도함수의 활용(2)

01

점 P의 좌표는 (cos`h, sin`h)이므로 삼각형 OQP의 넓이는

;2!;_2 cos`h_sin`h =sin`h`cos`h=;2!; sin`2h

점 R의 좌표는 {2 cos`;2½;, -2 sin`;2½;}이므로 삼각형 ORS의 넓이는

;2!;_4 cos`;2½;_2 sin`;2½; =4 sin`;2½;`cos`;2½;=2 sin`h 삼각형 OQP와 삼각형 ORS의 넓이의 합을 f(h)라 하면 f(h)=;2!; sin`2h+2 sin`h에서

f '(h) =cos`2h+2 cos`h=2 cosÛ``h+2 cos`h-1 이므로 f '(h)=0에서 cos`h=-1Ñ'3

2

0<h<;2ÒÒ;에서 cos`h>0이므로 cos`h=-1+'3 2

sin 2h=2`sin h`cos h

cos²`h-sin<sup>2</sup>`h=2`cos<sup>2</sup>`h-1=1-2`sin<sup>2</sup>`h

(052h-063h)고등수학해설(미적분)06.indd 63 2020-10-15 오후 3:53:37

64

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

 f '(h)=0인 h의 값을 h1 {0<h¹<;2ÒÒ;}라 할 때, 함수  f(h)의 증가와  감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

h (0) y h1 y {;2Ò;}

f '(h) + 0

-f(h) ↗ f(h1) ↘

그러므로  f(h)는 h=hÁ에서 극대이면서 최대이다. 

따라서  f(h)가 최대가 되도록 하는 h에 대하여 cos`h=-1+'3

2

답 ⑤

02

t=sin`x+cos`x='2`sin {x+;4Ò;}로 놓으면 -'2ÉtÉ'2

 g(t)= t

t-2 =1+ 2 t-2

ㄱ.  t='2일 때, 최솟값  g('2)=-1-'2 (참)

ㄴ.  x=;4Ò;, 즉 t='2일 때,  g(t)는 최솟값을 갖는다. (거짓) ㄷ.  f(x)=1+ 2

'2`sin {x+;4Ò;}-2 에서  

  f '(x)=-2'2`cos {x+;4Ò;}

['2`sin {x+;4Ò;}-2]²

   이므로  f(x)는 x=2np+;4Ò; (n은 정수)에서 극솟값을 갖고    x=2np+;4%;p (n은 정수)에서 극댓값을 갖는다. (참)    따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

03

 f(x)=e^x+;[!;에서  f '(x)=e^x- 1

x²,  f "(x)=e^x+2 x³ ㄱ.   x=a에서  f(x)는 극값을 가지므로     f '(a)=e^a-1

a²=0에서 e^a=1 a² (참)

ㄴ.   모든 양수 x에 대하여  f "(x)>0 이므로 곡선 y=f(x)의 변곡 점은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ.  f '(a)=0이고 모든 양수 x에 대하여  f "(a)>0이므로     함수  f(x)는 x=a에서 극소이자 최소이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ④

04

 f(x)=(2x-1)e^-xÛ`이라 하자.

 f '(x) =(-4x²+2x+2 )_e^{-xÛ`</sup>=-2(2x+1)(x-1)e<sup>-xÛ`}

 f '(x)=0에서 x=-;2!; 또는 x=1

함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -;2!; y 1 y

 f '(x) - 0 + 0

- f(x) ↘ - 2

4'e ↗ ;e!; ↘

또한 lim

n Ú¦  f(x)=0,  lim

n Ú-¦  f(x)=0이므로 함수  f(x)의 극솟값은 

- 2

Ý 'e  이다.함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 그리면 그림과 같다.

1

- 211Ý1e -/2!/ /e!/

O x

y

y=f(x)

함수 f(x)의 최솟값은  - 2 Ý 'e  이다.

즉 (2x-1)e^-xÛ`¾- 2

Ý 'e이므로 kÉ- 2 Ý 'e

따라서 2x-1¾ke^xÛ`을 성립시키는 실수 k의 최댓값은  - 2 Ý 'e  이다.

즉 g(x)=-4x²+2x+2, p=- 2 Ý 'e이므로  g(2)_p=(-10)_{- 2

Ý 'e }=20 Ý 'e

답 ③

05

 f(x)=sin`x-x`cos`x라 하면

 f '(x)=cos`x-(cos`x-x`sin`x)=x`sin`x

함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x 0 y p y 2p

f '(x) 0 + 0 - 0

f(x) 0 ↗ p ↘ -2p

방정식 f(x)=k의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되게 하려면 0Ék<p

따라서 정수 k는 0, 1, 2, 3이므로 그 합은 6이다.

답 ⑤

(063h-074h)고등수학해설(미적분)07.indd 64 2020-10-14 오전 11:12:06

정답과 풀이

65

06

ㄱ.  f(x)=xⁿ-1에서  f '(x)=nx^n-1    g(x)=log³ (x⁴+2n)에서 g'(x)= 1

ln`3 _ 4x³ x⁴+2n    따라서 h'(1)=g '( f(1))f '(1)=g '(0)_n=0_n=0 (참) ㄴ.  h(x)=g( f(x))=log3 〔{ f(x)}⁴+2n〕에서

   h'(x) = 1

ln`3 _4{ f(x)}³ f '(x) { f(x)}⁴+2n

= 1

ln`3 _4nx^n-1(xⁿ-1)³ (xⁿ-1)⁴+2n

   열린구간 (0, 1)에서 -1<xⁿ-1<0이므로 h'(x)<0이다.

   따라서 열린구간 (0, 1)에서 함수 h(x)는 감소한다. (거짓) ㄷ.   x>0에서 함수 h(x)는 x=1에서 극솟값 

h(1)=g(f(1))=g(0)=log³`2n을 갖는다.

   함수 h(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

   Ú n=1일 때, 

1

O x

y

y=1 y=h(x)

log£ 2

   Û n¾2일 때, 

O 1 x

y

log£ (2n+1) log£ 2n

n y=h(x)

y=n

    Ú, Û에 의하여 방정식 h(x)=n의 서로 다른 실근의 개수는   1이다. (참) 

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

07

함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y 0 y 1 y

f '(x) - 0 + 0 + 0

-f(x) ↘ ↗ ↗ ↘

ㄱ.   f(x)는 x=0에서 극값을 갖지 않는다. (거짓)

ㄴ.    f(0)=0이면 도함수 f '(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므 로 함수 f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 

   따라서 극댓값  f(1), 극솟값  f(-1)에 대하여

    f(1)=-f(-1)이므로  f(1)+f(-1)=0이다. (참)

ㄷ.   극댓값  f(1)<0이므로 방정식  f(x)=0은 x<-1인 오직 하나 의 실근을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  

답 ⑤

08

함수  f(x)의 정의역은 x<5이다. 

 f(x)=2 ln(5-x)+;4!;x²에서  f '(x)= -2 5-x +;2{;

 f '(x)=0에서 x=1 또는 x=4  f "(x)= -2

(5-x)²+;2!;

 f "(x)=0에서 x=3 (∵ x<5)

이므로 함수  f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 1 y 3 y 4 y (5)

f '(x) - 0 + + + 0

-f "(x) + + + 0 - -

-f(x)  f(1)  f(3)  f(4) 

{단,  f(1)=;4!;+4 ln`2,  f(3)=;4(;+2 ln`2,  f(4)=4}

ㄱ.   f(x)는 x=4에서 극댓값을 갖는다. (참) ㄴ.  곡선 y=f(x)의 변곡점의 개수는 1이다. (거짓)

ㄷ.   함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=;4!;은 그림과 같으므로   방정식  f(x)=;4!;의 실근의 개수는 1이다. (참)

1 3 4 5

O x

y=f(x) y

y=/4!/

f(4) f(3) f(1)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

09

 f(x)=ln`x²

x =2 ln`x

x 에 대하여  f '(x)=2-2 ln`x

x² Ú x>0일 때

 f '(x)=0에서 x=e이므로

  함수  f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

(063h-074h)고등수학해설(미적분)07.indd 65 2020-10-14 오전 11:12:07

66

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

11

x=3t-;@; cos`pt, y=6 ln`t-;@; sin`pt에서 시각 t에서의 속도는

dx

dt =3+2 sin`pt, dy

dt =;t^;-2 cos`pt이므로 따라서 시각 t=;2!;에서의 속력은

"Ã(3+2)²+(12-0)²=13

답 13

12

x(t)=t+20

p²`cos (2pt)에서 x '(t)=1-40

p `sin (2pt), x "(t)=-80`cos`(2pt) 따라서 시각 t=;3!;에서의 점 P의 가속도의 크기는

|x "{;3!;}|=|-80`cos`2p 3 |=40

답 40

13

두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도를 각각 vP, vQ라 하면 vP=dxP

dt =2t-a, v^Q=dxQ

dt = 2t-1 t²-t+1

두 점 P, Q가 움직이는 방향이 서로 반대 방향이 되려면 vPvQ<0이 어야 한다.

vPvQ=(2t-a)(2t-1) t²-t+1 <0

이때 t²-t+1>0이므로 (2t-a)(2t-1)<0    yy ㉠ 부등식 ㉠의 해가 ;2!;<t<2이므로 ;2A;=2

따라서 a=4

답 ⑤

14

점 P는 호 AB를 따라 매초 1의 속력으로 움직이므로 t초 후 호 AP의  길이가 t이고, 선분 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 t 이다.

따라서 직선 OP의 방정식은  y=(tan`t)x

또 직선 AB의 방정식은  y=1-0

0-1 (x-1), 즉 y=-x+1

점 Q는 두 직선 y=-x+1과 y=(tan`t)x의 교점이므로 시각 t 에서의 점 Q의 좌표는 { 1

1+tan`t ,  tan`t 1+tan`t }이다.

x (0) y e y

f '(x) + 0

-f(x) ↗ ;e@; ↘

  따라서 함수  f(x)는 x=e일 때, 극댓값 a=;e@; 를 갖는다.

Û  x+0인 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)가 성립하므 로  f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

Ú, Û에 의하여 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

O x

y

y=f(x)

-e e

-/e@/

/e@/

y=;eªn;x는 원점을 지나는 직선이고, 원점에서 곡선 y=2 ln`x x 에  그은 접선의 접점을 (t,  f(t))라 하면 접선의 방정식은

y=2-2 ln`t

t² (x-t)+2 ln`t t 이 직선은 원점 O(0, 0)을 지나므로 0=2-2 ln`t

t²  (0-t)+2 ln`t

t , 즉 t='e 따라서 접점은 {'e,  1

'e }이고 접선의 방정식은 y=;e!; x

n=1일 때, 직선 y=;e@; x와 함수  f(x)의 그래프의 교점의 개수는    0이므로 a1=0

n=2일 때, 직선 y=;e!; x와 함수  f(x)의 그래프의 교점의 개수는    2이므로 a2=2

3ÉnÉ10일 때, 직선 y=;eªn; x와 함수  f(x)의 그래프의 교점의 개 수는 4이므로 an=4

따라서 Á¹⁰

n=1 an=0+2+4_8=34

답 34

10

x=2t+sin`t, y=1-cos`t에서 dx

dt =2+cos`t, dy dt =sin`t 따라서 시각 t=;3Ò;에서 점 P의 속력은

¾Ð{2+cos`;3Ò;}<sup>2</sup>+{sin`;3Ò;}²=¾Ð{;2%;}²`+{ '3 2 }

2='7

답 ⑤

(063h-074h)고등수학해설(미적분)07.indd 66 2020-10-14 오전 11:12:08

정답과 풀이

67

dx

dt =- (tan`t)'

(1+tan`t)<sup>2</sup>`=- sec²`t (1+tan`t)² dy

dt =(tan`t)'(1+tan`t)-tan`t(1+tan`t)' (1+tan`t)²

=sec²`t(1+tan`t)-tan`t_sec<sup>2</sup>`t

(1+tan`t)<sup>2</sup> = sec<sup>2</sup>`t (1+tan`t)² 이므로 시각 t에서의 점 Q의 속도는

{dx dt , dy

dt }={- sec²`t

(1+tan`t)<sup>2</sup>,  sec<sup>2</sup>`t

(1+tan`t)<sup>2</sup>}    yy ㉠ 점 P는 원 xÛ`+yÛ`=1 (x>0, y>0) 위의 점이므로 

x²+y²=1에 x=;5$; 를 대입하면 y²=;2»5;, y=;5#;

따라서 점 P의 x좌표가 ;5$;일 때의 시각을 t1이라 하면  tan`t1=;4#; 이므로

sec²`t1=1+tan<sup>2</sup>`tÁ=1+{;4#;}²=;1@6%;

점 P의 x좌표가 ;5$; 인 순간 점 Q의 속도는 ㉠에서

»- ;1@6%;

{;4&;}²,  ;1@6%;

{;4&;}²¼={-;4@9%;, ;4@9%;}

따라서 a=-;4@9%;, b=;4@9%;이므로 b-a=;4%9);

답 ⑤

15

t초 후에 점 P의 좌표는 (10t+cos`t, sin`t)이고, 원 C의 중심과 점  P를 지나는 직선의 방정식은 y=sin`t

cos`t  (x-10t) 이므로 점 Q의 x좌표는 x=10t+2 cot`t

dx

dt =10-2 csc²`t이므로 t=;4#;p일 때 dx

dt =10-2 csc² `;4#;p=6

답 6

16

Q P -1 B

-1 1

1 2

O'h

O x

y

그림과 같이 원 O의 t초 후의 중심을 O', 원과 정사각형 ABCD의  교점을 P, Q라 하고, ∠PO'Q=h라고 하면 cos`h=1-t

이것을 t에 대하여 미분하면

-sin`h`dh

dt =-1, 즉  dh dt =

sin`h1

원과 정사각형 ABCD가 겹치는 부분의 넓이 S는

S =;2!;h-;2!;(1-t)sin`h=;2!;h-;2!;cos`h`sin`h=;2!;h-;4!; sin`2h 이것을 t에 대하여 미분하면

dS dt =dS

dh _dh

dt ={;2!;-;2!;cos`2h}  1 sin`h

원 O의 중심이 점 {;2!;, 0}을 지나는 순간은 t=;2!;이다.

즉 t=;2!;일 때, h=;3Ò;이다.

따라서 원 O의 중심이 {;2!;, 0}을 지나는 순간 넓이 S의 시간(초)에  대한 변화율은 [;2!;-;2!;_{-;2!;}]_ 2

'3= '3 2

답 ④

17

점 P는 호 AB 위의 점이고 시간 t일 때, ∠POA=t {0ÉtÉ;2Ò;}이 므로 점 P의 좌표는 (cos`t, sin`t)이다.

점 Q(x, 0)의 시간 t에서의 위치는 x=cos`t+"Ã5-sin<sup>2</sup>`t, y=0 점 Q의 x좌표의 시간에 대한 변화율은

dx

dt=-sin`t-sin`t`cos`t

"Ã5-sin²`t

따라서 ∠POA=;4Ò;가 되는 순간, 점 Q의 x좌표의 시간 t에 대한     변화율 r는

r=- '22 - { 1'2 }

2

®É5-{ 1 '2}

2 =- '22 - '26 =-;3@;'2 따라서 9r²=8

답 8

18

출발하여 t초가 되는 순간 점 P의 좌표는 (2t, 0)

∠QOP=h라 하면 ∠AOQ=;3Ò;-h

부채꼴 OQA의 넓이는 ;2!;_10²_{;3Ò;-h}=50{;3Ò;-h}

삼각형 OPQ의 넓이는 ;2!;_10_2t_sin`h=10t`sin`h 따라서 구하는 넓이 S는 S=50{;3Ò;-h}+10t`sin`h 양변을 t에 대하여 미분하면

dS

dt =-50 dh

dt +10 sin`h+10t`cos`h`dh

dt   yy ㉠ 점 P(2t, 0)을 지나고 직선 y='3x에 평행한 직선을 l이라 하면 직선 l의 방정식은 y='3(x-2t)

(063h-074h)고등수학해설(미적분)07.indd 67 2020-10-14 오전 11:12:09

68

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

직선 l과 원이 만나는 점 Q의 좌표는 Q(10 cos`h, 10 sin`h)이므로  직선 l의 방정식에 대입하면

10 sin`h='3(10 cos`h-2t)  yy ㉡

㉡의 양변을 t에 대하여 미분하면 10 cos`h dh

dt ='3 {-10 sin`h`dh

dt -2}  yy ㉢ 점 Q의 y좌표가 5가 되는 순간에 sin`h=;2!;, cos`h= '3

2 이고

㉡에서 t=5'3

3 , ㉢에서 dh dt =-;5!;

따라서 ㉠에 의하여 dS

dt =-50_{-;5!;}+10_;2!;+10_5'3 3 _'3

2 _{-;5!;}=10

답 10

19

BQÓ=x, AQÓ=y라 하면

PBÓ+APÓ=20에서 "Ãx²+9+"Ãy²+9=20 이 식의 양변을 시간 t에 대하여 미분하면

2x

2"Ãx²+9_dx

dt + 2y

2"Ãy²+9_dy dt =0 y=4일 때 x=6'6 이고, dy

dt =1이므로 6'6

15 _dx

dt +;5$;=0에서 dx dt =-'6

3

따라서 선분 BQ의 길이(m)의 시간(초)에 대한 변화율은 -'6 3

답 ①

20

P

A

-10 10

Q

O h

x y

∠AOP=h라 하면 호의 길이 l=10h

점 P(10 cos`h, 10 sin`h)가 매초 5의 일정한 속력으로 이동하므로  양변을 시각 t에 대해 미분하면 dl

dt =10 dh

dt =5, 즉 dh dt =;2!;

PQÓ=L=20-10'3`cos`h-10 sin`h라 하고 L을 시각 t에 대하여  미분하면 dL

dt =(10'3`sin`h-10 cos`h)dh

dt =10 sin {h-;6Ò;}

따라서 h=;ª3É;일 때, 선분 PQ의 길이의 순간변화율의 최댓값은 10

답 10

01

;e!;x¾ln`x의 우변을 좌변으로 이항하면 ;e!;x-ln`x¾`0

 f(x)=;e!;x-ln`x라 하면     ㉮

 f '(x)=;e!;-;[!;

 f '(x)=0에서 x=e

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x (0) y e y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 0(극솟값) ↗

따라서 함수  f(x)는 x=e에서 

극소이자 최솟값  f(e)=0을 갖는다.    ㉯

함수  f(x)의 최솟값이 0이므로 양의 실수 x에 대하여  f(x)¾0 그러므로 양의 실수 x에 대하여 부등식 ;e!;x-ln`x¾0, 즉

;e!; x¾ln`x가 성립한다.    ㉰

답 풀이 참조

단계 채점 기준 비율

㉮ 우변을 이항하여 좌변의 식을 함수 f(x)로 설정한 

경우 20%

㉯ f(x)의 증가와 감소를 나타낸 표를 이용하여 설명

한 경우 50%

㉰ f(x)의 최솟값이 0보다 크거나 같음을 증명한 경우 30%

02

x= t3³-11t, y=t²+1에서  dx

dt=t²-11, dy

dt=2t이므로     ㉮

속력을 |v(t)|라고 하면 

|v(t)|="Ã(t²-11)²+(2t)²="Ãt⁴-18t²+121

 g(t)=t⁴-18t²+121이라 할 때 속력 |v(t)|는 g(t)가 최소일 때  최소가 된다.

 g '(t)=4t³-36t이고 g '(t)=0에서 양수 t의 값을 구하면 

t²=9에서 t=3 (t>0)    ㉯

t=3을 주어진 식에 대입하면 x=-24, y=10    ㉰ 따라서 p=-24, q=10이므로 q-p=34    ㉱

01 풀이 참조 02 34

서술형

연습

^본문 99쪽

(063h-074h)고등수학해설(미적분)07.indd 68 2020-10-14 오전 11:12:10

정답과 풀이

69

Ú, Û에 의하여 함수 y=g(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

x y=g(x)

p 2m-p m STEP 3

1단계1단계 상수 n, p, a의 값을 구한다.

 g(m)=0이고, 함수  g(x)는 x=2에서 극솟값을 가지므로 m=2이 다.

함수  g(x)는 x=p에서 최댓값이 4'e이므로  g(p)=|f '(p)|e^f(p)=4'e=4e^;2!;

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수이므로  f '(p)=2a(p-2)=-4  …… ㉠  f(p)=a(p-2)²+n=;2!;  …… ㉡ 또한 함수  g(x)는 x=p에서 극댓값을 가지므로  g '(p)=0에서 2a(p-2)²+1=0  …… ㉢

㉠, ㉢에 의하여 a=-8, p=;4(;

이것을 ㉡에 대입하면 n=1

STEP 4

1단계1단계 |f(-1)|의 값을 구한다.

따라서  f(x)=-8(x-2)²+1이므로

|f(-1)|=71

답 71

02

풀이 전략 실수 전체의 집합에서 합성함수 |( f½g)(x)|가 미분가능 하기 위한 조건을 이용한다.

문제 풀이 

STEP 1

1단계1단계 미분법을 이용하여 함수 y=g(x)의 그래프의 개형을 그린다.

자연수 k에 대하여 함수 |( f½g)(x)|의 미분가능성을 조사하므로  k¾1에서만 생각한다.

두 함수 f(x), g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로  함수 ( f½g)(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

함수 |( f½g)(x)|의 미분가능성은 함수 ( f½g)(x)의 부호가 바뀌 는 x의 값에 대해서만 판단하면 된다.

g(x)= 3x

e^x-1+k=3xe^1-x+k에서  g '(x)=3e^1-x-3xe^1-x=3(1-x)e^1-x

함수  g(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y 1 y

g '(x) + 0

-g(x) ↗ k+3 ↘

x Ú-¦lim  g(x)=-¦,  lim

x Ú¦ g(x)=k이므로 곡선 y=g(x)의 개형은  [그림 1]과 같다.

답 34

단계 채점 기준 비율

㉮ ^dx_{dt ,}^dydt  를 구한 경우 40%

㉯ 속력이 최소가 되는 t의 값을 찾은 경우 30%

㉰ 속력이 최소가 되는 t의 값에 대응하는 점 P의 좌표

를 구한 경우 20%

㉱ q-p의 값을 계산한 경우 10%

01

풀이 전략 

미분을 활용하여 함수의 그래프의 개형을 그려 보고 함수의 최댓값과 방정식의 근을 구한다.

문제 풀이 

STEP 1

1단계1단계 함수 y=f(x), y=|f '(x)|의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭 임을 이용하여 g(x)의 그래프도 직선 x=m에 대하여 대칭임을 확인한다.

조건 ㈎에서 이차함수  f(x)=a(x-m)²+n이라 하면  f '(x)=2a(x-m)

f "(x)=2a

두 함수 y=f(x)와 y=|f '(x)|의 그래프는 각각 직선 x=m에 대 하여 대칭이므로 함수  g(x)=|f '(x)|e ^f(x)의 그래프도 직선 x=m 에 대하여 대칭이다.

STEP 2

1단계1단계 도함수 g '(x)를 구하고 y=g(x)의 그래프의 개형을 알아본다.

Ú x>m인 경우

   a>0이면 함수 y=f '(x)e ^f(x)는 실수 전체에서 증가하므로   함수  g(x)의 최댓값이 존재하지 않는다.

  그러므로 조건 ㈏에 의하여 a<0이다. 

   g '(x) =-( f '(x)e ^f(x))' 

=-[`f "(x)+{ f '(x)}² ]e ^f(x) 

={-4a²(x-m)²-2a}e ^f(x)

   방정식  g '(x)=0을 만족하는 x는 한 개이고 그 값을 p (p>m) 이라 하자.

  함수  g(x)는 x=p에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다.

Û x<m인 경우

   함수 y=g(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 함 수  g(x)는 x=2m-p에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다.

01 71 02 77 03 90 04 27 05 ④ 06 ④ 07 ③

1등급

도전

^{본문 100~101쪽}

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올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

O 1 x

y

k k+3

y=g(x)

[그림 1]

STEP 2

1단계1단계 주어진 조건을 이용하여 사차함수 f(x)를 추론한다.

사차함수  f(x)는 조건 ㈎에서

 f(x)=(x-1)²(x²+ax+b) (a, b는 실수)

방정식  f(x)=0이 허근을 가지면 방정식 x²+ax+b=0이 허근을  가지므로 모든 실수 x에 대하여 x²+ax+b>0이다.

즉  f(x)¾0이므로 모든 자연수 k에 대하여 ( f½g)(x)¾0이다.

모든 자연수 k에 대하여 함수 |( f½g)(x)|가 실수 전체의 집합에 서 미분가능하므로 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 자연수 k의  개수가 4인 방정식  f(x)=0은 허근을 갖지 않는다.

따라서 두 자연수 a, b (1ÉaÉbÉ10)에 대하여

`f(x)=(x-1)²(x-a)(x-b) Ú a=b인 경우

    f(x)=(x-1)²(x-a)²이고 모든 실수 x에 대하여    (x-a)²¾0이므로  f(x)¾0

   따라서  ( f½g)(x)¾0이므로 모든 자연수 k에 대하여 함수    

   따라서  ( f½g)(x)¾0이므로 모든 자연수 k에 대하여 함수    

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