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미분적분학-다중적분

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Academic year: 2022

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(1)

기초교육학부

양영균 교수님

미분적분학-다중적분

[ 3강 ]

(2)

삼중적분의 정의를 이해한다.

삼중적분을 계산할 수 있다.

학습목표

(3)

7. 삼중적분

함수 가 직육면체상자 에서 정의된 가장 간단한 경우

첫 단계는 를 작은 직육면체로 분할하는 것이다. 구간 를 의

너비를 갖는 개의 소구간 으로 를 의 너비를

갖는 개의 소구간으로 를 의 너비를 갖는 개의 소구간 으로 분할한다. 좌표평면에 평행한 이 소구간들의 끝점을 통과하는 평면 들은 상자 를 개의 작은 상자들

로 분할하고 그림 1은 이것들을 보여준다. 각 작은상자의 부피는 f

x y z a x b c y d r z s

B ( , , )| , ,

B

B  a ,b x

xi1, xi

l  c ,d

m

y

 r ,s z n

B lmn

i i

 

i i

 

i i

ijk x x y y z z

B1,  1,  1,

z y x

V    

(4)

7. 삼중적분

그림 1

(5)

7. 삼중적분

다음에 우리는 내에서 표본점 을 택하여 삼중 리만합 을 만든다. 이중적분의 정의와 비슷하게 삼중적분을 다음과 같이 삼중리 만합에 대한 극한으로서 정의한다.

) ,

,

(xijk* yijk* zijk* Bijk

[3] 정의

만약 극한이 존재한다면, 상자 에 대한 의 삼중적분은

V z

y x

f

l

i

m

j

n

k

ijk ijk

ijk



1 1 1

*

*

* , , )

(

B f

V z

y x

f dV

z y x f

l

i

m

j

n

k

ijk ijk

n ijk m B l





1 1 1

*

*

* ,

, lim ( , , )

) , , (

(6)

7. 삼중적분

가 연속이면 삼중적분은 항상 존재한다.

이중적분에서와 마찬가지로 삼중적분을 구하는 실제적인 방법은 그들을 다음과 같이 반복적분으로 나타내는 것이다.

만약 f 가 직육면체 상자 에서 연속이면

f

[4] 삼중적분에 대한 푸비니의 정리

     

a b c d r s

B , , ,

dxdydz z

y x f dV

z y x

f s

r d c

b a

B

  



( , , ) ( , , )

(7)

7. 삼중적분

예제 1.

삼중적분 의 값을 구하여라.

(단, ) 풀이

적분의 여섯 개의 가능한 순서 중 어느 것이든지 사용할 수 있다. 만약 우리가 에 대해 적분한 후에 에 대해 그리고 에 대해 적분하 기로 한다면

dV

B xyz



2

( , , )|0 1, 1 2, 0 3

x y z x y z

B

x y z

yz dydz dxdydz x

xyz dV

xyz

x

x

B

    



3

0 2

1

1

0 2

3 2

0 2

1 1 0

2 2

2

z dz dydz y

yz y

y

 

3

0

2

1 2

3 2

0 2

1

2

4 2

(8)

7. 삼중적분

예제 1.

삼중적분 의 값을 구하여라.

(단, ) 풀이_계속

dV

B xyz



2

( , , )|0 1, 1 2, 0 3

x y z x y z

B

4 27 4

4

3 3

0 3 2

0

2  

 

z dz z

(9)

7. 삼중적분

[5].

연속함수 와 영역의 어떤 단순한 형태에 우리는 주의를 제한한다. 한 입체 영역 가 와 의 두 연속함수의 그래프 사이에 있다면, 그 입체를 타입 1이라고 한다. 즉,

단, 는 그림 2가 보여주는 것처럼 평면 위로 의 정사영이다.

입체 의 아래쪽 경계는 방정식 인 곡면인 반면에 위쪽

경계는 방정식 인 곡면임을 주의하라.

E f

x y

(x, y, z)|(x, y) D, u1(x, y) y u2(x, y)

E

E E

D xy

) ,

1(x y u

z )

,

2(x y u

z

그림 2

(10)

7. 삼중적분

[6]. f x y z dV f x y z dz dA

D

y x u

y x u

E

 



 ((,, )) 

2

1

) , , ( )

, , (

(x ,y ,z)|a x b ,g1(x) y g2(y),u1(x ,y) z u2(x ,y)

E       

(11)

7. 삼중적분

[7].



  

ab y g

x g

y x u

y x u E

dydx dz

z y x f dV

z y x

f ( )

) (

) , (

) , (

2

1

2

1

) , , ( )

, , (

식 6은

가 된다

그림 3

(12)

7. 삼중적분

반면에, 만약 정사영 가 타입 2인 평면영역이라면(그림 4에서 처럼) 그때

D

(x ,y ,z)|c y d ,h1(x) x h2(y),u1(x ,y) z u2(x ,y)

E       

그림 4

(13)

7. 삼중적분

[8].

식 6은

가 된다

  



cd

y h

x h

y x u

y x u E

dxdy dz

z y x f dV

z y x

f ( )

) (

) , (

) , (

2

1

2

1

) , , ( )

, , (

(14)

7. 삼중적분

예제 2.

의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면

로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속

삼중적분을 만들어 나갈 때, 두 개의 그림 즉, 하나는 입체영역

(그림 5 참조), 다른 하나는 평면 위로 의 정사영(그림 6 참조) 을 그려 보는 것이 바람직하다.

dV

Ez



E

1 ,

0 ,

0 ,

0

y z x y z

x

E xy E

그림 5

(15)

7. 삼중적분

예제 2.

의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면

로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속

dV

Ez



E

1 ,

0 ,

0 ,

0

y z x y z

x

그림 6

(16)

7. 삼중적분

예제 2.

의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면

로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속

dV

Ez



E

1 ,

0 ,

0 ,

0

y z x y z

x

사면체의 아래쪽 경계는 평면 이고 위쪽 경계는 평면 ( 또 는 , ) 이 므 로 공 식 7 에 서

과 를 사용한다. 평면

과 은 평 면 에 있 는 직 선

(또는 )에서 만남을 주목하여라.

그래서 의 정사영은 그림 6에 보여준 삼각형영역이 되며 xy

0 z

1

y z

x z 1 x y

0 ) ,

1(x y

u u2(x, y) 1 x y

1

y z

x z 0

1

y

x y 1 x

E

[9]. E

(x ,y ,z)|0 x 1 ,0 y 1 x ,0 z 1 x y

(17)

7. 삼중적분

예제 2.

의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면

로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속

dV

Ez



E

1 ,

0 ,

0 ,

0

y z x y z

x

을 타입 1영역으로 묘사하는 것은 적분을 다음과 같이 계산 할 수 있도록 해준다.

E

z dydx dzdydx

z dV

z x

y x z

z

x x y

E

    



1

0 1 0

1

0 1 2

0 1 0

1

0 2

dydx y

x x

 

1

0 1 0

)2

1 2 (

1

y dx

x y x

y

1

0

1

0 3

3

) 1

( 2

1

(18)

7. 삼중적분

예제 2.

의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면

로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속

dV

Ez



E

1 ,

0 ,

0 ,

0

y z x y z

x

24 1 4

) 1

( 6

) 1 1

6 (

1 1

0 1 4

0

3  

 

 

x dx x

(19)

7. 삼중적분

한 입체영역 는 그것이 만약

형태이면 타입 2라고 한다. 단, 이번에 는 평면 위로 의 정사영 이다(그림 7 참조).

그림 7 E E

D yz

(x, y, z)|(y, z) D,u1(y, z) x u2(y, z)

E

(20)

7. 삼중적분

뒷 곡면은, , 앞 곡면은 , 그리고

를 얻는다. 마지막으로, 타입 3 영역은

형태이며, 단, 는 평면 위로 의 정사영, 는 왼쪽 곡면, 그리고 는 오른쪽 곡면이다(그림 8 참조). 이런 형태의 영역에 대해서

(뒤에 계속)

[10]. f x y z dV f x y z dx dA

D

z y u

z y u

E

 



 (( ,, )) 

2

1

) , , ( )

, , (

[11]. f x y z dV f x y z dy dA

D

z x u

z x u

E

 



 ((,, )) 

2

1

) , , ( )

, , (

) z ,

1(y u

x x u2(y,z)

(x, y, z)| (x, z) D, u1(x, z) y u2(x, z)

E    

D xz y u1(x, y)

) ,

2(x y u

y E

(21)

7. 삼중적분

(앞에 계속) 를 갖는다. 식 10과 11의 각각에서 가 타입 1 또는 타입 2 의 평면영역인가에 따라서 적분에 대한 두 가지 가능한 (그리고 식 7과 8 에 대응하는) 표현이 있다.

그림 8 D

(22)

7. 삼중적분

예제 3.

의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속

dV z

E x



2 2 E

2

2 z

x

y y 4

그림 9는 입체 E 를 보여준다.

그림 9

(23)

7. 삼중적분

예제 3.

의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속

dV z

E x



2 2 E

2

2 z

x

y y 4

만약 입체 를 타입 1 영역으로 여긴다면 평면 위로 그것의 정사영 을 생각할 필요가 있으며, 그것은 그림 10에 있는 포물선 모양의 영역이다 (평면 에 있는 의 그림자 곡선 경계는 포물선 이다).

E xy

D1

0

z y x2 z2 x2

y

(24)

7. 삼중적분

예제 3.

의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속

dV z

E x



2 2 E

2

2 z

x

y y 4

으로부터 을 얻을 수 있으므로

의 아래쪽 경계 곡면은 , 위쪽 경계곡면은 이 된다. 그러므로, 타입 1 영역으로서의 는

가 되고, 따라서 다음을 얻게 된다.

E

2

2 z

x y

x2

y z

x2

y z

x2

y

z E

(x, y, z)| 2 x 2, x2 y 4, y x2 z y x2

E

dzdydx z

x dV

z

x x

x y

x y

E

  



2

2

4 2 2

2 2

2

2

2

(25)

7. 삼중적분

예제 3.

의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속

dV z

E x



2 2 E

2

2 z

x

y y 4

그러면 의 왼쪽 경계는 포물면 이고 오른쪽 경계

는 평면 , 그래서 식 11에서 로 취하면

를 얻는다.

E y x2 z2

4 y

2 2

1(x, y) x z

u

dA dy

z x

dV z

x

D x z

E

 



 

3

2 2

4 2 2

2 2

dA z

x z

x

D



3

2 2

2

2 )

4 (

(26)

7. 삼중적분

예제 3.

의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속

dV z

E x



2 2 E

2

2 z

x

y y 4

이 적분을

로 쓸 수 있다 할지라도 -평면에서 극좌표로 바꾸면 더 쉬워진다.

이런 과정을 통하여 우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.

dzdx z

x z

x x

 

x

  

2 2

4 4

2 2

2 2

2

2 (4 )

xz

, sin

cos z r

r

x  

(27)

7. 삼중적분

예제 3.

의 값을 구하여라. (단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속

dV z

E x



2 2 E

2

2 z

x

y y 4

dA z

x z

x dV

z x

D

E





3

2 2

2 2

2

2 (4 )

 

 

2

0

2 0

4 2 2

0

2 0

2) (4 )

4

( r rrdrd d r r dr

15 128 5

3 2 4

2

0 5

3

  

 

 

r r

(28)

삼중적분 은 리만합 의

극한값이다. 즉,

이다. 여기서 E는 공간입체영역이다.

삼중적분은 푸비니 정리에 의해 반복적분을 사용해 계산한다.

학습정리

dV z y x f

B



( , , ) l f x y z V

i m

j n

k

ijk ijk

ijk



1 1 1

*

*

* , , )

(

V z

y x f dV

z y x f

l

i m

j n

k

ijk ijk n ijk

m l E





1 1 1

*

*

* ,

, lim ( , , )

) , , (

참조

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