기초교육학부
양영균 교수님
미분적분학-다중적분
[ 3강 ]
삼중적분의 정의를 이해한다.
삼중적분을 계산할 수 있다.
학습목표
7. 삼중적분
함수 가 직육면체상자 에서 정의된 가장 간단한 경우
첫 단계는 를 작은 직육면체로 분할하는 것이다. 구간 를 의
너비를 갖는 개의 소구간 으로 를 의 너비를
갖는 개의 소구간으로 를 의 너비를 갖는 개의 소구간 으로 분할한다. 좌표평면에 평행한 이 소구간들의 끝점을 통과하는 평면 들은 상자 를 개의 작은 상자들
로 분할하고 그림 1은 이것들을 보여준다. 각 작은상자의 부피는 f
x y z a x b c y d r z s
B ( , , )| , ,
B
B a ,b x
xi1, xi
l c ,d
m
y
r ,s z n
B lmn
i i
i i
i i
ijk x x y y z z
B 1, 1, 1,
z y x
V
7. 삼중적분
그림 1
7. 삼중적분
다음에 우리는 내에서 표본점 을 택하여 삼중 리만합 을 만든다. 이중적분의 정의와 비슷하게 삼중적분을 다음과 같이 삼중리 만합에 대한 극한으로서 정의한다.
) ,
,
(xijk* yijk* zijk* Bijk
[3] 정의
만약 극한이 존재한다면, 상자 에 대한 의 삼중적분은
V z
y x
f
l
i
m
j
n
k
ijk ijk
ijk
1 1 1*
*
* , , )
(
B f
V z
y x
f dV
z y x f
l
i
m
j
n
k
ijk ijk
n ijk m B l
1 1 1
*
*
* ,
, lim ( , , )
) , , (
7. 삼중적분
가 연속이면 삼중적분은 항상 존재한다.
이중적분에서와 마찬가지로 삼중적분을 구하는 실제적인 방법은 그들을 다음과 같이 반복적분으로 나타내는 것이다.
만약 f 가 직육면체 상자 에서 연속이면
f
[4] 삼중적분에 대한 푸비니의 정리
a b c d r sB , , ,
dxdydz z
y x f dV
z y x
f s
r d c
b a
B
( , , ) ( , , )7. 삼중적분
예제 1.
삼중적분 의 값을 구하여라.
(단, ) 풀이
적분의 여섯 개의 가능한 순서 중 어느 것이든지 사용할 수 있다. 만약 우리가 에 대해 적분한 후에 에 대해 그리고 에 대해 적분하 기로 한다면
dV
B xyz
2
( , , )|0 1, 1 2, 0 3
x y z x y z
B
x y z
yz dydz dxdydz x
xyz dV
xyz
x
x
B
3
0 2
1
1
0 2
3 2
0 2
1 1 0
2 2
2
z dz dydz y
yz y
y
3
0
2
1 2
3 2
0 2
1
2
4 2
7. 삼중적분
예제 1.
삼중적분 의 값을 구하여라.
(단, ) 풀이_계속
dV
B xyz
2
( , , )|0 1, 1 2, 0 3
x y z x y z
B
4 27 4
4
3 3
0 3 2
0
2
z dz z7. 삼중적분
[5].
연속함수 와 영역의 어떤 단순한 형태에 우리는 주의를 제한한다. 한 입체 영역 가 와 의 두 연속함수의 그래프 사이에 있다면, 그 입체를 타입 1이라고 한다. 즉,
단, 는 그림 2가 보여주는 것처럼 평면 위로 의 정사영이다.
입체 의 아래쪽 경계는 방정식 인 곡면인 반면에 위쪽
경계는 방정식 인 곡면임을 주의하라.
E f
x y
(x, y, z)|(x, y) D, u1(x, y) y u2(x, y)
E
E E
D xy
) ,
1(x y u
z )
,
2(x y u
z
그림 2
7. 삼중적분
[6]. f x y z dV f x y z dz dA
D
y x u
y x u
E
((,, )) 2
1
) , , ( )
, , (
(x ,y ,z)|a x b ,g1(x) y g2(y),u1(x ,y) z u2(x ,y)
E
7. 삼중적분
[7].
ab y gx g
y x u
y x u E
dydx dz
z y x f dV
z y x
f ( )
) (
) , (
) , (
2
1
2
1
) , , ( )
, , (
식 6은
가 된다
그림 3
7. 삼중적분
반면에, 만약 정사영 가 타입 2인 평면영역이라면(그림 4에서 처럼) 그때
D
(x ,y ,z)|c y d ,h1(x) x h2(y),u1(x ,y) z u2(x ,y)
E
그림 4
7. 삼중적분
[8].
식 6은
가 된다
cdy h
x h
y x u
y x u E
dxdy dz
z y x f dV
z y x
f ( )
) (
) , (
) , (
2
1
2
1
) , , ( )
, , (
7. 삼중적분
예제 2.
의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면
로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속
삼중적분을 만들어 나갈 때, 두 개의 그림 즉, 하나는 입체영역
(그림 5 참조), 다른 하나는 평면 위로 의 정사영(그림 6 참조) 을 그려 보는 것이 바람직하다.
dV
Ez
E1 ,
0 ,
0 ,
0
y z x y z
x
E xy E
그림 5
7. 삼중적분
예제 2.
의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면
로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속
dV
Ez
E1 ,
0 ,
0 ,
0
y z x y z
x
그림 6
7. 삼중적분
예제 2.
의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면
로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속
dV
Ez
E1 ,
0 ,
0 ,
0
y z x y z
x
사면체의 아래쪽 경계는 평면 이고 위쪽 경계는 평면 ( 또 는 , ) 이 므 로 공 식 7 에 서
과 를 사용한다. 평면
과 은 평 면 에 있 는 직 선
(또는 )에서 만남을 주목하여라.
그래서 의 정사영은 그림 6에 보여준 삼각형영역이 되며 xy
0 z
1
y z
x z 1 x y
0 ) ,
1(x y
u u2(x, y) 1 x y
1
y z
x z 0
1
y
x y 1 x
E
[9]. E
(x ,y ,z)|0 x 1 ,0 y 1 x ,0 z 1 x y
7. 삼중적분
예제 2.
의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면
로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속
dV
Ez
E1 ,
0 ,
0 ,
0
y z x y z
x
을 타입 1영역으로 묘사하는 것은 적분을 다음과 같이 계산 할 수 있도록 해준다.
E
z dydx dzdydx
z dV
z x
y x z
z
x x y
E
1
0 1 0
1
0 1 2
0 1 0
1
0 2
dydx y
x x
1
0 1 0
)2
1 2 (
1
y dx
x y x
y
1
0
1
0 3
3
) 1
( 2
1
7. 삼중적분
예제 2.
의 값을 구하여라. 단, 는 4개의 평면
로 둘러싸인 사면체 영역 풀이_계속
dV
Ez
E1 ,
0 ,
0 ,
0
y z x y z
x
24 1 4
) 1
( 6
) 1 1
6 (
1 1
0 1 4
0
3
x dx x7. 삼중적분
한 입체영역 는 그것이 만약
형태이면 타입 2라고 한다. 단, 이번에 는 평면 위로 의 정사영 이다(그림 7 참조).
그림 7 E E
D yz
(x, y, z)|(y, z) D,u1(y, z) x u2(y, z)
E
7. 삼중적분
뒷 곡면은, , 앞 곡면은 , 그리고
를 얻는다. 마지막으로, 타입 3 영역은
형태이며, 단, 는 평면 위로 의 정사영, 는 왼쪽 곡면, 그리고 는 오른쪽 곡면이다(그림 8 참조). 이런 형태의 영역에 대해서
(뒤에 계속)
[10]. f x y z dV f x y z dx dA
D
z y u
z y u
E
(( ,, )) 2
1
) , , ( )
, , (
[11]. f x y z dV f x y z dy dA
D
z x u
z x u
E
((,, )) 2
1
) , , ( )
, , (
) z ,
1(y u
x x u2(y,z)
(x, y, z)| (x, z) D, u1(x, z) y u2(x, z)
E
D xz y u1(x, y)
) ,
2(x y u
y E
7. 삼중적분
(앞에 계속) 를 갖는다. 식 10과 11의 각각에서 가 타입 1 또는 타입 2 의 평면영역인가에 따라서 적분에 대한 두 가지 가능한 (그리고 식 7과 8 에 대응하는) 표현이 있다.
그림 8 D
7. 삼중적분
예제 3.
의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속
dV z
E x
2 2 E2
2 z
x
y y 4
그림 9는 입체 E 를 보여준다.
그림 9
7. 삼중적분
예제 3.
의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속
dV z
E x
2 2 E2
2 z
x
y y 4
만약 입체 를 타입 1 영역으로 여긴다면 평면 위로 그것의 정사영 을 생각할 필요가 있으며, 그것은 그림 10에 있는 포물선 모양의 영역이다 (평면 에 있는 의 그림자 곡선 경계는 포물선 이다).
E xy
D1
0
z y x2 z2 x2
y
7. 삼중적분
예제 3.
의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속
dV z
E x
2 2 E2
2 z
x
y y 4
으로부터 을 얻을 수 있으므로
의 아래쪽 경계 곡면은 , 위쪽 경계곡면은 이 된다. 그러므로, 타입 1 영역으로서의 는
가 되고, 따라서 다음을 얻게 된다.
E
2
2 z
x y
x2
y z
x2
y z
x2
y
z E
(x, y, z)| 2 x 2, x2 y 4, y x2 z y x2
E
dzdydx z
x dV
z
x x
x y
x y
E
2
2
4 2 2
2 2
2
2
2
7. 삼중적분
예제 3.
의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속
dV z
E x
2 2 E2
2 z
x
y y 4
그러면 의 왼쪽 경계는 포물면 이고 오른쪽 경계
는 평면 , 그래서 식 11에서 로 취하면
를 얻는다.
E y x2 z2
4 y
2 2
1(x, y) x z
u
dA dy
z x
dV z
x
D x z
E
3
2 2
4 2 2
2 2
dA z
x z
x
D
3
2 2
2
2 )
4 (
7. 삼중적분
예제 3.
의 값을 구하여라.(단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속
dV z
E x
2 2 E2
2 z
x
y y 4
이 적분을
로 쓸 수 있다 할지라도 -평면에서 극좌표로 바꾸면 더 쉬워진다.
이런 과정을 통하여 우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.
dzdx z
x z
x x
x
2 2
4 4
2 2
2 2
2
2 (4 )
xz
, sin
cos z r
r
x
7. 삼중적분
예제 3.
의 값을 구하여라. (단, 는 포물면 과 평면 로 둘러싸인 영역이다.) 풀이_계속
dV z
E x
2 2 E2
2 z
x
y y 4
dA z
x z
x dV
z x
D
E
3
2 2
2 2
2
2 (4 )
2
0
2 0
4 2 2
0
2 0
2) (4 )
4
( r rrdrd d r r dr
15 128 5
3 2 4
2
0 5
3
r r
삼중적분 은 리만합 의
극한값이다. 즉,
이다. 여기서 E는 공간입체영역이다.
삼중적분은 푸비니 정리에 의해 반복적분을 사용해 계산한다.
학습정리
dV z y x f
B
( , , ) l f x y z Vi m
j n
k
ijk ijk
ijk
1 1 1*
*
* , , )
(
V z
y x f dV
z y x f
l
i m
j n
k
ijk ijk n ijk
m l E
1 1 1
*
*
* ,
, lim ( , , )
) , , (