 넓이를 S(t)라 하면

S(t)= '3

4 _(ln`t)Û`

따라서 구하는 부피를 V라 하면 V=:!e``S(t)dt

= '3

4 :!e` (ln`t)Û``dt

= '3

4 à [t(ln`t)Û`]e!-2:!e``ln`t`dt¡

= '3

4 {e-2[t ln`t-t]e!}

= '3

4 (e-2) ^답 ⑤

다른 풀이 1

:``ln`x`dx=x ln`x-x+C (C는 적분상수)이므로 :!e``S(t)dt= '3

4 :!e` (ln`t)Û``dt

= '3

4 à [ln`t(t ln`t-t)]e!-:!e` (ln`t-1) dt¡

= '3

4 à0-[t ln`t-2t]e!¡= '3 4 (e-2)

다른 풀이 2

함수 f(x)=eÅ` 의 역함수를 f ÑÚ`(x)라 하고, 입체도형의 부피를 V라 하면

V=:!e`` '3

4 { f ÑÚ`(y)}Û``dy y=f(x)에서 f ÑÚ`(y)=x이고,

y=f(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 dy

dx=f '(x)=eÅ` 이므로 dy=f '(x)dx V= '3

4 :)1``xÛ` f '(x) dx

= '3

4 :)1``xÛ`eÅ` `dx

= '3

4 {[xÛ`eÅ` ]1)-2:)1``xeÅ` `dx}

= '3

4 àe-2 {[xeÅ`]1)-:)1``eÅ` `dx}¡

= '3

4 àe-2 {e-[eÅ` ]1)}¡

= '3 4 (e-2)

25

선분 PQ를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이는 S(x)= '3

4 {"Ãx(x²+1)sin(x²)}²

u(t)=ln`t, v '(t)=ln`t라 하면 u '(t)=;t!;, v(t)=t ln`t-t

u(t)=xÛ`, v '(t)=eÅ` 이라 하면 u '(t)=2x, v(t)=eÅ`

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100

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

01

구하는 넓이를 정적분으로 나타내면

Sn={;2!;}ⁿ`:ÀnNÈ_!Ë®ù|sin`x|dx ㉮ y=|sin`x|는 주기가 p인 함수이므로

Sn={;2!;}ⁿ`:)È` sin`x`dx

이때

:)È` sin x`dx =[-cos x]È)

=-(-1)-(-1)=2 이므로

Sn=2_{;2!;}ⁿ ㉯

따라서 Á¦

n=1Sn =_n=1Á^¦2_{;2!;}ⁿ

=2_ ;2!;

1-;2!;=2 ㉰

답 2

단계 채점 기준 비율

㉮ 구하는 넓이를 정적분으로 나타낸 경우 30%

㉯ 피적분함수의 주기를 이용하여 Sn을 구한 경우 40%

㉰ 급수 Á^¦

n=1Sn의 값을 구한 경우 30%

02

x=e^t`sin`t, y=e^t`cos`t에서 dx

dt =e^t (sin`t+cos`t) dy

dt =e^t (cos`t-sin`t)이므로 ㉮

점 P의 시각 t (t>0)에서의 속력은

"Ã{e^t (cos`t+sin`t)}²Ã+{e^t (cos`t-sin`t)}²

="Ãe^2t (2 cos²`t+2 sin²`t)

="2e^t

t=k에서의 속력이 2이므로 '2e^k=2에서

k=ln`'2 ㉯

한편 점 P가 t=2k에서 t=ln`6까지 움직인 거리는

01 2 02 4'2

서술형

연습

본문 134쪽

입체도형의 부피 V는 V=:)^'p'3

4 x(x²+1)sin(x²)dx x²=t라 하면 x dx=;2!;dt이고

x=0일 때 t=0, x='p일 때 t=p이므로 V= '3

8 :)È`(t+1) sin`t`dt u(t)=t+1, v'(t)=sin`t라 하면 u'(t)=1, v(t)=-cos`t 따라서

V= '3

8 [-(t+1)cos`t]È)- '3

8 :)È`(-cos`t)dt V= '3(p+2)

답 ①

26

y=;3!;x^;2#;에서 y '=;2!;'x이므로

l=:)1`2``"Ã1+(y ')²`dx=:)1`2``®É1+;4{;`dx

®É1+;4{;=t로 놓으면 1+;4{;=t²

양변을 t에 대하여 미분하면 dx=8t dt이고 x=0일 때 t=1, x=12일 때 t=2이므로 l=:!2``8t²dt=[;3*; t³]2!=:¤3¢:-;3*;=:°3¤:

따라서 3l=56

답 56

27

x=t+2 cos`t, y='3`sin`t에서 x '=1-2`sin`t, y '='3`cos`t

ㄱ. t=;2Ò;일 때, 점 P의 속도는 (-1, 0)이다.(참) ㄴ. 점 P의 속력은

"Ãsin²`t-4 sin`t+4 ="Ã(sin`t-2)²

=|sin`t-2|=2-sin`t t=;2Ò;일 때, 속력의 최솟값은 1이다.(참) ㄷ. 점 P가 t=p에서 t=2p까지 움직인 거리는 :ù2`È``(2-sin`t)dt =[2t+cos`t]2ùÈ`

=2p+2 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

(094h-104)고등수학해설(미적분)10.indd 100 2020-10-14 오전 11:14:16

정답과 풀이

101

:_ln`2^ln`6`"Ã{e^t (cos`t+sin`t)}²Ã+{e^t (cos`t-sin`t)}²`dt

ln`2

ln`6`"Ãe^2t (2 cos²`t+2 sin²`t) dt

ln`2 ln`6`'2e^t`dt

='2`[e^t]_ln`2^ln`6

='2(6-2)=4'2 ㉰

답 4'2

단계 채점 기준 비율

㉮ ^dx_{dt ,}^dy_{dt 를 구한 경우} ^20%

㉯ k의 값을 구한 경우 40%

㉰ 점 P가 움직인 거리를 구한 경우 40%

2k=2 ln`'2=ln`2

01

풀이 전략 이계도함수를 이용하여 함수의 그래프와 역함수의 그래프 를 그리고 정적분을 구한다.

문제 풀이 STEP 1

1단계1단계 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프를 그린다.

y=f(x) y=x

:#7 g(x)dx

:#7 f(x)dx

:!3 f(x)dx :!3 g(x)dx

O 1 1

3 3

7 7

함수 f(x)가 f(1)< f(3)이고 일대일 대응이므로 함수 f(x)는 구간 [1, 3]에서 증가한다.

STEP 2

1단계1단계 :!3 f(x) dx의 값을 구하여 :#7 f(x) dx의 값을 구한다.

그러므로 :!3``f(x) dx=3_3-1_1-:!3``g(x) dx 조건 ㈐에 의해서 :!3``g(x) dx=3이므로

:!3``f(x) dx=8-3=5

:#7``f(x) dx =:!7``f(x) dx-:!3``f(x) dx

=27-5=22

조건 ㈏에 의해서 함수 f(x)의 그래프는 구간 (3, 7)에서 위로 볼록 하다.

조건 ㈎에 의해서 f(3)=3, f(7)=7이므로 구간 [3, 7]에서

`f(x)-x¾0이다.

STEP 3

1단계1단계 12:#7` | f(x)-x|dx의 값을 구한다.

따라서

12:#7` | f(x)-x|dx =12:#7` { f(x)-x}dx

=12[ :#7`` f(x)dx-:#7``x`dx]=24

답 24

02

풀이 전략 도함수를 활용하여 그래프의 개형을 알아보고 넓이와의 관 계를 알아본다.

문제 풀이 STEP 1

1단계1단계 정적분의 값을 계산한다.

ㄱ. :)1`^` f(x)dx =[e^x-x]1)

=e-2 (참)

STEP 2

1단계1단계 도함수를 활용하여 함수 g(x)의 그래프를 알아본다.

ㄴ. g(x)=f(x)-x라 하자.

x>0에서 g '(x)=e^x-1>0이므로 함수 g(x)는 구간 (0, ¦)에서 증가한다.

따라서 g(0)=f(0)-0=0이므로 x>0에서 f(x)>x이다. (참)

STEP 3

1단계1단계 정적분의 뜻을 이해하고 삼각형의 넓이와 비교한다.

ㄷ. f ^-1(x)=ln(x+1)이므로

A(eÞ -1, 0) eÞ -1

B C

112eÞ -15 y=x

y= x y=ln(x+1)

O x

(삼각형 OAB의 넓이)=5(e⁵-1)

2 <:)^eÞ`-1` f ^-1(x)dx, :)^eÞ`-1` f ^-1(x)dx<(e⁵-1)²

2 =(삼각형 OAC의 넓이) (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

22 20

01 24 02 ⑤ 03 80 04 350 05 ④

1등급

도전

^{본문 135~136}^쪽

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102

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

03

풀이 전략 도형을 좌표평면 위에 나타내고 S(x)에 대한 정적분을 구 한다.

문제 풀이 STEP 1

1단계1단계 좌표평면에 도형을 그리고, S(x), S'(x)를 각각 구한다.

A P B

S(x)

O x 2 t

S(x)=:)/` "Ã1-(t-1)Û` `dt이므로 S'(x)="Ã1-(x-1)Û`

STEP 2

1단계1단계 S(1+sin`h)-S(1+cos`h)=f(h)로 놓고 f '(h)를 구한다.

f(h)=S(1+sin`h)-S(1+cos`h)라 하면 f '(h)=S'(1+sin`h) cos`h+S'(1+cos`h) sin`h

="Ã1-sinÛ``h cos`h+"Ã1-cosÛ``h sin`h =|cos`h| cos`h+|sin`h| sin`h

STEP 3

1단계1단계 h의 값의 범위에 따른 f(h)를 구하고 함수 y=f(h)의 그래프를 그 린다.

Ú 0ÉhÉ;2Ò;일 때,

f '(h)=cosÛ``h+sinÛ``h=1이므로 f(h)=h+CÁ (CÁ은 적분상수) f(0) =S(1)-S(2)

=;4Ò;-;2Ò;=-;4Ò;

이므로 CÁ=-;4Ò;

따라서 f(h)=h-;4Ò;

Û ;2Ò;Éh<p일 때,

f '(h)=-cosÛ``h+sinÛ``h=-cos`2h이므로 f(h)=-;2!; sin`2h+Cª (Cª는 적분상수) f {;2Ò;}=S(2)-S(1)

=;2Ò;-;4Ò;=;4Ò;

이므로 Cª=;4Ò;

따라서 f(h)=-;2!; sin`2h+;4Ò;

원의 방정식 : (x-1)²+y²=1

-(cos²`h-sinÛ``h)=-cos`2h

Ú, Û에 의해 함수 y=f '(h)의 구간 [;4Ò;, ;4#;p] 에서의 그래프는 그림의 실선 부분이다.

O -p4 p h

-p4 -p4

-p2 -34p y

y=f(h)

-STEP 4 1단계1단계 :

;4Ò;`^;4#;p `f(h)dh의 값을 구하고 30p

q 의 값을 구한다.

:_;4Ò;^;4#;p f(h)dh =:_;4Ò;^;2Ò;{h-;4Ò;} dh+:_;2Ò;^;4#;p{-;2!; sin`2h+;4Ò;} dh

=[;2!; hÛ`-;4Ò; h]_;4Ò;^;2Ò;+[;4!; cos`2h+;4Ò; h]_;2Ò;^{;4#; p}

=p² 32 +{

p²

16 +;4!;}

=;4!;+;3£2; pÛ`

따라서 p=;4!;, q=;3£2;이므로 30p

q = 30_;4!;

;3£2; =80

답 80

04

풀이 전략 t의 값에 따른 함수 g (x)를 알아보고 정적분의 성질을 이용 하여 미지수를 구한다.

문제 풀이 STEP 1

1단계1단계 t의 값에 따른 g(t)를 구한다.

부등식 f(x)Éf(t)를 만족시키는 x의 값의 범위는 곡선 y=f(x)가 직선 y=f(t)와 만나거나 아래쪽에 그려지는 실수 x의 값의 범위와 같다.

따라서 직선 y=f(t)와 곡선 y=f(x)가 만나는 점의 x좌표 중 가장 작은 값이 g(t)이다.

O C

D B

D'B' AC'

E x y=f(x) y

-p2

--p p p+1

Ú tÉ-;2Ò;일 때

점 A의 x좌표가 t일 때, 점 A를 지나고 x축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 x좌표가 가장 작은 점은 A이다.

따라서 g (t)=t

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정답과 풀이

103

Û -;2Ò;<tÉ0일 때

점 B의 x좌표가 t일 때, 점 B를 지나고 x축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 x좌표가 가장 작은 점은 B'이다.

따라서 점 B'의 x좌표가 g(t)이다.

두 점 B, B'은 직선 x=-;2Ò; 에 대하여 대칭이므로 t+g(t)

2 =-;2Ò;에서 g(t)=-t-p Ü 0<tÉp일 때

점 C의 x좌표가 t일 때, 점 C를 지나고 x축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 x좌표가 가장 작은 점은 C'이다.

따라서 점 C'의 x좌표가 g(t)이다.

점 C는 곡선 y=sin`x 위의 점이고, 점 C'은 직선 y=-x-p 위 의 점이므로

sin`t=-g(t)-p에서 g(t)=-sin`t-p Ý p<tÉp+1일 때

점 D의 x좌표가 t일 때, 점 D를 지나고 x축에 평행한 직선이 그 래프와 만나는 점 중 x좌표가 가장 작은 점은 D'이다.

따라서 점 D'의 x좌표가 g(t)이다.

점 D는 직선 y=-x+p 위의 점이고, 점 D'은 곡선 y=sin`x 위의 점이므로 -t+p=sin`g(t)이다.

함수 y=sin`x {-pÉxÉ-;2Ò;}의 역함수를 h(x)라 하면 g(t)=h(-t+p)

Þ t>p+1일 때

점 E의 x좌표가 t일 때, 점 E를 지나고 x축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 x좌표가 가장 작은 점은 E이다.

따라서 g(t)=t

STEP 2

1단계1단계 함수 y=g(t)를 그린다.

함수 g(t)는 t=p+1에서 불연속이므로 a=p+1이고 그래프는 그림과 같다.

O t

y=g(t) y

p+1

p p+1

-p Ú

Ü Û -p

-p2

--p2

-STEP 3

1단계1단계 :_Èù``g(t) dt, :ùÓ``g(t) dt의 값을 구한다.

:_Èù``g(t) dt =[tÛ`

2 ]_ù

-;2Ò;

+[-tÛ`

2 -pt]0-;2Ò;+[cos`t-pt]È)

=-;4&;pÛ`-2 yy ㉠ 한편 위의 그림에서

y=sin`t {-pÉtÉ-;2Ò;}

111122222211ÚÚ

직선 y=t에 대하여 대칭 y=h(t)

1122222211Úy축에 대하여 대칭Û y=h(-t)

1111ÚÜ

평행이동 y=h(-t+p) 이므로

:ùÓ``g(t) dt =-(빗금 친 부분의 넓이)

=-{1_;2Ò;+:)^;2Ò;`sin`t dt}

=-;2!;p-1 yy ㉡

STEP 4

1단계1단계 100_|p+q|의 값을 구한다.

따라서

:_Óù``g(t) dt =:_Èù``g(t)dt-:òÈ``g(t)dt

=:_Èù``g(t)dt+:ùÓ``g(t)dt

=-;4&;pÛ`-;2!;p-3 그러므로 p=-;2!;, q=-3이므로 100_|p+q|=350

답 350

05

풀이 전략 치환적분법을 이용하여 입체도형의 부피를 구한다.

문제 풀이 STEP 1

1단계1단계 x축에 수직인 단면의 넓이를 구한다.

문서에서 EBS 올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 미적분 답지 정답 (페이지 94-104)