RPM
미적분
Ⅱ
정답
과
풀이
지수함수와 그 그래프
01
Ⅰ.지수함수와 로그함수 답 ㄱ, ㄹ, ㅁ0001
답 O 1 x y y=2≈0002
답 O 1 x y 1 ≈ y={;2;}0003
y=-a≈의 그래프는 y=a≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것 이므로 오른쪽 그림과 같다. 답 풀이 참조 1 -1 y=a≈ y=-a≈ O x y0004
y={;a!;}≈ =a—≈ 의 그래프는 y=a≈의 그래프를 y축에 대하여 대칭 이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 답 풀이 참조 O 1 y 1 ≈ y={;a;} y=a≈ x0005
y=-{;a!;}≈ =-a—≈ 의 그래프 는 y=a≈ 의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 답 풀이 참조 1 -1 1 ≈ y=-{;a;} y=a≈ O x y0006
답 x축, 20007
y=3≈은 증가함수이므로 x=-1일 때, 최소이고 최솟값은 y=3—⁄ =;3!; x=1일 때, 최대이고 최댓값은 y=3⁄ =3 따라서 최댓값은 3, 최솟값은 ;3!;이다. 답 최댓값：3, 최솟값：;3!;0008
y={;4!;}≈ 은 감소함수이므로 x=-2일 때, 최대이고 최댓값은 y={;4!;}—¤ =16 x=2일 때, 최소이고 최솟값은 y={;4!;}¤ =;1¡6; 따라서 최댓값은 16, 최솟값은 ;1¡6;이다. 답 최댓값：16, 최솟값：;1¡6;0009
t=x¤ -6x+6으로 놓으면 t=(x-3)¤ -3æ-3 이때 주어진 함수는 y=3† 이고, 3>1이므로 t=-3일 때 최솟값 y=3—‹ =;2¡7; 을 갖는다. 답 최솟값：;2¡7;0010
t=x¤ -2x+3으로 놓으면 t=(x-1)¤ +2æ2 이때 주어진 함수는 y={;2!;}† 이고, 0<;2!;<1이므로 t=2일 때 최댓값 y={;2!;}¤=;4!;을 갖는다. 답 최댓값：;4!;0011
2≈ =128에서 2≈ =2‡ 이므로 x=7 답 x=70012
{;9!;}≈ =3'3에서 3—¤ ≈ =3;2#;이므로 -2x=;2#; ∴ x=-;4#; 답 x=-;4#;0013
2≈ ±⁄ =3≈ ±⁄ 에서 x+1=0 ∴ x=-1 답 x=-10014
(x+1)¤ ≈ =4¤ ≈에서 ⁄x=0일 때 주어진 방정식은 1‚ =4‚ =1이므로 성립한다. ¤x+0일 때 x+1=4이므로 x=3 ⁄, ¤에서 x=0 또는 x=3 답 x=0또는 x=30015
3¤ ≈ ±⁄ <3≈ 에서 밑이 1보다 크므로 2x+1<x ∴ x<-1 답 x<-10016
{;5!;}¤ ≈ <{;5!;}‹ 에서 밑이 1보다 작으므로 2x>3 ∴ x>;2#; 답 x>;2#;0017
01. 지수함수와 그 그래프 003 '2<2‹ ≈ <64에서 2;2!;<2‹ ≈ <2fl 밑이 1보다 크므로 ;2!;<3x<6 ∴;6!;<x<2 답 ;6!;<x<2
0018
{;2!;}¤ ≈ —⁄ <{;2!;} ;2%; <{;2!;}≈ —¤ 에서 밑이 1보다 작으므로 2x-1>;2%;>x-2 ⁄2x-1>;2%;에서 2x>;2&; ∴ x>;4&; ¤x-2<;2%;에서 x<;2(; ⁄, ¤에서 ;4&;<x<;2(; 답 ;4&;<x<;2(;0019
{;3!;}≈ ±¤ <{;3!;} x¤ <{;3!;}‹ ≈ —¤ 에서 밑이 1보다 작으므로 x+2>x¤ >3x-2 ⁄ x+2>x¤에서 ⁄ x¤ -x-2<0, (x+1)(x-2)<0 ⁄ ∴ -1<x<2 ¤ x¤ >3x-2에서 ⁄ x¤ -3x+2>0, (x-1)(x-2)>0 ⁄ ∴ x<1 또는 x>2 ⁄, ¤에서 -1<x<1 답 -1<x<10020
{;9!;}≈ -12{;3!;}≈ <-27에서{;3!;}≈ =t (t>0)로 치환하 면 주어진 부등식은 t¤ -12t+27<0, (t-3)(t-9)<0 ∴ 3<t<9 즉, 3<{;3!;}≈ <9에서 {;3!;}—⁄ <{;3!;}≈ <{;3!;}—¤ ∴ -2<x<-1 답 -2<x<-10022
3¤ ≈ -10¥3≈ +9…0에서 3≈ =t (t>0)로 치환하면 주어 진 부등식은 t¤ -10t+9…0, (t-1)(t-9)…0 ∴ 1…t…9 즉, 1…3≈ …9에서 3‚ …3≈ …3¤ ∴ 0…x…2 답 0…x…20021
4≈ -3¥2≈ ±⁄ +8…0에서 2≈ =t (t>0)로 놓으면 주어진 부등식은 t¤ -6t+8…0, (t-2)(t-4)…0 ∴ 2…t…4 즉, 2…2≈ …4에서 2⁄ …2≈ …2¤ ∴ 1…x…2 답 1…x…20023
② a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지난다. ④ a>1이면 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이고, 0<a<1이면 실수 전체의 집합에서 감소하는 함수이다. 답 ④0024
ㄹ. 함수 y={;3!;}≈ 에서 밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 실수 전체의 집합에서 감소하는 함수이다. 즉, x¡<x™이면 f(x¡)>f(x™)이다. (거짓) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ0025
임의의 실수 a, b에 대하여 a<b일 때, f(a)<f(b)를 만족시킨다는 것은 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하 는 함수임을 의미한다. 따라서 f(x)=a≈ 에서 a>1인 함수를 찾으면 된다. ① f(x)=2—≈ ={;2!;}≈ 에서 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 실수 전체 의 집합에서 감소하는 함수이다. ② f(x)=(0.1)≈ ={;1¡0;}≈ 에서 밑 ;1¡0;이 0<;1¡0;<1이므로 실 수 전체의 집합에서 감소하는 함수이다. ③ f(x)={;3!;}—≈ =3≈ 에서 밑 3이 3>1이므로 실수 전체의 집 합에서 증가하는 함수이다. ④ f(x)={;4!;}≈ 에서 밑;4!;이 0<;4!;<1이므로 실수 전체의 집 합에서 감소하는 함수이다. ⑤ f(x)={;5$;}≈ 에서 밑;5$;가 0<;5$;<1이므로 실수 전체의 집 합에서 감소하는 함수이다. 답 ③0026
ㄱ. y=2-x-1=2-(x+1) ={;2!;}x+1이므로 y=2-x-1의 ㄱ. 그래프는 y={;2!;}x의 그래프를 ㄱ. x축의 방향으로 -1만큼 평행 이동한 것이다. ㄱ. 따라서 y=2-x-1의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 임의의 실 수 x에 대하여 f(x)>0이다. (참)ㄴ. y=2≈ 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=2—≈ 이고 다시 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면 y=2-(x+1)=2-x-1이다. (참) ㄷ. y=2-x-1 ={;2!;}x+1에서 0<;2!;<1이므로 ㄷ. 실수 전체의 집합에서 감소하는 함수이다. (참) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ O x y y=2—x-1 1 ;2; 1 y={;2;}1 ≈
0027
⑴ y=2≈ —‹ +1의 그래프는 ⑴y=2≈의 그래프를 x축의 방향 으로 3만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이다. ⑴따라서 y=2≈ —‹ +1의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑴∴ 치역：{y|y>1} ⑵ y={;2!;}x+1-2의 그래프는 ⑴y={;2!;}x의 그래프를 x축의 방 ⑴향으로 -1만큼, y축의 방향으 로 -2만큼 평행이동한 것이다. ⑴ 따라서 y={;2!;}x+1-2의 그래 ⑴프는 오른쪽 그림과 같다. ⑴∴ 치역：{y|y>-2} ⑶ y={;3!;}2-x-3=(3—⁄ )¤ —≈ -3=3≈ —¤ -3이므로 ⑴y={;3!;}2-x-3의 그래프는 ⑴y=3≈의 그래프를 x축의 방향 으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. ⑴따라서 y={;3!;}2-x-3의 그래 ⑴프는 오른쪽 그림과 같다. ⑴∴ 치역：{y|y>-3} ⑷ y=-3x-1-1의 그래프는 ⑴y=3≈의 그래프를 x축에 대하 여 대칭이동한 후 x축의 방향 으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. ⑴따라서 y=-3x-1-1의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다. ⑴∴ 치역：{y|y<-1} 답 풀이 참조 O x y y=-3≈ y=-3≈ -1 —⁄ 4 -;3; y=3x 1 -1 O x y -:9: 26 1 y={;3;} 2-x y=3x 1 -3 -3 O x y -2 -;2;3 1 y={;2;} x -2 1 1 y={;2;} x+1 -2 O 1 x y y=2x-3 +1 y=2≈ ;8;9
0028
ㄱ. y='2¥2≈ =2;2!;¥2≈ =2x+;2!;이므로 y= '2¥2≈ 의 그래 프는 y=2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로-;2!;만큼 평행이동 한 것이다. ㄴ. y= 에서 y=2—≈ 이므로 y= 의 그래프는 y=2≈ 의 그 ㄴ. 래프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이다. ㄷ. y=2≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 -y=2≈ 즉, y=-2≈ 이고 다시 y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=-2≈ +3이다. 따라서 보기 중 y=2≈ 의 그래프를 평행이동하여 겹칠 수 있는 것은 ㄱ뿐이다. 답 ㄱ 1 12≈ 1 12≈0029
⑴ y=9¥{ }≈+1=3¤ ¥{ } ≈+1 =3¤ ¥3—≈ +1=3—≈ ±¤ +1=3-(x-2)+1 이므로 함수 y=3—≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. ∴ a=2, b=1 ∴ ab=2⑵ y=a2x-4+2=a2(x-2)+2 (a>0, a+1)
의 그래프는 y=a¤ ≈의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때 y=a¤ ≈ 의 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 1) 을 지나므로 y=a2x-4+2 의 그래프는 항상 점 (2, 3)을 지 난다. ∴ a=2, b=3 ∴ a+b=2+3=5 답 ⑴ 2 ⑵ 5 1 3 1 3
0030
y=2≈의 그래프가 점 (0, a) 를 지나므로 a=2‚ =1 직선 y=x가 점 (b, a)를 지나므로 a=b ∴ b=1 또한, c=2∫ =2⁄ =2, d=2¤ =4이므로 색칠한 부분의 넓이는 (4-1)_(2-1)=3이다. 답 ③ 2 2 1 1 4 4 y=x y=2≈ O x y0031
y=4≈의 그래프가 두 점 (1, a), (b, 64)를 지나므로 a=4⁄에서 a=4 64=4∫에서 b=3 ∴ a+b=7 답 70032
함수 y=2≈ 의 그래프가 직선 y=8과 만나는 점의 x좌표는 2≈ =8=2‹에서 x=3 ∴ A(3, 8) 함수 y=4≈ 의 그래프가 직선 y=8과 만 나는 점의 x좌표는 4≈ =8에서 2¤ ≈ =2‹ 즉, 2x=3이므로 x=;2#; ∴ B{;2#;, 8} ∴ AB”=3-;2#;=;2#; ∴ △OAB=;2!;_;2#;_8=6 답 6 A 3 y=8 ;2; y=2≈ y=4≈ B 8 1 3 O x y0033
01. 지수함수와 그 그래프 005 단계 채점요소 배점 점 A의 좌표 구하기 40% 점 B의 좌표 구하기 40% △OAB의 넓이 구하기 20% y={;2!;}≈ 의 그래프와 y축과의 교점의 좌표가 (0, 1)이 므로 첫 번째 정사각형의 한 변의 길이는 1, 두 번째 정사각형의 한 변의 길이는{;2!;}⁄ , 세 번째 정사각형의 한 변의 길이는{;2!;}1+;2!;이다. 따라서 세 번째 정사각형의 넓이를 S라고 하면 S=BQ” ¤ =[{;2!;};2#;] ¤ ={;2!;}‹=;8!; 답 ② y P(1, 0) 1 O x y 1 y={;2;}≈ Q {;2;, 0}3 B {;2;, {;2;} }3 1 ;2; 3 A{1, ;2;}1
0034
A=8;4!;=(2‹ );4!;=2;4#; B=‹'∂16=16;3!;=(2› );3!;=2;3$; C=fi'∂32=32;5!;=(2fi );5!;=2⁄ 이고 밑 2가 2>1이므로;4#;<1<;3$;에서 2;4#;<2⁄ <2;3$; ∴ A<C<B 답 ②0035
A='2=2;2!;, B=(0.25)-;3!; ={;4!;}-;3!;=(2—¤ )-;3!;=2;3@; C=fi '8=(2‹ );5!;=2;5#; 이때 밑 2가 2>1이므로 ;2!;<;5#;<;3@;에서 2;2!;<2;5#;<2;3@; ∴ A<C<B 답 ②0036
A= ={ }¤ B= = ={ };3!; C=fiÆ ={ };5!; 이때 밑 이 0< <1이므로 < <2에서 { }¤ <{ } ;3!; <{ } ;5!; ∴ A<B<C 답 ① 1 2 1 2 1 2 1 3 1 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2;3!; 1 ‹'2 1 2 1 2¤0037
0<a<1이고 a<b이므로 aå >a∫ 0<b<1이고 a<b이므로 bå >b∫ 한편, a>0, b>0이고 a<b이므로 aå <bå , a∫ <b∫ 따라서 가장 작은 수는 a∫ 이고, 가장 큰 수는 bå 이다. 답 ②0038
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(a)=2에서 f(2)=a a={ }¤ —¤ +3=1+3=4 또, g(12)=b에서 f(b)=12 { }∫ —¤ +3=12, { }∫ —¤ =9=3¤ 즉, b-2=-2이므로 b=0 ∴ a+b=4+0=4 답 4 1 3 1 3 1 30039
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(4)=a라 하면 f(a)=4 2å =4=2¤ ∴ a=2 g{ }=b라 하면 f(b)= 2∫ = =2—› ∴ b=-4 ∴ g(4)_g{ }=2_(-4)=-8 답 ① 1 16 1 16 1 16 1 160040
0041
f(x)=3≈이라 하면 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(k)=2에서 f(2)=k ∴ k=3¤ =9 답 ⑤0042
( f Á g)(x)=x이므로 함수 g(x)는 함수 f(x)의 역 함수이다. g(16)=k로 놓으면 f(k)=16이므로 { }˚ =16=2› 2—˚ =2› , -k=4 ∴ k=-4 답 ② 다른풀이 ( f Á g)(x)=x에서 x=16을 대입하면 ( f Á g)(16)=f(g(16))=16 g(16)=k라고 하면 { }˚ =16=2› ∴ k=-4 1 2 1 2 y={;2!;}≈ ±⁄ -2에서 주어진 함수는 닫힌 구간 [-2, 1] 에서 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 감소한다.0043
y=3≈ —‹ ¥5› —≈ = ¥{ }≈ 에서 밑 이 0< <1이므로 주어진 함수는 닫힌 구간 [0, 6]에 서 감소한다. 따라서 x=0일 때 최대이고 최댓값은 M= { }‚ = x=6일 때 최소이고 최솟값은 m= { }fl = ∴ Mm= _27=25 답 ④ 25 625 27 27 25 3 5 625 27 625 27 3 5 625 27 3 5 3 5 3 5 625 27
0044
f(x)=3å —≈ =3å ¥3—≈ =3å ¥{ }≈ 에서 밑 이 0< <1이므로 주어진 함수는 닫힌 구간 [-1, 2]에서 감소 한다. 즉, x=-1일 때 최댓값 27을 가지므로 f(-1)=3å ±⁄ =27=3‹ 즉, a+1=3이므로 a=2 ∴ f(x)=3¤ —≈ 이 함수는 x=2일 때 최소이고 최솟값은 f(2)=3¤ —¤ =1 답 1 1 3 1 3 1 30045
단계 채점요소 배점 주어진 함수가 감소하는 함수임을 알아내기 40% a의 값 구하기 30% 최솟값 구하기 30% ⁄ 0<a<1일 때, 최댓값은 f(-1), 최솟값은 f(2) ⁄ 이므로 ⁄ f(-1)=27 f(2)⁄ a—⁄ =27a¤ , a‹ =;2¡7; ⁄ ∴ a=;3!;
¤ a>1일 때, 최댓값은 f(2), 최솟값은 f(-1)이므로
⁄ f(2)=27 f(-1)
⁄ a¤ =27a—⁄ , a‹ =27
⁄∴ a=3 ⁄, ¤에서 모든 실수 a의 값의 합은 ;3!;+3=:¡3º: 답 ⑤
0046
y=4≈ -2≈ ±¤ +1=(2≈ )¤ -4¥2≈ +1이므로 2≈ =t (t>0)로 놓으면 y=t¤ -4t+1=(t-2)¤ -3 이때 -1…x…2이므로 t의 값의 범 위를 구하면 2—⁄ …2≈ …2¤ 에서 ;2!;…t…4 따라서 주어진 함수는 t=2, 즉 x=1일 때 최솟값-3을 가지고, t=4, 즉 x=2일 때 최댓값 1을 가진다. ∴ a+b+c+d=1+(-3)+2+1=1 답 1 O t y -;4; 3 ;2; 1 y=(t-2)2 -3 -3 4 2 10047
y=3≈ ±⁄ -9≈ =3¥3≈ -(3≈ )¤이므로 3≈ =t (t>0)로 놓으면 y=3t-t¤ =-{t- }¤ + 이때 -1…x…1이므로 t의 값의 범 위를 구하면 3—⁄ …3≈ …3⁄ 에서 …t…3 따라서 주어진 함수는 t= 일 때 최댓값 M= 를 가지고, t=3일 때 최솟값 m=3_3-3¤ =0을 가진다. ∴ M+m= +0=9 답 ⑤ 4 9 4 9 4 3 2 1 3 O 3 t y ;4;9 ;9;8 ;2;3 ;3; 1 9 3 y=-{t-;2;}¤+;4; 9 4 3 20048
⑴ y=4≈ -2≈ ±å +b=(2≈ )¤ -2å ¥2≈ +b에서 2≈ =t (t>0)로 놓으면 y=t¤ -2å t+b yy`㉠ 이때 ㉠은 x=1, 즉 t=2⁄ =2일 때 최솟값 -3을 가지므로 y=t¤ -2å t+b=(t-2)¤ -3=t¤ -4t+1 따라서 2å =4, b=1에서 a=2, b=1 ∴ a+b=2+1=3 ⑵ y=9≈ -2¥3≈ ±⁄ +k=(3≈ )¤ -2¥3¥3≈ +k에서 3≈ =t (t>0)로 놓으면 y=t¤ -6t+k=(t-3)¤ -9+k 이때 1…x…2이므로 t의 값의 범 위를 구하면 3⁄ …3≈ …3¤에서 3…t…9 따라서 주어진 함수는 t=9일 때 최대이고 최댓값이 18이 므로 (9-3)¤ -9+k=18 ∴ k=-9 답 ⑴ 3 ⑵ -9 27+k O 3 9 -9+k t y y=(t-3)¤ -9+k0049
x=-2일 때, 최대이고 최댓값은 y={;2!;}—¤ ±⁄ -2=0 x=1일 때, 최소이고 최솟값은 y={;2!;}⁄ ±⁄ -2=-;4&; 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 0+{-;4&;}=-;4&; 답 ②01. 지수함수와 그 그래프 007 y=4—≈ -2⁄ —≈ +3=[{ } ≈ ]¤ -2{ }≈ +3 에서{ }≈ =t (t>0)로 놓으면 y=t¤ -2t+3 =(t-1)¤ +2 이때 -2…x…1이므로 t의 값의 범 위를 구하면 { }⁄ …{ }≈ …{ }—¤ 에서 …t…4 따라서 주어진 함수는 t=1일 때 최솟값 m=2를 가지고, t=4일 때 최댓값 M=(4-1)¤ +2=11을 가진다. ∴ M-m=11-2=9 답 9 1 2 1 2 1 2 1 2 O 11 4 1 2 3 t y 1 ;2; 9 ;4; y=(t-1)¤ +2 1 2 1 2 1 2
0050
단계 채점요소 배점 {;2!;}≈=t로 치환하고 주어진 함수를 t에 대한 식으로 나타내기 30% t의 값의 범위 구하기 20% M, m의 값 구하기 40% M-m의 값 구하기 10% f(x)=x¤ -2x+3으로 놓으면 y={ } x¤ -2x+3 ={ } f(x) 에서 밑 이 0< <1이므로 이 함수는 -1…x…2에서 f(x)가 최대일 때 최솟값을 가지고, f(x)가 최소일 때 최댓값을 가진다. 이때 f(x)=x¤ -2x+3=(x-1)¤ +2 이므로 -1…x…2에서 f(x)는 x=1 일 때 최솟값 2를 가지고, x=-1일 때 최댓값 6을 가진다. 따라서 함수 y={ }f(x)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하면 M={ }¤ = , m={ }fl = ∴ = = 1 답 ① 16 ;6¡4; ;4!; m M 1 64 1 2 1 4 1 2 1 2 O 2 6 1 -1 2 x y f(x)=(x-1)¤ +2 1 2 1 2 1 2 1 20051
이때 g(x)=x¤ +2x+5=(x+1)¤ +4이므로 g(x)는 x=-1 일 때, 최솟값 4를 가진다. 따라서 함수 ( f Á g)(x)는 x=-1일 때, 최솟값 2› =16을 가 진다. 따라서 a=-1, m=16이므로 a+m=-1+16=15 답 ③ ( fΩg)(x)=f(g(x))=2g(x) y=2g(x)에서 밑 2가 2>1이므로 이 함수는 g(x)가 최소일 때 최솟값을 가진다.0052
f(x)=-x¤ +2x+2로 놓으면 y=a-x¤ +2x+2=af(x)에 서 0<a<1이므로 이 함수는 f(x)가 최대일 때 최솟값을 가 진다. 이때 f(x)=-x¤ +2x+2=-(x-1)¤ +3이므로 f(x)는 x=1일 때, 최댓값 3을 가진다. 따라서 주어진 함수의 최솟값은 a‹ 이고, 이 값이;6¡4;이므로 a‹ =;6¡4; ∴ a=;4!; 답 ③0053
⑴ f(x)=|x-1|로 놓으면 y=3|x-1|-1 , 즉 y=3f(x)-1 에 서 밑 3이 3>1이므로 이 함수는 f(x)가 최대일 때 최댓값을 가지 고, f(x)가 최소일 때 최솟값을 가진다. 이때 -2…x…2에서 0…f(x)…3이므로 주어진 함수의 최솟값은 3‚ -1=0이고, 최댓값은 3‹ -1=26이다. 따라서 구하는 치역은 {y|0…y…26} ⑵ f(x)=x¤ -4x+b로 놓으면 함수 y=ax¤ -4x+b=af(x)에서 0<a<1이므로 주어진 함수는 f(x)가 최소일 때 최댓값 을 가지고, f(x)가 최대일 때 최솟값을 가진다. 이때 f(x)=x¤ -4x+b=(x-2)¤ +b-4이므로 2…x…3 에서 f(x)는 x=2일 때 최솟값 b-4를 가지고, x=3일 때 최댓값 b-3을 가진다.따라서 함수 y=af(x)의 최댓값은 a∫ —› 이고, 최솟값은 a∫ —‹ 이 다. 함수 y=ax¤ -4x+b의 최댓값이 8, 최솟값이 이므로 a∫ —› =8 yy㉠ a∫ —‹ = yy㉡ ㉡÷㉠을 하면 a= ㉡에서{ }∫ —‹ = , { }4(b-3)= 4(b-3)=1 ∴ b= ∴ =111:¡4£: =52 답 ⑴ {y|0…y…26} ⑵ 52 ;1¡6; b a 13 4 1 2 1 2 1 2 1 16 1 16 1 2 1 2 O 1 1 3 2 -2 x y f(x)=|x-1|
0054
2≈ >0, {;2!;}≈ =2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 h(x)=f(x)+g(x)+4 =2≈ +2—≈ +4 æ2"√2≈ ¥2—≈ +4=6 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 따라서 h(x)의 최솟값은 6이다. 답 ③
0055
3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=3≈ +3—≈ æ2"√3≈ ¥3—≈ =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 따라서 함수 f(x)의 최솟값은 2이다. 답 ②0056
4≈ >0, 4—≈ ±‹ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계 에 의하여 f(x)=4≈ +4—≈ ±‹ æ2"√4≈ ¥4—≈ ±‹ =16 이때 등호가 성립하는 경우는 4≈ =4—≈ ±‹ , 즉 x=;2#;일 때이다. 따라서 함수 f(x)는 x=;2#;일 때 최솟값 16을 가지므로 ab=;2#;_16=24 답 240057
단계 채점요소 배점 산술평균과 기하평균의 관계 적용하기 60% ab의 값 구하기 40% ⑴ +3¥ =3—≈ +3¥에서 3—≈ >0, 3¥ >0이므로 산술 평균과 기하평균의 관계에 의하여 +3¥ =3—≈ +3¥ æ2"√3—≈ ¥3¥ =2"√3—≈ ±¥ =2øπ3-(x-y) =2"ç3—¤ (∵ x-y=2) = 이때 등호가 성립하는 경우는 3—≈ =3¥ , 즉 -x=y일 때이다. 그런데 x-y=2이므로 x=1, y=-1일 때, 등호가 성립 한다. 따라서 구하는 최솟값은 이다. ⑵ 9≈ >0, 3y+3>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 9≈ +3¥ ±‹ æ2"√9≈ ¥3y+3 =2øπ32x+y+3 =2"≈3¤ (∵ 2x+y+1=0) =6 2 3 2 3 1 3≈ 1 3≈ 이때 등호가 성립하는 경우는 9≈ =3¥ ±‹ , 즉 2x=y+3일 때 이다. 그런데 2x+y+1=0이므로 x= , y=-2일 때, 등호가 성립한다. 따라서 구하는 최솟값은 6이다. ⑶ 3a+x+3a-xæ 2"√3a+x¥3a-x =2"ç32a =2¥3å (단, 등호는 x=0일 때 성립)따라서 함수 y=3a+x+3a-x의 최솟값은 2¥3å 이고 이 값이
54이므로 2¥3å =54, 3å =27=3‹ ∴ a=3 답 ⑴ 23 ⑵ 6 ⑶ 3 1 2
0058
3≈ +3—≈ =t로 놓으면 3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균 과 기하평균의 관계에 의하여 t=3≈ +3—≈ æ2"√3≈ ¥3—≈ =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 이때 9≈ +9—≈ =(3≈ +3—≈ )¤ -2이므로 주어진 함수는 y=6(3≈ +3—≈ )-(9≈ +9—≈ ) y=6t-(t¤ -2) y=-t¤ +6t+2 y=-(t-3)¤ +11 tæ2이므로 주어진 함수는 t=3일 때, 최댓값 11을 가진다. 답 ③0059
"≈2≈ +"≈2—≈ =2;2!;x+2-;2!;x=t로 놓으면 2;2!;x>0, 2-;2!;x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t=2;2!;x+2-;2!;xæ2øπ
2;2!;x¥2-;2!;x=2 이때 2≈ +2—≈ =(2;2!;x+2-;2!;x)¤ -2=t¤ -2이므로 주어진 함수는 y=2≈ +2—≈ -("ç2≈ +"ç2—≈ )=t¤ -2-t=t¤ -t-2 y={t-;2!;}¤ -;4(; tæ2이므로 주어진 함수는 t=2일 때 최솟값 0을 가진다. 답 ①0060
5≈ +5—≈ =t로 놓으면 5≈ >0, 5—≈ >0이므로 산술평균 과 기하평균의 관계에 의하여 t=5≈ +5—≈ æ2"√5≈ ¥5—≈ =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 이때 25≈ +25—≈ =(5≈ +5—≈ )¤ -2=t¤ -2이므로 주어진 함수는 y=2(5≈ +5—≈ )-(25≈ +25—≈ )+3 =2t-(t¤ -2)+3=-(t-1)¤ +6 tæ2이므로 주어진 함수는 t=2일 때, 최댓값 5를 가진다. 답 ③0061
2≈ +2—≈ =t로 놓으면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균 과 기하평균의 관계에 의하여 t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립)0062
01. 지수함수와 그 그래프 009 이때 4≈ +4—≈ =(2≈ +2—≈ )¤ -2=t¤ -2이므로 주어진 함수는 y=4≈ +4—≈ -3(2≈ +2—≈ )+;2!;=(t¤ -2)-3t+;2!; y=t¤ -3t-;2#;={t-;2#;}¤-:¡4∞: tæ2이므로 주어진 함수는 t=2일 때 최솟값 -;2&;을 가진다. 따라서 x=0일 때 t=2이므로 a=0, b=-;2&; ∴ a+b=0+{-;2&;}=-;2&; 답 ④ {;9!;} x¤ ¥27≈ ='3에서 3-2x¤¥3‹ ≈ =3;2!; 3-2x¤ +3x=3;2!; 즉, -2x¤ +3x=;2!;에서 4x¤ -6x+1=0 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 ;2#;이다. 답 ③
0063
⑴ 82x+3 =4 ‹'2에서 23(2x+3) =2¤ ±;3!;이므로 6x+9=2+ ∴ x=-⑵{ }x¤={ }3x-4에서 { } x¤ ={ } -(3x-4) 이므로 x¤ =-(3x-4), x¤ +3x-4=0 (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 ⑶ (64≈ )≈ =4› ≈ 에서 (4‹ ≈ )≈ =4› ≈ , 43x¤=4› ≈이므로 3x¤ =4x, 3x{x- }=0 ∴ x=0 또는 x= 답 ⑴ x=- ⑵ x=-4 또는 x=1 답 ⑶ x=0 또는 x=43 10 9 4 3 4 3 2 3 2 3 3 2 2 3 10 9 1 30064
3x¤ -10x-27-2x+a=0에서 3x¤ -10x=33(-2x+a) 이므로 x¤ -10x=3(-2x+a) x¤ -4x-3a=0 yy`㉠ 이 방정식의 한 근이 -2이므로 (-2)¤ -4_(-2)-3a=0 ∴ a=4 이때 ㉠은 x¤ -4x-12=0이므로 (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 따라서 다른 한 근은 6이다. 답 60065
=16에서 2x¤ +1-(x-1)=2› 2x¤ -x+2=2› 즉, x¤ -x+2=4이므로 x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 따라서 a=-1, b=2 또는 a=2, b=-1이므로 a¤ +b¤ =(-1)¤ +2¤ =5 답 5 2x¤ +1 2x-10066
(x+7)≈ ±⁄ =4≈ ±⁄ 에서 ⁄x+7+0일 때 ⁄x+7=4이므로 x=-3 ¤x+1=0, 즉 x=-1일 때 ⁄주어진 방정식은 6‚ =4‚ =1이므로 성립한다. ⁄, ¤에서 x=-3 또는 x=-1 따라서 모든 근의 합은 -3+(-1)=-4 답 ③0067
xx¤ -8=x2x+7에서 ⁄x+1일 때 ⁄x¤ -8=2x+7, x¤ -2x-15=0 ⁄(x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5 ⁄그런데 x>0이므로 x=5 ¤x=1일 때 ⁄주어진 방정식은 1—‡ =1· =1이므로 성립한다. ⁄, ¤에서 x=1 또는 x=5 따라서 모든 근의 합은 1+5=6 답 60068
⑴ (x-2)≈ —‹ =(2x-3)≈ —‹ (단, x>2) 에서 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다. ⁄ x-2=2x-3일 때 x=1 그런데 x>2이므로 해는 없다. ¤ x-3=0, 즉 x=3일 때 주어진 방정식은 1‚ =3‚ =1이므로 성립한다. ⁄, ¤에서 x=3 ⑵ (x+2)‹ —¤ ≈ =(x+2)x¤ (단, x>-2) 에서 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1이어야 한다. ⁄ 3-2x=x¤일 때 x¤ +2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 그런데 x>-2이므로 x=1 ¤ x+2=1, 즉 x=-1일 때0069
⑴ (x-1)x¤ -3x+2 =1에서 ⁄ x¤ -3x+2=0일 때 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 그런데 x>1이므로 x=2 ¤ x-1=1일 때 x=2 ⁄, ¤에서 x=2 따라서 모든 정수 x의 값의 합은 2 ⑵ ⁄ x+3=0, 즉 x=-3일 때 주어진 방정식은 13‚ =1이므로 성립한다. ¤ x¤ -x+1=1일 때 x¤ -x=0, x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 ⁄, ¤에서 x=-3 또는 x=0 또는 x=1 따라서 모든 정수 x의 값의 합은 -3+0+1=-2 답 ⑴ 2 ⑵ -2
0070
9≈ +27≈ =10¥3≈ ±¤에서 (3≈ )¤ +(3≈ )‹ =90¥3≈ 이때 3≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ +t‹ =90t t‹ +t¤ -90t=0 t(t+10)(t-9)=0 t>0이므로 t=9 3≈ =9=3¤에서 x=2 ∴ a=2 ∴ 2a =2¤ =4 답 ②0071
⑴ 4≈ -9¥2≈ +8=0에서 (2≈ )¤ -9¥2≈ +8=0 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -9t+8=0, (t-1)(t-8)=0 ∴ t=1 또는 t=8 즉, 2≈ =1=2‚ 또는 2≈ =8=2‹ ∴ x=0 또는 x=3 ⑵ 5≈ ±⁄ -5—≈ =4에서 5¥5≈ - -4=0 이때 5≈ =t (t>0)로 놓으면 5t- -4=0, 5t¤ -4t-1=0 (t-1)(5t+1)=0 ∴ t=1 또는 t=-15 1 t 1 5≈ 그런데 t>0이므로 t=1 즉, 5≈ =1=5‚ ∴ x=0 ⑶ 4—≈ -5¥2—≈ ±⁄ +16=0에서 (2—≈ )¤ -10¥2—≈ +16=0 이때 2—≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -10t+16=0 (t-2)(t-8)=0 ∴ t=2 또는 t=8 즉, 2—≈ =2=2⁄ 또는 2—≈ =8=2‹ ∴ x=-1 또는 x=-3 답 ⑴ x=0 또는 x=3 ⑵ x=0 답 ⑶ x=-1 또는 x=-30072
a¤ ≈ -a≈ =6에서 (a≈ )¤ -a≈ -6=0에서 이때 a≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -t-6=0, (t+2)(t-3)=0 ∴ t=-2 또는 t=3 그런데 t>0이므로 t=3 즉, a≈ =3이므로 x=;4!;을 대입하면 a;4!;=3 ∴ a=3› =81 답81
0073
9≈ -4¥3≈ ±⁄ +27=0에서 (3≈ )¤ -12¥3≈ +27=0 yy`㉠ 이때 3≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -12t+27=0 yy`㉡ ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 3a, 3b 이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 3a ¥3b =27, 3a+b =3‹ ∴ a+b=3 답 ①0074
⑴ 3¤ ≈ -4¥3≈ -k=0 yy`㉠ 에서 3≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -4t-k=0 yy`㉡ ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 3a , 3b 이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 3a ¥3b =-k, 3a+b=-k 이때 a+b=-1이므로 3—⁄ =-k ∴ k=-;3!; ⑵ 4≈ -7¥2≈ +12=0 yy㉠ 에서 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -7t+12=0 yy`㉡ ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 2a , 2b 이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2a +2b =7, 2a ¥2b =12 ∴ 22a+22b=(2a )¤ +(2b )¤ =(2a +2b )¤ -2¥2a ¥2b0075
주어진 방정식은 1fi =1⁄ =1이므로 성립한다. ⁄, ¤에서 x=1 또는 x=-1 답 ⑴ x=3 ⑵ x=1 또는 x=-101. 지수함수와 그 그래프 011 =7¤ -2_12=49-24=25 답 ⑴ -;3!; ⑵ 25 2≈ =X (X>0), 3¥ =Y (Y>0)로 놓으면 주어진 연 립방정식은 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 X=8, Y=9 즉, 2≈ =8=2‹ 에서 x=3, 3¥ =9=3¤ 에서 y=2 따라서 a=3, b=2이므로 a+b=5 답 ③ [ X+2Y=26 yy㉠ 2X-Y=7 yy㉡
0076
3≈ =X(X>0), 3¥ =Y(Y>0)로 놓으면 주어진 연 립방정식은 ㉠에서 Y=:™3•:-X이므로 이것을 ㉡에 대입하면 X{:™3•:-X}=3, X¤ -:™3•:X+3=0 3X¤ -28X+9=0, (3X-1)(X-9)=0 ∴ X=;3!;, Y=9 또는 X=9, Y=;3!; 즉, 3≈ =;3!;, 3¥ =9 또는 3≈ =9, 3¥ =;3!; 따라서 x=-1, y=2 또는 x=2, y=-1이므로 `a¤ +b¤ =(-1)¤ +2¤ =5 답 5 X+Y=:™3•: yy㉠ XY=3 yy㉡ ( “ 90077
2x+y+1=2¥2≈ ¥2¥ , 2y+2 =4¥2¥ , 2x+1 =2¥2≈ 이므로 2≈ =X(X>0), 2¥ =Y(Y>0)로 놓으면 주어진 연립방정식 은 ㉠에서 Y=X-2이므로 이것을 ㉡에 대입하면 2X(X-2)-4(X-2)=2X, X¤ -5X+4=0 (X-1)(X-4)=0 ∴ X=4, Y=2 (∵ X>2) 즉, 2≈ =4=2¤ , 2¥ =2=2⁄ 이므로 x=2, y=1 ∴ x+y=2+1=3 답 ⑤ [ X-Y=2 yy㉠ 2XY-4Y=2X yy㉡0078
㉠에서 ⁄x+0일 때 ⁄x+1=2 ∴ x=1 ¤x=0일 때 ⁄주어진 방정식은 1‚ =2‚ =1이므로 성립한다. ⁄, ¤에서 x=0 또는 x=1 ㉡에서 (3≈ )¤ -2¥3≈ -3=0 [ (x+1)≈ =2≈ yy㉠ 9≈ -2¥3≈ -3=0 yy㉡ 이때 3≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -2t-3=0, (t+1)(t-3)=0 ∴ t=3 (∵ t>0) 즉, 3≈ =3=3⁄ 이므로 x=1 ㉠, ㉡에서 두 방정식을 모두 만족시키는 x의 값은 1이다. 답 10079
단계 채점요소 배점 방정식 (x+1)≈ =2≈ 풀기 40% 방정식 9≈ -2¥3≈ -3=0 풀기 40% 두 방정식을 모두 만족시키는 x의 값 구하기 20% {;3!;}¤ ≈ ±⁄ <{ }—≈ 에서{;3!;}¤ ≈ ±⁄ <{;3!;} -;2{; 이때 밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 2x+1>-;2{;, ;2%;x>-1 ∴ x>-;5@; 답 ① 1 143 '30080
4≈ >{;2!;}⁄ —≈ 에서 2¤ ≈ >(2—⁄ )⁄ —≈ , 2¤ ≈ >2≈ —⁄ 이때 밑 2가 2>1이므로 2x>x-1 ∴ x>-1 답 ①0081
{;2!;}‹ ≈ æ;6¡4;에서 {;2!;}‹ ≈ æ{;2!;}fl 이때 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 3x…6 ∴ x…2 ∴ A={x|x…2} 27x¤ -5x-8 <9x¤ -5x에서 33(x¤ -5x-8) <32(x¤ -5x) 이때 밑 3이 3>1이므로 3(x¤ -5x-8)<2(x¤ -5x), x¤ -5x-24<0 (x+3)(x-8)<0 ∴ -3<x<8 ∴ B={x|-3<x<8} 따라서 A;B={x|-3<x…2}이므로 집합 A;B에 속하는 정수는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다. 답 50082
{;1¡0;} f(x) …{;1¡0;}g(x)에서 밑;1¡0;이 0<;1¡0;<1이므로 f(x)æg(x) 따라서 주어진 부등식의 해는 곡선 y=f(x)가 직선 y=g(x) 보다 위쪽에 있거나 만날 때의 x의 값의 범위이므로 x…a또는 0…x…c 답 ②0083
부등식 x≈ —⁄ æx—≈ ±fi 에서 ⁄`0<x<1일 때 ¤`x-1…-x+5에서 x…3 ¤`∴ 0<x<1 ¤`x=1일 때 ¤`주어진 부등식은 1‚ =1› =1이므로 성립한다. ¤`∴ x=1 ‹`x>1일 때 ¤`x-1æ-x+5에서 xæ3 ¤`∴ xæ3 ⁄, ¤, ‹에서 0<x…1또는 xæ3 답 ③
0084
부등식 x3x+1>xx+5 에서 ⁄`0<x<1일 때 ¤`3x+1<x+5에서 x<2 ¤`∴ 0<x<1 ¤`x=1일 때 ¤`주어진 부등식은 1› >1fl 이므로 성립하지 않는다. ¤`∴ x+1 ‹`x>1일 때 ¤`3x+1>x+5에서 x>2 ¤`∴ x>2 ⁄, ¤, ‹에서 0<x<1 또는 x>2 답 ④0085
xx¤ +3<x4x 에서 x>1이므로 x¤ +3<4x, x¤ -4x+3<0 (x-1)(x-3)<0 ∴ 1<x<3 답 ②0086
x2x¤ -5x> 에서 x2x¤ -5x>x—¤ yy`㉠ ⁄ 0<x<1일 때 ㉠에서 2x¤ -5x<-2, 2x¤ -5x+2<0 (2x-1)(x-2)<0 ∴;2!;<x<2 그런데 0<x<1이므로;2!;<x<1 ¤ x=1일 때 ㉠에서 1—‹ >1—¤ 이므로 성립하지 않는다. ∴ x+1 ‹ x>1일 때 ㉠에서 2x¤ -5x>-2, 2x¤ -5x+2>0 (2x-1)(x-2)>0 ∴ x<;2!; 또는 x>2 그런데 x>1이므로 x>2 ⁄, ¤, ‹에서;2!;<x<1 또는 x>2이므로 1 x¤ a=;2!;, b=1, c=2 ∴ abc=1 답 10087
4—≈ -5¥{;2!;}≈ —⁄ +16<0에서 {;2!;}¤ ≈ -10¥{;2!;}≈ +16<0 이때{;2!;}≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -10t+16<0, (t-2)(t-8)<0 ∴ 2<t<8 즉, {;2!;}—⁄ <{;2!;}≈ <{;2!;}—‹ 에서 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 -3<x<-1 따라서 a=-3, b=-1이므로 a+b=-4 답 -40088
⑴ 4≈ ±⁄ -9¥2≈ +2…0에서 ⑴4¥2¤ ≈ -9¥2≈ +2…0 ⑴이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 ⑴4t¤ -9t+2…0, (4t-1)(t-2)…0 ⑴∴;4!;…t…2 ⑴즉, 2—¤ …2≈ …2⁄ 에서 밑 2가 2>1이므로 -2…x…1 ⑵{;3!;}¤ ≈ +{;3!;}≈ ±¤ >{;3!;}≈ —¤ +1에서 ⑵[{;3!;}≈]¤ +;9!;¥{;3!;}≈ >9¥{;3!;}≈ +1 ⑵이때{;3!;}≈ =t (t>0)로 놓으면 ⑵t¤ +;9!;t>9t+1, 9t¤ -80t-9>0 ⑵(9t+1)(t-9)>0 ⑵∴ t>9 (∵ t>0) ⑵즉, {;3!;}≈ >{;3!;}—¤ 이고 밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 x<-2 ⑶ 3¤ ≈ ±⁄ -28¥3≈ +9<0에서 3¥3¤ ≈ -28¥3≈ +9<0 이때 3≈ =t (t>0)로 놓으면 3t¤ -28t+9<0, (3t-1)(t-9)<0 ∴;3!;<t<9 즉, 3—⁄ <3≈ <3¤ 이고 밑 3이 3>1이므로 -1<x<2 답 ⑴ -2…x…1 ⑵ x<-2 ⑶ -1<x<20089
4≈ ±⁄ +a¥2≈ +b…0에서 4¥(2≈ )¤ +a¥2≈ +b…0 yy`㉠
이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면
4t¤ +at+b…0 yy㉡ ㉠의 해가 -3…x…2이므로 2—‹ …2≈ …2¤ , 즉 ;8!;…t…4 따라서 ㉡의 해가;8!;…t…4이므로
01. 지수함수와 그 그래프 013
4{t-;8!;}(t-4)…0, 4t¤ -:£2£:t+2…0
따라서 a=-:£2£:, b=2이므로
ab=-33 답 ④
a¤ ≈ -28¥a≈ +b<0 yy`㉠ 에서 a≈ =t (t>0)로 놓으면
t¤ -28t+b<0 yy`㉡ ㉠의 해가 0<x<3이고 a>1이므로
a‚ <a≈ <a‹ , 즉 1<t<a‹
따라서 ㉡의 해가 1<t<a‹ 이므로
(t-1)(t-a‹ )<0, t¤ -(a‹ +1)t+a‹ <0
따라서 a‹ +1=28, a‹ =b이므로 a‹ =27=3‹ ∴ a=3, b=27 ∴ a+b=3+27=30 답 30
0091
2≈ —⁄ …2x¤…8¥2¤ ≈에서 2≈ —⁄ …2x¤ …2¤ ≈ ±‹ 이때 밑 2가 2>1이므로 x-1…x¤ …2x+3 ⁄x-1…x¤에서 ⁄x¤ -x+1={x-;2!;}¤ +;4#;æ0 ⁄따라서 모든 실수 x에 대하여 성립한다. ¤x¤ …2x+3에서 ⁄x¤ -2x-3…0, (x+1)(x-3)…0 ⁄∴ -1…x…3 ⁄,`¤의 공통 범위는 -1…x…3 따라서 모든 정수 x의 값의 합은 -1+0+1+2+3=5 답 ①0092
⑴{;4!;}x+2=(2—¤ )x+2=2-2x-4 '8=(2‹ );2!;=2;2#; {;2!;} 2x-3 =(2—⁄ )2x-3=2-2x+3 따라서 주어진 부등식은 2-2x-4<2;2#;<2-2x+3 이때 밑 2가 2>1이므로 -2x-4<;2#;<-2x+3 즉, -4x-8<3<-4x+6 ⁄ -4x-8<3에서 x>-:¡4¡: ¤ 3<-4x+6에서 x<;4#; ⁄, ¤의 공통 범위는 -:¡4¡:<x<;4#; ⑵{;3!;}x+2<{;3!;}x¤<{;3!;}3x-2에서 밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 3x-2<x¤ <x+2 ⁄ 3x-2<x¤에서 x¤ -3x+2>0, (x-1)(x-2)>0 ∴ x<1 또는 x>2 ¤ x¤ <x+2에서 x¤ -x-2<0, (x+1)(x-2)<0 ∴ -1<x<2 ⁄, ¤의 공통 범위는 -1<x<1 ⑶{;3!;}≈ <‹'3<{;9!;}≈ —⁄ 에서 3—≈ <3;3!;<3-2(x-1) 이때 밑 3이 3>1이므로 -x<;3!;<-2(x-1) ⁄-x<;3!;에서 x>-;3!; ¤ ;3!;<-2(x-1)에서 2x<2-;3!;, 2x<;3%; ∴ x<;6%%; ⁄, ¤의 공통 범위는 -;3!;<x<;6%%; ⑷ ⁄;8¡1;…3≈ …;9!;에서 ¤3—› …3≈ …3—¤ ¤이때 밑 3이 3>1이므로 -4…x…-2 ¤ {;2!;}≈ ±⁄ …64…{;4!;}≈ 에서 ¤{;2!;}≈ ±⁄ …{;2!;}—fl …{;2!;}¤ ≈ ¤이때 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 2x…-6…x+1 ¤∴ -7…x…-3 ⁄, ¤의 공통 범위는 -4…x…-3 답 ⑴ -:¡4¡:<x<;4#; ⑵ -1<x<1 답 ⑶ -;3!;<x<;6%%; ⑷ -4…x…-30093
9≈ -12¥3≈ +27=0에서 3≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -12t+27=0, (t-3)(t-9)=0 ∴ t=3 또는 t=9 즉, 3≈ =3=3⁄ 또는 3≈ =9=3¤ 이므로 x=1또는 x=2 ∴ A={1, 2} 또{;4!;}≈ -{;2!;}≈ <12에서{;2!;}≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -t-12<0, (t+3)(t-4)<0 ∴ -3<t<4 그런데 t>0이므로 0<t<4 즉, 0<{;2!;}≈ <{;2!;}—¤ 이고 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 x>-2 ∴ B={x|x>-2} ∴ A;B={1, 2} 답 {1, 2}0094
2¤ ≈ -2≈ ±⁄ +k>0에서 (2≈ )¤ -2¥2≈ +k>0 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -2t+k>0, 즉 (t-1)¤ -1+k>0 yy`㉠ t>0일 때, 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 -1+k>0이어야 한다. ∴ k>1 따라서 구하는 정수 k의 최솟값은 2이다. 답 ③
0096
2≈ ±⁄ -2 +aæ0에서 2≈ ±⁄ =2¥2≈ =2¥(2;2{;)¤ , 2 =2¤ ¥2;2{; 이므로 2;2{;=t (t>0)로 놓으면 주어진 부등식은 2t¤ -4t+aæ0, 2(t-1)¤ +a-2æ0 yy㉠ t>0일 때, 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 a-2æ0 이어야 한다. ∴ aæ2 따라서 구하는 실수 a의 최솟값은 2이다. 답 ② x+4 1132 x+4 11320097
3† =a (a>0)로 놓으면 3x¤ -(a+3)x+(a+3)>0 위의 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방 정식 3x¤ -(a+3)x+(a+3)=0의 판별식 D<0이어야 한다. D=(a+3)¤ -4¥3(a+3)<0 (a+3)(a-9)<0 ∴ -3<a<9 그런데 a>0이므로 0<a<9 즉, 0<3† <3¤ 이므로 t<2 답 ⑤0098
1024=2⁄ ‚ , ;4!;=2—¤ 이므로 물질의 양이 절반으로 감소 하는 횟수를 x회라고 하면 2⁄ ‚ ¥{;2!;}≈ =2—¤ , {;2!;}≈ =2—⁄ ¤ ∴ x=12 따라서 50년마다 그 양이 ;2!;씩 감소하므로 50_12=600(년) 답 ⑤0099
x시간이 경과한 후 세균 A의 수는 2¥2≈ 마리, 세균 B 의 수는 4¥4≈ 마리이다. 두 상자의 세균 수의 합이 72마리 이상이므로 2¥2≈ +4¥4≈ æ72 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 2t+4t¤ æ72, 2t¤ +t-36æ0 (t-4)(2t+9)æ0 ∴ tæ4 (∵ t>0) 즉, 2≈ æ4=2¤ 이므로 xæ2 따라서 최소 2시간이 경과한 것이다. 답 ①0100
살충제를 살포하기 전 해충의 수를 a마리라고 하면 살충제 살포 직후부터 x시간 후의 해충의 수는 a¥{;2!;};6{;마리 이때 처음 해충의 수의;3¡2;이 되려면 a¥{;2!;};6{;=;3¡2;a에서 {;2!;} ;6{; =;3¡2;={;2!;}fi 즉, ;6{;=5이므로 x=30 따라서 처음 해충의 수의;3¡2;이 되기까지 30시간이 걸린다. 답 300101
단계 채점요소 배점 처음 해충의 양을 a로 놓고 살충제 살포 직후부터 x시간 후의 해충의 양을 식으로 나타내기 30% 지수방정식 세우기 50% x의 값 구하기 20% 처음 두 배양기 A, B에 있던 박테리아의 수를 각각 a 마리라고 하면 t시간 후의 배양기 A에 있는 박테리아의 수는 a¥2†마리, 배양기 B에 있는 박테리아의 수는 a¥4;3T;마리이므로 두 배양기 A, B에 있는 박테리아의 수의 합이 처음 수의 40배 가 되려면a¥2† +a¥4;3T;=40(a+a)
a>0이므로 2† +2;3@;t=80 이때 2;3T;=X(X>0)로 놓으면
0102
⁄ 2¤ ≈ ±⁄ -33¥2≈ —¤ …-1에서 2¥(2≈ )¤ -:£4£:¥2≈ +1…0 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 2t¤ -:£4£:t+1…0 8t¤ -33t+4…0 (t-4)(8t-1)…0 ∴;8!;…t…4 즉, 2—‹ …2≈ …2¤ 이고 밑 2가 2>1이므로 -3…x…2 ¤ 9≈ +3≈ >12에서 (3≈ )¤ +3≈ -12>0 이때 3≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ +t-12>0 (t+4)(t-3)>0 ∴ t<-4 또는 t>3 그런데 t>0이므로 t>3 즉, 3≈ >3⁄ 이고 밑 3이 3>1이므로 x>1 ⁄, ¤의 공통 범위는 1<x…2 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3 답 30095
01. 지수함수와 그 그래프 015 X‹ +X¤ =80, X‹ +X¤ -80=0 (X-4)(X¤ +5X+20)=0 ∴ X=4 즉, 2;3T;=4=2¤에서 ;3T;=2 ∴ t=6 따라서 두 배양기 A, B에 있는 박테리아의 수의 합이 처음 수 의 40배가 되는 것은 6시간 후이다. 답 6 ㄱ. 점근선이 직선 y=5이므로 치역은 {y|y>5}이다. (참) ㄴ. 지수함수 y=3—≈ , 즉 y={;3!;}≈ 의 그래프를 평행이동한 그 래프이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. (참) ㄷ. y={;3!;}¤ ≈ ={;9!;}≈ 이때 y=3—≈ —⁄ +5={;3!;}≈ ±⁄ +5에서 밑이 다르므로 평행이 동하여 서로 겹쳐질 수 없다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ②
0103
y=-3≈ ±⁄ +2의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 x축에 대 하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 [그림 1]과 같다. 따라서 y축에 대하여 대칭이동한 그래프는 [그림 2]와 같다. [그림 1] [그림 2] 답 ④ O 2 -1 x x y O 2 -1 y0104
{;3!;}—‹ ≈ =3x¤ -4에서 3‹ ≈ =3x¤ -4 3x=x¤ -4, x¤ -3x-4=0, (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 따라서 모든 해의 곱은 (-1)_4=-4 답 ③0105
125≈ —¤ <(0.2)› —≈에서 53(x-2) <{;5!;}› —≈ , 53x-6 <5-4+x 이때 밑 5는 5>1이므로 3x-6<-4+x ∴ x<1 답 ②0106
A=‹ '∂0.25=‹Æ;4!;={;2!;};3@; B=2-;2#; ={;2!;};2#; C=› "√32—⁄ =›Æ¬;3¡2;={;2!;};4%; 이때 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 {;2!;} ;2#; <{;2!;};4%;<{;2!;};3@; ∴ B<C<A 답 ③0107
y={;2!;}≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 -y={;2!;}≈ ∴ y=-2—≈y=-2—≈의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로
b만큼 평행이동하면 y=-2-(x-a)+b 이 그래프가 점 (-1, -1)을 지나므로 -1=-2⁄ ±å +b yy㉠ 점 (-2, -9)를 지나므로 -9=-2¤ ±å +b yy㉡ ㉠-㉡을 하면 8=2¤ ±å -2⁄ ±å 2‹ =(2-1)_2⁄ ±å 즉, 3=1+a이므로 a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 -1=-2⁄ ±¤ +b ∴ b=7 ∴ a+b=2+7=9 답 9
0108
ㄱ. y={;3!;}≈ +5=3—≈ +5이므로 y={;3!;}≈ +5의 그래 프는 y=3≈ 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이다. ㄴ. y=-3≈ -2의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이 다. ㄷ. y=3≈ ±⁄ -3의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. ㄹ. y=3¥{;3!;}2x-1=3¥3-2x+1=3-2x+2 이므로 평행이동 또는 대칭이동에 의하여 y=3≈ 의 그래프 와 겹쳐질 수 없다.ㅁ. y=9¥3≈ =3≈ ±¤ 이므로 y=9¥3≈ 의 그래프는 y=3≈ 의 그래프 를 x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. ㅂ. y=3¤ ≈ —⁄ +9는 평행이동 또는 대칭이동에 의하여 y=3≈ 의 그래프와 겹쳐질 수 없다. 따라서 평행이동 또는 대칭이동시킬 때 함수 y=3≈ 의 그래프와 겹쳐지는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ이다. 답④
0109
{;8!;}¤ ≈ ±⁄ <32<{;2!;}‹ ≈ —· 에서 {;2!;} 3(2x+1) <{;2!;}—fi <{;2!;}‹ ≈ —· 이때 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로0110
f(a)f(b)=3å ¥3∫ =3å ±∫ =81=3› { f(a)}∫ =(3å )∫ =3å ∫ =27=3‹ 이므로 a+b=4, ab=3 따라서 a=3, b=1 또는 a=1, b=3이므로 f(a)+f(b)=3⁄ +3‹ =30 답 30
0111
y=2≈의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=2—≈ 이 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평 행이동하면 y=2-(x-a)+b 그런데 이 그래프의 점근선이 직선 y=-2이므로 b=-2 또, 그래프가 원점을 지나므로 0=2å -2, 2å =2=2⁄ ∴ a=1 ∴ a-b=1-(-2)=3 답 30112
2å =b, 2∫ =c, 2ç =d이므로 2å ±∫ —ç =2å ¥2∫ ¥2—ç 2å ±∫ —ç=b¥c¥;d!; 2å ±∫ —ç=12bc 답 ③ d0113
3¤ ≈ -3¥3≈ +2=0에서 (3≈ )¤ -3¥3≈ +2=0, (3≈ -1)(3≈ -2)=0 ∴ 3≈ =1 또는 3≈ =2 따라서 3a =1, 3b =2(∵ a<b)이므로 33a+33b=(3a )‹ +(3b )‹ =1‹ +2‹ =9 답 ③0114
⁄0<x<1일 때, xx¤ -5>x› ≈ 에서 x¤ -5<4x이므로 ⁄x¤ -4x-5<0, (x+1)(x-5)<0 ⁄∴ -1<x<5 ⁄∴ 0<x<1 ¤x=1일 때, 1>1이므로 부등식이 성립하지 않는다. ‹x>1일 때, xx¤ -5>x› ≈에서 x¤ -5>4x이므로 ⁄x¤ -4x-5>0, (x+1)(x-5)>0 ⁄∴ x<-1 또는 x>5 ⁄∴ x>5 ⁄, ¤, ‹에서 0<x<1 또는 x>5이므로 a+b=1+5=6 답 60115
4≈ -2≈ ±⁄ -8<0에서 (2≈ )¤ -2¥2≈ -8<0 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -2t-8<0, (t+2)(t-4)<0 ∴ 0<t<4 (∵ t>0) 즉, 0<2≈ <4=2¤ 이므로 x<2 ∴ A={x|x<2, x는 정수} {;2!;} x¤ >{;2!;}2x+3에서 밑;2!;이 0<;2!;<1이므로 x¤ <2x+3, x¤ -2x-3<0 (x+1)(x-3)<0 ∴ -1<x<3 ∴ B={x|-1<x<3, x는 정수} 따라서 A;B={x|-1<x<2, x는 정수}={0, 1}이므로 n(A;B)=2 답 ①0116
y=2a—≈ ±¤ -5의 그래프는 y=2a—≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프 이다. 따라서 y=2a—≈ 의 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 2)를 지나고, y=2a—≈ ±¤ -5의 그래프는 항상 점 (0+2, 2-5), 즉 (2, -3)을 지나므로 A(2, -3)이다. ∴ OA”="√2¤ +(-3)¤ ='1å3 답 ⑤0117
a¤ ≈ -8¥a≈ +5=0에서 a≈ =t (t>0)로 놓으면
t¤ -8t+5=0 yy㉠ 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근은 aa , ab 이 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 aa ¥ab =5, 즉 aa+b=5 a+b=3이므로 a‹ =5 ∴ a=‹'5 (∵ a는 실수) 답 ①
0118
3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 y=4¥3≈ +36¥3—≈ yæ2"√(4¥3≈ )_(36¥3—≈ ) y=2'∂144=24 이때 등호가 성립하는 경우는 4¥3≈ =36¥3—≈ 3¤ ≈ =9=3¤ 즉, 2x=2에서 x=1 따라서 주어진 함수는 x=1일 때 최솟값 24를 가지므로 a=1, b=240119
3x-9<-5<6x+3 ⁄3x-9<-5에서 3x<4 ¤∴ x<;3$; ¤-5<6x+3에서 6x>-8 ¤∴ x>-;3$; ⁄, ¤의 공통 범위는 -;3$;<x<;3$; 따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 0, 1의 3개이다. 답 ②01. 지수함수와 그 그래프 017 ∴ a+b=1+24=25 답 ③ 4≈ -2≈ ±¤ +2¥ =0에서 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -4t+2¥ =0 ∴ 2¥ =-t¤ +4t 2¥ >0이므로 -t¤ +4t>0 t¤ -4t<0, t(t-4)<0 ∴ 0<t<4 ∴ 2≈ +2¥ =t-t¤ +4t=-t¤ +5t ∴ 2≈ +2¥=-{t-;2%;}¤+:™4∞: 이때 0<t<4이므로 2≈ +2¥ 은 t=;2%;일 때 최댓값 :™4∞:를 갖는다. 답 ②
0120
[ 에서 이때 2≈ =X(X>0), 3¥ =Y(Y>0)라고 하면 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 X=8, Y=9 즉, 2≈ =8=2‹ , 3¥ =9=3¤ 이므로 x=3, y=2 따라서 a=3, b=2이므로 a¤ +b¤ =3¤ +2¤ =13 답 13 3X-2Y=6 yy`㉠ ;4!;X-;3!;Y=-1 yy`㉡ ( { 9 3¥2≈ -2¥3¥ =6 ;4!;¥2≈ -;3!;¥3¥ =-1 ( { 9 3¥2≈ -2¥3¥ =6 2≈ —¤ -3¥ —⁄ =-10121
y=4≈ -2≈ ±⁄ +k =(2≈ )¤ -2¥2≈ +k 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 0…x…3에서 2‚ …2≈ …2‹ , 즉 1…t…8이고 주어진 함수는 y=t¤ -2t+k =(t-1)¤ -1+k yy`㉠ 1…t…8에서 ㉠은 t=8일 때, 최대이고 최댓값은 50이므로 (8-1)¤ -1+k=50 k+48=50 ∴ k=2 답 ②0122
=2+'3이므로 (2-'3)≈ =t (t>0)로 놓으면 (2+'3 )≈ +(2-'3 )≈ =4에서 ;t!;+t=4, t¤ -4t+1=0 ∴ t=2—'3 즉, (2-'3 )≈ =2+'3 또는 (2-'3 )≈ =2-'3이므로 x=-1 또는 x=1 따라서 a=-1, b=1 또는 a=1, b=-1이므로 ∴ ab=(-1)_1=-1 답 ① 1 1122 2-'30123
y=f(x)와 y=f —⁄ (x)의 그래프는 직선 y=x에 대하 여 대칭이므로 y=f(x)와 y=f —⁄ (x)의 그래프의 교점은 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같다. 이때 두 교점의 x좌표가 각각 1, 3이 므로 두 교점의 좌표는 각각 (1, 1), (3, 3)이다. f(x)=a≈ —μ 에 대하여 1=a⁄ —μ yy㉠ 3=a‹ —μ yy㉡ ㉠에서 1-m=0 ∴ m=1 m=1을 ㉡에 대입하면
3=a‹ —⁄ =a¤ ∴ a='3 (∵ a>1)
∴ am='3 답 '3 O 1 1 3 3 x y y=x y=a≈ —μ
0124
오른쪽 그림에서 두 곡선 y=3≈ , y=3≈ +3과 두 직선 x=0, x=1로 둘 러싸인 부분의 넓이는 A+B이다. 그런데 y=3≈ +3의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이 동한 것이므로 B와 C의 넓이가 같다. 즉, A+B=A+C 따라서 구하는 넓이는 1_3=3 답 3 1 1 4 y=3≈ y=3≈ +3 A O y x B C0125
y=2≈ ¥5—≈ +1=2≈ ¥{;5!;}≈ +1={;5@;}≈ +1 이때 밑;5@;가 0<;5@;<1이므로 닫힌 구간 [-1, 1]에서 감소하 는 함수이다. 따라서 함수 y=2≈ ¥5—≈ +1={;5@;}≈ +1은 x=-1일 때, 최댓값 {;5@;}—⁄ +1=;2&;을 가지고, x=1일 때, 최솟값 {;5@;}⁄ +1=;5&;을 가진다. 따라서 치역은[y|;5&;…y…;2&;]이므로 a=;5&;, b=;2&; ∴ ab=;5&;_;2&;=;1$0(; 답 ;1$0(;0126
단계 채점요소 배점 함수 y=2≈ ¥5—≈ +1이 감소하는 함수임을 이해하기 30% 최댓값 구하기 30% 최솟값 구하기 30% 치역을 구하고 ab의 값 구하기 10%{;3!;}¤ ≈ æ;8¡1={;3!;}› 에서 밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 2x…4 ∴ x…2 ∴ A={x|x…2} 8x¤ +2x-4 …4x¤ +x에서 23(x¤ +2x-4) …22(x¤ +x) 이때 밑 2가 2>1이므로 3(x¤ +2x-4)…2(x¤ +x) x¤ +4x-12…0, (x+6)(x-2)…0 ∴ -6…x…2 ∴ B={x|-6…x…2} 따라서 A;B={x|-6…x…2}이다. 답 {x|-6…x…2}
0127
단계 채점요소 배점 집합 A 구하기 40% 집합 B 구하기 40% A;B구하기 20% y=4≈ -a¥2≈ +10 =(2≈ )¤ -a¥2≈ +10 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 y=t¤ -at+10 y={t-;2A;}¤ -{;2A;}¤ +10;2A;>0(∵ a>0)이므로 t>0에서 주어진 함수는 t=;2A;일 때
최솟값을 가진다. 그런데 주어진 함수는 x=2일 때 최솟값을 가지므로 2≈ =;2A;에 x=2를 대입하면 2¤ =;2A; ∴ a=8 방정식 4≈ -a¥2≈ +10=0의 두 근이 a, b이므로 t¤ -8t+10=0의 두 근은 2a , 2b 이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2a +2b =8, 2a ¥2b =10 ∴ 22a+22b=(2a )¤ +(2b )¤ =(2a +2b )¤ -2¥2a ¥2b =8¤ -2¥10 =44 답 44
0128
단계 채점요소 배점 a의 값 구하기 40% 근과 계수의 관계 이용하기 30% 22a +22b의 값 구하기 30% f(x)=-x¤ +2x+2로 놓으면 y=a-x¤ +2x+2=af(x)에 서 밑 a가 0<a<1이므로 이 함수는 0…x…1에서 f(x)가 최 대일 때 최솟값을 가지고, f(x)가 최소일 때 최댓값을 가진다. 이때 f(x)=-x¤ +2x+2=-(x-1)¤ +3이므로 0…x…1에서 f(x)는 x=1일 때 최댓값 3을 가지고 x=0일 때 최솟값 2를 가진다. 주어진 함수는 f(x)=2일 때 최대이고 최댓값은;4!;이므로 a¤ =;4!; ∴ a=;2!; (∵ 0<a<1) 따라서 주어진 함수는 f(x)=3일 때 최소이고 최솟값은 {;2!;}‹ =;8!;이다. 답;8!;0129
단계 채점요소 배점 주어진 함수가 감소하는 함수임을 이해하기 10% f(x)의 최댓값, 최솟값 구하기 30% a의 값 구하기 30% 최솟값 구하기 30% 구입 후 n년이 지난 후의 자동차의 가격은 2500_(0.8)« (만 원) n년 후 가격이 처음으로 1024만 원 이하가 된다고 하면 2500_(0.8)« …1024 (0.8)« …;2!5)0@0$;=;6@2%5^; {;5$;}«`…{;5$;}› 이때 밑;5$;가 0<;5$;<1이므로 næ4 따라서 자동차를 구입 후 4년이 지난 후에 처음으로 1024만 원 이하가 된다. 답 4년0131
y=( fΩg)(x)=f( g(x))=[{;2!;}≈]¤ -{;2!;}≈ +1 이때{;2!;}≈ =t (t>0)로 놓으면 y=t¤ -t+1 y={t-;2!;}¤ +;4#; yy`㉠ 이때 0…x…3에서 {;2!;}‹ …{;2!;}≈ …{;2!;}‚ , 즉;8!;…t…1 따라서 ㉠은 t=1일 때 최댓값 M=1을 가지고, t=;2!;일 때 최솟값 m=;4#;을 가진다. ∴ Mm=;4#; 답 ;4#; O t y ;8; 1 ;2; 1 ;4;3 1 1 y=t2 -t+10130
02. 로그함수와 그 그래프 019 4≈ -k¥2≈ ±⁄ +k¤ -2=0에서 (2≈ )¤ -k¥2¥2≈ +k¤ -2=0 이때 2≈ =t (t>0)로 놓으면 t¤ -2kt+k¤ -2=0 yy㉠ 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 근을 가져야 한다. ⁄ 방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 =k¤ -(k¤ -2)=2>0 ¤ 방정식 ㉠의 두 근을 a, b라고 하면 두 근의 합이 양수이 어야 한다. 이때 a+b=2k>0에서 k>0 ‹ 방정식 ㉠의 두 근의 곱이 양수이어야 한다. 이때 ab=k¤ -2>0에서 k<-'2 또는 k>'2 ⁄, ¤, ‹에서 k>'2이므로 자연수 k의 최솟값은 2이다. 답 2 D 4
0132
2≈ +2—≈ =t로 놓으면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균 과 기하평균의 관계에 의하여 t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 즉, tæ2 또, 4≈ +4—≈ =(2≈ +2—≈ )¤ -2¥2≈ ¥2—≈ =t¤ -2 ∴ y=4≈ +4—≈ +6(2≈ +2—≈ )+3 =(t¤ -2)+6t+3 =t¤ +6t+1 =(t+3)¤ -8 yy`㉠ tæ2이므로 ㉠은 t=2일 때, 즉 2≈ +2—≈ =2일 때이므로 x=0 ∴ a=0 또한, 최솟값은 b=(2+3)¤ -8=17 ∴ a+b=17 답 170133
로그함수와 그 그래프
02
Ⅰ.지수함수와 로그함수0134
2-x>0에서 x<2 따라서 정의역은 {x|x<2} 답 {x|x<2}0135
2x>0에서 x>0 따라서 정의역은 {x|x>0} 답 {x|x>0}0136
함수 y=10≈ 의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역 은 {y|y>0}이다. 양변에 상용로그를 취하면 x=log y x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=log x (x>0) 답 y=log x (x>0)0137
함수 y=3¥2≈ —⁄ 의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치 역은 {y|y>0}이다. 2≈ —⁄ =;3};의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 x-1=log™ ;3}; ∴ x=log™ ;3};+1 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=log™ ;3{;+1 (x>0) 답 y=log™ ;3{;+1 (x>0)0138
함수 y=log∞ (x-2)의 그 래프는 함수 y=log∞ x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 점근선의 방정식은 x=2이 다. 답 풀이 참조0139
함수 y=log∞ (-x)의 그래프는 함수 y=log∞ x의 그 래프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다. 따라서 점근선의 방정식은 x=0이다. 답 풀이 참조0140
함수 y=-log∞ x의 그래프 는 함수 y=log∞ x의 그래프를 x축 에 대하여 대칭이동한 것이므로 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 점근선의 방정식은 x=0이 다. 답 풀이 참조 O x y y=log∞ x y=-log∞ x 1 1 5 -1 O x y y=log∞ x y=log∞ (-x) 1 1 5 -1 -5 O x y 1 2 3 y=log∞ x y=log∞ (x-2)0141
함수 y=log∞ 5x 즉, y=log∞ x+1의 그래프는 함수 y=log∞ x의 그래프를 y축의 방향 으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 점근선의 방정식은 x=0이다. 답 풀이 참조0142
2 log™ 3=log™ 3¤ =log™ 9함수 y=log™ x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 log™ 10>log™ 9 ∴ log™ 10>2 log™ 3
답 log™ 10>2 log™ 3
0143
;3!; log;2!;27=log;2!;(3‹ ) ;3!;=log ;2!;3 ;2!; log;2!;7=log;2!;7 ;2!;=log ;2!;'7 함수 y=log ;2!;x는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로log;2!;3<log;2!;'7 ∴;3!; log;2!;27<;2!; log;2!;7
답 ;3!; log
;2!;27<;2!; log;2!;7
0144
logª 16=log£¤ 4¤ =log£ 4함수 y=log£ x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 log£ 2<log£ 4 ∴ log£ 2<logª 16
답 log£ 2<logª 16
