지수함수와 로그함수의 극한과 미분

x`Ú¦lim{1+;[!;}^-2x= lim

x`Ú¦[{1+;[!;}^x]^-2=e^-2= 1 e²

답 ① 01 ⑴ 9 (수렴) ⑵ 4 (수렴) ⑶ ¦ (발산) ⑷ 0 (수렴)

⑸ 0 (수렴) ⑹ ¦ (발산)

02 ⑴ 1 (수렴) ⑵ 0 (수렴) ⑶ ¦ (발산) ⑷ -¦ (발산)

⑸ -¦ (발산) ⑹ ¦ (발산)

03 ⑴ 2, 2 ⑵ ;5Á['; , 5, 5

04 ⑴ e ⑵ ;e!; ⑶ 'e ⑷ e² 05 7

06 ⑴ 4x, 4x, 4 ⑵ 6x, 6x, 3 07 ⑴ 2 ⑵ ;2!; ⑶ 8

ln`2 ⑷ -;5@;

⑸ 6 ⑹ ;3@; ⑺ -1 ⑻ 3 ln`3

08 ⑴ y '=3x²+2^x ln`2 ⑵ y '=e<sup>x</sup>+{;2!;}<sup>x</sup> ln`2

⑶ y '=(x²+3x+1)e^x ⑷ y '=3+ 1 x ln`4

⑸ y '={;[!;+ln`x}e<sup>x</sup> ⑹ y '=x+2x ln`x+ 1 x ln`2 09 ⑴ f '(1)=5e<sup>2</sup> ⑵ g '(1)=6+2 ln`2 ⑶ h '(1)=-;2#;+ln`2 10 6

개념

확인 문제

본문 41쪽

01 ③ 02 ⑤ 03 ① 04 ④ 05 ① 06 ③ 07 ④ 08 ② 09 ② 10 ⑤ 11 ② 12 ② 13 ② 14 ④ 15 ② 16 ② 17 ⑤ 18 ④ 19 ③ 20 ④ 21 ② 22 ① 23 2 24 ③ 25 ⑤ 26 ④ 27 ② 28 ② 29 ① 30 ① 31 ② 32 ④ 33 40 34 ② 35 9 36 ② 37 ⑤ 38 20 39 13 40 ① 41 ④

유형 연습

내신&

학평 본문 42~49쪽

03 지수함수와 로그함수의 극한과 미분

(016-027h)고등수학해설(미적분)02.indd 27 2020-10-14 오전 11:08:42

28

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

x`Ú 0 ln(1+8x)<sup>;8Á[;</sup>=4`ln`e=4

답 ④ limx`Ú 0 ln{1+f(2x)}=0

limx`Ú 0` f(2x)=0이므로 t=f(2x)로 놓으면 limx`Ú 0

ln{1+f(2y)} _ln{1+f(2y)}

y _;2!;¤  

(027-032)고등수학해설(미적분)03.indd 28 2020-10-14 오전 11:09:34

정답과 풀이

29

limx`Ú 0`f(x)=f(0)=2

x`Ú 0-lim e^ax-1

(027-032)고등수학해설(미적분)03.indd 29 2020-10-14 오전 11:09:34

30

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 참 고 a>0일 때, a^t-1=s로 놓으면

a^t=s+1이므로 t=ln(s+1) ln`a  (a+1) t`Ú 0일 때, s`Ú 0이므로

limt`Ú 0

a^t-1 t =lim

s`Ú 0

s ln`a ln(s+1)=lim

s`Ú 0

ln`a =ln`a

30

점 P의 좌표를 (a, ln`a)(a>0)이라 하면 점 Q의 좌표는  (a, e^a)이다.

점 P는 직선 x+y=t 위의 점이므로 a+ln`a=t ln`ae^a=t이므로 ae^a=e^t

그러므로 삼각형 OHQ의 넓이 S(t)는

S(t) =;2!;_OHÓ_HQÓ=;2!;_a_e^a=;2!; ae^a=;2!;e^t 따라서

t`Ú 0+lim 

2S(t)-1 t  =lim

t`Ú 0+ 

2_;2!; e^t-1 t = lim

t`Ú 0+ 

e^t-1 t =1

답 ①

31

 f(x)=e^x+x에서  f '(x)=e^x+1 따라서  f '(0)=e⁰+1=2

답 ②

32

 f(x)=e^x+x²-3x에서  f '(x)=e^x+2x-3 따라서  f '(0)=1+0-3=-2

답 ④

33

 f(x)=(5x+3)e^x에서

 f '(x)=5e^x+(5x+3)e^x=(5x+8)e^x 따라서 a=5, b=8이므로 ab=40

답 40

34

x`Ú 0-lim f(x)= lim

x`Ú 0+ f(x)=f(0)=1이므로 함수  f(x)는 x=0에서 

연속이다.

h`Ú 0-lim  f(0+h)-f(0) h

= lim

h`Ú 0- (3h+1)e^h-1

h = lim

h`Ú 0- 

(3h+1)(e^h-1)+3h h

= lim

h`Ú 0- [ e^h-1

h _(3h+1)]+3=1+3=4

답 ② ln(s+1)

s

35

 f(x)=ln`x-x에서  f '(x)=;[!;-1

따라서  f '{;1Á0;}=10-1=9

답 9

36

 f(x)=ln`x에서  f '(x)=;[!;

따라서  f '(3)=;3!;

답 ②

37

 f(x)=x ln`x에서  f '(x)=ln`x+1 따라서  f '(e)=ln`e+1=2

답 ⑤

38

 f(x)=20xÛ``ln`x에서

 f '(x)=40x`ln`x+20xÛ`_;[!;=40x`ln`x+20x 따라서  f '(1)=20

답 20

39

 f(x)=(x+1)³+ln`x에서  f '(x)=3(x+1)²+;[!;

따라서  f '(1)=12+1=13

답 13

40

 f(x)=x ln`x에서  f '(x)=ln`x+1 따라서 lim

h`Ú 0  f(1+h)-f(1)

h =f '(1)=1

답 ①

41

 f(x)=x²+x ln`x에서  f '(x)=2x+ln`x+1 따라서

limh`Ú 0 

 f(1+2h)-f(1-h) h

=limh`Ú 0 [

 f(1+2h)-f(1)

h - f(1-h)-f(1)

h ]

=limh`Ú 0 

 f(1+2h)-f(1)

2h _2-lim

h`Ú 0 

 f(1-h)-f(1)

-h _(-1)

=2 f '(1)+f '(1)=3 f '(1)

=3_3=9

답 ④

(027-032)고등수학해설(미적분)03.indd 30 2020-10-14 오전 11:09:35

정답과 풀이

31

(2n+1)(2n+3)=limn`Ú ¦

Án

㉯ f(2n+1)f(2n+3)을 구한 경우 20%

㉰ 급수의 합을 구한 경우 40%

두 곡선 y=ln`(x+1), y=e^x-1은 직선 y=x에 대하여 대칭이고,  두 점 P, Q는 기울기가 -1인 직선 위의 점이므로 직선 y=x에 대

(027-032)고등수학해설(미적분)03.indd 31 2020-10-14 오전 11:09:35

32

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

 f '(x)=e^-2x+1-2xe^-2x+1=(1-2x)e^-2x+1

STEP 4

1단계1단계 f(b), f '(b)의 값을 이용하여 ab의 값을 구한다.

 f '(b)=(1-2b)e^-2b+1=0이므로 b=;2!;

 f(b)=a,  f {;2!;}=;2!;이므로 a=;2!;

x`Ú 0-lim f(x)=C=f(0)=0이므로 x<0일 때,  f(x)=3x

x`Ú 0+ (aeÛ`Å`+bx)=a  yy`㉠

x`Ú 0-lim  f(x)-f(0)

3xe^2x+2exÛ` (x>0)

 f '(x)=à3 (xÉ0) 3e^2x+6xe^2x+4ex (x>0) 이므로  f '{;2!;}=3e+3e+2e=8e

답 ④

(027-032)고등수학해설(미적분)03.indd 32 2020-10-14 오전 11:09:36

정답과 풀이

33

01

sin`h+cos`h= '2

3 의 양변에 '2

2 를 곱하면 sin`h_ '2

2 +cos`h_ '2 2 ='2

3 _'2 2

sin`h`cos`;4Ò;+cos`h`sin`;4Ò;=;3!;이므로 sin{h+;4Ò;}=;3!;

따라서 cos² {h+;4Ò;}=1-sin² {h+;4Ò;}=1-{;3!;}²=;9*;

답 ⑤ 01 ⑴ csc`h=;4%; ⑵ sec`h=-;3%; ⑶ cot`h=-;4#;

02 ⑴ csc`h='¶10 ⑵ sec`h= '¶10

3 ⑶ cot`h=3 03 ⑴ tan<sup>2</sup>`h ⑵ cos`h+sin`h 04 ⑴ 1 ⑵ '3

2 ⑶ '3 ⑷ '6-'2 4

⑸ '2-'6

4 ⑹ 2+'3 05 1

06 ⑴ ;6%5^; ⑵ ;6!5^; ⑶ -;6#5#; ⑷ ;6^5#;

⑸ -;3%3^; ⑹ ;6!3^;

07 ⑴ '3

2 ⑵ 0 ⑶ -'3 ⑷ 2

08 ⑴ ;2#; ⑵ ;2!; ⑶ ;4!; ⑷ 5

⑸ -;4!; ⑹ 3 ⑺ ;18Ò0; ⑻ ;3$;

09 ⑴ y'=cos`x+3 sin`x ⑵ y'=sin`x+x`cos`x

⑶ y'=10x+cos`x ⑷ y'=(sin`x+cos`x)e^x

⑸ y'=cos²`x-sin<sup>2</sup>`x

⑹ y'=x²(2 cos`x-x`sin`x)+1 x

개념

확인 문제

본문 53쪽

01 ⑤ 02 ⑤ 03 ④ 04 16 05 ⑤ 06 ③ 07 15 08 ⑤ 09 ④ 10 ① 11 ② 12 11 13 ⑤ 14 5 15 ④ 16 20 17 ② 18 8 19 ④ 20 ③ 21 ⑤ 22 ④ 23 ③ 24 ① 25 ⑤ 26 48 27 2 28 ⑤ 29 9 30 ② 31 ① 32 ⑤ 33 ① 34 ③ 35 ② 36 40 37 43 38 48 39 ① 40 ① 41 9 42 ④ 43 ② 44 ② 45 ① 46 ①

유형 연습

내신&

학평 본문 54~63쪽

04 삼각함수의 극한과 미분 02

0<h<;2Ò;이므로 sin`h="Ã1-cos<sup>2</sup>`h=¾Ð1-{;5#;}²=;5$;

따라서

sin`2h=sin(h+h)=sin`h`cos`h+cos`h`sin`h 

=2 sin`h`cos`h=2_;5$;_;5#;=;2@5$;

답 ⑤

03

cos²`2x=1-sin<sup>2</sup>`2x=1-{;3!;}²=;9*;

0<2x<;2Ò;이므로 cos`2x>0 따라서 cos`2x=®;9*;=2'2

3 이므로

cos²`x-sin<sup>2</sup>`x =cos`x`cos`x-sin`x`sin`x=cos(x+x) 

=cos`2x=2'2 3

답 ④

04

2`sin {h-;3Ò;}+'3`cos`h

=2 {sin`h`cos`;3Ò;-cos`h`sin`;3Ò;}+'3`cos`h

=sin`h-'3`cos`h+'3`cos`h=sin`h=p 따라서 p=;5$;이므로 20p=16

답 16

05

tan`2h= 2`tan`h

1-tan²`h이므로 tan`h=t라 하면 2t

1-t²=;4#;에서 8t=3-3t², 3t²+8t-3=0, (3t-1)(t+3)=0 즉, t=;3!; 또는 t=-3

이때 0<h<;2Ò;이므로 t>0이어야 한다. 따라서 tan`h=;3!;

답 ⑤

06

2 sin{h-;6Ò;}+cos`h

=2 {sin`h`cos`;6Ò;-cos`h`sin`;6Ò;}+cos`h

='3`sin`h-cos`h+cos`h='3`sin`h

='3_ '3 3 =1

답 ③

(027-032)고등수학해설(미적분)03.indd 33 2020-10-14 오전 11:09:36

34

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

12

tan(a+b)= tan`a+tan`b

1-tan`a`tan`b = 4+(-2) 1-4_(-2) =;9@;

따라서p=9,q=2이므로p+q=11

답11

13

(1+tan`h)tan`2h=(1+tan`h)_ 2tan`h

1-tan²`h= 2tan`h 1-tan`h=3 따라서tan`h=;5#;

답⑤

14

a,b,c가삼각형ABC의세내각의크기이므로

a+b+c=p yy㉠

a,b,c가이순서대로등차수열을이루므로 b=a+c

2 ,a+c=2b yy㉡

㉠,㉡에서3b=p,b=;3Ò;

b=;3Ò;이므로a+c=;ª3É;에서cos(a+c)=cos;ª3É;=-;2!;

cos`a`cos`c-sin`a`sin`c=-;2!; yy㉢

cos`a,2cos`b,8cos`c가이순서대로등비수열을이루므로 (2cos`b)²=8cos`a`cos`c

cos`a`cos`c=;8!; yy㉣

㉢,㉣에서sin`a`sin`c=;8%; yy㉤

따라서tan`a`tan`c= sin`a`sin`c cos`a`cos`c =5

답5

15

;2#;p<a<2p에서tan`a=-;1°2;이므로 sin`a=-;1°3;,cos`a=;1!3@;

sin(x+a)=sin`x`cos`a+cos`x`sin`a=;1!3@;`sin`x-;1°3;`cos`x

cos`xÉ;1!3@;`sin`x-;1°3;`cos`xÉ2cos`x에서 이식의양변을cos`x로나누면

1É;1!3@;`tan`x-;1°3;É2,즉;2#;Étan`xÉ;1#2!;

따라서최댓값은;1#2!;,최솟값은;2#;이므로최댓값과최솟값의합은

;1$2(;이다.

답④

07

tan(a-b)= tan`a-tan`b

1+tan`a`tan`b =;8&;,tan`b=1에서 tan`a-1

1+tan`a =;8&;,8(tan`a-1)=7(1+tan`a) 따라서tan`a=15

답15

08

f(x)=cos`2x`cos`x-sin`2x`sin`x=cos(2x+x)=cos`3x

=cos(3x+2p)=cos`3{x+;3@;p}=f{x+;3@;p}

따라서함수f(x)의주기는;3@;p이다.

답⑤

09

sin`2x=cos`x에서2sin`xcos`x=cos`x

(2sin`x-1)cos`x=0,즉sin`x=;2!;또는cos`x=0 Úsin`x=;2!;일때,0ÉxÉ2p이므로x=;6Ò;또는x=;6%;p Ûcos`x=0일때,0ÉxÉ2p이므로x=;2Ò;또는x=;2#;p Ú,Û에서모든해의합은;6Ò;+;6%;p+;2Ò;+;2#;p=3p

답④

10

x

y y=cos`x

y=

O 1

a p b 2p

31

31

23 2p

p

0<a<b<2p이고cos`a=cos`b=;3!;이므로그림에서 0<a<;2Ò;,;2#;p<b<2p

즉sin`a=2'2

3 ,sin`b=-2'2 3 따라서

sin(b-a)=sin`b`cos`a-cos`b`sin`a

={-2'2

3 }_;3!;-;3!;_2'2

3 =-4'2 9

답①

11

cos`a=;5$;,sin`b=2'5 5 이므로 sin(b-a)=sin`b`cos`a-cos`b`sin`a

=2'5

5 _;5$;-'5

5 _;5#;='5

5  ^답②

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 34 2020-10-14 오전 11:10:00

정답과 풀이

35

16

f(h)=1- 1

1+2 sin`h =1+2 sin`h-1

1+2 sin`h = 2 sin`h 1+2 sin`h

limxÚ0sin`2x-sin`x

x =lim

cos`2x }'=6cos<sup>2</sup>`2x_2-6sin`2x_(-sin`2x_2)

cos²`2x  따라서f'{;3Ò;}=cos`;3Ò;+'3sin`;3Ò;=;2!;+'3_ '3

2 =2

x-p =f'(p)=;2!;+cos`p=-;2!;

답⑤

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 35 2020-10-14 오전 11:10:00

36

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

33

A B

P

y=2x+10

y=/3!/x

O x

y

a b

그림에서tan(b-a)=

2-;3!;

1+;3@;=1

b-a=45ù이므로삼각형PAB는직각이등변삼각형이다.

따라서PAÓ=12'2

답①

34

그림과같이점F에서선분BC에내린수선의발을G,점E에서선 분FG에내린수선의발을H라하자.

A D

B G

E

F

H

C a b

∠EFH=a,∠CFG=b라하면tan`a=;2#;,tan`b=;8#;

h=a+b이므로tan`h=tan`(a+b)= ;2#;+;8#;

1-;2#;_;8#;=:£7¼:

답③

35

A

P¦a, /a@/¥ B

O 2

-1 1 -2

x y y=/[@/

244p

두점A,P를지나는직선이x축의양의방향과이루는각의크기를

a라하면tan`a=;a@;-(-2) a-(-1) =;a@;

29

limhÚ0

f(p+3h)-f(p)

h =limhÚ0f(p+3h)-f(p)

3h _3=3f'(p)

f(x)=cos`x-3sin`x에서f'(x)=-sin`x-3cos`x 따라서3_(-sin`p-3cos`p)=9

답9

30

f(x)=sin`x+acos`x에서f{;2Ò;}=sin`;2Ò;+acos`;2Ò;=1이므로

xÚ;2Ò;limf(x)-1 x-;2Ò; =lim

xÚ;2Ò;f(x)-f{;2Ò;}

x-;2Ò; =f'{;2Ò;}

f'(x)=cos`x-asin`x에서

f'{;2Ò;}=cos`;2Ò;-asin`;2Ò;=-a=3 즉,a=-3이므로f(x)=sin`x-3cos`x 따라서f{;4Ò;}=sin`;4Ò;-3cos`;4Ò;= '2

2 -3_'2 2 =-'2

답②

31

f(x)=e^x(sin`x+cos`x)에서

f'(x)=e^x(sin`x+cos`x)+e^x(cos`x-sin`x)=2e^x`cos`x

f'(x)=0(0<x<2p)에서x=;2Ò;또는x=;2#;p 함수f(x)의증감표는다음과같다.

x (0) y ;2Ò; y ;2#;p y (2p)

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 4 ↘ 6 ↗

함수f(x)는x=;2Ò;에서극댓값M=f{;2Ò;}=e^;2Ò;{sin`;2Ò;+cos`;2Ò;}=e^;2Ò;, x=;2#;p에서극솟값m=f{;2#;p}=e^;2#;p{sin`;2#;p+cos`;2#;p}=-e^;2#;p 을갖는다.따라서Mm=-e^2p

답①

32

limxÚa{f(x)}²-{f(a)}²

x-a =limxÚa{f(x)-f(a)}{f(x)+f(a)}

x-a 

=2f'(a)f(a)=1

이고f(x)=sin`x+cos`x에서f'(x)=cos`x-sin`x이므로 2(cos`a-sin`a)(sin`a+cos`a)=1

2(cos²`a-sin<sup>2</sup>`a)=1,4cos²`a-2=1 따라서cos<sup>2</sup>`a=;4#;

답⑤

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 36 2020-10-14 오전 11:10:01

정답과 풀이

37

두점B,P를지나는직선이x축의양의방향과이루는각의크기를

b라하면tan`b=;a@;-2 a-1 =-;a@;

b-a=p-;4Ò;=;4#;p이므로 tan(b-a)= tan`b-tan`a

1+tan`b`tan`a = -;a$;

1- 4a²

=- 4a a²-4

tan`;4#;p=-1이므로- 4a

a²-4=-1,a²-4a-4=0 따라서a>1이므로a=2+2'2

답②

36

선분AC의길이를a라하자.점A를원점,ABÓ를x축위에오도록

직각삼각형ABC를좌표평면위에놓으면B(2,0),C(0,a)이다.

세점P1{;3%;,;6A;},P²{;3$;,;3A;},P⁵{;3!;,5a 6 }이고,

∠BAP1=h1,∠BAP2=h2라하면

tan`h1=;10;,tan`h²=;4A;,tan`h<sup>5</sup>=;°2;이므로 tan`a=tan(h2-h1)= 6a

40+a²,tan`b=tan{;2Ò;-h<sup>5</sup>}= 1 tan`h5

=;5ªa;

2tan`a=3tan`b에서 12a

40+a²=;5¤a;이므로a²=:¢9¼:,a=2'¶10 3 삼각형ABC의넓이S는S=;2!;_2_a=2'¶10

3 따라서9S²=40

답40

37

sin`h= '¶10

10 이므로tan`h=;3!;

tan`2h=tan`(h+h)= 2tan`h 1-tan<sup>2</sup>`h=;4#;

∠CBA=a라하면이등변삼각형ABC에의하여tan`a=;3$;이고,

∠CBE=b라하면b=a-2h이므로 tan`b= tan`a-tan`2h

1+tan`a`tan`2h =;2¦4;

또BHÓ= FHÓ

tan`b ,CHÓ= FHÓ

tan`h 이고BHÓ+CHÓ=12이므로 FHÓ{ 1

tan`b + 1

tan`h }=12에서FHÓ{:ª7¢:+3}=12,FHÓ=;1@5*;

따라서p=15,q=28이므로p+q=43

답43

38

OAÓ=4,ADÓ=4tan`;2Ô½;이므로

(사각형OADB의넓이)=2_;2!;_OAÓ_ADÓ=16tan`;2½;=8 에서tan`;2½;=;2!;

따라서

(사각형OAEC의넓이) 

=2_;2!;_OAÓ_AEÓ=2_;2!;_4_4tan{;4Ò;+;2½;}

=16_ tan`;4Ò;+tan`;2½;

1-tan`;4Ò;tan`;2½;=16_1+;2!;

1-;2!;=48

답48

39

삼각형ABD가이등변삼각형이고,삼각형의한외각은이웃하지않 은두내각의합과같으므로a-h=h+b,즉2h=a-b

cos`a= '¶10

10 ,cos`b= '5

5 에서sin`a=3'¶10

10 ,sin`b=2'5 5 따라서

sin`2h=sin(a-b)=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b

=3'¶10 10 _'5

5 -'¶10 10 _2'5

5 ='2 10

답①

40

선분AC가원의지름이므로∠APC=;2Ò;이다.

Q

A B

C

2 P h 2h

APÓ=a,AQÓ=b라하자.

두삼각형APC와CPB는직각삼각형이므로 a`tan`h=CPÓ=(2-a)tan`2h,즉a= 2tan`2h

tan`h+tan`2h 삼각형ABC와삼각형APQ는서로닮음이므로 APÓ：ABÓ=AQÓ：ACÓ에서

a：2=b： a

cos`h ,즉b= a<sup>2</sup> 2cos`h 따라서삼각형APQ의넓이S(h)는 S(h)=;2!;_a_ a²

2cos`h _sin`h=;4!;`a<sup>3</sup>`tan`h

=;4!;_{ 2tan`2h tan`h+tan`2h }

3_tan`h

따라서

hÚ0+limS(h) h = lim

hÚ0+

[

^;4!;_

^{

^{tan`h</sup><sub>h +</sub><sup>2tan`2h2htan`2h}_2h^_2_2

^}

^3_tan`hh

]

=;4!;_{ 4 1+2 }

3_1=;2!7^; ^답①

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 37 2020-10-14 오전 11:10:02

38

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

43

A O P B

2

Q h24 h

2

삼각형QPB는이등변삼각형이므로∠QBP=;2ÒÒ;-;2Ò½;

삼각형ABQ는∠AQB=;2ÒÒ;인직각삼각형이므로∠QAB=;2Ò½;

따라서

S(h)=;2!;_QBÓ_QPÓ_sin`h

=;2!;{2sin;2½;}²`sin`h 이므로

hÚ0+lim S(h)

h³ = lim^hÚ0+

2sin²`;2½;`sin`h h³ 

= lim

hÚ0+

[

^2_

{

^sin`_;2½;^;2½;

}

^{2_;4!;_sin`hh}

]

^

=2_1_;4!;_1=;2!;

답②

44

∠BPA=;2Ò; 이므로∠QBR=a라하면 3a=;2Ò;-h,즉a=;6Ò;-;3½;

BPÓ=sin`h이므로

PQÓ=sin`h`tan`2a,PRÓ=sin`h`tan`a 따라서

S(h)=;2!;_BPÓ_PQÓ-;2!;_BPÓ_PRÓ

=;2!;sin²`h(tan`2a-tan`a)

=;2!;sin²`h[tan{;3Ò;-;3@;h}-tan{;6Ò;-;3Ž;}]

이므로

hÚ0+lim S(h)

h² =;2!;limhÚ0+

sin²`h

h² [tan{;3Ò;-;3@;h}-tan{;6Ò;-;3Ž;}]

=;2!;{tan`;3Ò;-tan`;6Ò;}

=;2!;{'3- '3 3 }

=;2!;_2'3 3 = '33

답②

41

보조선BQÓ를그으면삼각형BPQ와삼각형BCQ는서로합동이므 로∠QBC=;2½;,PQÓ=QCÓ=3tan`;2½;

직각삼각형RPQ에서∠RQP=h이므로 PRÓ=PQÓtan`h=3tan`;2½;`tan`h 따라서

f(h)=;2!;_PQÓ_PRÓ=;2!;_3tan`;2½;_3tan`;2½;`tan`h

f(h)=;2(;tan²`;2½;tan`h 이므로

hÚ0+lim 8 f(h)

h³ = limhÚ0+

36 tan²`;2½; tan`h h³ 

=lim

h`Ú0+

[

^9_tan_{;2½;}^{2`;2½;2 _tan`hh}

]

^=9_12_1=9

답9

42

A h E

D

B C

삼각형ABC에서BCÓ=ACÓ`sin`h=sin`h 삼각형BCD는이등변삼각형이므로

∠BCD=∠BDC=;2Ò;-h

∠CBD=p-2{;2Ò;-h}=2h,∠BDE=2h 삼각형BDE에서

DEÓ=DBÓ`cos`2h=sin`h`cos`2h

BEÓ=DBÓ`sin`2h=sin`h`sin`2h 따라서사다리꼴BCDE의넓이는

S(h)=;2!;{(sin`h`cos`2h+sin`h)_sin`h`sin`2h}

=;2!;sin²`h`sin`2h(1+cos`2h) 따라서

hÚ0+lim S(h)

h³ = lim^hÚ0+ sin²`h`sin`2h(1+cos`2h)

2h³ 

= lim

hÚ0+[{sin`h h }

2_sin`2h

2h _(1+cos`2h)]

=1²_1_2=2

답④

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 38 2020-10-14 오전 11:10:03

정답과 풀이

39

45

ABÓ=2이므로직각삼각형ABP에서

BPÓ=2sin`h

두선분BP,BQ는모두원C2의반지름이므로

BPÓ=BQÓ=2sin`h

OBÓ=1이므로피타고라스정리에의해 직각삼각형OBQ에서OQÓ="Ã1-4sin²`h

즉,S(h)=2_;2!;_BQÓ_OQÓ=2sin`h"Ã1-4sin<sup>2</sup>`h 따라서

hÚ0+limS(h)

h = limhÚ0+2sin`h"Ã1-4sin<sup>2</sup>`h

h 

= lim

hÚ0+{2_sin`h

h _"Ã1-4sin²`h}

=2_1_1=2

답①

46

∠BOQ=h,OBÓ=1이고∠OQB=;2Ò; 이므로

BQÓ=sin`h

또∠RQB=;2Ò;-∠QBR=;2Ò;-{;2Ò;-h}=h, BQÓ=sin`h,∠BRQ=;2Ò; 이므로

BRÓ=sin²`h,RQÓ=sin`h`cos`h 즉,삼각형BRQ의넓이는

;2!;_BRÓ_RQÓ=;2!;_sin²`h×sin`h`cos`h  yy㉠

삼각형BRQ에내접하는원의성질을이용하여삼각형BRQ의넓 이를구하면

;2!;_r(h)_(sin`h+sin`h`cos`h+sin²`h)  yy㉡

㉠,㉡에의해서

r(h)= sin²`h`cos`h 1+sin`h+cos`h 따라서

hÚ0+lim r(h)

h² = limhÚ0+

sin²`h`cos`h h<sup>2</sup>(1+sin`h+cos`h)

= lim

hÚ0+{sin²`h

h² _ cos`h 1+sin`h+cos`h }

=1²_ 1 1+1 =;2!;

답①

01

tan`x-sin`x=sin`x{ 1

cos`x -1}=sin`x_1-cos`x cos`x 이므로 주어진극한은다음과같이정리할수있다.

limxÚ0sin`x(1-cos`x)

xⁿ`cos`x =lim^xÚ0sin`x(1-cos`x)(1+cos`x) x<sup>n</sup>(1+cos`x)cos`x 

=limxÚ0 sin³`x x<sup>n</sup>(1+cos`x)cos`x

이때n<3이면주어진극한값은0이되고,n>3이면주어진극한은

발산한다. ㉮

따라서주어진극한이0이아닌값에수렴하도록하는자연수n의

값은3이다. ㉯

n=3을㉠에대입하면

limxÚ0 sin³`x

x³(1+cos`x)cos`x =lim

xÚ0[sin³`x

x³ _ 1

(1+cos`x)cos`x ]

=1³_ 1

(1+1)_1 =;2!;=a ㉰

따라서n+a=3+;2!;=;2&; ㉱

답;2&;

단계 채점 기준 비율

㉮ 주어진극한이0이아닌값에수렴하기위한조건을

찾은경우 40%

㉯ 자연수n의값을구한경우 20%

㉰ 극한값a를구한경우 30%

㉱ n+a의값을구한경우 10%

02

두직선ax-y-1=0,x-3y-6=0이x축의양의방향과이루는

각의크기를각각a,b라할때,

tan`a=a,tan`b=;3!; ㉮

두직선이이루는예각의크기가;4Ò;이므로|a-b|=;4Ò;

tan|a-b|=tan`;4Ò; ㉯

|

_{1+a_}^a-;3!;_;3!;

|

^=1에서

a-;3!;

1+;3A;=1또는a-;3!;

1+;3A;=-1

01_;2&; 02 2

서술형

연습

^본문 64쪽

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 39 2020-10-14 오전 11:10:03

40

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

즉tan`h=;3!;

STEP 2

1단계1단계 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 tan(∠ABF)의 값을 구한다.

∠FBE=h이므로∠ABF=2h 따라서

tan`(∠ABF)=tan`2h=tan`(h+h)

= tan`h+tan`h 1-tan`h_tan`h =

;3!;+;3!;

1-;3!;_;3!;=;4#;

답⑤

02

풀이 전략 cos`(aÑb)=cos`a`cos`bÐsin`a`sin`b(복부호 동순)을 이용한다.

문제 풀이

STEP 1

1단계1단계 점 A가 제 1 사분면에, 점 B가 제 4 사분면에 있을 때, cos`(∠AOB) 의 값을 구한다.

두직선l과m이원x²+y²=1과접하는점이각각A,B이므로 OAê⊥l,OBê⊥m

원x²+y²=1이x축의양의방향과만나는점을X라하고,

∠AOX=a라하자.

Ú점A가제1사분면에있고,점B가제4사분면에있을때

a

x l

m

O X

y A

B

 직선OA가직선l과수직이므로직선OA의기울기는3이다.

 따라서tan`a=3,cos`a='¶10

10 ,sin`a=3'¶10 10

 직선OB가직선m과수직이므로직선OB의기울기는-1이다.

 따라서∠XOB=;4Ò;이므로

 cos`(∠AOB)=cos`{a+;4Ò;}=cos`a`cos`;4Ò;-sin`a`sin`;4Ò;

  = '2

2 (cos`a-sin`a)= '2 2 {'¶10

10 -3'¶10

10 }

  = '2

2 _{-'¶10

5 }=-'5 5

STEP 2

1단계1단계 점 A가 제 1 사분면에, 점 B가 제 2 사분면에 있을 때, cos`(∠AOB) 의 값을 구한다.

Û점A가제1사분면에있고,점B가제2사분면에있을때

 tan`a=3,cos`a='¶10

10 ,sin`a=3'¶10 10 a-;3!;

1+;3A;=1에서a-;3!;=1+;3A;,즉a=2 한편

a-;3!;

1+;3A;=-1에서a-;3!;=-1-;3A;,즉a=-;2!;

이때a>0이므로구하는a의값은a=2 ㉰

답2

단계 채점 기준 비율

㉮ 두직선의기울기를이용하여두직선이x축의양의

방향과이루는각에대한탄젠트값을구한경우 30%

㉯ 두직선이이루는예각의크기가;4Ò;임을이용하여 a,b에대하여관계식을세운경우 20%

㉰ 삼각함수의덧셈정리에의해양수a의값을구한경우 50%

01

풀이 전략 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 도형 문제를 해결한다.

문제 풀이

STEP 1

1단계1단계 도형의 합동을 이용하여 tan(∠ABE)의 값을 구한다.

A

B C

E D F

h h

두삼각형ABE,FBE는서로합동이고사각형ABCD가정사각형 이므로∠A=∠F=;2Ò;

조건㈏에서사각형ABFE의넓이는;3!;이고,

조건㈎에서두삼각형ABE,FBE의넓이가같으므로

삼각형ABE의넓이는;6!;이다.

∠ABE=h라하면삼각형ABE의넓이는

;2!;_ABÓ_AEÓ=;2!;_1_tan`h이므로

;2!;`tan`h=;6!;

직각삼각형 ABE에서 tan`h= AEÓ

ABÓ이므로 AEÓ=ABÓ`tan`h=tan`h

01 ⑤ 02 20 03 ⑤ 04 ⑤ 05 ① 06 ② 07 ② 08 120 09 ②

1등급

도전

^{본문 65~67쪽}

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 40 2020-10-14 오전 11:10:04

정답과 풀이

41

직선 OB가 직선 m과 수직이므로 직선 OB의 기울기는 -1이다.

따라서 ∠XOB=;4#;p이므로 cos`(∠AOB)=cos`{;4#;p-a}

=cos`;4#;p`cos`a+sin`;4#;p`sin`a

= '2

따라서 100`cos<sup>2</sup>`(∠AOB)=100_;5!;=20

답 20

03

풀이 전략 tan`(a+b)= tan`a+tan`b

1-tan`a`tan`b 를 이용한다.

문제 풀이 부채꼴 OPQ의 넓이는 ;2!;_2²_2h=4h

STEP 2

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 41 2020-10-15 오후 3:51:23

42

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 CDÓ=2 CHÓ=2 ACÓ`sin`;2½;=2(1-sin`h)sin`;2½;

따라서

S(h) =;2!;_4(1-sin`h)<sup>2</sup>`sin²`;2½;_;4Ò;=;2Ò;_(1-sin`h)²`sin<sup>2</sup>`;2½;

STEP 2

1단계1단계 T(h)를 구한다.

점 B에서 CPÓ에 내린 수선의 발을 I라 하면

CPÓ=2 CIÓ=2 BCÓ`cos {;4Ò;+;2½;}=2 sin`h`cos {;4Ò;+;2½;}

T(h) =;2!;_4 sin²`h`cos²{;4Ò;+;2½;}_;4Ò;=;2Ò;`sin<sup>2</sup>`h`cos²{;4Ò;+;2½;}

S(h)=4h- 2 sin`2h 2 cos`2h+1

h(2 cos`2h+1) ]=4-4_;3!;=;3*;

답 ⑤

ABÓ=4이므로 CAÓ=CDÓ=4 sin`h

STEP 2

1단계1단계 삼각형 CDE의 넓이 S(h)를 구한다.

삼각형 DHC에서 DHÓ=CDÓ`cos`2h=4 sin`h`cos`2h 삼각형 DHE에서 DEÓ= DHÓ

cos`h =4 tan`h`cos`2h

점 E에서 선분 CD에 내린 수선의 발을 F라 할 때, EFÓ=DEÓ`sin`h 삼각형 CDE의 넓이는

S(h) =;2!;_CDÓ_EFÓ

=;2!;_4 sin`h_4 tan`h`cos`2h_sin`h

=8 sin²`h`tan`h`cos`2h

STEP 3

8 sin²`h`tan`h`cos`2h h³

=8_1²_1_1=8

답 ①

4_sin`2h

2h _ 1

2 cos`2h+1

(033-044h)고등수학해설(미적분)04.indd 42 2020-10-15 오후 3:51:29

정답과 풀이

43

∠HIO=;2Ò; 이므로OIÓ=OHÓ`cos`h=cos²`h IHÓ=OHÓ`sin`h=cos`h`sin`h

IPÓ =OPÓ-OIÓ=1-cos²`h=sin<sup>2</sup>`h 그러므로삼각형IHP의넓이T(h)는 T(h)=;2!;_IHÓ_IPÓ

T(h)=;2!;_cos`h`sin`h_sin<sup>2</sup>`h=;2!;sin³`h`cos`h

STEP 2

1단계1단계 삼각형 RIP의 넓이 S(h)를 구한다.

직선OP와직선RQ가평행하므로삼각형RIP의높이는QIÓ이다.

직선OP와직선RQ가평행하므로삼각형RIP의높이는QIÓ이다.

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