유형 연습
08 부정적분
cos`2h=1+'¶17
8 인 h에서 S '(h)=0이다.
0<h<;4Ò;에서 cos`2h=1+'¶17
8 을 만족시키는 h를 h0이라 하면 h<h0일 때 S '(h)>0이고, h>h0일 때 S '(h)<0이므로 S(h)은 h=h0에서 최댓값을 갖는다. 그러므로 h0=a 따라서 cos`2a=1+'¶17
8
답 ④
07
풀이 전략 삼각함수의 극한, 합성함수의 미분법을 이용하여 그래프의 개형을 알아본다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 g(-x)와 g(x)의 관계를 알아본다.
ㄱ. g(-x)=sin` f(-x)
-x =-sin` f(x)
x =-g(x)
이므로 모든 양의 실수 x에 대하여 g(x)+g(-x)=0이다. (참)
STEP 2 1단계1단계 lim
x Ú0g(x)의 값을 구한다.
ㄴ. 함수 f(x)가 미분가능하므로 조건 ㈐에서 lim
x Ú0`f(x)=f(0)=0이고,
조건 ㈎에서 f '(x)=-f '(-x)이므로 f '(0)=0이다.
따라서 lim
x Ú0g(x) =limx Ú0 sin` f(x) x =lim
x Ú0[sin` f(x) f(x) _ f(x)
x ]
=1_f '(0)=0 (참)
STEP 3
1단계1단계 방정식 g(x)=;!;이 가지는 실근의 개수를 알아본다.
ㄷ. f(a)=;2Ò; (a>0)이면 g(a)=sin` f(a)
a =;!;>0이고, lim
x Ú0g(x)=0이므로
0<x<a에서 함수 g(x)가 증가하는 구간이 있다.
g '(x)=x f '(x) cos` f(x)-sin` f(x)
x2 에서
g '(a) =a f '(a) cos` f(a)-sin` f(a)
a2 =- 1
a2<0
따라서 함수 g(x)는 구간 (0, a)에서 ;!;보다 큰 극댓값을 가지 므로 방정식 g(x)=;!;은 0<xÉa에서 적어도 2개의 서로 다른 실근을 갖는다. 한편 함수 g(x)는 구간 (-a, 0)에서 -;!;보다 작은 극솟값을 가지므로 방정식 g(x)=-;!;은 -aÉx<0에서 적어도 2개의 서로 다른 실근을 가지므로 방정식 | g(x)|=;!;은 적어도 4개의 서로 다른 실근을 갖는다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ③
limx`Ú0
f(x)-f(0) x-0 =f '(0)
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정답과 풀이
75
f(-5)=(-5)2-2=23
답 23
06
조건 ㈎에서 { f(x)}2f '(x)= 2x
x2+1의 양변을 x에 대하여 적분하면 :`{ f(x)}2 f '(x)dx=:` 2x
x2+1 dx f(x)=t라 할 때 f '(x)= dt
dx 이므로
(좌변) =:`{ f(x)}2 f '(x)dx=:`t2dt=;3!;t3+C1
=;3!;{f(x)}3+C1 (C1은 적분상수) (우변)=:` 2x
x2+1 dx=ln`(x2+1)+C2 (C2는 적분상수) 그러므로 { f(x)}3=3 ln`(x2+1)+C (C는 적분상수) 조건 ㈏에서 f(0)=0이므로 C=0
따라서 { f(x)}3=3 ln`(x2+1)이므로 { f(1)}3=3 ln`2
답 ②
07
f '(x)=3x-4 'Äx-1이므로 f(x)=:``f '(x)dx=:` 3x-4
'Äx-1dx에서 x-1=t로 놓으면 dx=dt이므로 f(x) =:` 3t-1
't dt=:` (3t;2!;-t-;2!;)dt
=2t;2#;-2t;2!;+C (C는 적분상수)
=2(x-1);2#;-2(x-1);2!;+C 따라서 f(5)-f(2)=(12+C)-C=12
답 ⑤
08
함수 f '(x)를 적분하면
f(x)=[x2+3x+C1 (x<1)
x`ln`x-x+C2 (x>1) (C1, C2는 적분상수) f(e)=e`ln`e-e+C2=2에서 C2=2
함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
x Ú1+lim f(x)= lim
x Ú1- f(x)=f(1)이어야 한다.
x Ú1+lim f(x)=1, lim
x Ú1- f(x)=1+3+C1이므로
1=1+3+C1에서 C1=-3 f(-1)= 1
eÛ`+CÁ=e+ 1 eÛ`이므로 CÁ=e, Cª=e+1
따라서 f(e) =ln`e+(e+1)=e+2
답 ⑤
02
f '(x)=;[!;에서
f(x)=:` f '(x) dx=:` ;[!;`dx
=ln|x|+C (C는 적분상수) f(1)=10이므로 C=10
따라서 f(x)=ln|x|+10이므로 f(eÜ`)=ln`eÜ`+10=3+10=13
답 13
03
f(x)=
à
-;[!;+C1 (xÉ-1)x3+x+C2 (x>-1)
(C1, C2는 적분상수)에서
f(-2)=;2!;+C1=;2!;이므로 C1=0
x Ú-1-lim f(x)=1, lim
x Ú-1+ f(x)=-2+C2이고, 함수 f(x)는 x=-1에서 연속이므로 1=-2+C2에서 C2=3
따라서 f(0)=3
답 ③
04
f(x) =:`f '(x)dx
=:`sin`x`dx=-cos`x+C (C는 적분상수) 따라서 f(p)-f(0)=-cos`p+cos`0=2
답 ⑤
05
함수 f '(x)를 적분하면 f(x)=[2x;2#;+C1 (x>1)
x2+C2 (x<1) (C1, C2는 적분상수) f(4)=13이므로
16+C1=13에서 C1=-3 x=1에서 연속이므로
x Ú1-lim(x2+C2)= lim
x Ú1+(2x;2#;-3) 1+C2=-1에서 C2=-2
따라서 f(x)=[2x;2#;-3 (x¾1) x2-2 (x<1)이므로
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76
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분01
0<x<;2Ò;에서 0<sin`x<1이므로 등비급수의 합의 공식에 따라 f(x)= 1
1-sin`x ㉮
F(x) =:`f(x)dx
=:` 1 1-sin`x dx
=:`1+sin`x 1-sin2 xdx
=:`{ 1
cos2`x+ sin`x cos2`x }dx
=:`(sec2 x+sec`x tan`x)dx
=tan`x+sec`x+C (C는 적분상수) ㉯ F{;3Ò;}='3+2+C='3에서 C=-2
즉 F(x)=tan`x+sec`x-2 ㉰
따라서 F{;4Ò;}=1+'2-2=-1+'2 ㉱
답 -1+'2
단계 채점 기준 비율
㉮ 등비급수의 합으로 함수 f(x)를 구한 경우 40%
㉯ F(x)=:` f(x)dx를 구한 경우 30%
㉰ F{;3Ò;}='3임을 이용하여 적분상수를 구하고 F(x)를 완성한 경우
20%
㉱ F{;4ÒÒÒ;}의 값을 구한 경우 10%
02
f(x) =:`x`sin`2x dx
=-;2!;x cos`2x+;2!;`:`cos`2x dx
=-;2!;x cos`2x+;4!;`sin`2x+C (C는 적분상수) ㉮
f(0)=4 f {;4Ò;}에서 C=1+4C, 즉 C=-;3!;
f(x)=-;2!;x`cos`2x+;4!;`sin`2x-;3!;이므로 ㉯ f(p)=-;2Ò; cos`2p+;4!; sin`2p-;3!;=-3p-2
6 01 -1+'2 02 13
서술형
연습
본문 106쪽따라서 f(x)=[x2+3x-3 (xÉ1) x`ln`x-x+2 (x>1)이므로 f(-6)=(-6)2+3_(-6)-3=15
답 ④
09
조건 ㈎에서 f '(x)g(x)+f(x)g '(x)={ f(x)g(x)}'=h(x)의 양 변을 x에 대하여 적분하면 f(x)g(x)=:`h(x)dx
xg(x)=:`ln`x`dx
이 식을 부분적분법을 이용하여 정리하면 이때 u(x)=ln`x, v '(x)=1이라 하면 u '(x) =;[!;, v(x)=x이므로
xg(x) =x`ln`x-:`1`dx=x`ln`x-x+C (C는 적분상수) 이 식에 x=1을 대입하면
1_g(1)=-1+C=-1에서 C=0 따라서 g(x)=ln`x-1이므로 g(e)=0
답 ③
10
조건 ㈏ {x f(x)}'=f(x)+x f '(x)=x`cos`x의 양변을 x에 대하여 적분하면
:`{x f(x)}'dx=:`x`cos`x`dx
x f(x)=x`sin`x+cos`x+C (C는 적분상수) yy ㉠ 조건 ㈎에서 f {;2Ò;}=1이므로
;2Ò; f {;2Ò;}=;2Ò;`sin`;2Ò;+cos`;2Ò;+C
;2Ò;=;2Ò;+C이므로 C=0
따라서 x f(x)=x`sin`x+cos`x에 x=p를 대입하면 pf(p)=p`sin`p+cos`p
따라서 f(p)=-;!;
답 ②
11
조건 ㈏ x f '(x)-f(x)
x2 ={f(x)
x }'=xex의 양변을 x에 대하여 적 분하면
f(x)
x =(x-1)ex+C (C는 적분상수) 조건 ㈎ f(1)=0이므로 C=0
즉 f(x)=x(x-1)ex
따라서 f(3)_f(-3)=6e3_12e-3=72
답 72
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정답과 풀이
77
따라서 a=-3, b=-2이므로 ㉰
a2+b2=13 ㉱
답 13
단계 채점 기준 비율
㉮ 부정적분 :`x`sin`2x`dx를 구한 경우 30%
㉯ 주어진 조건을 이용하여 적분상수를 구하고 f(x)를
완성한 경우 20%
㉰ a, b의 값을 각각 구한 경우 30%
㉱ a2+b2의 값을 구한 경우 20%
01
풀이 전략 치환적분법을 이용하여 문제를 해결한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 : f '(x)f(x) dx=ln| f(x)|+C임을 이용한다.
d
dt {ln |T(t)-20|}= T'(t)
T(t)-20이므로 :` T'(t)
T(t)-20`dt=kt+C (C는 적분상수)에서 ln |T(t)-20|=kt+C가 성립한다.
STEP 2
1단계1단계 T(0)=100을 이용하여 적분상수 C의 값을 구한다.
t=0일 때, ln |T(0)-20|=C에서 C=ln`80 yy ㉠
STEP 3
1단계1단계 T(3)=60을 이용하여 상수 k의 값을 구한다.
t=3일 때, ln |T(3)-20|=3k+C에서 3k+C=ln`40 yy ㉡
㉠, ㉡에서
3k=ln`40-ln`80=ln`;2!;=-ln`2 따라서 k=-ln`2
3
답 ①
02
풀이 전략 부분적분법을 이용하여 문제를 해결한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 { f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)임을 이용한다.
F(x)+x f(x)=F(x)+xF'(x)={xF(x)}'
01 ① 02 ④ 03 ④ 04 ⑤
1등급
도전
본문 107쪽STEP 2
1단계1단계 양변을 x에 대하여 적분한다.
주어진 식의 양변을 x에 대하여 적분하면 xF(x) =:`(2x+2)ex dx
=(2x+2)ex-:`2ex dx
=(2x+2)ex-2ex+C
=2xex+C (C는 적분상수)
STEP 3
1단계1단계 적분상수 C의 값을 구한다.
조건 ㈏에서 F(1)=2e+C=2e 즉 C=0
STEP 4
1단계1단계 F(3)의 값을 구한다.
따라서 F(x)=2ex이므로 F(3)=2e3
답 ④
03
풀이 전략 역함수의 미분법과 :` f '(x)
f(x) `dx=ln | f(x)|+C를 이용하 여 조건을 만족시키는 함숫값을 구한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 g( f(x))=x의 양변을 미분한다.
g( f(x))=x의 양변을 x에 대하여 미분하면 g '( f(x)) f '(x)=1
STEP 2 1단계1단계 f '(x)
f(x) 를 구한다.
조건 ㈏에서 g '( f(x))+0이고 g '( f(x))= 1
f '(x)이므로 f(x) g '( f(x))= f(x)
f '(x)= 1 xÛ`+1 에서 f '(x)
f(x) =xÛ`+1
STEP 3 1단계1단계 f '(x)
f(x) =xÛ`+1의 양변을 적분한다.
양변을 x에 대하여 적분하면
ln |f(x)|=;3!;xÜ`+x+C (C는 적분상수) 즉 |f(x)|=e;3!; xÜ`+x+C
조건 ㈎에서 f(0)=1>0이고 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로
f(x)=e;3!; xÜ`+x+C
STEP 4
1단계1단계 f(x)를 구하고 f(3)의 값을 구한다.
f(0)=e``=1에서 C=0
따라서 f(x)=e;3!; xÜ`+x이므로 f(3)=eÚ`Û`
답 ④
(074h-079h)고등수학해설(미적분)08.indd 77 2020-10-14 오전 11:12:44
78
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분01 ⑴ 1 ⑵ 42
⑶ e2 -;e!;+;2!;2 {또는 e3+e-2 2e }
⑷ 4
02 ⑴ ln`3 ⑵ e-;2!; ⑶ 4 03 ⑴ 2{e-;e!;} ⑵ 2 ⑶ 8 04 ⑴ 1562
5 ⑵ 0 ⑶ 2-'2
⑷ ;2!;-;2Áe; ⑸ ;3@; ⑹ ln`2 05 ⑴ 2 ⑵ e-2
⑶ ;4!;(e2+1) ⑷ ;2Ò;-1 06 -1
07 f(x)=cos`x+ 1x+1 08 1+ln`'2
09 ⑴ 1 ⑵ p
10 ㈎ ex+k ㈏ 1-e2 ㈐ ex+1-e2
개념
확인 문제
본문 109쪽01 ③ 02 ② 03 15 04 ④ 05 ③ 06 ① 07 ③ 08 ① 09 ③ 10 ⑤ 11 ④ 12 ② 13 102 14 12 15 ① 16 ⑤ 17 ⑤ 18 ③ 19 ① 20 ④ 21 6 22 51 23 ② 24 ③ 25 ④ 26 ① 27 ② 28 ① 29 ① 30 ① 31 ② 32 ① 33 2 34 ④ 35 ① 36 6 37 12 38 ② 39 ④ 40 ③ 41 ③ 42 ② 43 ② 44 325 45 ③ 46 64 47 ③ 48 ⑤ 49 ④ 50 ①
유형 연습
내신&
학평 본문 110~119쪽