2006년 11월 시행] 2007학년도 수능_ 수학 나형 정답 해설

(홀수형)

2007학년도 대학수학능력시험 (수리영역-나형) 정답 및 해설

1. ( log327)×8 1 3 _{= log} 333×(23) 1 3 _{= 3×2= 6}  ④ 2. A+B=

( )

1 1_{3 4} 이므로 (A+B)- 1_{= 1} 4-3

(

-3 14 -1

)

=

(

-3 14 -1

)

따라서 구하는 모든 성분의 합은 4-1-3+1 = 1  ① 3. lim n→∞

(

1 3

)

n = lim n→∞

(

1 2

)

n =0이므로 lim n→∞ 3+

(

1₃

)

n 2+

(

1₂

)

n = 3+02+0 = 3 2  ② 4. f(x) 는 x= 3 일 때 최대값 M=43_{= 64를} 갖고, g(x) 는 x= 3 일 때 최소값 m=

(

1₂

)

3_{= 18} 을 갖는다. ∴ Mm_{= 8}  ① 5. A⊂B이면 A∩B=A이므로 P(A|B) = P(_PA_(B∩₎B) = P_P(₍A_{B) =}) 1 4 2 3 = 38  ③ 6. a, 0, b가 이 순서로 등차수열을 이루므로 a+b= 2 ⋅0 ∴ a+b= 0 ⋯ ㉠ 2b, a, -7 이 이 순서로 등비수열을 이루므 로 a2_=-7×2b ∴ a2=-14b ⋯ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 a2= 14a ∴ a_{= 14 (∵} a_{≠0 )}  ③ 7. (x-a)5_{의 전개식에서 x항은} 5C1x1(-a)4=5a4x (x-a)5_{의 전개식에서 상수항은} 5C0x0(-a)5=-a5 이 때, ₅a4_-a5₌a4_(5-a_{)=0 이므로} a= 5 (∵ a≠0 )  ⑤

8.

log_ac : log_bc= 2:1 이므로 log_ac= 2log_bc

이 때, 1 logca = 2 logcb 이므로 log_cb logca = logab= 2

∴ logab+ logba= logab+ _log1

ab = 2 + 12 = 5 2  ④ 9. 세차시간 X는 정규분포 N_(30,22_{) 을 따르} 므로 구하는 확률은 P( X≧33) = P

(

X-30₂ ≧ 33-30₂

)

= P (Z≧1.5) = 0.5- P (0≦Z≦1.5) = 0.5 - 0.43 32 = 0.0668  ② 10. 표본의 크기 100이 충분이 크므로 모표준편 차 σ 는 표본표준편차로 대신할 수 있다. 즉, σ=20, n= 100 이고 표본평균이 X= 245 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은

[

X-1.96⋅ σ_n , X+1.96⋅ σ_n

]

에서

[

245-1.96⋅ 20₁₀₀ , 245+1.96⋅ 20₁₀₀

]

∴ _{[241.08, 248.92]} 따라서 이 신뢰구간에 속하는 정수는 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248의 7개다.  ③ 11. I(t) = 10+990×a- 5t_{에 I(t) = 21을 대입하면} 21 = 10+990×a- 5t_{이므로 a}- 5t_{= 11} 990 ∴ a5t_{= 990} 11 = 90 ∴ 5t= log_a90= log9×10

loga = 2log3+1loga

∴ t₌s_{= 1+2log3} 5loga  ① 12. ㄱ. B2=B의 양변에 B- 1을 곱하면 B- 1_B2_=B- 1_B ∴ B₌E (참) ㄴ. ₍E_-A₎2₌E_-2A₊A2 =E-2A+E= 2(E-A) (E-A)3_{= (E-A)}2_{(E-A)= {2(E-A)}(E-A)} = 2(E-A)2_{= 2}2_(E-A) ⋯ ∴ ₍E_-A₎5_{= 2}4₍E_-A_{) (참)}

ㄷ. (E-ABA)2_{=E- 2ABA+ (ABA)}2

이 때,

(ABA)2_{= (ABA)(ABA) =ABA}2_BA

=ABEBA=AB2_{A =ABA 이므로}

(E-ABA)2_{=E-2ABA+ABA=E-ABA}

(참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

A(n) ={x| 0 <x≤2n_{}, B(n) ={x| 0 <x≤4}n_} 이다. ㄱ. ₂1_{= 2 이므로} A(1) = {x| 0 <x≤2} (거짓) ㄴ. 24= 42이므로 A(4) =B(2) = {x| 0 <x≤16} (참) ㄷ. A(n)⊂B(n) 이면 0 < 2n≤4n이므로 2-n_≧4-n_{> 0이다.} ∴ B_(-n_)⊂A_(-n_{) (참)} 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 14. 3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공 을 임의로 넣는 경우의 수는 3Π5=35=243 이 때, 상자에 있는 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 상자는 많아야 1개이므로 공에 적 힌 숫자의 합이 13 이상인 경우가 존재하려 면 세 상자 중 어느 한 상자에는 3, 4, 5가 적힌 공은 반드시 들어가고 또한, 이 상자에 1, 2가 적힌 공 중 적어도 하나가 들어가야 한다. 따라서 이 경우의 수는 3C1×( 3Π2-2Π2)=3(9-4) = 15 따라서 구하는 경우의 수는 243-15 = 228  ② 다른 풀이 3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공 을 임의로 넣는 경우의 수는 3Π5=35=243 13 이상인 상자가 존재하는 경우의 수는 다 음과 같다. (i) 세 상자 중 어느 한 상자에 1, 3, 4, 5가 들어가고 2는 나머지 두 상자 중 어느 하나 에 들어가는 경우의 수는 3×2=6 (가지) (ii) 세 상자 중 어느 한 상자에 2, 3, 4, 5가 들어가고 1은 나머지 두 상자 중 어느 하나 에 들어가는 경우의 수는 3×2=6 (가지) (iii) 세 상자 중 어느 한 상자에 1, 2, 3, 4, 5가 들어가는 경우의 수는 3 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 243-(6+6+3)=228 15. 3n장의 카드 중 _{2 장의 카드를 꺼내는 경우} 의 수는 _3n C₂이다. a=k (k= 1,2,3,⋯,n-1 )이면 3a<b를 만족시키는 b는 ₃k_+1,3k_+2,⋯,3n중의 하 나이어야 하므로 _b의 경우의 수는 ₃n_-3k = 3(n-k) 이다. ∴ _Pn= n

∑

- 1 k= 1 3(n-k) 3n C2 이 때,

∑

n- 1 k= 13(n-k) = 3n(n_{- 1) - 32} n(n_{- 1) = 32} n(n- 1)이므로 P_n= 3 2 n(n-1) 3n C2 이 때, _3n C₂= 3n(3n-1) 2 이므로

lim n→∞ Pn= limn→∞ 3n2_-3n 2 9n2_-3n 2 = 13 이상에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 3(n-k_{) , 32} n(n_{-1) , 13} 이다.  ① 16. 함수 y₌k x의 그래프가 정사각형 A_n과 만날 필요충분조건은 두 점 ( 4n2_{, n}2_{), (n}2_{, 4n}2_{)을 양 끝점으로 하는} 선분과 만날 때이다. 함수 y=k x의 그래프가 점 (4n2, n2) 을 지날 조건은 n2_{=k 4n}2 _{∴ k=} n 2 함수 y₌k x의 그래프가 점 ₍n2_{, 4}n2_{) 을} 지날 조건은 4n2_{=k n}2 _{∴ k= 4n} 따라서 a_n은 부등식 n 2 ≦k≦4n을 만족하는 자연수 k의 개수이다. (i) n이 홀수일 때 an= 4n-

(

n_{2 +}1₂

)

+1 = 72n+ 12 (ii) n이 짝수일 때 an= 4n-n_{2 +1} = 72n+1 ∴ a_n=

{

7 2 n+ 12 (n이 홀수) 7 2 n+1 (n이 짝수) ㄱ. a₅= 72 ×5+ 1 2 = 18 (거짓) ㄴ . an+ 2=

{

7 2 (n+2)+ 12 =an+7 (n이 홀수) 7 2 (n+2)+1=an+7 (n이 짝수) ∴ a_{n+ 2}-a_n=7 (참) ㄷ. _∑10 k= 1ak= (a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a9+a10) = 12+(12+14)+(12+2×14)+⋯+(12+4×14) = 52 {12+(12+56)} =200 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ④ 17. R1의 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 빗변의 길이는 3a이므로 3a= 2 에서 a= 2₃ ∴ S₁=a2= 29 R1에서 합동인 2 개의 직각이등변삼각형의 한 등변의 길이는 a= 2 3 이므로 R1에서 새로 색칠된 정사각형의 한 변의 길이는

(

2 3

)

2 = 29 이다. 따라서 R₁에서 새로 색칠한 2 개의 정사각 형의 넓이의 합은 _2×

(

2 9

)

2 이다. ∴ S₂₌S_1+2×

(

2 9

)

2 = 29 +29 ×49 R₂에서 합동인 22개의 직각이등변삼각형의 한 등변의 길이는

(

2 3

)

2 = 29 이므로 R2에 서 새로 색칠된 정사각형의 한 변의 길이는

2 3 ×29 이다. 따라서 R₂에서 새로 색칠한 22개의 정사각 형의 넓이의 합은 22_×

(

2 3 ×29

)

2 = 4× 29 ×

(

29

)

2 이다. ∴ S₃=S₂+ 29 ×

(

4 9

)

2 _{= 29 +}2 9 ×49 +29 ×

(

49

)

2 ⋯ 이와 같은 방법으로 수열 {S_n}은 첫째항이 2 9 이고, 공비가 49 인 등비수열의 첫째항부 터 제 n항까지의 합과 같음을 추론할 수 있 다. ∴ lim n→∞Sn=

∑

∞ n= 1 2 9

(

49

)

n- 1 = 2 9 1- 49 = 25  ⑤ 18. 수열 {a_n}이 등비수열일 때, a_3, a_6, a₉도 이 순서로 등비수열을 이루므로 (a6)2=a3×a9 ∴ a₉= 162 2 = 128  ₁₂₈ 다른 풀이 공비를 r라 하면 a6 a3 = 16_{2 =}r3이므로 r3_{=8 이다.} ∴ a₉₌a6_×r3_{= 16×8 = 128} 19.

( log2x) -4log2x= log2x( log2x-4)= 0 에

서 log₂x=0 또는 log₂x= 4 ∴ x_{= 1 또는} x_{= 2}4_{= 16} ∴ α+β= 1+16= 17  ₁₇ 20. 등비수열의 수렴조건은 _{-1< (공비)≤1이므} 로 -1 < 2x-1₄ ≤1 ∴ _{- 32 <}x_{≦ 52} 따라서 정수 x의 개수는 -1, 0, 1, 2 의 4 개다. ∴ k_{= 4} ∴ 10k= 40  40 21. (A+E)2_=A2_{+2A+E=A이므로} A(A+E) =-E에서 A(-A-E) =E ∴ A- 1=-A-E ∴ A+A- 1=-E 따라서 (A+A- 1)

( )

p q =-E

( )

pq =

( )

-73 이 므로

( )

p q =-

( )

-73 =

( )

-37 ∴ p2₊q2_{= 9+49= 58}  58 22.

등차수열 {a_n}의 공차를 d (d_{≠0 )라 하면} an= (n-1)d ∴ a_{n+ 1=}dn 이 때,

∑

n k= 1ak=

∑

n k= 1d(k-1) =dn

∑

- 1 k= 1k=d× n(n-1) 2 이고, a_n+ 1bn=dn⋅bn= dn(n₂-1) 이어야 하므 로 bn= n-1₂ (단, n= 1,2,3,⋯ ) ∴ b₂₇= 27-1 2 = 13  13 23. 어른 2명은 반드시 앞줄과 뒷줄에 한 명씩 앉아야 하므로 어른을 앉히는 방법의 수는 2C1×2P1×3P1=12 어린이 3 명을 나머지 3 개의 자리에 앉히는 방법의 수는 3! = 6 따라서 구하는 경우의 수는 _{12×6 = 72}  ₇₂ 다른 풀이 5 명을 5 개의 자리에 앉히는 경우의 수는 5! = 120 어른 _{2 명은 모두 앞줄에 앉고, 어린이 3 명} 은 모두 뒷줄에 앉는 경우의 수는 2!× 3! =12 어른 _{2 명은 모두 뒷줄에 앉고, 어린이 3 명} 은 나머지 3 개의 자리에 앉는 경우의 수는 3P2×3! = 36 따라서 구하는 경우의 수는 120-(12+36)= 72 24. 0≤X≤a에서 확률밀도함수의 그래프와 _x축 으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야 하므 로 1 2 ×ab= 1 ∴ ab= 2 ⋯ ㉠ P

(

0≦X≦a₂

)

=b_{2 <} P (0≦X≦2) =b이 므 로 a 2 < 2이다. 이 때, P

(

0≦X≦a₂

)

_{= 12 ×}a_{2 ×}

(

b_{2 ×}a₂

)

= a₈ 이므로 a 8 = b2 ∴ a=4b ㉠에서 a2=8 , b2= 12 ∴ a2+4b2=8+ 2 = 10  ₁₀ 25. 점 P 의 x좌표를 α 라 하면 k⋅3α_{= 3}- α 따라서 k⋅3α= 1 3α 이므로 양변에 3 α_{을 곱} 하여 정리하면 (3α₎2_{= 3}2α_{= 1} k 이 때, 점 _{Q 의} x좌표는 _{2α 이므로}

k⋅3 =-4⋅3 +8 이 때, ₃2α_{= 1} k 이므로 k⋅ 1_k =-4⋅ 1_k+8 k> 0 이므로 1=- 4_k+8 ∴ k= 47 ∴ 35k= 20  20 26. a1=2 이므로 an+ 1= 2an+2 에 n= 1,2,3,⋯,9 를 차례로 대입하면 a₂= 2×2+2= 6 , a3=2×6+2= 14 , a4= 2×14+2= 30 , a5= 2×30+2= 62 , a6= 2×62+2= 126 , a7= 2×126+2= 254 , a8= 2×254+2= 510 , a9= 2×510+2= 1022 , a10= 2×1022+2 = 2046  ④ 27. 0<x< 1 일 때, 1< 10x_{<10 이므로} 3으로 나눈 나머지가 2인 자연수 ₁₀x는 10x_{= 2, 5, 8}

∴ x= log2, log5, log8

따라서 구하는 모든 x의 값의 합은

log2+ log5+ log8 = log2×5+3log2 = 1+3log2  ③ 28. ㄱ. 세 개의 동전을 던질 때 앞면의 수가 1이 하일 확률은 P(A) = 3C0

(

1₂

)

3 +3C1

(

1₂

)

3 = 12 (참) ㄴ. 3개 모두 같은 면이 나오는 동시에 앞면 의 수가 1이하일 확률은 P (A∩B) = ₃C₀

(

1₂

)

3_{= 18 (참)} ㄷ. 3개 모두 같은 면이 나올 확률은 P (B) = 2×3C0

(

1₂

)

3 = 14 ∴ _{P (}A_∩B_{) = P (}A₎P₍B₎ 따라서 두 사건 A_, B는 서로 독립이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 29. 두 버튼을 누를 확률은 각각 1 2 이고, 여섯 번 중에서 채널증가 버튼과 채널감소 버튼을 각각 3 번씩 눌러야 하므로 구하는 확률은 6C3

(

1₂

)

3

(

1 2

)

3 = 20 26 = 5₁₆  ② 다른 풀이 ↑, _↓ 중 중복을 허락하여 6개를 임의로 나 열하는 경우의 수는 2Π6= 26 ↑ 3개, _↓ 3개를 나열하는 경우의 수는

6! 3!3! = 20 따라서 구하는 확률은 5∙4 26 = 5₁₆ 30. A=

( )

1 1_{0 p} 이므로 A2₌

( )

1 p 0 p2 , 5A=

( )

5 5_{0 5p} 이다. ∴ D₍A2_{) =}p2_, D₍₅A_{)= 25}p 따라서 p2_{= 25}p이므로 p= 0 또는 p= 25 따라서 모든 상수 p의 값의 합은 25 이다.  25