도함수의 활용 ⑴

limx Ú0

1-cos`px

f(x) =lim^{x Ú0} sin²`px (1+cos`px)f(x)

=limx Ú0[{sin`px px }

2_ (px)²

f(x) _ 1 1+cos`px ]

=;12&8;p²

이므로 최고차항의 계수가 1인 이차함수 h(x)에 대하여

f(x)=kx²`h(x)(k는 k+0인 상수, h(0)+0) yy ㉡ 이라 하자.

함수 f(x)가 x=a에서 극댓값을 가지므로 f '(a)=0이다.

f(a)=0이라 가정하면 f(x)=kx²(x-a)²이고

k>0일 때, 함수 f(x)가 x=a에서 극솟값을 가지므로 모순이고, k<0일 때, f(1)É0이므로 g(1)=;7@;라는 조건에 모순이다.

그러므로 f(a)+0

STEP 4

1단계1단계 함수 g(x)가 x=a에 극값을 가짐을 이용하여 f(2a)의 값을 구한다.

함수 g(x)가 x=a에서 극값을 가지므로 g '(a)=p(sin`ap)f(a)

{ f(a)}² =0에서 f(a)+0이므로 sin`ap=0이고

sin`2ap=0, cos`2ap=1 yy ㉢

f(2a)+0이면

g'(x)=p(sin`px)f(x)-(1-cos`px)f '(x) { f(x)}² 에서 g'(2a)=0이 되어 조건 ㈎에 모순이므로 f(2a)=0이다.

STEP 5

1단계1단계 함수 g(x)를 구하고 p+q의 값을 구한다.

㉡에서 f(x)=kx²(x-2a)(x-b)라 하면 f '(a)=ka²(b-2a)=0이므로

b=2a이고 f(x)=kx²(x-2a)² 함수 f(x)는 x=a에서 극대이므로 k>0

㉠에서 lim

x Ú0

1-cos`px

kx²(x-2a)²=;12&8;p², 즉 ka²=:Á7¤: yy ㉣

g(1)=;7@;에서 k(1-2a)²=7 yy ㉤

㉣, ㉤에서 7a²

16 =(1-2a)² 7 이므로 a=;1¢5; 또는 a=4

㉢에 의하여 a=4이고 k=;7!;

g(x)=

[

7(1-cos`px)

x²(x-8)² (x+0이고 x+8) ;12&8;p² (x=0 또는 x=8) 이므로 g(-1)=;8!1$;

따라서 p=81, q=14이므로 p+q=95

답 95

(052h-063h)고등수학해설(미적분)06.indd 52 2020-10-14 오전 11:11:28

정답과 풀이

53

01

x³+xy-y²=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 3x²+y+x dy

dx-2y dy dx=0 즉 dy

dx= 3x²+y

-x+2y (단, x+2y)

따라서 곡선 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기는 ;3*;

답 ④

02

f(x)=x'§x=x^;2#; 에서 f '(x)=;2#;x^;2!;=3'x 2

따라서 곡선 위의 점 (4, 8)에서의 접선의 기울기가 f '(4)이므로 f '(4)=3'4

2 =3

답 ⑤

03

y=2^2x-3+1에서 y '=2 ln`2_2^2x-3

따라서 곡선 y=2^2x-3+1 위의 점 {1, ;2#;}에서의 접선의 기울기는 2 ln`2_2<sup>-1</sup>=ln`2

답 ②

04

xÛ`-yÛ`-y=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-2y dy

dx-dy

dx=0, -(2y+1) dy dx=-2x 즉 dy

dx= 2x

2y+1 {단, y+-;2!;}

곡선 위의 점 A(a, b)에서의 접선의 기울기가 ;1ª5;a이므로 2a

2b+1=;1ª5;a 이때 a+0이므로

1

2b+1=;1Á5;, 2b+1=15 따라서 b=7

답 7

05

xy-y³`ln`x=2의 양변을 x에 대하여 미분하면 y+x dy

dx -3y²`dy

dx _ln`x-y³_;[!;=0 dy

dx = y³ x -y

x-3y²`ln`x (단, x-3y²`ln`x+0) x=1일 때 y=2이므로 dy

dx = 8-2

1-0 =6 ^답 ④

06

x=2t+1, y=t+;t#;에서 dx

dt =2, dy dt =1-3

tÛ`이므로

dy dx =

dy dt dx dt

=;2!; {1-3 tÛ` }

곡선 위의 한 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 -1이므로

;2!;{1-3

tÛ` }=-1, t²=1 이때 t>0이므로 t=1

따라서 a=3, b=4이므로 a+b=7

답 ②

07

x=tan`h, y=cos<sup>2</sup>`h에서 dx

dh =sec²`h, dy

dh =-2 cos`h`sin`h

x=1일 때, h=;4Ò;이므로 곡선 위의 점 {1, ;2!;}에서의 접선의 기울기 는

-2 cos`;4Ò;`sin`;4Ò;

sec²`;4Ò; =-;2!;

답 ②

08

주어진 조건에서 f '(2)=2

g(x)=f('§x )라 하면 g '(x)=f '('§x )_ 1 2'x 따라서 x=4에서의 함수의 미분계수는  g '(4) =f '('4)_ 1

2'4=f '(2)_;4!;=2_;4!;=;2!;

답 ①

09

f(x)=(x-1)e^x에서 f '(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x g(e²)=2, f '(2)=2e²이므로

곡선 y=g(x) 위의 점 (e², 2)에서의 접선의 기울기는 g '(e²)= 1

f '(2)= 1 2e²

답 ①

10

g(4)=k라 하면 f(k)=4이므로

kÜ`-5kÛ`+9k-5=4, kÜ`-5kÛ`+9k-9=0, (k-3)(kÛ`-2k+3)=0 k는 실수이므로 k=3

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54

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 f(x)=xÜ`-5xÛ`+9x-5에서 f '(x)=3xÛ`-10x+9 이므로 f '(3)=6

따라서 g '(4)= 1

f '(g(4))= 1 f '(3)=;6!;

답 ⑤

11

 g(1)=t라 하면 f(t)=1이므로 tan³`t=1에서 tan`t=1 이때 -;2Ò;<t<;2Ò;이므로 t=;4Ò;

그러므로 g(1)=;4Ò;

f(x)=tan³`x에서 f '(x)=3 tan<sup>2</sup>`x`sec<sup>2</sup>`x

따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (1, g(1))에서의 접선의 기울기는 g '(1)= 1

f '(g(1))= 1

f '{;4Ò;}= 1

3_1²_('2)²=;6!;

답 ①

12

P 1 1

-1

O x

y

y=f(x)

y=-x+1 y=x-1

y=g(x) t

ㄱ. ln`x=ln`;[!;에서 x=1

따라서 점 P의 좌표는 (1, 0) (참) ㄴ. f '(1)=1, g '(1)=-1이므로 f '(1)_g '(1)=1_(-1)=-1

따라서 두 곡선 위의 점 P에서의 각 접선은 서로 수직이다. (참) ㄷ. t>1에서 함수 f(t)는 증가하고,

f '(t)=;t!;이고 f '(1)=1이므로 t>1인 t에 대하여 0<f(t)-f(1)

t-1 <1 t>1에서 함수 g(t)는 감소하고,    g '(t)=-;t!;이고 g '(1)=-1이므로 t>1인 t에 대하여 -1<g(t)-g(1)

t-1 <0 그러므로 -1<f(t)-f(1)

t-1 _ g(t)-g(1) t-1 <0 즉 -1<f(t)g(t)

(t-1)² <0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

13

y= 1

x-1 에서 y '=- 1 (x-1)Û`

곡선 위의 점 {;2#;, 2}에서의 접선의 기울기가 -4이므로 접선의 방 정식은 y=-4 {x-;2#;}+2, 즉 y=-4x+8

곡선 y= 1

x-1 위의 점 {;2#;, 2}에서의 접선과 x축 및 y축으로 둘러 싸인 부분은 밑변의 길이가 2이고 높이가 8인 직각삼각형이다.

따라서 구하는 넓이는 ;2!;_2_8=8

답 ①

14

함수 f(x)=e^x-2이라 하면 f '(x)=e^x-2

곡선 위의 점 (3, e)에서의 접선의 기울기가 f '(3)=e이므로 접선의 방정식은

y-e=e(x-3), 즉 y=ex-2e

두 점 A, B의 좌표는 각각 (2, 0), (0, -2e) 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 ;2!;_2_2e=2e

답 ③

15

y=ln (x-7)에서 y '= 1 x-7

곡선 y=ln (x-7)에 접하는 직선의 기울기가 1일 때 접점의 x좌표 를 a라 하면

1

a-7 =1, a-7=1, 즉 a=8 따라서 접점의 좌표는 (8, 0)이다.

기울기가 1이고 점 (8, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y=x-8 이 직선이 x축, y축과 만나는 점은 각각 A(8, 0), B(0, -8) 따라서 삼각형 AOB의 넓이는

;2!;_OÕAÓ_OBÓ=;2!;_8_8=32

답 32

16

y=e^3-x에서 y '=e^3-x(3-x)'=-e^3-x

곡선 y=e^3-x 위의 점 (3, 1)에서의 접선의 기울기는 -e^3-3=-e⁰=-1

이므로 접선의 방정식은 y-1=-(x-3), 즉 y=-x+4

따라서 접선의 x절편과 y절편은 각각 4이므로 구하는 도형의 넓이는

;2!;_4_4=8

답 8

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정답과 풀이

55

17

x²-y²

3 =1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-;3@;y_dy

dx=0

이 식에 x=2, y=3을 대입하면 dy

dx=2

따라서 구하는 접선의 방정식은 y-3=2(x-2), 즉 y=2x-1

이므로 접선이 y축과 만나는 점의 y좌표는 -1이다.

답 ①

18

점 P의 좌표는 P {;8Ò;, 1+;2Ò;}이고 f(x)=tan`2x+;2Ò;에서

f '(x)=2 sec²`2x 이므로 f '{;8Ò;}=4

곡선 y=f(x) 위의 점 P에서의 접선의 방정식은 y=4 {x-;8Ò;}+1+;2Ò;, 즉 y=4x+1

따라서 접선의 y절편은 1이다.

답 ③

19

xÛ`+5xy-2yÛ`+11=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+5y+5xdy

dx-4y dy dx=0 (5x-4y) dy

dx=-(2x+5y) 즉 dy

dx=-2x+5y

5x-4y (단, 5x-4y+0) 곡선 위의 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기는 -2_1+5_4

5_1-4_4=2 이므로 접선의 방정식은 y-4=2(x-1), 즉 y=2x+2

접선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

따라서 직선 y=2x+2의 x절편은 -1, y절편은 2이므로 구하는 넓이 는 ;2!;_1_2=1

답 ①

20

f(x)=0에서 ln (tan`x)=0, tan`x=1 0<x<;2Ò; 에서 x=;4Ò;

이므로 점 P의 좌표는 {;4Ò;, 0}이다.

f(x)=ln (tan`x)에서 f '(x)=(tan`x)'

tan`x =secÛ``x tan`x 이므로 f '{;4Ò;}=('2 )Û`

1 =2

곡선 위의 점 P {;4Ò;, 0}에서의 접선의 방정식은 y=2 {x-;4Ò;}, 즉 y=2x-;2Ò;

따라서 이 접선의 y절편은 -;2Ò; 이다.

답 ④

21

f(x)=sin`x에서 f '(x)=cos`x

점 P의 좌표를 P(a, t)라 하면 sin`a=t cos`a="Ã1-sin²`a="Ã1-t²

함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 P(a, sin`a)에서 그은 접선의 방정 식은 y-sin`a=cos`a(x-a)

x절편이 g(t)이므로 이 식에 x=g(t), y=0을 대입하면 -sin`a=cos`a(g(t)-a), 즉 g(t)=a-tan`a sin`a=t의 양변을 t에 대하여 미분하면 cos`a` dadt=1이므로 da

dt= 1 cos`a 따라서

g'(t) =da

dt-sec²a` dadt

= 1

cos`a - 1 cos<sup>3</sup>`a

=cos²`a-1

cos³`a = -t² (1-t²)^;2#;

이므로 g '{2'2

3 }=-24

답 ②

22

조건 ㈎에서 직선 l이 제 2사분면을 지나지 않고, 조건 ㈏에서 직선 l 과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형인 직각이등변삼각형의 넓이가 2이 므로 그림과 같이 직선 l의 x절편과 y절편은 각각 2, -2이다.

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56

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

O 2 4 x

y

f(4)

-2

l

곡선 y=f(x) 위의 점 (4, f(4))에서의 접선 l은 기울기가 1이고, 점 (2, 0)을 지나므로 직선 l의 방정식은 y=x-2

따라서 f(4)=2, f '(4)=1 g(x)=x f(2x)에서 g '(x)=f(2x)+2x f '(2x)

따라서 g '(2) =f(4)+4 f '(4)=2+4=6

답 ④

23

y=e^x에서 y '=e^x

곡선 y'=e^x 위의 두 점 A(t, e^t), B(-t, e^-t)에서의 접선 l, m의 기울기는 각각 e^t, e^-t이다.

A

B

Oa x

b

y y=eÅ

m l

244p

두 직선 l, m이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan`a=e<sup>t</sup>, tan`b=e^-t

tan`;4Ò; =tan (a-b)= tan`a-tan`b 1+tan`a`tan`b

= e^t-e^-t 1+e^te^-t=1

에서 e^t-e^-t=2, (e^t)²-2e^t-1=0 e^t>0이므로 e^t=1+'2, 즉 t=ln (1+'2) 따라서 직선 AB의 기울기는

e^t-e^-t

t-(-t)=e^2t-1

2te^t = (1+'2)²-1

2(1+'2) ln(1+'2)= 1 ln(1+'2)

답 ①

24

곡선 y='x-3 위의 임의의 점 Q의 좌표를 (t, 't-3)(t¾0)이라 하고, 원점을 O라 하자.

선분 PQ의 길이가 최소가 되려면 점 Q에 대하여 선분 OQ와 원 x²+y²=1이 만나는 점이 P이고, 원 x²+y²=1 위의 점 P에서의 접 선의 기울기와 곡선 y='x-3 위의 점 Q에서의 접선의 기울기가 같 아야 한다.

1 P

Q(t, 1t-3) -3

O x

xÛ +yÛ =1 y

y=1x-3

y='§x-3에서 y '= 1 2'x`

곡선 y='x-3 위의 점 Q(t, 't -3)(t>0)에서의 접선과 직선 OQ는 수직이다.

1

2't`_ 't -3

t =-1, 2('t )³+'t -3=0 ('t -1)(2t+2't +3)=0

t=1이므로 Q(1, -2) PQÓ=OQÓ-1='5-1

따라서 a=5, b=1이므로 a²+b²=26

답 26

25

f(x)=e^x+1(xÛ`+3x+1)에서

f '(x) =e^x+1(xÛ`+3x+1)+e<sup>x+1</sup>(2x+3)=e<sup>x+1</sup>(xÛ`+5x+4) 함수 f(x)가 감소하므로 f '(x)É0이어야 한다.

e^x+1(xÛ`+5x+4)É0에서 e<sup>x+1</sup>>0이므로 xÛ`+5x+4É0

즉 함수 f(x)는 -4ÉxÉ-1에서 감소한다.

따라서 b-a의 최댓값은 (-1)-(-4)=3

답 ③

26

f(x)=(x²+2ax+11)e^x에서

f '(x) =(2x+2a)e^x+(x²+2ax+11)e^x

={x²+2(a+1)x+2a+11}e^x

실수 전체의 집합에서 함수 f(x)가 증가하므로 모든 실수 x에 대하여 f '(x)={x²+2(a+1)x+2a+11}e^x¾0

e^x>0이므로 모든 실수 x에 대하여 x²+2(a+1)x+2a+11¾0

이차방정식 x²+2(a+1)x+2a+11=0의 판별식을 D라 하면 D

4 =(a+1)²-(2a+11)=a²-10É0 즉 -'§10ÉaÉ'¶10

따라서 구하는 자연수 a의 최댓값은 3이다.

답 ①

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정답과 풀이

57

27

함수 f(x)=;2!;x²-3x-;[K;가 열린구간 (0, ¦)에서 증가하므로 f '(x)=x-3+ k

x²¾0

x²>0이므로 양변에 x²을 곱하면 k¾-x³+3x²

함수 g(x)=-x³+3x²이라 하면 열린구간 (0, ¦)에서 함수 g(x) 는 x=2에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 4이다.

따라서 k¾4이므로 만족시키는 k의 최솟값은 4이다.

답 ③

28

f(x)=tan`(px²+ax)에서 f '(x)=(2px+a)sec²(px²+ax) x=;2!;에서 극솟값을 가지므로

f ' {;2!;}=(p+a)sec²{;4Ò;+;2A;}=0 sec²{;4Ò;+;2A;}+0이므로 a=-p

따라서 f(x)=tan (px²-px)에서 극솟값 k는 k =f {;2!;}=tan {;4Ò;-;2Ò;}=tan {-;4Ò;}=-1

답 ②

29

역함수 관계의 두 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 함수 f(x)=ln`;k{;의 접선 중 기울기가 1인 접선에서 y=x까지 거리의 2배가 lk이다.

f(x)=ln`;k{;에서 f '(x)=;[!;

f '(x)=1인 접점의 좌표는 {1, ln`;k!;}이다.

곡선 y=f(x) 위의 한 점에서 직선 y=x까지의 거리를 d라 하면

d=|1-ln`;k!;|

'2 =1+ln`k

'2 =(1+ln`k)'2 2 lk=2d=(1+ln`k)'2¾3'2에서 ln`k¾2, 즉 k¾e²=7.29

따라서 자연수 k의 최솟값은 8이다.

답 ④

30

y=ln`x에서 y '=;[!;

곡선 위의 점 P(t, ln`t)에서의 접선의 방정식은 y-ln`t=;t!; (x-t), 즉 r(t)=t-t ln`t

점 Q(2t, ln`2t)에서의 접선의 방정식은 y-ln`2t=;2Át;(x-2t), 즉 s(t)=2t-2t ln`2t 따라서 f(t)=r(t)-s(t)=(2 ln`2-1)t+t ln`t에서 f '(t)=2 ln`2+ln`t=0에서 t=;4!;

함수 f(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

t (0) y ;4!; y

f '(t) - 0 +

f(t) ↘ -;4!; ↗

따라서 함수 f(t)의 극솟값은 -;4!;이다.

답 ③

31

a=-1일 때 구간 [ 0, 2)에서 f(x)=x+1이므로 x=0에서 극댓값을 갖지 않는다.

이것은 모순이므로 a+-1

구간 [ 0, 2)에서 f(x)가 극솟값을 갖도록 하는 a의 값의 범위를 구 하면

f(x)=(x-a)² x+1 에서 f '(x)=(x-a)(x+2+a)

(x+1)²

f '(x)=0에서 x=a 또는 x=-a-2 Ú a<-a-2, 즉 a<-1일 때

x=-a-2의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 x=-a-2에서 f(x)는 극솟값을 갖는다. 함수 f(x)는 x=0에 서 극댓값을 가지므로 구간 (0, 2)에서 극솟값을 갖는다.

즉 0<-a-2<2에서 -4<a<-2 a는 정수이므로 a=-3

Û a>-a-2, 즉 a>-1일 때

x=a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 x=a 에서 f(x)는 극솟값을 갖는다.

함수 f(x)는 x=0에서 극댓값을 가지므로 구간 (0, 2)에서 극솟 값을 갖는다. 즉 0<a<2

a는 정수이므로 a=1

Ú, Û에 의해서 조건을 만족하는 정수 a의 값은 -3 또는 1

따라서 모든 정수 a의 값의 곱은 (-3)_1=-3

답 ①

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58

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분 참 고 Ú a=-3일 때, 함수 y=f(x)=(x+3)Û`

x+1 의 그래프를 그려 보면 그림과 같이 x=0에서 극댓값을 갖는다.

y=f(x)

O 2

8 9

4 6

y

x 1

2

Û a=1일 때, 함수 y=f(x)=(x-1)Û`

x+1 의 그래프를 그려 보면 그 림과 같이 x=0에서 극댓값을 갖는다.

y=f(x)

O 1

2 4 6

y

x

32

f(x)=xÛ`e<sup>-x+2</sup>에서 f '(x)=(-xÛ`+2x)e^-x+2 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 y=( f½f)(x)에서

dy

dx =f '( f(x)) f '(x) dy

dx =0인 x의 값을 구하면 Ú f '(x)=0에서

x=0 또는 x=2 Û f '( f(x))=0에서 ① f(x)=0일 때, x=0

② f(x)=2일 때, x=a 또는 x=b 또는 x=c (a<b<c)로 놓 고 함수 y=( f½f)(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.

x y a y 0 y b y 2 y c y

f '(x) - - - 0 + + + 0 f '( f(x)) - 0 + 0 + 0 - - - 0 +

dy

dx + 0 - 0 + 0 - 0 + 0

-y ↗ 4 ↘ 0 ↗ 4 ↘ 16

eÛ` ↗ 4 ↘ 위의 표를 이용하여 함수 y=( f½f)(x)의 그래프를 나타내면 그림과 같다.

y=(f½f)(x) y=

O 2

4

a b c

y

x -15eÛ 16

eÛ

따라서 함수 y=( f½f)(x)의 그래프와 직선 y=15

eÛ` 가 만나는 점의 개수는 4이다.

답 ③

33

y=(ln`x)Û`-x+1에서 y '=2 ln`x

x -1

y "=;[@;_x-2 ln`x_1

xÛ` =2-2 ln`x xÛ`

y "=0에서 2-2 ln`x=0 ln`x=1, 즉 x=e

x=e의 좌우에서 y "의 부호가 바뀌므로

곡선 y=(ln`x)Û`-x+1은 x=e에서 변곡점 (e, 2-e)를 갖는다.

따라서 변곡점 (e, 2-e)에서의 접선의 기울기는 2 ln`e

e -1=;e@;-1

답 ②

34

f(x)=x²-2x ln`x라 하면

f '(x)=2x-(2 ln`x+2), f "(x)=2-;[@;

f "(x)=0에서 x=1 [ 0<x<1일 때, f "(x)<0

x>1일 때, f "(x)>0 따라서 변곡점의 x좌표는 1이다.

답 ①

35

f(x)= x xÛ`+1에서 f '(x)=(xÛ`+1)-x_2x

(xÛ`+1)Û` = 1-xÛ`

(xÛ`+1)Û`

f "(x)=(-2x)(xÛ`+1)Û`-(1-xÛ`){2(xÛ`+1)_2x}

(xÛ`+1)Ý`

=2x(xÛ`+1){-(xÛ`+1)-2(1-xÛ`)}

(xÛ`+1)Ý`

=2x(xÛ`-3) (xÛ`+1)Ü`

x`Ú-¦lim ( f½f)(x)=0,

x`Ú¦lim ( f½f)(x)=0

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정답과 풀이

59

ㄱ. f '(0)=;1!;=1 (참) ㄴ. f '(x)= 1-xÛ`

(xÛ`+1)Û`=0에서 x=-1 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y 1 y

f '(x) - 0 + 0

f(x) ↘ -;2!; ↗ ;2!; ↘

따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값 -;2!; 을 갖고, x=1에서 극댓값 ;2!; 을 갖는다.

또 lim

x`Ú-¦`f(x)=lim

x`Ú-¦

x

xÛ`+1=lim

x`Ú-¦

;[!;

1+ 1x²

=0,

같은 방법으로 lim

x`Ú¦`f(x)=0이고

x>0일 때, f(x)>0이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 극소이면 서 최소이다.

따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾-;2!;이다. (참) ㄷ. f "(x)=2x(xÛ`-3)

(xÛ`+1)Ü` =0에서 x=0 또는 x=-'3 또는 x='3

함수 f '(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -'3 y 0 y '3 y

f "(x) - 0 + 0 - 0 +

f '(x) ↘ -;8!; ↗ 1 ↘ -;8!; ↗ 따라서 함수 f '(x)는

x<-'3 또는 0<x<'3 에서 감소하고, -'3<x<0 또는 x>'3 에서 증가하므로 함수 f '(x)는 열린구간 (0, 1)에서 감소한다.

따라서 0<x<1인 모든 실수 x에 대하여 f '(x)<f '(0)=1 yy ㉠

함수 f(x)가 닫힌구간 [0, 1]에서 연속이고, 열린구간 (0, 1)에 서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

0<a<b<1인 모든 실수 a, b에 대하여 f(b)-f(a)

b-a =f '(c)를 만족시키는 c가 열린구간 (0, 1)에 적어 도 하나 존재한다. yy ㉡

㉠, ㉡에서 0<a<b<1일 때, f(b)-f(a)

b-a < f '(0)=1이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답 ③

36

g(x)=sin( f(x))=sin`(x<sup>2</sup>+ax+b)에서 g '(x)=(2x+a)`cos`(x²+ax+b) 조건 ㈎에서 모든 실수 x에 대하여

(-2x+a)`cos`(x²-ax+b)=-(2x+a)`cos`(x²+ax+b) 이 식에 x=0을 대입하면

a`cos`b=0

0<b<;2Ò; 에서 cos`b+0이므로 a=0 g(x)=sin`(x²+b)에서

g '(x)=2x`cos`(x²+b)

g "(x)=2`cos`(x²+b)-4x²`sin`(x²+b)

조건 ㈏에서 점 (k, g(k))는 곡선 y=g(x)의 변곡점이므로 g "(k)=0

2`cos`(k²+b)-4k²`sin`(k²+b)=0 …… ㉠

k=0이면 0<b<;2Ò; 에서 cos`b+0이므로 ㉠이 성립하지 않고, cos`(k²+b)=0이면

㉠에서 sin`(k²+b)=0이므로

sin²`(k<sup>2</sup>+b)+cos<sup>2</sup>`(k²+b)=1이 성립하지 않는다.

따라서 k+0, cos`(k²+b)+0

㉠에서 tan`(k²+b)= 1

2k² …… ㉡

조건 ㈏에서

2k`sin`(k²+b)=2'3k`cos`(k²+b)

tan`(k²+b)='3 …… ㉢

㉡, ㉢에서 1

2k²='3, 즉 k²= '3 6

㉢에서 tan`{ '3

6 +b}='3 이고 0<b<;2Ò; 이므로 '36 +b=;3Ò;, b=;3Ò;-'3

6 따라서 a+b=0+{;3Ò;- '3

6 }=;3Ò;-'3 6

답 ③

(052h-063h)고등수학해설(미적분)06.indd 59 2020-10-14 오전 11:11:31

60

올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 | 미적분

01

함수 f(x)=ax²+bx-ln`x는 x>0일 때 미분가능한 함수이므로 f '(x)=2ax+b-;[!;

함수 f(x)가 x=;4!;에서 극솟값을 가지므로 f '{;4!;}=0

;2A;+b-4=0, 즉 a+2b=8 yy ㉠ ㉮

또한 함수 f(x)의 그래프의 변곡점의 x좌표가 ;2!;이므로 f "{;2!;}=0 f "(x)=2a+ 1

x²에서

f "{;2!;}=2a+4=0이므로 a=-2 yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 -2+2b=8에서 b=5 ㉯

따라서 -4x+5-;[!;=0의 양변에 x를 곱하여 정리하면 4x²-5x+1=0, (4x-1)(x-1)=0, 즉 x=;4!; 또는 x=1 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 M=f(1)=3을 갖는다. ㉰

따라서 a+b+M=-2+5+3=6 ㉱

답 6

단계 채점 기준 비율

㉮ ^x=;4!;에서 극솟값을 가짐을 이용하여 a,b에 대한 관계식을 세운 경우

30%

㉯ a,b의 값을 구한 경우 30%

㉰ f(x)의 극댓값을 구한 경우 30%

㉱ a+b+M의 값을 구한 경우 10%

02

함수 f(x)가 역함수가 존재하기 위해서는 실수 전체의 집합에서 증 가하거나 감소해야 하므로 f '(x)¾0이거나 f '(x)É0이어야 한다.

㉮

f(x)=(2x²+2x+1)e^kx에서

f '(x)=(2kx²+2(k+2)x+k+2)e^kx yy ㉠ e^kx>0이므로

2kx²+2(k+2)x+k+2¾0이거나 2kx²+2(k+2)x+k+2É0

2kx²+2(k+2)x+k+2¾0이거나 2kx²+2(k+2)x+k+2É0

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