08 Ⅲ. 미분법

f(x)= x‹ +2x¤ -4로 놓으면 f'(x)=x¤ +4x f '(-3)=(-3)¤ +4¥(-3)=-3

따라서 구하는 접선의 방정식은 y-5=-3(x+3)

∴ y=-3x-4 답 y=-3x-4

1

0843

3

f(x)=sin x로 놓으면 f '(x)=cos x x=p인 점에서의 접선의 기울기는

cos p=-1

따라서 구하는 접선의 방정식은 y-0=-(x-p)

∴ y=-x+p ^답 y=-x+p

0845

f(x)=-x¤ +x-1로 놓으면 f '(x)=-2x+1 접점의 좌표를 (t, -t¤ +t-1)이라 하면 접선의 기울기가 1 이므로

f '(t)=-2t+1=1 ∴ t=0

따라서 구하는 접선은 점 (0, -1)을 지나고 기울기가 1인 직 선이므로

y+1=x-0

∴ y=x-1 ^답 y=x-1

0849

f(x)=cos x로 놓으면 f '(x)=-sin x

접점의 좌표를 (t, cos t)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 f '(t)=-sin t=1 ∴ t= p

따라서 구하는 접선은 점{ p, 0}을 지나고 기울기가 1인 직 3

2 3 2

0852

f(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=

접점의 좌표를 (t, ln t)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 f '(t)= =1 ∴ t=1

따라서 구하는 접선은 점 (1, 0)을 지나고 기울기가 1인 직선 이므로

y-0=x-1

∴ y=x-1 ^답 y=x-1

1 t

1

0851

x

f(x)=x‹ -2x로 놓으면 f '(x)=3x¤ -2

접점의 좌표를 (t, t‹ -2t)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 f '(t)=3t¤ -2=1, t¤ =1 ∴ t=-1 또는 t=1

⁄ t=-1일 때

접선은 점 (-1, 1)을 지나고 기울기가 1인 직선이므로 y-1=x+1 ∴ y=x+2

¤ t=1일 때

접선은 점 (1, -1)을 지나고 기울기가 1인 직선이므로 y+1=x-1 ∴ y=x-2

답 y=x+2, y=x-2

0850

f(x)=e≈ 으로 놓으면 f '(x)=e≈

x=-1인 점에서의 접선의 기울기는 1 e

따라서 구하는 접선의 방정식은 y- = (x+1)

∴ y= x+ 답 y= x+2

e 1 e 2

e 1 e

1 e 1 e

0847

f(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=

x=2인 점에서의 접선의 기울기는 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-ln 2= (x-2)

∴ y= x+ln 2-1 ^답 y=1x+ln 2-1

2 1

2 1 2

1 2

1

0846

x

f(x)=-x¤ +4x-1로 놓으면 f '(x)=-2x+4 f '(-1)=-2¥(-1)+4=6

따라서 구하는 접선의 방정식은 y+6=6(x+1)

∴ y=6x ^답 y=6x

0842

f(x)=x¤ -1로 놓으면 f'(x)=2x이므로 f '(2)=2¥2=4

따라서 구하는 접선의 방정식은 y-3=4(x-2)

∴ y=4x-5 ^답 y=4x-5

0841

f(x)= x› -x¤ -2로 놓으면 f '(x)=2x‹ -2x f '(2)=2¥2‹ -2¥2=12

따라서 구하는 접선의 방정식은 y-2=12(x-2)

∴ y=12x-22 ^답y=12x-22

1

0844

2

f(x)= e¤ ≈으로 놓으면 f '(x)=e¤ ≈ x=0인 점에서의 접선의 기울기는 1 따라서 구하는 접선의 방정식은

y- =x

∴ y=x+ 답 y=x+1

2 1

2 1 2

1

0848

2

08. 도함수의 활용 123 f(x)=x¤ -2x로 놓으면 f '(x)=2x-2

접점의 좌표를 (t, t¤ -2t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기 는 f'(t)=2t-2이므로 접선의 방정식은

y-(t¤ -2t)=(2t-2)(x-t) yy㉠ 이 직선이 점 (1, -5)를 지나므로 -5-(t¤ -2t)=(2t-2)(1-t) t¤ -2t-3=0, (t+1)(t-3)=0

∴ t=-1 또는 t=3 이것을 ㉠에 대입하면

t=-1일 때, y-3=-4(x+1) ∴ y=-4x-1 t=3일 때, y-3=4(x-3) ∴ y=4x-9

답 y=-4x-1, y=4x-9

0853

선이므로 y-0=x- p

∴ y=x- p 답 y=x-3p

2 3

2 3 2

f(x)=e≈ 으로 놓으면 f '(x)=e≈

접점의 좌표를 (t, e† )이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=e†이므로 접선의 방정식은

y-e† =e† (x-t) yy㉠ 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 0-e† =e† (0-t) ∴ t=1 이것을 ㉠에 대입하면 y-e=e(x-1)

∴ y=ex ^답 y=ex

0855

f(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=

접점의 좌표를 (t, ln t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)= 이므로 접선의 방정식은

y-ln t= (x-t) yy㉠ 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 0-ln t= (0-t) ∴ t=e 이것을 ㉠에 대입하면

y-ln e= (x-e)

∴ y= x 답 y=1x

e 1

e 1 e 1 t 1 t 1 t

1

0854

x

x¡<x™인 임의의 두 양수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)-f(x™)=x¡¤ -x™¤ =(x¡+x™)(x¡-x™)<0 이므로 f(x¡)<f(x™)

따라서 f(x)는 구간 (0, ¶)에서 증가한다. ^답 증가

0856

f(x)=x¤ -x-4에서 f '(x)=2x-1이므로 f '(1)=2¥1-1=1>0

따라서 f(x)는 x=1에서 증가상태에 있다. 답 증가상태

0858

f(x)=x‹ +3x¤ +3x+6에서 f '(x)=3x¤ +6x+3

=3(x+1)¤

f '(x)=0에서 x=-1 따라서 함수 f(x)는 실수

전체의 집합에서 증가한다. ^답 풀이 참조

0862

f(x)=x ln x에서 x>0이고 f '(x)=ln x+1 f '(x)=0에서 x=1

e

0864

f(x)=e≈ -x에서 f '(x)=e≈ -1

f '(x)=0에서 x=0 따라서 함수 f(x)는 x<0일 때 감소하고, x>0일 때 증

가한다. ^답 풀이 참조

0863

f(x)=3x-x¤에서 f '(x)=3-2x f '(x)=0에서 x=

따라서 함수 f(x)는 x<

일 때 증가하고, x> 일

때 감소한다. ^답 풀이 참조

3 2

3 2 3 2

0861

f(x)=sin px에서 f '(x)=p cos px f '(1)=p cos p=-p<0

따라서 f(x)는 x=1에서 감소상태에 있다. ^답 감소상태

0860

f(x)=x¤ e≈에서 f'(x)=2xe≈ +x¤ e≈ 이므로 f '(1)=2e+e=3e>0

따라서 f(x)는 x=1에서 증가상태에 있다. ^답 증가상태

0859

x¡<x™인 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)-f(x™)=-x¡‹ -(-x™‹ )

=-(x¡-x™)(x¡¤ +x¡x™+x™¤ )>0 이므로 f(x¡)>f(x™)

따라서 f(x)는 구간 (-¶, ¶)에서 감소한다. 답 감소

0857

x f '(x)

f(x) y +

↗ 0 3

2 y

-↘

x f '(x)

f(x) y +

↗ -1

0 y +

↗

x f '(x)

f(x) y

-↘ 0 0 1

y +

↗

x f '(x)

f(x)

(0) y

-↘

0 -1

e 1

e y

+

↗

f(x)=sin x+cos x에서

f(x)=-x‹ +3x+1에서 f '(x)=-3x¤ +3=-3(x+1)(x-1)

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

1¥(x¤ +1)-x¥2x (x¤ +1)¤

y'=3x¤ -6x+1, y"=6x-6=6(x-1) y"=0에서 x=1

이때 x>1일 때 y">0, x<1일 때 y"<0이므로 곡선 y=f(x) 는 x>1일 때 아래로 볼록하고, x<1일 때 위로 볼록하다. 따 라서 변곡점은 (1, -2)이다. 답 (1, -2)

0873

y'=1+cos x, y"=-sin x y"=0에서 x=p

이때 0<x<p일 때 y"<0, p<x<2p일 때 y">0이므로 곡 선 y=f(x)는 0<x<p일 때 위로 볼록하고, p<x<2p일 때

2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤ 이때 f"(-2)<0, f"(0)>0이므로 f(x)의 극댓값은

f(-2)=4e—¤, 극솟값은 f(0)=0이다.

이때 f"(-1)<0, f"(2)>0이므로 f(x)의 극댓값은 f(-1)= , 극솟값은 f(2)=- 이다.

f(x)=x‹ -3x¤에서 f'(x)=3x¤ -6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 (∵ -1…x…1)

0875

08. 도함수의 활용 125

(2x+3)(x-3)-(x¤ +3x+7) (x-3)¤

x¤ +3x+7

0877

x-3

f(x)=xe—≈에서 f'(x)=e—≈ -xe—≈ =e—≈ (1-x)

f(x)=sin x(1+cos x)에서 f '(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x)

=cos x+cos¤ x-sin¤ x

=2 cos¤ x+cos x-1 f`'(x)=3x¤ -12x=3x(x-4)

`f`'(x)=0에서 x=0 또는 x=4 f`'(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)

`f`'(x)=0에서 x=0 또는 x=2

f(x)=e≈ -x로 놓으면 f '(x)=6x¤ -18x+12=6(x-1)(x-2)

f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2

f(x)=x-ln(1+x)로 놓으면 f '(x)=1- =

x>0에서 1+x>0이므로 f'(x)>0 따라서 f(x)는 구간 (0, ¶)에서 증가한 다.

f(0)=0-ln (1+0)=0이므로 x>0일 때, f(x)>0 따라서 x>0일 때, ln(1+x)<x이다. yy증명 끝 f '(x)=x‹ -3x¤ +2x=x(x-1)(x-2)

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 또는 x=2 f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)

f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 f`'(x)=12x‹ -12x¤ =12x¤ (x-1)

`f`'(x)=0에서 x=0 또는 x=1

08. 도함수의 활용 127 f(x)=ln x¤ 으로 놓으면 f(x)=2 ln x이므로

f '(x)=

x=e인 점에서의 접선의 기울기는 f '(e)=

따라서 구하는 접선의 방정식은

y-2= (x-e) ∴ y=2x 답 ④

e 2

e

2 e 2

x

0891

f(x)=xe≈ 으로 놓으면 f '(x)=e≈ +xe≈ =(1+x)e≈

x=1인 점에서의 접선의 기울기는 f '(1)=2e 따라서 구하는 접선의 방정식은

y-e=2e(x-1) ∴ y=2ex-e 답 y=2ex-e

0892

⑴ f(x)='ƒ1+sin px로 놓으면

f '(x)= =

점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f

'(1)=-이므로 접선의 방정식은 y-1=- (x-1)

∴ y=- x+ +1

따라서 구하는 y절편은 +1이다.

⑵ f(x)=e^{-x¤ +x}-3으로 놓으면 f '(x)=(-2x+1)e^{-x¤ +x}

점 (1, -2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-1

이므로 접선의 방정식은

y+2=-(x-1) ∴ y=-x-1 따라서 a=-1, b=-1이므로 a¤ +b¤ =(-1)¤ +(-1)¤ =2

답 ⑴ p+1 ⑵ 2 2

p 2 p 2 p 2 p 2 p 2

pcos px 2'ƒ1+sin px (1+sin px)'

2'ƒ1+sin px

0893

f(x)=ln{x+ }로 놓으면

f '(x)= =

점 (0, -2)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=e¤

이므로 접선의 방정식은 y+2=e¤ x ∴ y=e¤ x-2

e¤

e¤ x+1 1

x+15e¤1 1

0894

e¤

f(x)=x ln x+2x로 놓으면 f '(x)=ln x+x¥ +2=ln x+3

y=2x+4에 평행한 직선의 기울기는 2이므로 접점의 x좌표 를 t라 하면

ln t+3=2, ln t=-1 ∴ t=

따라서 접점의 좌표가{ , }이므로 접선의 방정식은

y- =2 {x- } ∴ y=2x-1 답 ④

e 1

e 1

e

1 e 1 e

1 e 1

x

0895

f(x)=x ln x+ax로 놓으면 f '(x)=ln x+x¥ +a=ln x+1+a x=e¤인 점에서의 접선의 기울기가 2이므로 ln e¤ +1+a=2, 2+1+a=2

∴ a=-1

∴ f(x)=x ln x-x

따라서 접점의 좌표가 (e¤ , e¤ )이고 이 점은 직선 y=2x+b 위의 점이므로

e¤ =2e¤ +b ∴ b=-e¤

∴ ab=(-1)_(-e¤ )=e¤ ^답 ④

1 x

0896

f(x)=sin 2x로 놓으면 f '(x)=2 cos 2x

접점의 좌표를 (t, sin 2t)라 하면 접선의 기울기가 tan 45˘=1 이므로

2 cos 2t=1, cos 2t=

0…t… 에서 0…2t…p이므로

2t= ∴ t=

즉, 접점의 좌표가{ , }이므로 직선 l의 방정식은

y- =x- ∴ y=x+

-따라서 a=1, b= - 이므로

ab= -p ^답 ②

6 '3

2

p 6 '3

2

p 6 '3

2 p

6 '3

2

'3 2 p 6 p 6 p

3 p 2

1 2

0897

따라서 오른쪽 그림에서 구하는 도형의 넓 이는

_ _2= 답 2

e¤

2 e¤

2 e¤

1 2

O

-2

x y y=e™

x-2

2 e¤

f(x)=e› ≈ +2ax로 놓으면 f '(x)=4e› ≈ +2a

곡선 y=f(x)가 x축에 접할 때 접점의 좌표를 (t, 0)이라 하면 f(t)=e› † +2at=0 yy㉠

또, 접점에서의 접선의 기울기가 0이므로 f '(t)=4e› † +2a=0

∴ a=-2e› †

a=-2e› †을 ㉠에 대입하면 e› † -4te› † =0, e› † (1-4t)=0 이때 e› † >0이므로 t=

∴ a=-2e^4¥;4!;=-2e 답 -2e

1 4

0898

f(x)= 으로 놓으면 f'(x)=

접점의 좌표를 {t, }이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기 는 f'(t)= 이므로 접선의 방정식은

y- = (x-t) yy㉠

이 직선이 원점을 지나므로

- = ¥(-t)

∴ t=2

t=2를 ㉠에 대입하면 y- = (x-2)

∴ y= x

이 직선이 점 (1, k)를 지나므로

k=e¤ 답 ⑤

4 e¤

4 e¤

4 e¤

2

e† (t-1) t¤

e†

t

e† (t-1) t¤

e†

t

e† (t-1) t¤

e†

t

e≈ (x-1) x¤

e≈

0900

x

f(x)= 로 놓으면 f '(x)=

접점의 좌표를{t, }라 하면 이 점에서의 접선의 기울기 는 f '(t)= 이므로 접선의 방정식은

y- = (x-t) yy㉠

이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로

0- = (0-t), ln t=

∴ t='e

t='e 를 ㉠에 대입하면

y- = (x-'e )

∴ y= 1 x 답 ①

2e 1 2e 1 2'e

1 2 1-ln t

t¤

ln t t

1-ln t t¤

ln t t

1-ln t t¤

ln t t

1-ln x x¤

ln x

0899

x

f(x)= 로 놓으면

f '(x)= =

접점의 좌표를{t, }이라 하면 이 점에서의 접선의 기울 기는 f '(t)= 이므로 접선의 방정식은

y- = (x-t)

∴ y= x+ yy`㉠

이 직선이 점 (3, 2)를 지나므로

2= +

2t¤ =3+t(t-2), t¤ +2t-3=0 (t+3)(t-1)=0

∴ t=-3 또는 t=1

이때 t=-3, t=1은 모두 ㉠의 분모를 0으로 하지 않고 접점 의 좌표가{-3, }, (1, 0)의 2개이므로 접선의 개수는 2이

다. ^답 2

4 3 t-2

t 3 t¤

t-2 t 1 t¤

1 t¤

t-1 t

1 t¤

t-1 t

1 x¤

x-(x-1) x¤

x-1

0901

x

f(x)=xe≈으로 놓으면 f '(x)=e≈ +xe≈ =e≈ (x+1)

접점의 좌표를 (t, te† )이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=e† (t+1)이므로 접선의 방정식은

y-te† =e† (t+1)(x-t) 이 직선이 점 (k, 0)을 지나므로 -te† =e† (t+1)(k-t) e† (t¤ -kt-k)=0

∴ t¤ -kt-k=0 yy ㉠

점 (k, 0)에서 곡선 y=xe≈ 에 그을 수 있는 접선이 2개이려면 접점이 2개이어야 하므로 방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 가 져야 한다.

즉, 방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=(-k)¤ +4k>0, k(k+4)>0

∴ k<-4 또는 k>0

따라서 k의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. 답 ③

0902

f(x)= , g(x)=e≈ 으로 놓으면 f '(x)=- , g'(x)=e≈

두 곡선의 접점의 x좌표를 t라 하면

f(t)=g(t)에서 =e† yy㉠

f '(t)=g'(t)에서 -k=e† yy㉡ t¤

k t k x¤

k

0903

x

08. 도함수의 활용 129

㉠, ㉡에서

=-∴ t=-1 (∵ t+0)

∴ k=-e—⁄ =-1 답 ①

e k t¤

k t

f(x)=ax¤, g(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=2ax, g'(x)=

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 점 (p, q)를 지나므로 f(p)=g(p)=q에서

ap¤ =ln p=q yy㉠

점 (p, q)에서 두 곡선에 그은 접선의 기울기가 같으므로 f '(p)=g'(p)에서

2ap= yy㉡

㉠, ㉡에서 a= , p='e, q=

∴ apq=

답 'e 4e 'e

4e

1 2 1

2e 1

p

1 x

0904

단계 채점요소 배점

f '(x), g'(x) 구하기 20%

f(p)=g(p)=q임을 알고 식 세우기 30%

f '(p)=g'(p)임을 알고 식 세우기 20%

a, p, q의 값 구하기 20%

apq의 값 구하기 10%

f(x)=a-2 sin¤ x, g(x)=2 cos x로 놓으면 f '(x)=-4 sin x cos x, g'(x)=-2 sin x

두 곡선이 x=t에서 공통인 접선을 가지므로

f(t)=g(t)에서 a-2 sin¤ t=2 cos t yy㉠ f '(t)=g'(t)에서 -4 sin t cos t=-2 sin t yy㉡

㉡에서 cos t= (∵ sin t>0)

∴ t= (∵ 0<t<p) t= 를 ㉠에 대입하면 a-2 sin¤ =2 cos a-2¥{ }

2

=2¥

∴ a=5 ^답 ③

2

1 2 '3

2

p 3 p

3 p 3

p 3

1 2

0905

f(x)=kx+ln(x¤ +4)에서 f '(x)=k+ =

함수 f(x)가 실수 전체의 구간에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여 f'(x)æ0이어야 한다.

이때 x¤ +4>0이므로 kx¤ +2x+4kæ0이어야 한다.

즉, k>0이고, 이차방정식 kx¤ +2x+4k=0의 판별식을 D라 하면

=1-4k¤ …0, (2k-1)(2k+1)æ0

∴ kæ (∵ k>0)

따라서 k의 최솟값은 이다. 답 1

2 1

2 1

2 D

4

kx¤ +2x+4k x¤ +4 2x

x¤ +4

0907

f(x)=e^{sin x}+sin x에서 f '(x)=e^{sin x}¥cos x+cos x

=(e^{sin x}+1)cos x

① f '(0)=(e^{sin 0}+1)cos 0>0

② f '{ }=(e^{sin ;4“;}+1)cos >0

③ f '(p)=(e^{sin p}+1)cos p<0

④ f '{ p}=(esin ;4&;p

+1)cos p>0

⑤ f '(2p)=(e^{sin 2p}+1)cos 2p>0

따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. ^답③ 7

4 7

4

p 4 p

4

0908

f(x)=ln x, g(x)=ax+ 로 놓으면 f '(x)= ,

g'(x)=a-두 곡선이 모g'(x)=a-두 점 (e¤ , 2)를 지나므로 f(e¤ )=ln e¤ =2

g(e¤ )=ae¤ + =2 yy`㉠

x=e¤에서의 접선의 기울기가 같으므로 f '(e¤ )=g'(e¤ )

=a- ∴ a= + yy`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 { + }e¤ + =2

=1 ∴ b=

b= 을 ㉡에 대입하면

a= + =

∴ ab= _ = 답 3

4 3

4 e¤

2 3 2e¤

3 2e¤

e¤

2e›

1 e¤

e¤

2

e¤

2 2b

e¤

b e¤

b e›

1 e¤

b e›

1 e¤

b e›

1 e¤

b e¤

b x¤

1 x

b

0906

x

f(x)=(x¤ +kx+1)e—≈에서

-x¤ -(k-2)x+k-1…0

즉, x¤ +(k-2)x-k+1æ0이어야 한다.

이차방정식 x¤ +(k-2)x-k+1=0의 판별식을 D라 하면 D=(k-2)¤ +4(k-1)…0

k¤ …0 ∴ k=0

0<x< 에서 <cos x<1이므로 a-1<a-cos

x<a-따라서 a-1æ0이므로

x¤ +3-(x-1)¥2x (x¤ +3)¤

4(x¤ +4)-4x¥2x (x¤ +4)¤

(2x+2)(x¤ +2)-(x¤ +2x+1)¥2x (x¤ +2)¤

-2(x+1)(x-1) (x¤ +1)¤

2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤

08. 도함수의 활용 131 양변을 제곱하면 6-x=x ∴ x=3

따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극댓값 2'3을 갖는다.

⑷'ƒx+1>0에서 x>-1

f '(x)=

f '(x)=cos¤ x+(1+sin x)(-sin x)

=1-sin¤ x-sin x-sin¤ x

=-2 sin¤ x-sin x+1

따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극댓값 f{ }= 을 갖

f(x)=x ln x-2x에서 x>0이고 f '(x)=ln x+x¥ -2

⑴ f '(x)=3x¤ -6x-9=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3

f "(x)=6x-6

이때 f"(-1)=-12<0, f"(3)=12>0

따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 f(-1)=7, x=3에서 극솟값 f(3)=-25를 갖는다.

⑵ f '(x)=2xe—≈ -x¤ e—≈ =(2x-x¤ )e—≈ =-x(x-2)e—≈

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 f "(x)=(2-2x)e—≈ -(2x-x¤ )e—≈

=(x¤ -4x+2)e—≈

이때 f "(0)=2>0, f "(2)=-2e—¤ <0

0924

08. 도함수의 활용 133 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 f(0)=0,

x=2에서 극댓값 f(2)=4e—¤ = 를 갖는다.

⑶ f(x)=x(ln x)¤ 에서 x>0이고 f '(x)=(ln x)¤ +x¥2 ln x¥

=ln x(ln x+2)

f '(x)=0에서 ln x=0 또는 ln x=-2

∴ x=1 또는 x=e—¤

f "(x)= (ln x+2)+ln x¥

= (ln x+1)

이때 f "(1)=2>0, f "(e—¤ )=-2e¤ <0 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값 f(1)=0, x=e—¤에서 극댓값 f(e—¤ )=4e—¤ = 를 갖는다.

⑷ f '(x)=e≈ (sin x+cos x)+e≈ (cos x-sin x)

=2e≈ cos x

f '(x)=0에서 x= 또는 x= p (∵ 0…x…2p) f "(x)=2{e≈ cos x+e≈ (-sin x)}

=2e≈ (cos x-sin x)

이때 f"{ }=-2e^;2“;<0, f "{ p}=2e^;2#;p>0 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극댓값 f{ }=e^;2“;, x= p에서 극솟값 f{ p}=-e^;2#;p을 갖는다.

답 ⑴ 극댓값：7, 극솟값：-25

답 ⑵ 극댓값： , 극솟값：0

답 ⑶ 극댓값： , 극솟값：0

답 ⑷ 극댓값：e^;2“;, 극솟값：-e^;2#;p 4

e¤

4 e¤

3 2 3

2

p 2 p

2 3 2 p

2

3 2 p

2

4 e¤

2 x

1 x 1

x

1 x

4 e¤

f '(x)=x-f '(x)=0에서 x¤ -2=0

∴ x=-'2 (∵ x<0) f "(x)=1+

f "(-'2)=2>0

따라서 함수 f(x)는 x=-'2에서 극솟값을 가지므로

a=-'2 ^답 -'2

2 x¤

2

0925

x

f '(x)=-e—≈ cos x-e—≈ sin x

=-e—≈ (cos x+sin x) e—≈ >0이므로

f '(x)=0에서 cos x+sin x=0

0926

'2 sin{x+ }=0

x+ =p또는 x+ =2p

∴ x= p또는 x= p(∵ 0…x…2p)

f "(x)=e—≈ (cos x+sin x)-e—≈ (-sin x+cos x)

=2e—≈ sin x

이때 f "{ p}='2e^-;4#;p>0, f "{ p}=-'2e^-;4&;p<0 따라서 함수 f(x)는

x= p에서 극솟값 m=f{ p}=- e^-;4#;p,

x= p에서 극댓값 M=f{ p}= e^-;4&;p을 가지므로 Mm= e^-;4&;p¥{- e^-;4#;p}

=- e^-;2%;p 답 -1e^-;2%;p

2 1

2

'2 2 '2

2

'2 2 7 4 7

4

'2 2 3

4 3

4

7 4 3

4

7 4 3

4

p 4 p

4 p 4

f '(x)=

=

함수 f(x)가 x=-2에서 극값 -1을 가지므로 f(-2)=-1에서

=-1 ∴ 2a+b=5 yy`㉠

또, f '(-2)=0에서

=0 ∴ 3a+4b=0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 a=4, b=-3

∴ a-b=4-(-3)=7 ^답 ⑤

-3a-4b 25 -2a-b

5

-ax¤ +2bx+a (x¤ +1)¤

a(x¤ +1)-(ax-b)¥2x (x¤ +1)¤

0927

f '(x)=e≈ -25e—≈

f '(x)=0에서 e≈ =25e—≈

e≈ >0이므로 양변에 e≈ 을 곱하면 e¤ ≈ =25, (e≈ )¤ =5¤

∴ e≈ =5 (∵ e≈ >0)

∴ x=ln 5

따라서 f(ln 5)=3이므로 e^{ln 5}+ +a=3

5+25+a=3 ∴ a=-7 답-7

5 25 e^{ln 5}

0928

f '(x)=2a cos 2x-b sin x

함수 f(x)가 x= p에서 극댓값 을 가지므로 f { p}=3'3에서

2 7

6

3'32 7

6

0929

a- b=

∴ a-b=3 yy㉠ 또, f'{ p}=0에서

a+ b=0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 a=1, b=-2

∴ ab=-2 ^답 -2

1 2

7 6

3'3 2 '3

2 '3

2

f '(x)=1+ =

함수 f(x)가 x=-1에서 극솟값 -1을 가지므로 f(-1)=-1에서

-1+ln(1-a+b)=-1, ln(1-a+b)=0

∴ 1-a+b=1 yy`㉠

또, f '(-1)=0에서

=0

∴ b=1

b=1을 ㉠에 대입하면 a=1

∴ f(x)=x+ln(x¤ +x+1)

f '(x)= =

f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=-1

따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값 -2+ln 3을 갖는다.

답 ① (x+2)(x+1)

x¤ +x+1 x¤ +3x+2

x¤ +x+1 1-(a+2)+a+b

1-a+b

x¤ +(a+2)x+a+b x¤ +ax+b 2x+a

x¤ +ax+b

0930

x f '(x)

f(x) y +

↗

-2 0 -2+ln 3

y

-↘

-1 0 -1

y +

↗

f '(x)=-e—≈ (x¤ +6x+a)+e—≈ (2x+6)

=-e—≈ (x¤ +4x+a-6)

e—≈ >0이므로 함수 f(x)가 극값을 가지려면 이차방정식 x¤ +4x+a-6=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

이차방정식 x¤ +4x+a-6=0의 판별식을 D라 하면

=4-(a-6)>0 ∴ a<10

따라서 자연수 a의 최댓값은 9이다. 답 ③

D 4

0931

f '(x)=k+3 cos x

함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)…0또는 f'(x)æ0

즉, k+3 cos x…0 또는 k+3 cos xæ0

∴ cos x…- 또는 cos xæ-그런데 -1…cos x…1이므로 - æ1또는 -k…-1

3 k

3

k 3 k

3

∴ k…-3 또는 kæ3

따라서 주어진 조건을 만족시키는 양의 정수 k의 최솟값은 3이

다. ^답 ③

0932

f '(x)=1- + =

함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 x¤ -2ax+3a=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다.

이차방정식 x¤ -2ax+3a=0의 판별식을 D라 하면

=a¤ -3a…0, a(a-3)…0

∴ 0…a…3 답 0…a…3

D 4

x¤ -2ax+3a x¤

3a x¤

2a

0933

x

f(x)=ln 3x+ -2x에서 x>0이고 f '(x)= - -2=

함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식 -2x¤ +x-a=0이 x>0에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

⁄ 이차방정식 -2x¤ +x-a=0의 판별식을 D라 하면 D=1-8a>0 ∴ a<

¤ (두 근의 합)= >0

‹ (두 근의 곱)= >0 ∴ a>0

⁄, ¤, ‹에서 구하는 a의 값의 범위는 0<a< 이므로 a=0, b=

∴ 8(b-a)=8_1=1 ^답 1

8 1 8

1 8 a

2 1 2

1 8 -2x¤ +x-a

x¤

a x¤

3 3x

a

0934

x

f(x)=e≈ sin x로 놓으면

f '(x)=e≈ sin x+e≈ cos x=e≈ (sin x+cos x) f "(x)=e≈ (sin x+cos x)+e≈ (cos x-sin x)

=2e≈ cos x

곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 2e≈ cos x<0에서 cos x<0 (∵ e≈ >0)

∴ <x<3p (∵ 0<x<2p) ^답 ④ 2

p 2

0935

⑴ f(x)=x› -6x¤ +6으로 놓으면 f '(x)=4x‹ -12x

f "(x)=12x¤ -12=12(x+1)(x-1) 따라서 주어진 곡선은

x<-1 또는 x>1일 때 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하 고, -1<x<1일 때 f "(x)<0이므로 위로 볼록하다.

⑵ f(x)=(x¤ -x)e≈ 으로 놓으면 f '(x)=(2x-1)e≈ +(x¤ -x)e≈

0936

08. 도함수의 활용 135

=(x¤ +x-1)e≈

f "(x)=(2x+1)e≈ +(x¤ +x-1)e≈

=x(x+3)e≈

따라서 주어진 곡선은

x<-3 또는 x>0일 때 f "(x)>0이므로 아래로 볼록하 고, -3<x<0일 때 f "(x)<0이므로 위로 볼록하다.

⑶ f(x)=x+2 sin x로 놓으면 f '(x)=1+2 cos x

f "(x)=-2 sin x 따라서 주어진 곡선은

0<x<p일 때 f "(x)<0이므로 위로 볼록하고, p<x<2p일 때 f "(x)>0이므로 아래로 볼록하다.

답풀이 참조

⑴ f '(x)=4x‹ +3ax¤ -24x-5 f "(x)=12x¤ +6ax-24

함수 y=f(x)의 그래프가 -1<x<2에서 위로 볼록하므로 (x+1)(x-2)<0, 12(x+1)(x-2)<0

12x¤ -12x-24<0

따라서 6a=-12에서 a=-2

⑵ f(x)=x¤ (ln x-2)로 놓으면 f '(x)=2x(ln x-2)+x¤ ¥

=x(2 ln x-3) f "(x)=2 ln x-3+x¥

=2 ln x-1

곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 2 ln x-1<0, ln x<

∴ x<e^;2!;, 즉 x<'e

그런데 로그의 진수 조건에서 x>0이므로

0<x<'e ^답 ⑴ -2 ⑵ 0<x<'e 1

2 2 x

1 x

0937

함수 y=f(x)의 그래프의 모양이 아래로 볼록하려면 f "(x)>0이어야 한다. 주어진 y=f '(x)의 그래프에서 기울 기가 양수인 구간은 (¶, 2), (4, ¶)이므로 이 구간에서 f "(x)>0이다. 따라서 주어진 보기 중 함수 f(x)의 그래프가

아래로 볼록한 구간은 (0, 2)이다. 답 ㄱ

0938

f(x)=ln(x¤ +1)로 놓으면 f '(x)=

f "(x)= =

이때 (x¤ +1)¤ >0이므로

f "(x)=0에서 -2x¤ +2=0, x¤ =1

∴ x=-1 또는 x=1

x<-1또는 x>1일 때 f"(x)<0, -2x¤ +2

(x¤ +1)¤

2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤

2x x¤ +1

0939

⑴ f(x)=-2x‹ -6x¤ +2x-3으로 놓으면 f '(x)=-6x¤ -12x+2

f "(x)=-12x-12=-12(x+1) f "(x)=0에서 x=-1

x<-1일 때 f "(x)>0, x>-1일 때 f"(x)<0

따라서 x=-1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡

따라서 x=-1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡

문서에서 2014 개념원리 RPM 미적분2 답지 정답 (페이지 122-150)