(sin x-cos x)dx
=[-cos x-sin x]
11. 정적분의 활용 189
=81-3[ (x-1)'ƒx-1]1!0
=81-3¥18 f(x)dx+ g(x)dx
=C+B=C+A
g(x)dx의 값은 곡선 y=f(x)와 y축 및 직선 y=e로 둘러 싸인 도형의 넓이와 같으므로
g(x)dx=1¥e- f(x)dx
=e- xe≈ dx
=e-{[xe≈ ]1)- e≈ dx}
=[e≈ ]1)=e-1 답 ②
:)1 :)1
:)1
:)e O 1
1
x y
e
e y=f(x)
y=g(x)
1275
:)e두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같으므로
'ƒ3x-2=x에서 3x-2=x¤
x¤ -3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
이때 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡 선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다.
따라서 구하는 넓이는 2 ('ƒ3x-2-x)dx
=2[ (3x-2)'ƒ3x-2- x¤]2!
=2[{ -2}-{ - }]= 답
1 9 1
9 1 2 2 9 16
9
1 2 2
9 :!2
O x
y
1 1 2
2 y=x y=f(x) y=g(x)
2 3 2 3
1276
깊이가 x일 때 수면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=ln(x+1)
물의 깊이가 5일 때 그릇에 담긴 물의 부피는 ln(x+1)dx
이때 x+1=t로 놓으면 dx=dt이고, x=0일 때 t=1, x=5일 때 t=6이므로
ln(x+1)dx= ln t dt
=[t ln t-t]6!
=6 ln 6-5 답 6 ln 6-5
:1
:)5 6
:05
1277
높이가 x일 때 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)='3åx
따라서 구하는 부피는
'3åx dx=[2(3x);2#;]3)=6 답 6 :)3 9
1278
깊이가 x cm일 때 수면은 한 변의 길이가
'ƒ20-2x cm인 정사각형이므로 수면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=('ƒ20-2x)¤ =20-2x
따라서 구하는 부피는
(20-2x)dx=[20x-x¤ ]8)
=160-64=96(cm‹ ) 답 96 cm‹
:)8
1279
밑면으로부터의 높이가 x인 단면이 반지름의 길이가
"≈16-√x¤ 인 원이므로 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=p(16-x¤ )
따라서 높이가 4인 입체도형의 부피는 S(x)dx= p(16-x¤ )dx
=p[16x- x‹ ]4)
=p{64- }= p
∴ k=128 답 128
128 3 64
3 1 3 :0
: 4 0
4
1280
PH”="√4-x¤ 이므로 ∠P=90˘인 직각이등변삼각형 PRH의 넓이를 S(x)라 하면
S(x)= ¥"√4-x¤ ¥"√4-x¤ = (4-x¤ ) 따라서 구하는 입체도형의 부피는
(4-x¤ )dx= [4x- x‹ ]2)
= 답 8
3 8
3
1 3 1
2 1
:)2 2
1 2 1
2
1281
곡선 y=2'ƒsin x 위 의 점 P(x, 2'ƒsin x)에서 x 축에 내린 수선의 발을 H라 하면 PH”=2'ƒsin x 이므로 x 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)= (2'ƒsin x)¤
='3 sin x
따라서 구하는 입체도형의 부피는 '3 sin x dx='3 [-cos x]»)
=2'3 답 2'3
:)»
'34
O
H
x y
P(x, 2'sin x) y=2'sin x
p
1282
이때 g(x)dx=C라 하면 g(x)dx+ f(x)dx
=C+A=C+B
=2¥4=8 답 8
:@4 :)2
:)2
11. 정적분의 활용 191 PQ”="√4-x¤ 이므로
RQ”=PQ” tan 60˘="√4-x¤ ¥'3
∴ △PQR= ¥"√4-x¤ ¥"√4-x¤ ¥'3
=-1-(-e+1)-{(-e—¤ -2)+1}
=e+e—¤ -1=e+ 1 -1 답 ①
1287
x+1구하는 두 도형의 넓이의 합은
ln(-x) (x<0)
O x
y=ln(2x+k)에서 2x+k=e¥ k(ln k-1)=0
∴ k=e (∵ k>1) 답e
{ln(x+1)-k} dx=0 x+1=t로 놓으면 dx=dt이고, x=0일 때 t=1, x=e-1일 때 t=e이므로
(ln t-k)dt=0 [t ln t-t-kt]e!=0 1-k(e-1)=0 :) ln(2x+1)dx
이때 2x+1=t로 놓으면 2= , dx= dt이고,
11. 정적분의 활용 193
=A+C
=1¥(e+1)=e+1 답 ④
y=e≈ —⁄에서 x-1=ln y, x=ln y+1 x와 y를 바꾸면
y=ln x+1
∴ g(x)=ln x+1
∴ f(x)dx+ g(y)dy
= e≈ —⁄ dx+ (ln y+1)dy
=[e≈ —⁄ ]3@+[y ln y-y+y]e!
=(e¤ -e)+e
=e¤ 답 ③
:!e :@3
:!e :@3
1299
y=x'ƒ1+x에서 1+xæ0
∴ xæ-1
⁄ -1<x<0일 때'ƒ1+x>0이므로 y=x'ƒ1+x<0
¤ x>0일 때 y=x'ƒ1+x>0
‹ x=0또는 x=-1일 때 y=x'ƒ1+x=0 따라서 구하는 넓이는 - x'ƒ1+x dx 이때'ƒ1+x=t로 놓으면 1+x=t¤에서 dx=2t dt이고,
x=-1일 때 t=0, x=0일 때 t=1이므로 - x'ƒ1+x dx
=- (t¤ -1)¥t¥2t dt
=2 (t¤ -t› )dt
=2[ - ]1)
=2{ - }= 4 답 ①
15 1 5 1 3
tfi 5 t‹
3 :)1
:)1 :_0!
:_0!
O
-1 x
y
y=x'1+x
1300
단면의 넓이가 x"√4-x¤ 이므로 xæ0, 4-x¤ æ0
∴ 0…x…2
따라서 구하는 부피는 x"√4-x¤ dx
이때 4-x¤ =t로 놓으면 -2x dx=dt이고, x=0일 때 t=4, x=2일 때 t=0이므로
x"√4-x¤ dx=-1 :$0 't dt :)2 2
:)2
= 't dt
=[ t;2#;]4)
= ¥4;2#;=8 답 ③
3 1
3 1 3 1 :)4 2
1301
y='kåx에서 y¤ =kx
∴ x= y¤
x와 y를 바꾸면 y= x¤
∴ g(x)= x¤ (xæ0)
곡선 y= x¤와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 x¤ =x에서 x{ x-1}=0
∴ x=0 또는 x=k
두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선 으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=g(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다.
따라서 오른쪽 그림에서 어두운 도형 의 넓이는
2 {x- x¤ } dx
=2[ x¤ - x‹]k)
=2{ k¤ - k¤ }
= k¤ = k¤ =49
∴ k=7 (∵ k>0) 답 7
49 3 1 3
1 3 1 2
1 3k 1 2
1 :)k k
O k
k
x y
y=x
y=f(x) y=g(x)
1 k 1
k
1 k 1 k
1 k 1
k
1302
f(0)=tan 0=0, f { }=tan =1 이므로 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(0)=0, g(1)=
정적분 g(x)dx의 값은 곡선 y=f(x)와 y축 및 직선 y=1로 둘러 싸인 도형의 넓이와 같으므로
g(x)dx
= ¥1- tan x dx
= - sin x dx cos x :);4“;
p 4
:);4“;
p 4
:)1 x
y
O 1
p 1 4 p 4
y=f(x)
y=g(x)
:)1
p 4
p 4 p
1303
4두 곡선 y=e—≈ 과 y=-e—≈
11. 정적분의 활용 195
단계 채점요소 배점
정삼각형인 단면의 넓이 S(x) 구하기 30%
부피식 세우기 40%
부피 구하기 30%
단계 채점요소 배점
접선의 방정식 구하기 50%
넓이 구하기 50%
= {1- }
=
-답 - '3p 16 '3
4 '3p
16 '3
4 p 4 '3
4
y=3'ƒx-9에서 y'= 이므로 곡선 위의 점
(18, 9)에서의 접선의 방정식은 y-9= (x-18) ∴ y= x
따라서 구하는 넓이는
¥18¥9- 3'ƒx-9 dx
=81-3[ (x-9)'ƒx-9]1(8
=81-54
=27
답 27 2
3 :(1 8 1
2 y=3'x-9
O 9 18 x
y
y= x 9
1 2
1 2 1
2
3 2'ƒx-9
1310
y=eå ≈에서 ax=ln y ∴ x= ln y x와 y를 바꾸면
y= ln x
∴ g(x)= ln x
두 곡선 f(x)=eå ≈ , g(x)= ln x가 x=e인 점에서 접하므로 f(e)=g(e), f'(e)=g'(e)
⁄ f(e)=g(e)에서
eå “ = yy`㉠
¤ f '(x)=aeå ≈ , g'(x)= 이므로 f '(e)=g'(e)에서
aeå “ = 1 yy㉡ ae
1 ax 1
a
1 a 1
a 1 a
1 a
㉠, ㉡에서 a=
∴ f(x)=e;e{;, g(x)=e ln x 두 곡선 y=e;e{;, y=e ln x와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형은 곡선 y=e;e{;과 직선 y=x로 둘러싸인 도 형의 넓이의 2배와 같다.
따라서 구하는 넓이는 2 (e;e{;-x)dx
=2[e¥e;e{;- x¤]e)
=e¤ -2e
답 e¤ -2e 1
2 :)e
O x
y y=x
e e
1
1
y=e ln x y=e
x e
1 e
1311
단계 채점요소 배점
역함수 g(x) 구하기 20%
a의 값 구하기 40%
도형의 넓이 구하기 40%
곡선 y=(x¤ -a)sin x와 x축의 교점의 x좌표는 (x¤ -a)sin x=0에서
x¤ -a=0또는 sin x=0 이때 0…x…p, 0<a<p이므로 x=0또는 x='a 또는 x=p 따라서 오른쪽 그림에서 어두운 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
(x¤ -a)sin x dx=0 [(x¤ -a)(-cos x)]»)
+2 x cos x dx=0 ¤2 부분적분법 이용
p¤ -2a+2[x sin x]»)-2 sin x dx=0 p¤ -2a+2[cos x]»)=0
p¤ -2a-4=0
2a=p¤ -4 ∴ a=p¤ -2 답 ⑤
2 :)»
:)»
:)»
y=(x¤ -a)sin x p
O x
y
'a
1312
y=x sin 2x에서 y'=sin 2x+2x cos 2x이므로 곡 선 위의 점{ , }에서의 접선의 방정식은
y- =1¥{x- } ∴ y=x
곡선 y=x sin 2x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 x sin 2x=x에서
p 4 p
4
p 4 p 4
1313
S«= |{ }
n
sin x|dx
={ }
n
|sin x|dx
이때 y=|sin x|는 주기가 p인 주기함수이므로 임의의 자연 수 n에 대하여
|sin x|dx= sin x dx
=[-cos x]»)=2
∴ S«={ }
n
|sin x|dx
=2¥{ }
n
={ }
n-1
∴ S«= { }
n-1
= 1 =2 답 2
1-;2!;
1 2
¡¶ n=1
¡¶ n=1
1 2 1 2
:( np n-1)p
1 2
:0
: p (
np n-1)p
:(n-1)pnp 1
2 1 : 2
( np n-1)p
1315
두 곡선 y=cos x, y=a sin x의 교점의 x좌표를 t {0<t< }라 하면 오른쪽 그림에 서 어두운 도형의 넓이가 이므로
(cos x-a sin x)dx=
[sin x+a cos x]t)=
sin t+a cos t-a=1 yy㉠ 2
1 2
1 :)t 2
1 2 p
2
O 1
t a
y=a sin x
;2;
p y=cos x
x y
이때 cos t=a sin t이므로 tan t=
∴ cos t= , sin t= yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
+ -a=
"√a¤ +1=a+
양변을 제곱하면 a¤ +1={a+ }¤ a¤ +1=a¤ +a+
∴ a= 답 3
4 3
4
1 4 1 2 1 2
1 2 a¤
"√a¤ +1 1
"√a¤ +1
1
"√a¤ +1 a
"√a¤ +1 1 a
a 1 t
'a¤ +1
1314
x(sin 2x-1)=0
∴ x=0 또는 x= {∵ 0…x… }
0…x… 에서
x-x sin 2x=x(1-sin 2x)æ0 이므로 곡선 y=x sin 2x가 직선 y=x 의 아래쪽에 위치한다.
따라서 구하는 넓이는 (x-x sin 2x)dx
= x dx- x sin 2x dx
=[ x¤ ]);4“;-{[- x cos 2x]);4“;+ cos 2x dx}
= -[ sin 2x]);4“;
= - 답 -1
4 p¤
32 1
4 p¤
32 1 4 p¤
32
1 :);4“; 2 1
2 1
2
:);4“;
:);4“;
:);4“;
y=x
O x
y
p 4
p 2
p 2
p 2 p
4