유형 연습
09 정적분
01
:)1`(ex+1)dx=[ex+x]1)=(e+1)-1=e
답 ③
02
:)4`(5x-3)'x`dx =:)4`
(
5x;2#;-3x;2!;)
dx=[2x;2%;-2x;2#;]4)=2_4;2%;-2_4;2#;=64-16=48
답 ②
04
풀이 전략
부정적분을 이용하여 g(x)를 구하고 g(1)의 값을 추론한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 f(g(x))=x를 이용하여 g '(x)를 먼저 구한다.
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 f(g(x))=x f(1)=2이므로 g(2)=1
주어진 식에서
f '(g(x)) =1-{ g(x)}2{ f(g(x))}3 { g(x)}3{ f(g(x))}2
=1-x3{g(x)}2 x2{g(x)}3 = 1
g '(x) 이므로 g '(x)= x2{ g(x)}3
1-x3{ g(x)}2 yy ㉠
STEP 2
1단계1단계 x=2를 대입하여 g '(2)의 값을 구한다.
ㄱ. 식 ㉠에 x=2를 대입하면 g '(2) = 22_{g(2)}3
1-23_{g(2)}2= 22
1-23=-;7$; (참)
STEP 3
1단계1단계 ㉠의 양변에 1-x3{ g(x)}2을 곱하고 양변을 x에 대하여 적분한다.
ㄴ. 식 ㉠을 정리하면
g '(x) =x3{g(x)}2g '(x)+x2{g(x)}3
=x2{g(x)}2{xg '(x)+g(x)}
xg '(x)+g(x)={xg(x)}'이므로 양변을 x에 대하여 적분하면
:`g '(x)dx=:{x g(x)}2{x g(x)}'dx g(x)=;3!;x3{g(x)}3+C (C는 적분상수) x=2를 대입하면 1=;3*;+C이므로 C=-;3%;
따라서 g(x)=;3!;x3{ g(x)}3-;3%; (참) yy ㉡
STEP 4
1단계1단계 미분을 이용하여 극대, 극소를 알아내어 g(1)의 값을 추론한다.
ㄷ. 식 ㉡에 x=1을 대입하여 정리하면 { g(1)}3-3g(1)-5=0
함수 h(t)=t3-3t-5, g(1)=a라 하면 h '(t)=3(t+1)(t-1)
t=-1에서 극댓값 -3을 가지고, t=1에서 극솟값 -7을 가지 므로 방정식 h(t)=0은 하나의 실근 a를 갖는다.
h(2)=8-6-5=-3<0, h{;2%;}=:Á;8@;°:-;;Á2°;;-5=;;ª8°;;>0 이므로 사잇값 정리에 의하여 2<a<;2%;
즉 2<g(1)<;2%; (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
h(-1)
h(1)
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정답과 풀이
79
03
:!5` { 1
x+1 +;[!;}dx =[ln|x+1|+ln|x|]5!
=(ln`6+ln`5)-ln`2=ln`15=ln`a 따라서 a=15
답 15
04
:)`;3Ò; cos`{h+;6Ò;}dh =[sin{h+;6Ò;}]);3Ò;=sin`;2Ò;-sin`;6Ò;=;2!;
답 ④
05
:)`;6Ò; cos`3x`dx=[;3!;`sin`3x]);6Ò;=;3!;`sin`;2Ò;=;3!;
답 ③
06
:#6` 2
x2-2x`dx =:#6` { 1
x-2 -;[!;}dx=[ln|x-2|-ln|x|]6#
=(ln`4-ln`6)-(-ln`3)=ln`2
답 ①
07
:)`;2Ò; 3 cos`x`dx =3 [sin`x]);2Ò;=3 {sin`;2Ò;-sin`0}=3
답 ③
08
:)`;4Ò; `sin`2x`dx =-;2!;[cos`2x]);4Ò;=-;2!; {cos`;2Ò;-cos`0}=;2!;
답 ①
09
:!e``f(x)dx =:!e` {;[!;-2}dx=[ln`x-2x]e!
=(1-2e)+2=3-2e
답 ③
10
:!2``3x+2
x2 `dx =:!2``{;[#;+ 2
x2} dx=[3 ln |x|-;[@;]2!
=(3 ln`2-1)-(0-2)=3 ln`2+1
답 ⑤
11
:)`;3Ò; tan`x`cos`x`dx =:)`;3Ò; sin`x`dx=[-cos`x]);3Ò;
={-;2!;}-(-1)=;2!;
답 ④
12
f(x)= 4x2 x2+3에서
f '(x)=8x(x2+3)-4x2_2x
(x2+3)2 = 24x (x2+3)2
양의 실수 전체의 집합에서 f '(x)>0이므로 f(x)는 증가함수이다.
두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)의 교점은 곡선 y=f(x)와 y=x의 교 점과 같다.
f(x)=x에서
x3-4x2+3x=0, x(x-1)(x-3)=0
이므로 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)의 교점의 x좌표는 1, 3이다.
f "(x) =24(x2+3)2-24x_2(x2+3)_2x (x2+3)4
=72(1-x)(1+x) (x2+3)3
곡선 y=f(x)는 열린구간 (0, 1)에서 아래로 볼록하고, 열린구간 (1, ¦)에서 위로 볼록하며, 변곡점은 (1, 1)이다.
두 함수 f(x)와 g(x)의 그래프 개형은 그림과 같다.
O x
y
y=f(x) y=g(x) y=x
1 1 3
3
함수 h(x)는 닫힌구간 [1, 3]에서만 h(x)¾0이고, 함수 h(x)의 그 래프 개형은 그림과 같다.
1 3
O x
y
y=h(x) x=4
ㄱ. 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)의 교점의 x좌표는 1, 3이므로 f(1)=g(1)=1
따라서 h(1)=f(1)-g(1)=0 (참) ㄴ. 두 양수 a, b에 대하여
:Ab``h(x)dx의 값이 최대가 되려면
닫힌구간 [ a, b ]에서 h(x)¾0이고 b-a의 값이 최대이어야 하 므로 a=1, b=3
그러므로 b-a=2 (참)
ㄷ. f( g(x))=x에서 f '( g(x))g '(x)=1이고
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80
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 g '(x)= 1f '(g(x))이므로
h'(x)=f '(x)-g '(x)=f '(x)- 1
f '(g(x))이고 g "(x)=-f "( g(x))g '(x)
{ f '(g(x))}2
곡선 y=f(x)가 점 (1, 1)에서만 변곡점을 가지므로 f "(1)=0 f(1)=g(1)이므로
g "(1)=-f "( g(1))g '(1)
{ f '(g(1))}2 =-f "(1)g '(1) { f '(1)}2 =0 h"(1)=f "(1)-g "(1)=0
Ú 0<x<1인 모든 실수 x에 대하여 f "(x)>0, g '(x)>0, 0<g(x)<1이므로 g "(x)=-f "( g(x))g '(x)
{ f '(g(x))}2 <0 열린구간 (0, 1)에서
h"(x)=f "(x)-g "(x)>0
Û 1<x<4인 모든 실수 x에 대하여 g '(x)>0, g(x)>1이고 x>1인 모든 실수 x에 대하여 f "(x)<0이므로
g "(x)=-f "( g(x))g '(x) { f '(g(x))}2 >0 열린구간 (1, 4)에서
h"(x)=f "(x)-g "(x)<0
Ú, Û에 의하여 함수 h'(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
x (0) y 1 y (4)
h "(x) + 0
-h '(x) ↗ ;6%; ↘
함수 h'(x)는 x=1에서 최댓값을 갖는다.
f '(1)=;2#;이므로 h'(1)= f '(1)- 1
f '(g(1))= f '(1)- 1
f '(1)=;6%; (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
답 ②
13
:_3#`x2 f(x)dx =:_-#1` x2 f(x)dx+:_1!`x2 f(x)dx+:!3``x2 f(x)dx
=2:!3``x2 f(x)dx+2
=2:_1!`(x+2)2 f(x+2)dx+2
=2:_1!`(x+2)2 f(x)dx+2=102
답 102
14
㈎와 ㈏에서 f(2)=f(0)=1, f(1)=1
1ÉxÉ2에서 함수 f(x)는 연속이고 1<x<2에서 f '(x)=0이므로 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
O 1
1 2 3 4 5 6 x
y
y=f(x)
그러므로
:)6` f(x)dx =3:)2` f(x)dx
=3:)1``(sin`px+1)dx+3:!2` `1 dx
=3_[-;!; cos`px+x]1)+3_[x]2!
=3{;@;+1}+3=6+;^;
따라서 p=6, q=6이므로 p+q=12
답 12
15
f(x)와 g(x)는 역함수 관계이므로
f( g(x))=x, g( f(x))=x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '( g(x)) g '(x)=1, g '( f(x)) f '(x)=1
따라서 :!3` [ f(x)
f '( g(x))+ g(x) g '( f(x))]dx
=:!3``{ f(x) g '(x)+g(x) f '(x)}dx
=:!3``{ f(x) g(x)}'dx=[ f(x) g(x)]3!
=f(3) g(3)- f(1) g(1) f(1)=3에서 g(3)=1
g(1)=3에서 f(3)=1
따라서 f(3)g(3)- f(1)g(1)=1_1-3_3=-8
답 ①
16
:)`;2Ò; sin`2x(sin`x+1)dx=:)`;2Ò; 2 sin`x`cos`x(sin`x+1)dx sin`x=t로 놓으면 cos`x`dx=dt이고
x=0일 때 t=0이고, x=;2Ò;일 때 t=1이므로 :)1` (2t2+2t)dt=[2t3
3 +t2]1)=;3@;+1=;3%;
답 ⑤
(079h-094h)고등수학해설(미적분)09.indd 80 2020-10-14 오전 11:13:27
정답과 풀이
81
17
2x-1=t로 놓으면 2dx=dt이고 x=;2!;일 때 t=0, x=1일 때 t=1이므로 :;2!;1``'Ä2x-1`dx =;2!;`:)1``'t`dt
=;2!; [;3@; t't ]1)=;3!;
답 ⑤
18
x2+1=t로 놓으면 2x`dx=dt이고 x=0일 때 t=1, x='3일 때 t=4이므로 :)'3 2x"Ãx2+1`dx =:!4` 't`dt=[;3@; t ;2#;]4!
=;3@; (4'4 -1'1 )=:Á3¢:
답 ③
19
xÛ`-1=t로 놓으면 2x`dx=dt이고 x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=3이므로 :!2``x"ÃxÛ`-1`dx =;2!;:)3`'t `dt=;2!; [;3@; t't ]3)
=;3!;(3'3 -0)='3
답 ①
20
ln`x=t로 놓으면 ;[!;dx=dt이고
x=1일 때 t=0, x=e2일 때 t=ln`e2=2이므로 :!eÛ` (ln`x)Ü`
x `dx=:)2` tÜ``dt=[;4!; tÝ`]2)=4
답 ④
21
sin`x=t로 놓으면 cos`x`dx=dt이고 x=;6Ò;일 때 t=;2!;, x=;2Ò;일 때 t=1이므로
:;6Ò;`;3Ò;`f '(sin`x) cos`x`dx =:;2!;1``f '(t)dt=f(1)-f {;2!;}
=9-3=6
답 6
22
f(x)= ecos`x 1+ecos`x에서
f(p-x) = ecos`(p-x)
1+ecos`(p-x)= e-cos`x 1+e-cos`x
= e-cos`x_ecos`x
(1+e-cos`x)_ecos`x= 1 ecos`x+1 이므로
a=f(p-x)+f(x)
= 1
ecos`x+1 + ecos`x
1+ecos`x=1+ecos`x 1+ecos`x=1 b=:)È``f(x) dx=:)È` {1-f(p-x)}dx
b=:)È``1`dx-:)È``f(p-x) dx
이때 p-x=t로 놓으면 -dx=dt이고 x=0일 때 t=p, x=p일 때 t=0이므로 b=p+:ù0``f(t) dt=p-:)È``f(t) dt=p-b b=p-b이므로 b=;2Ò;
따라서 a+100
p b=1+100
p _;2Ò;=1+50=51
답 51
다른 풀이
b=:)`;2Ò;`f(x) dx+:;2ÒÈ;``f(x) dx
b=:)`;2Ò;`f(x) dx+:)`;2Ò;`f(p-x) dx b=:)`;2Ò;`{ f(x)+f(p-x)}dx
b=:)`;2Ò;`1`dx=[x]);2Ò;=;2Ò;
23
주어진 등식의 좌변에서 ln`x=s로 놓으면 ;[!;`dx=ds이고 x=e2일 때 s=2, x=e3일 때 s=3이므로
:eÛ`
eÜ``a+ln`x
x dx =:@3``(a+s)ds=[as+;2!;s2]3@=a+;2%;
주어진 등식의 우변에서 sin`x=t로 놓으면 cos`x`dx=dt이고 x=0일 때 t=0, x=;2Ò;일 때 t=1이므로
:)`;2Ò; (1+sin`x)cos`x`dx =:)1``(1+t)dt=[t+;2!; t2]1)=;2#;
따라서 a+;2%;=;2#;에서 a=-1
답 ②
24
x2=t로 놓으면 2x dx=dt이고
x=1일 때 t=1, x=n일 때 t=n2이므로
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82
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 f(n) =:!n``x2exÛ`_x`dx=:!n`2``;2!;tet dt=;2!;[tet-et]n!2`=;2!;(n2enÛ`-enÛ`)
= e2 (nnÛ` 2-1)
따라서 f(5)
f(3) =12_e25 4_e9 =3e16
답 ③
25
:!`;2#;`f(2x)dx=7에서 2x=t로 놓으면 2`dx=dt이고
x=1일 때 t=2, x=;2#;일 때 t=3이므로 :@3```f(t);2!; dt=7에서 :@3```f(t)dt=14
:!`;3$;`f(3x)dx=1에서 3x=s로 놓으면 3`dx=ds이고
x=1일 때 s=3, x=;3$;일 때 s=4이므로 :#4```f(s);3!; ds=1에서 :#4```f(s)ds=3 따라서
:2001
2012` f(x)dx =:!1`2``f(x)dx=:!2``f(x)dx+5:@4``f(x)dx
=:#4``f(x)dx+5[ :@3```f(x)dx+:!4``f(x)dx]
=3+5(14+3)=88
답 ④
26
OPÓ=r라 하면
OHÓ=r cos`h, PHÓ=r sin`h이므로 f(h)=OHÓ
PHÓ=r cos`h
r sin`h =cos`h sin`h :;6Ò;;3Ò;` `f(h)dh=:;6Ò;`;3Ò; `cos`h
sin`h dh에서 sin`h=t로 놓으면 cos`h`dh=dt이고 h=;6Ò;일 때 t=;2!;, h=;3Ò;일 때 t= '3
2 이므로 :;6Ò;;3Ò;` `cos`h
sin`h dh =:;2!;
'3
2`;t!;`dt=[ln |t|];2!; '32
=ln` '3
2 -ln`;2!;=ln`'3 =;2!; ln`3
답 ①
27
f(a-x)=f(a+x)에 x=a-x를 대입하면 f(a-(a-x))=f(a+(a-x))
f(2a-x)=f(x)이므로
:)a``{ f(2x)+f(2a-x)}dx=:)a`` f(2x) dx+:)a`` f(x) dx
이때 :)a`` f(2x) dx에서 2x=t로 놓으면 2 dx=dt이고 x=0일 때 t=0, x=a일 때 t=2a이므로
:)a`` f(2x) dx =:)2`a`` f(t)`;2!;`dt=;2!;:)2`a`` f(t) dt
=;2!;_2:)a`` f(t) dt=8
따라서 :)a`` f(2x) dx+:)a`` f(x) dx=8+8=16
답 ②
28
a-x=t로 놓으면 dx=-dt이고,
x=a-1일 때 t=1, x=a+1일 때 t=-1이므로 :Aa_Ñ!1``f(a-x)dx=:!-``1`` f(t)(-1)dt=:_1!``f(t)dt 함수 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이므로 :_1!``f(t)dt=2:)1`` f(t)dt=24에서
:)1`` f(x)dx=12
답 ①
29
u(x)=x, v '(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=ex이므로
:)1` xex`dx=[xex]1)-:)1` ex`dx=(e-0)-[ex]1)
=e-(e-1)=1
답 ①
30
u(x)=1+ln`x, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=;[!;, v(x)=x이므로
:!e``(1+ln`x) dx =[x(1+ln`x)]e!-:!e``1 dx
=(2e-1)-[x]e!=2 e-1-(e-1)=e
답 ①
(079h-094h)고등수학해설(미적분)09.indd 82 2020-10-15 오후 3:54:16
정답과 풀이
83
31
u(x)=x+1, v '(x)=cos`x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=sin`x이므로
:)`;2Ò; (x+1)cos`x`dx =[(x+1)sin`x]);2Ò;-:)`;2Ò; sin`x`dx
={;2Ò;+1}-[-cos`x]);2Ò;=;2Ò;
답 ②
32
g(x)=:)/``ln` f(t)dt에서
g(0)=0, g '(x)=ln`f(x), g "(x)= f '(x) f(x) 조건 ㈎에 의하여 g(1)=2, g '(1)=0 조건 ㈏에 의하여 g '(-1)=g '(1) 따라서
:_1!` x f '(x)
f(x) dx =:_1!`x g "(x)dx
=[xg '(x)]1_!-:_1!`g '(x)dx
=g '(1)+g '(-1)-2:)1``g '(x)dx
=2g '(1)-2{ g(1)-g(0)}
=2_0-2(2-0)=-4
답 ①
33
u(x)=ln`x, v'(x)=x-2으로 놓으면 u '(x)=;[!;, v(x)=-;[!;이므로 :)1``(1+2e-x)dx-:!e``ln`x
xÛ` dx
=[x-2e-x]1)-[[-ln`x
x ]e!-:!e``{- 1 xÛ` }dx]
=1-;e@;-(-2)+;e!;+[;[!;]e!=2
답 2
34
:_/!` f(t) dt=F(x)에 x=-1을 대입하면 F(-1)=0 :)1``x f(x) dx=:)-1 x f(x) dx에서
:)1``x f(x) dx-:)-1 x f(x) dx=0 :)1``x f(x) dx+:_0!`x f(x) dx=0
즉 :_11!`x f(x) dx=0 따라서
:_111!`F(x) dx =[xF(x)]1_!-:_1!`x f(x) dx
=F(1)+F(-1)-0=F(1)
=:_1!` f(x) dx=12
답 ④
35
g(x)=(x-1)2-1이고 1ÉxÉe에서 ln`x-1É0이므로
:!e``"Ãg(ln`x)+1`dx =:!e``"Ã(ln`x-1)2`dx
=:!e``|ln`x-1|dx
=:!e``(1-ln`x)dx
=[x-x`ln`x+x]e!
=[2x-x`ln`x]e!=e-2
답 ①
36
조건 ㈏ :)1` (x-1) f '(x+1) dx=-4에서 x+1=t로 놓으면 dx=dt이고
x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로 :)1` (x-1) f '(x+1) dx =:!2` (t-2) f '(t) dt
=[(t-2) f(t)]2!-:!2` f(t) dt
=f(1)-:!2` f(t) dt
=2-:!2` f(t) dt 2-:!2` f(t) dt=-4에서
:!2` f(x) dx=6
답 6
37
:)1``t f(t)dt=a라 하면 f(x)=ex+a
a=:)1``t(et+a)dt에서 u(t)=t, v'(t)=et+a라 하면 u'(t)=1, v(t)=et+at이므로
(079h-094h)고등수학해설(미적분)09.indd 83 2020-10-14 오전 11:13:28
84
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 a=:)1``t(et+a)dta=[t(et+at)]1)-:)1``(et+at)dt a=e+a-[et+;2!;at2]1)
a=;2!;a+1
a=;2!;a+1에서 a=2이므로 f(x)=ex+2
따라서 f(ln`10)=12
답 12
38
:)1`| f(t)|dt=a라 하면 a>0이고 f(x)=x3-4ax
f(1)=1-4a>0에서 a<;4!;
따라서 0<a<;4!;
f(x)=x(x2-4a)=0에서 x=0 또는 x=Ñ2'a
0<x<2'a일 때 f(x)<0이고, x¾2'a일 때 f(x)¾0이다.
0<a<;4!;에서 2'a<1이므로 a=:)2'a {-f(t)}dt+:2'a1`` f(t)dt a=:)2'a (-t3+4at)dt+:2'a1`` (t3-4at)dt a=[-;4!; t4+2at2])2'a+[;4!; t4-2at2]12'a a=8a2-2a+;4!;
8a2-3a+;4!;=0에서
32a2-12a+1=0, (4a-1)(8a-1)=0 0<a<;4!;이므로 a=;8!;이고
f(x)=x3-;2!;x
따라서 f(2)=23-;2!;_2=7
답 ②
39
㈏에서 :)`;2Ò;`f(t)dt=k라 하면 g(x)=k cos`x+3
㈎ 식에 x=0을 대입하면 -k=(k+3+a)_0-2, 즉 k=2 x=;2Ò;를 대입하면
0=(3+a)_1-2, 즉 a=-1 따라서 g(x)=2 cos`x+3이므로 :;2Ò/;``f(t)dt=(2 cos`x+2)sin`x-2 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=-2 sin2`x+(2 cos`x+2)cos`x 따라서 f(0)=4
답 ④
40
Ú x<-1 또는 x>1일 때, lim
n Ú¦
1
x2n=0이므로 f(x) = lim
n Ú¦
x2n+cos`2px
x2n+1
=limn Ú¦
1+cos`2px x2n 1+ 1x2n
=1
Û x=1일 때, f(1)= lim
n Ú¦
12n+cos`2p 12n+1 =1 Ü x=-1일 때,
f(-1)= lim
n Ú¦
(-1)2n+cos`2p(-1) (-1)2n+1 =1 Ý -1<x<1일 때, lim
n Ú¦ x2n=0이므로 f(x)= lim
n Ú¦
x2n+cos`2px
x2n+1 =cos`2px Ú~Ý로부터 함수 f(x)는
f(x)=à 1` (|x|¾1) cos`2px (|x|<1)
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
O x
y
y=f(x) 1
-1
-1 1
함수 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이고, 함수 y=x f(x) 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
g(x)=:_2?` f(t) dt+:@/ tf(t) dt에서
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정답과 풀이
85
g(-2) =:@2``f(t) dt+:@-` 2 tf(t) dt
=0+:@-` 2 tf(t) dt=0
g(2)=:_2@` f(t) dt+:@2 tf(t) dt=:_2@` f(t) dt+0
g(2)=2:)2`` f(t) dt=2[ :)1`` f(t) dt+:!2`` f(t) dt]
g(2)=2{ :)1`` cos`2pt`dt+:!2`` 1 dt}
g(2)=2 [ 1
2p sin`2pt]1)+2[t]2!
g(2)=0+2=2
따라서 g(-2)+ g(2)=0+2=2
답 ③
참 고
함수 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이면 f(-x)=f(x)이고, g(x)=x f(x)라 하면
g(-x)=(-x) f(-x)=-x f(x)=-g(x)
이므로 함수 y=x f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
41
`f(x)=:)/`` 2t-1
tÛ`-t+1 dt에서 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= 2x-1
xÛ`-x+1 f '(x)=0에서 x=;2!;이고,
x=;2!;의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 f(x)는 x=;2!;에서 극소이자 최소이다.
따라서 구하는 최솟값은 f {;2!;} =:)`;2!;` 2t-1
tÛ`-t+1 dt=:)`;2!;`(tÛ`-t+1)' tÛ`-t+1 dt
=[ln |tÛ`-t+1|]);2!;=ln`;4#;
답 ③
42
:)/``f(t)dt=cos`2x+ax2+a에 x=0을 대입하면 cos`0+a_02+a=0
즉 a=-1
:)/``f(t)dt=cos`2x-x2-1의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=-2 sin`2x-2x
따라서 f {;2Ò;}=-2 sin`p-p=-p
답 ②
43
:A/``f(t)dt=(x+a-4)ex에 x=a를 대입하면 0=(2a-4)ea
이므로 a=2
:@/``f(t)dt=(x-2)ex의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=(x-1)ex
따라서 f(a)=f(2)=e2
답 ②
44
f(x)=:!/``n-ln`t
t `dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=n-ln`x
x f '(x)=0에서 x=en
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (0) y en y
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
함수 f(x)는 x=en에서 극대이자 최댓값을 가지므로 g(n)=f(en)=:!e`n``n-ln`t
t `dt n-ln`t=s로 놓으면 ;t!; dt=-ds이고 t=1일 때 s=n, t=en일 때 s=0이므로 g(n) =:N0``(-s)ds=:)n` s ds=[;2!;s2]n)=;2!;n2 따라서 Á12
n=1`g(n)=Á12
n=1`n2
2 =;2!;_12_13_25 6 =325
답 325
45
ㄱ. xÉ0일 때, f(x)=1이므로
g(0) =:_0!`et`f(t)dt=:_0!`et`dt=[et]0_!=1-;e!; (참) ㄴ. g '(x)=ex`f(x)=0에서
f(x)=0이므로 x=1
함수 g(x)의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.
x y 1 y
g '(x) + 0
-g(x) ↗ e-1-;e!; ↘ 따라서 함수 g(x)의 극댓값 g(1)을 갖는다.
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86
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 g(1) =:_0!`et`dt+:)1``et(-t+1)dt=[et]0_!+[(2-t)et]1)
=e-1-;e!; (거짓)
ㄷ. ㄴ의 증감표에 의하여 방정식 g(x)=0은 많아야 2개의 실근을 갖는다.
Ú g(-1)=0이므로 한 실근을 갖는다.
Û g(1)=e-1-;e!;>0, g(2)=-1-;e!;<0
이므로 중간값의 정리에 의하여 열린 구간 (-1, 2)에서 적 어도 한 실근을 갖는다.
Ú, Û에 의하여 방정식 g(x)=0의 실근의 개수는 2이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다
답 ③
46
x:)/`` f(t) dt-:)/``tf(t) dt=ae2x-4x+b yy ㉠
㉠의 양변에 x=0을 대입하면
0=a+b yy ㉡
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/`` f(t) dt+x f(x)-x f(x)=2ae2x-4
즉, :)/`` f(t) dt=2ae2x-4 yy ㉢
㉢의 양변에 x=0을 대입하면 0=2a-4, 즉 a=2
이므로 ㉡에서 b=-2
㉢에서 :)/`` f(t)dt=4e2x-4의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=8e2x
따라서 f(a) f(b)=f(2) f(-2)=8e4_8e-4=64
답 64
47
g(x)=|2x-5|라 하면 함수 y=g(x+2)의 그래프와 함수 y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표는 그림과 같이 -2+log2`5보다 크고 log2`5보다 작다.
x y y=g(x+2)
y=g(x)
O-2+logª 5logª 5
f(x)=:?x+2 |2t-5|dt의 양변을 x에 관하여 미분하면 f '(x)=g(x+2)-g(x)이므로
f '(x)=0에서
f '(x)=2x+2-5-(-2x+5)=5_2x-10=0 5_2x=10, 즉 x=1
x<1에서 f '(x)<0이고, x>1에서 f '(x)>10이므로
함수 y=f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이다.
f(1)=:!3``|2t-5| dt
f(1)=:!logª`5`(-2t+5) dt+:`3`logª`5(2t-5) dt f(1)=[- 2t
ln`2 +5t]!
logª`5
+[ 2t
ln`2 -5t]3`logª`5 f(1)={- 3
ln`2 +5`log2`5-5}+{ 3
ln`2 +5`log2`5-15} f(1)=10`log2`5-20
따라서 최솟값은 m=10`log2`5-20=log2`{;4%;}10이므로 2m=2logª`{;4%;}1`0`={;4%;}10
답 ③
48
ㄱ. f(x)=:)/ sin(p cos`t) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=sin (p cos`x)이므로
f '(0)=sin (p cos`0)=sin`p=0 (참) ㄴ. 모든 실수 x에 대하여
f(-x)=:)-` /``sin (p cos`t) dt t=-y로 놓으면 dt=-dy이고
t=0일 때 y=0, t=-x일 때 y=x이므로 f(-x) =-:)/``sin {p cos (-y)}dy
=-:)/``sin (p cos`y) dy=-f(x)
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. (참) ㄷ. p-t=y라 하면 dt=-dy이고
t=0일 때 y=p, t=p일 때 y=0이므로
f(p) =:)È``sin (p cos`t) dt=-:ù0``sin {p cos (p-y)}dy
=-:ù0``sin (-p cos`y) dy=:ù0``sin (p cos`y) dy
=-:)È``sin (p cos`y) dy=-f(p)
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정답과 풀이
87
01
f '(x)=-3x(x-2)이므로 0<x<2일 때 f '(x)>0이고,
2<x<3일 때 f '(x)<0이다. ㉮ 따라서 주어진 적분식은 다음과 같이 적분 구간을 나누어 나타낼 수 있다.
:)2``f '(x)"Ãf(x) dx+:@3``{-f '(x)}"f(x) dx yy ㉠ ㉯ f(x)=t라 하면 x=0일 때 t=f(0)=0, x=2일 때 f(2)=4, x=3일 때 t=f(3)=0이고 f '(x)dx=dt이므로
㉠을 t에 대한 정적분으로 나타내면
:)4``'t dt-:$0``'t dt=2:)4``'t dt ㉰
=2 [;3@;t't ]4)=2_;3@;_4_2=:£3ª: ㉱
답 :£3ª:
단계 채점 기준 비율
㉮ x의 값의 범위에 따른 도함수 f '(x)의 부호를 판단
한 경우 30%
㉯ 주어진 정적분의 피적분함수에 따라 적분 구간을 나
눈 경우 20%
㉰ 치환적분법을 이용한 풀이 과정이 올바른 경우 30%
㉱ 정적분의 값을 바르게 계산한 경우 20%
02
조건 ㈏에 의해서 f(-x)=-f(x)이고 함수 f(x)가 연속함수이므 로 f(0)=0
또 f(-x)=-f(x)의 양변을 합성함수의 미분법에 의하여 x에 대하 여 미분하면 -f '(-x)=-f '(x)에서 f '(-x)=f '(x)
이므로 도함수는 y축에 대하여 대칭인 함수이다. ㉮
적분할 함수를 전개하여 나타내면 f '(x)+f '(x)sin`x+f '(x)sin3`x 이고 g(x)=f '(x)sin`x라 하면
g(-x)=f '(-x)sin(-x)=-f '(x)sin`x=-g(x) h(x)=f '(x)sin3`x라 하면
h(-x)=f '(-x)sin3(-x)=-f '(x)sin3x=-h(x)
이므로 g(x), h(x)는 모두 그래프가 원점에 대하여 대칭인 함수이
다. ㉯
따라서 :_33#``f '(x)(sin`x+sin3`x)dx=0이므로
01:£3ª: 02 16
서술형
연습
본문 120쪽2 f(p)=0이므로 f(p)=0이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
49
g '(x)= x
f(x), g '(-x)=-g '(x)이므로 f(-x)=f(x)이다.
f(x)는 y축에 대하여 대칭이고 최고차항의 계수가 1인 이차함수이 므로
f(x)=x2+k (단, k는 상수), f '(x)=2x 점 (1, g(1))은 곡선 y=g(x)의 변곡점이므로
g "(x)=f(x)-x f '(x) { f(x)}2 g "(1)=f(1)-f '(1)
{ f(1)}2 =(1+k)-2 (1+k)2 =0 k=1이므로 f(x)=x2+1
따라서 g(1)=:)1`` t
t2+1`dt=;2!; [ln`(t2+1)]1)=;2!; ln`2
답 ④
50
조건 ㈎의 식에 x=1을 대입하면 g(1)=0
㈎의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x)= f(x2+1)
x
u(x)=g(x), v'(x)=x라 하면 u'(x)=g '(x), v(x)=;2!;x2
:!2``xg(x)dx =[;2!;x2g(x)]2!-:!2``;2!;x2g '(x)dx
=2 g(2)-;2!; g(1)-:!2``;2!;x2_ f(x2+1) x `dx
=2_3-;2!;_0-;2!;:!2``x f(x2+1)dx 이때 x2+1=s로 놓으면 2x`dx=ds이고
x=1일 때 s=2, x=2일 때 s=5이므로 :!2``x g(x)dx =6-;2!; :@5``;2!; f(s)ds
=6-;4!;_16=2
답 ①
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88
올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분STEP 4
1단계1단계 :)7``g(t)dt의 값을 구한다.
따라서
:)7``g(t)dt =:)3``g(t)dt+:#7``g(t)dt
=:)3`` 2
t+1 `dt+:#7``t-2 2 `dt
=[2 ln|t+1|]3)+[;4!;t2-t]7#
=6+4 ln`2 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
02
풀이 전략 치환적분법과 부분적분법을 이용한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 조건 ㈏의 양변을 x에 대하여 미분하여 f(x+1)-f(x)를 구한다.
조건 ㈏에서 x=0일 때 g(1)=0
g(x+1)=:)/``{ f(t+1)et-f(t)et+g(t)} dt의 양변을 x에 대하여 미분하여 정리하면
g '(x+1)=f(x+1)ex-f(x)ex+g(x) f(x+1)-f(x)={ g '(x+1)-g(x)}e-x
STEP 2
1단계1단계 임의의 실수 t에 대하여 양변을 적분한다.
임의의 실수 t에 대하여
:)t``{ f(x+1)-f(x)} dx=:)t``{ g '(x+1)-g(x)}e-x`dx (좌변)=:)t`` f(x+1) dx-:)t`` f(x) dx
=:!t+1` f(x) dx-:)t`` f(x) dx
=:Tt+1` f(x) dx-:)1`` f(x) dx …… ㉠ (우변)=:)t``{ g '(x+1)-g(x)}e-x`dx
=:)t``g '(x+1)e-x`dx-:)t``g(x)e-x`dx
STEP 3
1단계1단계 부분적분법을 이용하여 우변을 적분한다.
이때 :)t``g '(x+1)e-x`dx=[g(x+1)e-x]t)+:)t``g(x+1)e-x`dx 이므로
(우변)=[g(x+1)e-x]t)+:)t``{ g(x+1)-g(x)}e-x`dx
=g(t+1)e-t-g(1)-:)t``p(e+1)`sin (px) dx
=g(t+1)e-t+[(e+1)`cos (px)]t)
=g(t+1)e-t+(e+1)`cos (pt)-(e+1) …… ㉡ :_33#``f '(x)(1+sin`x+sin3x)dx=2:)3``f '(x)dx ㉰
따라서
2:)3``f '(x)dx =2[`f(x)]3)=2 f(3)-2 f(0)
=2_8=16 ㉱
답 16
단계 채점 기준 비율
㉮ 조건 ㈏에 의해서 f(0)의 값을 찾고, 도함수 f '(x)
의 대칭성을 판단한 경우 30%
㉯ 적분할 함수의 대칭성을 바르게 판단한 경우 40%
㉰ 함수의 대칭성을 이용하여 정적분의 식을 간단히 한
경우 20%
㉱ 정적분의 값을 바르게 계산한 경우 10%
01
풀이 전략 도함수를 이용하여 접선의 기울기를 구하고 정적분을 계산 한다.
문제 풀이 STEP 1
1단계1단계 0Ét<3일 때 점 P의 좌표를 알아본다.
ㄱ. 0Ét<3일 때 점 P는 점 A(1, 1)이 x축의 방향으로 t만큼 평행 이동한 점이므로 점 P의 좌표는 (t+1, 1) (참)
STEP 2
1단계1단계 점 P에서의 접선의 기울기 g(t)를 구한다.
ㄴ. 점 P(t+1, 1)은 곡선 f(x)=kx2 위의 점이므로 k= 1
(t+1)2
한편 f '(x)=2kx이므로 g(t)=f '(t+1)=2_ 1
(t+1)2_(t+1)= 2 t+1 (참)
STEP 3
1단계1단계 3ÉtÉ7일 때 점 P의 좌표, 접선의 기울기 g(t)를 알아본다.
ㄷ. 3ÉtÉ7일 때 점 P는 점 B(4, 1)을 y축의 방향으로 t-3만큼 평행이동한 점이므로 점 P의 좌표는 (4, t-2)이다.
점 P는 함수 f(x)=kx2의 그래프 위의 점이므로 k=t-2
16
g(t)=f '(4) =2_t-2
16 _4=t-2 2 에서
g(t)=
[
t+1 (0Ét<3)2 t-22 (3ÉtÉ7)
01 ⑤ 02 26 03 25 04 ⑤ 05 ② 06 36 07 ④ 08 49 09 125 10 48
1등급
도전
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