sin(-x)=-sin x, cos(-x)=cos x이다.
ㄱ. sin f(-x)=sin(-f(x))
=-sin f(x) 이므로 sin f(x)는 기함수이다.
∴ sin f(x)dx=0 ㄴ. cos f(-x)=cos(-f(x))
=cos f(x)
= - =
=[ln|t-1|-ln|t+1|]3@
=ln 2-ln 4+ln 3
1165
dxdx+ dx= dx에서
10. 정적분 173
f(x)dx- f(x)dx+ f(x)dx
= f(x)dx- f(x)dx
답 9 ln 3-4
단계 채점요소 배점
정적분을 간단히 나타내기 30%
ln x와 2x를 u(x)와 v'(x)로 나타내기 30%
답 구하기 40%
⑴ f(x)=x, g'(x)=sin 2x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=- cos 2x
∴ x sin 2x dx
∴=[- x cos 2x]0;4“;- {- cos 2x} dx
∴=0+[ sin 2x]0;4“;
∴=0+ =
⑵ f(x)=x-1, g'(x)=e—≈ 으로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=-e—≈
(x-1)e—≈ dx=[-(x-1)e—≈ ]1)- (-e—≈ )dx
=(-1)-[e—≈ ]1)
=-1-{
-1}=-⑶ f(x)=ln x, g'(x)= 로 놓으면 f '(x)= ,
g(x)=-∴ dx
=[- ln x]3!- {- } dx
=- ln 3-[ ]3!
= (2-ln 3)
⑷ f(x)=cos x, g'(x)=e—≈ 으로 놓으면 f '(x)=-sin x, g(x)=-e—≈
∴ e—≈ cos x dx
=[-e—≈ cos x]»)- e—≈ sin x dx
= +1- e—≈ sin x dx yy`㉠
이때 e—≈ sin x dx에서
u(x)=sin x, v'(x)=e—≈ 으로 놓으면 u'(x)=cos x, v(x)=-e—≈
:)»
1 :)»
ep
:)»
:)»
1 3
1 x 1
3
1 :!3 x¤
1 x ln x :!3 x¤
1 x 1
x
1 x¤
1 e 1
e
:)1 :)1
1 4 1 4 1 4
1 :0;4“; 2 1
2 :0
;4“;
1 2
∴ e—≈ sin x dx
=[-e—≈ sin x]»)- (-e—≈ )cos x dx
= e—≈ cos x dx yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
e—≈ cos x dx= +1- e—≈ cos x dx 2 e—≈ cos x dx= +1
∴ e—≈ cos x dx=
답 ⑴ ⑵ - ⑶ (2-ln 3) ⑷ 1+ep 2ep 1
3 1 e 1
4
1+ep 2ep :)»
1 ep :)»
1 :)»
ep :)»
:)»
:)»
:)»
1179
a= e≈ cos x dx에서 f(x)=cos x, g'(x)=e≈ 으로 놓으면 f '(x)=-sin x, g(x)=e≈ 이므로 a= e≈ cos x dx
=[e≈ cos x]0;2“;+ e≈ sin x dx
=-1+b
∴ a-b=-1 yy`㉠
b= e≈ sin x dx에서
f(x)=sin x, g'(x)=e≈ 으로 놓으면 f '(x)=cos x, g(x)=e≈ 이므로 b= e≈ sin x dx
=[e≈ sin x]
0
;2“;- e≈ cos x dx
=e;2“;-a
∴ a+b=e;2“; yy㉡
㉠, ㉡에서
(a+b)¤ +(a-b)¤ =ep+1 답 ④
:0
;2“;
:0;2“;
:0
;2“;
:0;2“;
:0
;2“;
:0;2“;
1180
f(x)=e≈ + x f(t)dt에서 f(x)=e≈ +x f(t)dt
f(t)dt=k`(k는 상수)로 놓으면 f(x)=e≈ +kx이므로 k= (e† +kt)dt
=[e† + kt¤ ]1)
=e+1k-1 2
1 2 :0
1
:01
:0 1
:0
1181
110. 정적분 175 f(t)dt=k(k는 상수)로 놓으면
f(x)=cos x+k이므로 k= (cos t+k)dt
=[sin t+kt]»)
=pk
즉, k=pk ∴ k=0 따라서 f(x)=cos x이므로
f { }= 답 1
2 1
2 p 3 :)»
1183
:)»f '(t)dt=k(k는 상수)로 놓으면 f(x)=e≈ -2x+k이므로
f '(x)=e≈ -2
∴ k= (e† -2)dt
=[e† -2t]1)
=(e-2)-1=e-3
따라서 f(x)=e≈ -2x+e-3이므로
f(1)=e-2+e-3=2e-5 답 2e-5
:)1
1184
:)1주어진 식의 양변에 x=0을 대입하면 f(t)dt=0이므로
1+a=0 ∴ a=-1
∴ f(t)dt=e¤ ≈ -e≈
양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2e¤ ≈ -e≈
:0x :00
∴ f(ln 2)=2e2 ln 2-eln 2=2eln 4-2
=8-2=6 답 ⑤
1185
주어진 식의 양변에 x=ln 9를 대입하면
0=e2 ln 9-aeln 9+9=81-9a+9
∴ a=10
또, 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 e≈ f(x)=2e¤ ≈ -10e≈
∴ f(x)=2e≈ -10
∴ f(0)=2-10=-8 답 ①
1186
f(x)-2 e† f(t)dt=1 yy`㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)-2e≈ f(x)=0 ∴ f '(x)=2e≈ f(x) yy ㉡
㉡의 양변을 x에 대하여 미분하면 f "(x)=2e≈ f(x)+2e≈ f '(x)
=2e≈ f(x)+2e≈ 2e≈ f(x) (∵ ㉡)
=2e≈ (1+2e≈ )f(x)
㉠의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=1이므로
f "(0)=2(1+2)f(0)=6_1=6 답 6
1187
:)/xf(x)=x¤ ln x+ f(t)dt yy`㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+xf '(x)=2x ln x+x+f(x)
∴ xf '(x)=2x ln x+x 이때 x>0이므로 f '(x)=2 ln x+1
∴ f(x)= f '(x)dx= (2 ln x+1)dx
=2(x ln x-x)+x+C
=2x ln x-x+C 한편 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)= f(t)dt=0이므로 -1+C=0 ∴ C=1
따라서 f(x)=2x ln x-x+1이므로
f(e)=2e-e+1=e+1 답 e+1
:!1
: :
1188
:!/f(x)= (x-t)sin t dt
= (x sin t-t sin t)dt
=x sin t dt- t sin t dt 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)=: sin t dt+x sin x-x sin x
0 x
:0
: x 0
x
:0 x
:0x
1189
f(t)dt=k (k는 상수)로 놓으면 f(x)=ln x+k
이므로
k= (ln t+k)dt=[t ln t-t+kt]e!
=ke-k+1
(e-2)k+1=0 ∴ k=
∴ f(x)=ln x+ 답 f(x)=ln x+ 1 2-e 1
2-e 1 2-e :1
e
:1e
1182
k=e-1 ∴ k=2(e-1)
∴ f(x)=e≈ +2(e-1)x
따라서 f(1)=e+2(e-1)=3e-2이므로 a=3, b=-2
∴ a+b=3+(-2)=1 답 ①
1 2
= sin t dt=[-cos t]/)
=-cos x+1
∴ f '{p}=1 답 ④
2 :0x
주어진 식에서
x f(t)dt- t f(t)dt=e≈ +ax+b yy㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(t)dt+xf(x)-xf(x)=e≈ +a
∴ f(t)dt=e≈ +a yy㉡
㉡의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=e≈
∴ f(1)=e
㉠, ㉡에 x=0을 각각 대입하면 1+b=0, 0=1+a
따라서 a=-1, b=-1이므로
a+b+f(1)=-1-1+e=e-2 답 e-2
:0 x
:0x
:0x :0x
1190
주어진 식의 양변에 x=1을 대입하면 0=2a+b yy㉠
(x-t)f(t)dt=x f(t)dt- t f(t)dt에서 x f(t)dt- t f(t)dt=x ln x+2ax+b 양변을 x에 대하여 미분하면
f(t)dt+x f(x)-x f(x)=ln x+1+2a
∴ f(t)dt=ln x+1+2a 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 0=2a+1 ∴
a=-㉠에 a=- 을 대입하면 b=1이므로
a¤ +b¤ = +1=5 답 ④
4 1
4 1 2
1 2 :1
x
:1x
:1x :1x
:1
: x 1
: x 1
x
1191
(x-t)f '(t)dt= sin 2x-x에서
x f '(t)dt- tf '(t)dt= sin 2x-x yy ㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(t)dt+xf '(x)-xf '(x)=cos 2x-1
f '(t)dt=cos 2x-1 [f(t)]/)=cos 2x-1
:)/
:)/
1 :)/ 2
:)/
1 :)/ 2
f(x)-f(0)=cos 2x-1
f(0)=1이므로 f(x)=cos 2x 답 f(x)=cos 2x
1192
f(x)= t cos t dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=x cos x
f '(x)=0에서 x= (∵ 0<x<p)
따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극대이므로 극댓값은 f { }= t cos t dt
=[t sin t]
0
;2“;- sin t dt
= -[-cos t]
0
;2“;= -1
a= , b= -1이므로
a-b= -{ -1}=1p 답 ③
2 p 2
p 2 p 2
p 2 p
2
:0
;2“;
:0;2“;
p 2
p 2 p 2 :0x
1193
x (0) y ;2“; y (p)
f`'(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
F(x)=[t ln t-t]e¤ ≈e≈
=(e¤ ≈ ln e¤ ≈ -e¤ ≈ )-(e≈ ln e≈ -e≈ )
=(2x-1)e¤ ≈ -(x-1)e≈
F'(x)=2e¤ ≈ +4xe¤ ≈ -2e¤ ≈ -e≈ -xe≈ +e≈
=4xe¤ ≈ -xe≈ =xe≈ (4e≈ -1) F'(x)=0에서 x=0 또는 e≈ =
∴ x=0 또는 x=ln =-2 ln 2
따라서 함수 F(x)는 x=-2 ln 2일 때 극댓값을 가지므로
a=-2 ln 2 답 -2 ln 2
1 4
1 4
1194
x y -2 ln 2 y 0 y
F'(x) + 0 - 0 +
F(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=(1-x)e≈
f '(x)=0에서 x=1 (∵ e≈ >0)
1195
x y 1 y
f '(x) + 0
-f (x) ↗ 극대 ↘
10. 정적분 177 f(x)=x cos x로 놓고 f(x)의 한 부정적분을 F(x) 라 하면
f(x)dx= [F(x)]/˘
=
=F'(p)=f(p)
=p cos p=-p 답 ①
F(x)-F(p) lim x-p
x⁄p
1 lim x-p
x⁄p
:px 1 lim x-p
x⁄p
1197
f(t)=e† -cos pt의 한 부정적분을 F(t)라 하면 f(t)dt= [F(t)]!x‹
=
= [ ¥ ]
= [ ¥ ]
= F'(1)= f(1)
= (e+1) 답 3(e+1)
2 3
2
3 2 3
2
x¤ +x+1 x+1 F(x‹ )-F(1)
x‹ -1 limx⁄1
x‹ -1 x¤ -1 F(x‹ )-F(1)
x‹ -1 limx⁄1
F(x‹ )-F(1) x¤ -1 limx⁄1
1 x¤ -1 limx⁄1
:1
1 x‹
x¤ -1 limx⁄1
1198
⑴ f(t)=et¤으로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면
f(t)dt
= [F(t)]!'x
=
= [ ¥ ]
=F'(1)¥ = F'(1)
= f(1)=
⑵ f(x)=x ln x+xe≈ 으로 놓고 f(x)의 한 부정적분을 F(x) 라 하면
e 2 1
2
1 2 1 2
1 'x+1 F('x)-F(1)
'x-1 limx⁄1
F('x)-F(1) lim x-1
x⁄1
1 limx-1
x⁄1
:!'x 1 limx-1
x⁄1
1199
단계 채점요소 배점
f '(x)구하기 20%
f(x)가 극대인 점의 x좌표 구하기 40%
f(x)의 극댓값 구하기 40%
다른풀이 f { p}= sin t(1+2 cos t)dt
= (sin t+sin 2t)dt
=[-cos t- cos 2t]);3@;p=9 4 1
2 :);3@;p
:);3@;p 2
3
f(x)= sin t(1+2 cos t)dt 위의 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=sin x(1+2 cos x)
f '(x)=0에서
1+2 cos x=0 (∵ 0<x<p) ∴ cos
x=-∴ x= p (∵ 0<x<p)
따라서 함수 f(x)는 x= p일 때 극대이고 극댓값은
f { p}= sin t(1+2 cos t)dt
cos t=u로 놓으면 -sin t= ∴ sin t dt=-du t=0일 때 u=1, t= p일 때
u=-∴ f{ p}= sin t(1+2 cos t)dt
=- (1+2u)du
=-[u+u¤ ]!-;2!;
=-[{- + }-(1+1)]
=
답 9 4 9
4
1 4 1 2 :1
-;2!;
:0;3@;p 2
3
1 2 2
3
du dt :0
;3@;p
2 3
2 3 2
3
1 2
1196
:)/따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 f(1)= (1-t)e† dt
f(t)=1-t, g'(t)=e† 으로 놓으면 f '(t)=-1, g(t)=e†
∴ (1-t)e† dt
=[(1-t)e† ]1)+ e† dt
=-1+[e† ]1)=e-2 답 e-2
:)1 :)1
:)1
x (0) y ;3@;p y (p)
f`'(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
f(x)dx
=p xf(x)dx
=p x sin px dx
=[ln|x|-ln|x+1|]2!
=(ln 2-ln 3)-(ln 1-ln 2)
(2x-3)e-2x+2dx에서 f(x)=2x-3, g'(x)=e-2x+2으로 놓으면 f '(x)=2, g(x)=-1e-2x+2
2
1206
:)110. 정적분 179
1211
:_1!1+'x=t로 놓으면
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=(1+sin x)cos x
f '(x)=0에서 sin x=-1 또는 cos x=0
∴ x= (∵ 0<x<p)
따라서 f(x)는 x= 에서 극댓값을 갖는다.
∴ a=p 답 ⑤
2
p 2 p
2
1215
x (0) y ;2… ; y (p)
f`'(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
f(t)=(cos pt+ln t)e† 으로 놓고, f(t)의 한 부정적 분을 F(t)라 하면
(cos pt+ln t)e† dt
=
= [ ¥(x+1)]
=2F'(1)
=2f(1)
=-2e 답 ①
F(x¤ )-F(1) x¤ -1 limx⁄1
F(x¤ )-F(1) lim x-1
x⁄1
:1x¤
1 lim x-1
x⁄1
1216
f(-x)=e—≈ +e≈ =f(x)이고,
g(-x)=tan(-x)=-tan x=-g(x)이므로 f(x)는 우함수, g(x)는 기함수이다.
즉, f(x)g(x)는 기함수이므로
f(x)g(x)dx=0 답 ①
:-1 1
1217
f(t)dt=k (k는 상수)로 놓으면 f(x)=sin px+k이므로
k= (sin pt+k)dt
=[- cos pt+kt]0;2!;
= + k
∴ k=
따라서 f(x)=sin px+ 이므로
f { }=sin + =1+2 답 ②
p 2
p p 2 1
2
2 p 2
p 1 2 1 p
1 p :0;2!;
:0;2!;
1218
⑴ f(x)= (x-t)cos t dt
=x cos t dt- t cos t dt 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= cos t dt+x cos x-x cos x
= cos t dt
=[sin t]/)=sin x
∴ f '(p)=sin p=0
⑵ (x-t)f(t)dt=x¤ ln x+ax+b에서
x f(t)dt- tf(t)dt=x¤ ln x+ax+b yy㉠
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
0=a+b yy㉡
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
f(t)dt+xf(x)-xf(x)=2x ln x+x+a
∴ f(t)dt=2x ln x+x+a 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 0=1+a ∴ a=-1
㉡에 a=-1을 대입하면 b=1
답 ⑴ 0 ⑵ a=-1, b=1 :!/
:!/
:!/
:!/
:!/
:)/
:)/
:)/
:)/
1219
:)/⑴ 1+2 sin x=t로 놓으면 2 cos x= ∴ cos x dx= dt x=0일 때 t=1, x= 일 때 t=3이므로
dx= dt
= [ln |t|]3!
= ln 3
⑵ ln x=t로 놓으면 = ∴ dx=dt x=1일 때 t=0, x=e일 때 t=1이므로
dx= sin pt dt
=[- cos pt]1)=
⑶ sin x=t로 놓으면 cos x= ∴ cos x dx=dt x=0일 때 t=0, x=p일 때 t=1이므로
2 dt dx
2 p 1
p sin(p ln x) :)1
:!e x
1 x dt
dx 1 x
1 2 1 2
1 :13 t 1 2 cos x
1+2 sin x :0;2“;
p 2
1 2 dt
dx
1220
10. 정적분 181 {cos +2 cos p+y+n cos p}
= k cos p
= k cos k¥
= x cos x dx
=[x sin x]»)- sin x dx
=-[-cos x]»)=-2 답 ②
:0 p
:0p
p n p n p
n
¡n
limk=1 nڦ
k n
¡n k=1
p¤
lim n¤
nڦ
n n 2
n p
n p¤
lim n¤
nڦ
1223
(주어진 식)= (e;n@;+e;n$;+e;n^;+y+e:™n˜:)
= ;Kn+!e:™n:¥
= e≈ dx=[e≈ ]2)
=e¤ -1 답 ②
:)2
2 lim n
nڦ
2 lim n
nڦ
1224
f(x)dx- f(x)dx+ f(x)dx
= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx
= f(x)dx
이때 x는 기함수, cos x는 우함수, sin x는 기함수이므로 x cos x는 기함수, x sin x는 우함수이다.
∴ f(x)dx= (x cos x+x sin x)dx
=2 x sin x dx
=2{[-x cos x]3)» + cos x dx}
=2{-3p cos 3p+[sin x]3)» }
=6p+0
=6p 답 ⑤
:)3 » :)3 »
:_3#»˘
:_3#»˘
:_3#»˘
:@3˘»
:˘2 » :_»#˘
:@3˘»
:@»˘
:_»#˘
1225
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(g(x))g'(x)=f(x)g(x)-e≈ -xe≈
f '(x)=a, g'(x)=e≈ 이므로 주어진 식은 ae≈ =(ax+b)e≈ -e≈ -xe≈
=(ax+b-1-x)e≈
e≈ >0이므로
a=ax+b-1-x=(a-1)x+b-1 즉, 0=a-1, a=b-1
∴ a=1, b=2
따라서 f(x)=x+2이므로
f(2)=2+2=4 답 ⑤
1226
x+1=t로 놓으면 x=t-1이고 1= ∴ dx=dt
x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로 e≈ f(x+1)dx= e† —⁄ f(t)dt 이때 주어진 그림에서
f(x)=[ 이므로
1…t…2에서 f(t)=2
∴:!2 e† —⁄ f(t)dt=:!2 e† —⁄ ¥2 dt 2x+2 (-1…x<0)
2
(0…x…2)-:!2 :)1
dt dx
1227
2x+1=t로 놓으면 2 dx=dt x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=3이므로
f(2x+1)dx
= f(t)¥ dt= f(t)dt
= [ f(t)dt+ f(t)dt]
= (2+3)= 답 5
2 5
2 1
2
:23 :12
1 2
:1
1 3
2 1 : 2
1 3
:01
1222
ㄱ. ln x dx=[x ln x]e!2- dx
=2e¤ -[x]e!2
=2e¤ -(e¤ -1)=e¤ +1 (참) ㄴ. f(x)=e≈ +e—≈ 으로 놓으면
f(-x)=e—≈ +e≈ =f(x)이므로 `f(x)는 우함수이다.
∴ (e≈ +e—≈ )dx=2 (e≈ +e—≈ )dx+0 (거짓) ㄷ. x¤ 은 우함수, sin x는 기함수이므로 x¤ sin x는 기함수이
다. 또한, cos 2x는 우함수이므로
(x¤ sin x+cos 2x)dx=2 cos 2x dx
=2[ sin 2x]p)
=0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③
1 2 :)p :_pp
:0
: 1 -1
1
:1e¤
:1e¤
1221
(sin‹ x+1)cos x dx
= (t‹ +1)dt=[ +t]1)
=
답 ⑴ ln 3 ⑵ ⑶ 5 4 2 p 1
2 5
4
t›
:)1 4 :0;2“;
=2[e† —⁄ ]2!=2(e-1) 답 2(e-1) 다른풀이 함수 y=f(x+1)의 그래
프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축 의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것 이므로
f(x+1)=[
∴ e≈ f(x+1)dx= e≈ ¥2 dx
=2[e≈ ]1)=2(e-1) :)1
:)1
2x+4 (-2…x<-1)
2
(-1…x…1)-y
O 1 x 2
-1 -2
y=f(x+1)
xe≈ =x에서 x(e≈ -1)=0 ∴ x=0
y=g(x)가 y=f(x)의 역함수이므로 y=g(x)와 y=f(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이고, y=g(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
∴ g(x)dx=1¥e- f(x)dx
=e- xe≈ dx
=e-{[xe≈ ]1)- e≈ dx}
=e-{e-[e≈ ]1)}
=e-(e-e+1)
=e-1 답 ①
:)1 :)1
:)1 :)e
y
e x e
O 1
1 y=f(x)
y=g(x) y=x
1228
f(x)=a ln x+b에서 f '(x)=
조건 ㈎에서 =f '(1)이므로
f '(1)=3
즉, f '(1)= =3 ∴ a=3
조건 ㈏에서 f(x)dx= (3 ln x+b)dx
=3{[x ln x]e!- 1 dx}+[bx]e!
=3+b(e-1)
따라서 3+b(e-1)=e+2에서 b(e-1)=e-1
∴ b=1
답 a=3, b=1 :!e
:!e :!e
a 1
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
a
1229
x단계 채점요소 배점
a의 값 구하기 40%
:!e f(x)dx의 값 구하기 40%
b의 값 구하기 20%
f(x)=sin(cos x)에서
f(-x)=sin(cos(-x))=sin(cos x)=f(x) 즉, 함수 y=f(x)는 우함수이므로
f(x)dx=2 f(x)dx=2A
f(x)dx=2 f(x)dx=2B
∴ f(x)dx+ f(x)dx=2A+2B
답 2A+2B :-22
:-11
:02 :-22
:01 :-11
1230
단계 채점요소 배점
f(x)dx를 A를 이용하여 나타내기 40%
f(x)dx를 B를 이용하여 나타내기 40%
f(x)dx+:-22f(x)dx를 A, B를 이용하여 나타내기 20%
:-11 :-2 2
:-1 1
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=(1-sin x)cos x
f '(x)=0에서 sin x=1 또는 cos x=0 0<x<p에서 x=
따라서 함수 f(x)는 x= 일 때 극대이고 극댓값은
f { }= (1-sin t)cos t dt
sin t=u로 놓으면 cos t= ∴ cos t dt=du t=0일 때 u=0, t= 일 때 u=1
∴ f{ }= (1-u)du
=[u- u¤ ]1)
=1 2
1 2 p :)1
2
p 2
du dt :0
p ;2“;
2
p 2 p 2
1231
x (0) y ;2“; y (p)
f`'(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
10. 정적분 183
단계 채점요소 배점
f(0)의 값 구하기 30%
f '(x)구하기 40%
f(x)구하기 30%
2xf(x)-x= { f(t)-1} dt yy`㉠
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 2f(1)-1=0 ∴ f(1)=
또, ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 2f(x)+2xf '(x)-1=f(x)-1
∴
=-이때 dx= {- } dx이므로
ln|f(x)|=- ln x+C (∵ x>0) yy㉡
㉡의 양변에 x=1을 대입하면 ln|f(1)|=C ∴ C=ln 1 2 1
2
1 : 2x f '(x)
: f(x) 1 2x f '(x)
f(x)
1 2 :!/
즉, ln|f(x)|=- ln x+ln =ln 따라서 f(x)= {∵ f(1)= }
∴ f(4)= = 답 1
4 1
4 1 2'4
1 2 1
2'x
1 2'x 1
2 1
2
1233
xf(x-1)dx
= (x+1)f(x)dx
= (x+1)e≈ dx+ (x+1)(-x+1)dx
= (x+1)e≈ dx- (x¤ -1)dx
=[(x+1)e≈ ]0_!- e≈ dx-[ -x]3)
=1-[e≈ ]0_!-(9-3)
=2-{1- }-6= -5 답 -5
다른풀이 x-1=t로 놓으면 1= ∴ dx=dt x=0일 때 t=-1, x=4일 때 t=3이므로
xf(x-1)dx= (t+1)f(t)dt
= (t+1)e† dt+ (t+1)(-t+1)dt 이후 같은 방법으로 계산할 수 있다.
:)3 :_0!
:_3!
:)4
dt dx
1 e 1
e 1
e
x‹
:_0! 3 :)3 :_0!
:)3 :_0!
:_3!
1234
:)4f(t)dt=xf(x)+x¤ e—≈ yy`㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf '(x)+2xe—≈ -x¤ e—≈
xf '(x)=-2xe—≈ +x¤ e—≈
∴ f '(x)=-2e—≈ +xe—≈ =(-2+x)e—≈
∴ f(x)= (-2+x)e—≈ dx
u(x)=-2+x, v'(x)=e—≈으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=-e—≈
∴ f(x)= (-2+x)e—≈ dx
=-(-2+x)e—≈ + e—≈ dx
=-(-2+x)e—≈ -e—≈ +C
=(1-x)e—≈ +C yy`㉡
㉠, ㉡에 x=1을 각각 대입하면 f(1)=-e—⁄ , f(1)=C
∴ C=-e—⁄
따라서 f(x)=(1-x)e—≈ -e—⁄ 이므로
f(-1)=2e- 답 2e-1
e 1
e
: :
:
1235
:!/∴ 극댓값
답 극댓값 1 2 1
2
단계 채점요소 배점
f '(x)=0을 만족하는 x의 값 구하기 30%
x=;2“;일 때 극대임을 알기 30%
함수 f(x)의 극값 구하기 40%
f(x)=e—≈ +x+ f '(t)e—† dt yy㉠
㉠의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=1
또, ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=-e—≈ +1+f '(x)e—≈
(-e—≈ +1)f '(x)=-e—≈ +1
위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 f '(x)=1
∴ f(x)= 1 dx=x+C 이때 f(0)=1이므로 1=C
∴ f(x)=x+1
답 f(x)=x+1 :
1232
:)/f(x)+f(-x)=2 cos x-1에서 { f(x)+f(-x)} dx= (2 cos x-1)dx 2 cos x-1은 우함수이므로
{ f(x)+f(-x)} dx=2 (2 cos x-1)dx yy㉠ x=-t로 놓으면 =-1 ∴ dx=-dt
x=-p일 때 t=p, x=p일 때 t=-p이므로 f(-x)dx=- f(t)dt
= f(t)dt= f(x)dx yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
2 f(x)dx=2 (2 cos x-1)dx
∴ f(x)dx= (2 cos x-1)dx
=[2 sin x-x]»)=-p 답 -p 다른풀이 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx
x=-t로 놓으면 =-1 ∴ dx=-dt x=-p일 때 t=p, x=0일 때 t=0이므로
f(x)dx=- f(-t)dt= f(-t)dt
= f(-x)dx
∴ f(x)dx= f(-x)dx+ f(x)dx
= { f(-x)+f(x)} dx
= (2 cos x-1)dx
=[2 sin x-x]»)=-p :)»
:)»
:)»
:)»
:_»˘
:)»
:)»
:˘0 :_0˘
dx dt
:)»
:_0˘
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:)»
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:˘- » :_»˘
dx dt
:)»
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