y'=5(3x¤ +2x+2)› (3x¤ +2x+2)'
=5(3x¤ +2x+2)› (6x+2) yy답
0745
y'={(x+1)¤ }'(x¤ -1)¤ +(x+1)¤ {(x¤ -1)¤ }'
=2(x+1)(x+1)'(x¤ -1)¤
+(x+1)¤ ¥2(x¤ -1)(x¤ -1)'
=2(x+1)(x¤ -1)¤ +4x(x+1)¤ (x¤ -1) yy답
0746
답 y'=-sin x-cos x
0747
y'=-sin (x¤ -1)¥(x¤ -1)'
=-sin (x¤ -1)¥2x
=-2x sin (x¤ -1) 답 y'=-2x sin (x¤ -1)
0748
y'=sec¤ (sin x)¥(sin x)'
=sec¤ (sin x)¥(cos x) yy답
0749
y'=x' sec x+x(sec x)'
=sec x+x sec x tan x
=sec x(1+x tan x) yy답
0750
y'=2¥2x-3¥x—‹ —⁄ =4x- 답 y'=4x- 3 x›
3
0742
x›y'=
=
= 답 y'= -5
(3x-2)¤
-5 (3x-2)¤
(3x-2)-(x+1)¥3 (3x-2)¤
(x+1)'(3x-2)-(x+1)(3x-2)' (3x-2)¤
0743
y'=2(x+3)(x+3)'=2(x+3) 답 y'=2(x+3)
0744
y'=- =- 답 y'=- 1
(x-3)¤
1 (x-3)¤
(x-3)' (x-3)¤
0739
y'= = 답 y'= 2x+1
(x¤ +x)¤
2x+1 (x¤ +x)¤
(x¤ +x)' (x¤ +x)¤
0740
y'=-1¥x—⁄ —⁄ =-x—¤ =- 답 y'=- 1 x¤
1
0741
x¤y'= ¥(3x)'= ¥3= 답 y'=1 x 1
x 1 3x 1
0751
3xy'= ¥(2x+5)'=
답 y'= 2 (2x+5) ln 3
2 (2x+5) ln 3 1
(2x+5) ln 3
0752
y=‹ 'x에서 y‹ =x이므로 양변을 y에 대하여 미분하면
0758
dyy'=e≈ sin x+e≈ cos x=e≈ (sin x+cos x)
=x(x¤ +6x+6)e≈ 답 y"=x(x¤ +6x+6)e≈
0761
2(x¤ +1)-(2x-3)¥2x (x¤ +1)¤
(2x-3)'(x¤ +1)-(2x-3)(x¤ +1)' (x¤ +1)¤
(4x-1)(x+1)-(2x¤ -x-1) (x+1)¤
2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤
2x(1-x)-x¤ ¥(-1) (1-x)¤
07. 여러 가지 미분법 111
⑷ y= = - + =x¤ -3x—⁄ +2x—›
이므로
y'=2x+3x—¤ -8x—fi
=2x+ - =
답 ⑴ y'=- ⑵ y'=
답 ⑶ y'=- ⑷ y'=2xfl +3x‹ -8 xfi 2x‹ +25
xfl
6x‡ +4 xfi 6
x‹
2xfl +3x‹ -8 xfi 8
xfi 3 x¤
2 x›
3x‹
x›
xfl x›
xfl -3x‹ +2 x›
f(x)= =3x¤ -2-5x—‹이므로
f '(x)=6x+15x—› =6x+
∴ f '(-1)=-6+15=9 답 9
15 x›
3xfi -2x‹ -5
0768
x‹=
= [ + ]
=f '(1)+f '(1)
=2 f '(1)
f(x)=1+ + + +y+
=1+x—⁄ +x—¤ +x—‹ +y+x—⁄ ‚ 에서
f '(x)=-(x—¤ +2x—‹ +3x—› +y+10x—⁄ ⁄ )
∴ f'(1)=-(1+2+3+y+10)=-55 따라서 구하는 값은
2 f '(1)=2_(-55)=-110 답 -110
1 x⁄ ‚ 1
x‹
1 x¤
1 x
f(1-x)-f(1) -x f(1+x)-f(1)
lim x
x⁄0
{ f(1+x)-f(1)}-{ f(1-x)-f(1)}
lim x
x⁄0
f(1+x)-f(1-x) lim x
x⁄0
0769
f '(x)=3{ }¤
{ }'
=3{ }¤ ¥
= 이때 f'(0)=-6이므로 3a¤ (-3-a)=-6
a‹ +3a¤ -2=0, (a+1)(a¤ +2a-2)=0
∴ a=-1 (∵ a는 정수) 답 ②
3(3x+a)¤ (-3-a) (x-1)›
3(x-1)-(3x+a)¥1 (x-1)¤
3x+a x-1
3x+a x-1 3x+a
0770
x-1⑴ y'=3(3x¤ +2)¤ (3x¤ +2)'
=3(3x¤ +2)¤ ¥6x=18x(3x¤ +2)¤
⑵ y=3(x¤ -x+5)—¤ 에서
y'=-6(x¤ -x+5)—‹ (x¤ -x+5)'
0771
=f '(0) f(x)=(x¤ +2x+2)‹에서
f '(x)=3(x¤ +2x+2)¤ ¥(2x+2)
∴ f'(0)=3¥2¤ ¥2=24 답 24
f(x)-f(0) lim x
x⁄0
0772
y'=2x¥{ f(x)}‹ +x¤ ¥3 { f(x)}¤ ¥f '(x) 이므로 x=2에서의 미분계수는
4 { f(2)}‹ +12 { f(2)}¤ ¥f '(2)=4¥1‹ +12¥1¤ ¥3
=40 답 ④
0773
f(2x-3)=x‹ -x¤ +x-1의 양변을 x에 대하여 미분 하면
2 f '(2x-3)=3x¤ -2x+1 yy㉠
㉠의 양변에 x= 을 대입하면 2 f '(0)=3¥{ }¤ -2¥ +1=
∴ f'(0)=19 답 ⑤
8
19 4 3
2 3
2 3 2
0774
=
⑶ y'=3(2x-3)¤ ¥2¥(x¤ +1)¤ +(2x-3)‹ ¥2(x¤ +1)¥2x
=6(2x-3)¤ (x¤ +1)¤ +4x(2x-3)‹ (x¤ +1)
=2(2x-3)¤ (x¤ +1)(7x¤ -6x+3)
⑷ y'=3{ }¤
{ }'
=3{ }¤ ¥
=3{ }¤ ¥
=
⑸ y'=
=
=
=
답 ⑴ y'=18x(3x¤ +2)¤
답⑵ y'=
답⑶ y'=2(2x-3)¤ (x¤ +1)(7x¤ -6x+3)
답⑷ y'=
답⑸ y'= (x¤ +1)(x¤ -12x-3) (x-3)›
-24x¤ (x+1)(x-1) (x¤ +1)›
-6(2x-1) (x¤ -x+5)‹
(x¤ +1)(x¤ -12x-3) (x-3)›
(x¤ +1)(x-3)¤ (x¤ -12x-3) (x-3)fl
2(x¤ +1)¥2x¥(x-3)‹ -(x¤ +1)¤ ¥3(x-3)¤
(x-3)fl
{(x¤ +1)¤ }'(x-3)‹ -(x¤ +1)¤ {(x-3)‹ }' (x-3)fl
-24x¤ (x+1)(x-1) (x¤ +1)›
-2x¤ +2 (x¤ +1)¤
2x x¤ +1
2(x¤ +1)-2x¥2x (x¤ +1)¤
2x x¤ +1
2x x¤ +1 2x
x¤ +1 -6(2x-1) (x¤ -x+5)‹
f(g(x))=h(x)로 놓으면 h(1)=f(g(1))=f(1)=-2
∴ = =h'(1)
h'(x)=f '(g(x))g'(x)이므로 h'(1)=f '(g(1))g'(1)=f'(1)g'(1)
=5¥3=15 답 ③
h(x)-h(1) lim x-1
x⁄1
f(g(x))+2 lim x-1
x⁄1
0775
⑴ f '(x)= n(2x-1)« —⁄ ¥2
= 2n(2x-1)« —⁄
∴ f '(1)= 2n=2 n=2¥ =110
⑵ 다항식 x‹ +ax¤ +bx+5를 (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x)라 하면
x‹ +ax¤ +bx+5=(x-1)¤ Q(x) yy㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
3x¤ +2ax+b=2(x-1)Q(x)+(x-1)¤ Q'(x) yy`㉡
㉠, ㉡의 양변에 x=1을 대입하면 a+b=-6, 2a+b=-3 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-9
∴ 3a+b=3¥3+(-9)=0 답 ⑴ 110 ⑵ 0 10¥11
2
¡10 n=1
¡10 n=1
¡10 n=1
¡10
0776
n=1=5에서 x⁄ 2일 때 (분모) ⁄ 0이므 로 (분자)⁄ 0이어야 한다.
즉, { f(x)+1}=0이므로 f(2)=-1
∴ = =f '(2)=5
또, =3에서 x⁄ -1일 때 (분모) ⁄ 0이므 로 (분자)⁄ 0이어야 한다.
즉, { g(x)-2}=0이므로 g(-1)=2
∴ = =g'(-1)=3
y=(g Á f)(x)=g( f(x))에서 y'=g'( f(x))f'(x)
이므로 x=2에서의 미분계수는 g'( f(2))f'(2)=g'(-1)¥f'(2)
=3¥5=15
답 15 g(x)-g(-1)
x-(-1)
xlim⁄-1
g(x)-2 lim x+1
x⁄-1 xlim⁄-1
g(x)-2 lim x+1
x⁄-1
f(x)-f(2) lim x-2
x⁄2
f(x)+1 lim x-2
x⁄2
limx⁄2
f(x)+1 lim x-2
x⁄2
0777
f '(x)=
=
=
=
∴ f '(0)= -1 =-1 답 -1
1+0
-1 1+2 sin x cos x
-sin¤ x-sin x cos x-cos¤ x+cos x sin x (sin x+cos x)¤
-sin x(sin x+cos x)-cos x(cos x-sin x) (sin x+cos x)¤
(cos x)'(sin x+cos x)-cos x(sin x+cos x)' (sin x+cos x)¤
0778
⑴ y'=5(csc x)' cot x+5 csc x(cot x)'
=5(-csc x cot x)cot x+5 csc x(-csc¤ x)
=-5 csc x(cot¤ x+csc¤ x)
=-5 csc x(csc¤ x-1+csc¤ x)
=-5 csc x(2 csc¤ x-1)
=5 csc x(1-2 csc¤ x)
⑵ y'=7(e≈ )' tan x+7e≈ (tan x)'
=7e≈ tan x+7e≈ sec¤ x
=7e≈ (tan x+sec¤ x)
⑶ y'=
=
=-⑷ y'=
=
=
답 ⑴ y'=5 csc x(1-2 csc¤ x)
답 ⑵ y'=7e≈ (tan x+sec¤ x)
답 ⑶
y'=-답 ⑷ y'= sec x tan x (1+sec x)¤
4 cos x (2+sin x)¤
sec x tan x (1+sec x)¤
sec x tan x(1+sec x)-sec x(sec x tan x) (1+sec x)¤
(sec x)'(1+sec x)-sec x(1+sec x)' (1+sec x)¤
4 cos x (2+sin x)¤
-cos x(2+sin x)-(2-sin x)cos x (2+sin x)¤
(2-sin x)'(2+sin x)-(2-sin x)(2+sin x)' (2+sin x)¤
0779
f '(x)=
=
=
= sec x(sec x+1) ¤ 1+tan¤ x=sec¤ x (1+sec x)¤
sec x(sec x+sec¤ x-tan¤ x) (1+sec x)¤
sec¤ x(1+sec x)-tan x sec x tan x (1+sec x)¤
(tan x)'(1+sec x)-tan x(1+sec x)' (1+sec x)¤
0780
단계 채점요소 배점
f '(2)의 값 구하기 40%
g'(-1)의 값 구하기 40%
x=2에서의 미분계수 구하기 20%
07. 여러 가지 미분법 113
=
∴ f '{ }= = =2 답 ③
3 2 1+2 sec ;3“;
1+sec ;3“;
p 3
sec x 1+sec x
f '(x)=
=-g'(x)=sec x tan x
h(x)=( f Á g)(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x)
∴ h'{ }=f '{g { }} g'{ }
=f '(2)g'{ }
={- }¥2'3
=-4'3 답 ④
9 2 9
p 3
p 3 p 3 p
3
2 (1+x)¤
-(1+x)-(1-x) (1+x)¤
0781
f(x)=sin 2x`cos¤ x에서 f '(x)=(sin 2x)'cos¤ x+sin 2x(cos¤ x)'
=cos 2x¥(2x)'cos¤ x+sin 2x¥2 cos x¥(cos x)'
=2 cos 2x cos¤ x-2 sin 2x cos x sin x
=2 cos x(cos 2x cos x-sin 2x sin x)
=2 cos x cos(2x+x)
=2 cos x cos 3x
∴ f '{ }=2 cos cos p=2¥1¥(-1)=-1 답 ② 2
p 3 p
3
0782
⑴ y'=cos { -x}¥{ -x}'
=-cos { -x}
⑵ y'=-csc(2x+3) cot(2x+3)¥(2x+3)'
=-2 csc(2x+3) cot(2x+3)
⑶ y'=-csc¤ (tan x)¥(tan x)'
=-sec¤ x csc¤ (tan x)
⑷ y'=(x¤ +3)'sin 3x+(x¤ +3)(sin 3x)'
=2x sin 3x+(x¤ +3)¥3 cos 3x
=2x sin 3x+3(x¤ +3)cos 3x
⑸ y'=2 cos (x¤ +5){cos(x¤ +5)}'
=2 cos (x¤ +5){-sin(x¤ +5)¥(x¤ +5)'}
=2 cos (x¤ +5){-2x sin(x¤ +5)}
=-4x cos (x¤ +5) sin(x¤ +5)
⑹ y'=2 sin x(sin x)'-4 cos x (cos x)'
=2 sin x cos x+4 sin x cos x
=6 sin x cos x
⑺ y'=3 sec¤ (3x-5){sec(3x-5)}'
=3 sec¤ (3x-5) sec(3x-5) tan(3x-5)¥(3x-5)' p
3 p 3 p
0783
3f '(x)=sec¤ (sin 2x)¥(sin 2x)'
=sec¤ (sin 2x)¥2 cos 2x
=
따라서 점{ , 0}에서의 접선의 기울기는
f '{ }= =-2
답 -2 2 cos p
cos¤ (sin p) p
2 p 2
2 cos 2x cos¤ (sin 2x)
0784
⑴ f '(x)=-csc x cot x cot¤ x
=+csc x¥2 cot x¥(-csc¤ x)
=-csc x cot x(cot¤ x+2 csc¤ x)
∴ f '{ }=-csc cot {cot¤ +2 csc¤ }
=-'2¥1¥{1¤ +2¥('2)¤ }
=-5'2
⑵ f '(x)=2 sec x¥(sec x)'
=2 sec x¥sec x tan x
=2 sec¤ x tan x
=
∴ =
= { ¥ ¥ }
= 답 ⑴ -5'2 ⑵
2 5 2
5
1 cos¤ x tan x
x 2 lim 5
x⁄0
2 tan x 5x cos¤ x limx⁄0
f '(x) lim 5x
x⁄0
2 tan x cos¤ x
p 4 p
4 p 4 p 4 p
4
0785
f '(x)= 이고,
f(0)= =0, f '(0)= =-1
이므로
f(0)+f '(0)=0+(-1)=-1 답 ①
cos 0(e‚ -2)-sin 0¥e‚
(e‚ -2)¤
sin 0 e‚ -2
cos x(e≈ -2)-sin x¥e≈
(e≈ -2)¤
0786
=9 sec‹ (3x-5) tan(3x-5)
⑻ y'=3 cos¤ x¥(cos x)'¥sin 3x+cos‹ x¥cos 3x¥(3x)'
=-3 cos¤ x sin x sin 3x+3 cos‹ x cos 3x
=3 cos¤ x(cos x cos 3x-sin x sin 3x)
=3 cos¤ x cos(x+3x)
=3 cos¤ x cos 4x 답 풀이 참조
단계 채점요소 배점
f '(x)구하기 70%
점{;2“;, 0}에서의 접선의 기울기 구하기 30%
= f '(0)=1+2+3+y+10=55
답 ⑴ 4 ln 2 ⑵ -4 ⑶ 55
f(x)=log£ (3x-1)› =4 log£|3x-1|에서
f '(x)=4¥ = (3x-1)ln 3 (3x-1)'
(3x-1)ln 3
0790
⑸ y=(4x¤ -1)ln(2x+1)‹ =3(4x¤ -1)ln(2x+1)
=(12x¤ -3)ln(2x+1) 이므로
y'=24x ln(2x+1)+(12x¤ -3)¥
=24x ln(2x+1)+6(2x-1) 답 풀이 참조
07. 여러 가지 미분법 115
⑴ f(x)=ln(log™ x)에서
f '(x)= = =
f '(x)= =
∴ f '(e)= =
⑵ f(x)=ln(cos¤ 2x)에서
f '(x)= =
= =
=-4 tan 2x
∴ f '{ }=-4 tan =-4¥1=-4
⑶ y=lnæ≠ = ln
= {ln(1-cos x)-ln(1+cos x)}
이므로
sin x(1+cos x)+sin x(1-cos x) 2(1-cos¤ x)
-sin x
ln|y|=ln|x|+2 ln|x-2|-ln(x¤ +1) x(x-2)¤
ln|y|=2 ln|x-3|+ln|x+2|-3 ln|x-2|
양변을 x에 대하여 미분하면
ln y= (ln|x+2|+ln|x-3|-ln|x-1|) 양변을 x에 대하여 미분하면
⑴ y= = =x-;5#;이므로
y'=- x-;5#;-1=- x-;5*;=- ¥
=-⑵ y=‹"√(2x+1)fi =(2x+1);3%;이므로 y'= (2x+1);3%;-1(2x+1)'
= (2x+1);3@;
=
⑶ y=(5x-3)“ 에서 y'=e(5x-3)“ —⁄ (5x-3)'
=5e(5x-3)“ —⁄
⑷ y='ƒ3+2 tan x=(3+2 tan x);2!;이므로 y'= (3+2 tan x);2!;-1(3+2 tan x)'
= (3+2 tan x)-;2!;¥2 sec¤ x
=
⑸ y=cos "√1+x¤ 에서
y'=-sin "√1+x¤ ¥("√1+x¤ )'
=-sin "√1+x¤ ¥
=-sin "√1+x¤ ¥
=- x sin "√1+x¤ 답 풀이 참조
"√1+x¤
2x 2"√1+x¤
(1+x¤ )' 2"√1+x¤
sec¤ x 'ƒ3+2 tan x 1
2 1 2
10 ‹"√(2x+1)¤
3 10
3 5 3
3 5x fi "≈x‹
1 x;5*;
3 5 3
5 3
5
1 x;5#;
1 fi "≈x‹
0797
f(g(x))=x에서 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(g(x))g'(x)=1이므로
g'(x)=
한편, f(1)=5에서 g(5)=1이고 f '(1)=1이므로
3 1 f '(g(x))
g'(5)=
= = 1 =3 답 ④
;3!;
1 f '(1)
1 f '(g(5))
0798
y=x‹ -x¤ +x의 양변을 x에 대하여 미분하면
=3x¤ -2x+1
∴ =
따라서 x=2에서의 는
= 답 1
9 1
9 1
3¥2¤ -2¥2+1
dx dy 1 3x¤ -2x+1 dx
dy dy dx
0799
x‹ =y¤ +y의 양변을 y에 대하여 미분하면 3x¤ =2y+1
∴ = =
∴ = 3 ‹ "√(y¤ +y)¤ yy답 2y+1
dy dx
2y+1 3 ‹ "√(y¤ +y)¤
2y+1 3x¤
dx dy dx dy
0800
x⁄1일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다.
즉, { g(x)-2}=0이므로 g(1)=2 yy㉠
∴ = =g'(1)=5
한편, g(x)는 f(x)의 역함수이므로
㉠에서 f(2)=1
∴ f'(2)= = =1 답 ⑤
5 1 g'(1) 1
g'( f(2))
g(x)-g(1) lim x-1
x⁄1
g(x)-2 lim x-1
x⁄1
limx⁄1
0801
f '(x)= =
f "(x)=- =-
=-∴ f"(e)=- 2 답 ①
e¤
ln x+1 (x ln x)¤
(x ln x)' (x ln x)¤
1 x ln x (ln x)'
0802
ln xln x+x¥1x1 (x ln x)¤
⑴ f '(x)=eax+b+axeax+b=eax+b(1+ax) f "(x)=aeax+b(1+ax)+aeax+b=aeax+b(2+ax) f '(0)=7에서 e∫ =7 yy㉠
0804
f '(x)=e≈ sin x+e≈ cos x=e≈ (sin x+cos x) f "(x)=e≈ (sin x+cos x)+e≈ (cos x-sin x)
=2e≈ cos x
∴ = =1 tan x 답 ①
2 e≈ sin x 2e≈ cos x f(x)
f "(x)
0803
f '(x)=10(x+"√1+x¤ )· (x+"√1+x¤ )'
=10(x+"√1+x¤ )· {1+ }
=10(x+"√1+x¤ )· {1+ } 이므로
f '(1)=10(1+'2 )· {1+ }=a f '(-1)=10(-1+'2 )· {1- }=b
∴ ab=10¤ ¥1¥1=50 답 50
2
1 '2 1 '2
x
"√1+x¤
2x 2"√1+x¤
0796
07. 여러 가지 미분법 117
=(2+a)e≈ (cos 2x-2 sin 2x)=0 모든 실수 x에 대하여 위 식을 만족시키므로 a=-2 -;2A;p sin ;2“;x (x<1) ({
0812
x+3‹æ≠{ } x+1 2
x+3
f(x)="√1+cos¤ x=(1+cos¤ x);2!;이므로 f '(x)= (1+cos¤ x);2!;-1(1+cos¤ x)'
= (1+cos¤ x)-;2!;¥2 cos x¥(-sin x)
=
∴ f '{ }= =- 답 ②
다른풀이 f(x)="√1+cos¤ x에서
f '(x)= =
=-cos x sin x
"√1+cos¤ x
-2 cos x sin x 2"√1+cos¤ x (1+cos¤ x)'
2"√1+cos¤ x
'6 6 1 1
-12¥12 '2 '2 111112
1 æ≠1+{12}¤
'2 p
4
-cos x sin x
"√1+cos¤ x 1
2 1 2
0814
양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln|y|=ln|2x-1|+2 ln|x+1|-3 ln|x-1|
양변을 x에 대하여 미분하면
= +
-=
∴ y'=y¥
= ¥
=-따라서 x=0에서의 미분계수는
- 3(0-1)(0+1) =3 답 ⑤
(0-1)›
3(3x-1)(x+1) (x-1)›
-9x+3 (2x-1)(x+1)(x-1) (2x-1)(x+1)¤
(x-1)‹
-9x+3 (2x-1)(x+1)(x-1)
-9x+3 (2x-1)(x+1)(x-1)
3 x-1 2
x+1 2
2x-1 y'
y
0815
f '(x)=-e—≈ sin ax cos x+e—≈ a cos ax cos x -e—≈ sin ax sin x
=e—≈ (-sin ax cos x+a cos ax cos x -sin ax sin x)
∴ f '(0)=a=p 답 ⑤
0816
` h(x)=(g Á f)(x)=g( f(x))에서 h'(x)=g'( f(x))f'(x)
∴ h'(0)=g'( f(0))f'(0) yy㉠
한편, f(x)=2 sin x+cos x에서 f '(x)=2 cos x-sin x이 므로 f'(0)=2, f(0)=1
따라서 ㉠에서 4=g'(1)¥2 ∴ g'(1)=2 답 ②
0817
g(2)=k라 하면 f(k)=2이므로 k‹ +2k¤ +3k-4=2
k‹ +2k¤ +3k-6=0 (k-1)(k¤ +3k+6)=0
이때 k¤ +3k+6={k+ }¤ + >0이므로 k=1 따라서 g(2)=1이고 f'(x)=3x¤ +4x+3이므로 f '(1)=3+4+3=10
∴ g'(2)= = = 1 답 ③
10 1 f '(1) 1
f '(g(2))
15 4 3 2
0818
f '(x)=
=
= ¤2 ssin¤ x+cos¤ x=1
=
∴ f '(x)= =1 답 ③
2 1
1-sin {-;2“;}
1 1-sin x
1+sin x 1-sin¤ x
cos¤ x+sin x+sin¤ x cos¤ x
cos x cos x-(1+sin x)¥(-sin x) cos¤ x
0819
lim
x⁄-p 2
f '(x)=
= {1+ }
= ¥
=
∴ =f '(1)= ='2 답 ①
2 1 '2 f(1+h)-f(1)
lim h
h⁄0
1
"√1+x¤
"√1+x¤ +x
"√1+x¤
1 x+"√1+x¤
2x 2"√1+x¤
1 x+"√1+x¤
(x+"√1+x¤ )' x+"√1+x¤
0821
` f '(x)=eax+b+axeax+b=(1+ax)eax+b f "(x)=aeax+b+(1+ax)¥aeax+b=(2a+a¤ x)eax+b f '(0)=2에서 eb=2 ∴ b=ln 2
또, f "(0)=28에서 2aeb=28 eb=2이므로 4a=28 ∴ a=7
∴ a+b=7+ln 2 답 ③
0820
f(2x-3)=sin px의 양변을 x에 대하여 미분하면 2 f '(2x-3)=p¥cos px
∴ f '(2x-3)=
위의 식의 양변에 x=2를 대입하면
f '(1)=p 답 ⑤
2
p`cos px 2
0822
f '(x)= =-sin x=-tan x cos x
(cos x)' cos x
0823
` f '(x)=
∴ f'(p)= -1-0 =1 답 ③
0+(-1)
cos x-sin x sin x+cos x
0813
07. 여러 가지 미분법 119
y=(gΩf )(x)=g( f(x))=ln|tan |이므로
y'= = =
∴ f(4)f'(4)+g(3)g'(3)=3¥ +4¥5
= +20= 답 103 f '(x)=-2 sin(2x-p) g(x)는 f(x)의 역함수이므로 g(0)=k라 하면 f(k)=0
∴ cos(2k-p)=0 yy`㉠
이때 0<x< 이므로 0<2x<p에서 -p<2x-p<0 따라서 ㉠에서
+cos¤ 2x¥cos 2x¥(2x)'}
=-6(-4 cos 2x sin¤ 2x+2 cos¤ 2x cos 2x)
=12 cos 2x(2 sin¤ 2x-cos¤ 2x) 이므로
g'(0)= =
g'(0)= = 답 1
2 1
2 1
(-2)¥(-1) 1 f '{;4“;}
1 f '(g(0))
=
= +
=f '(1)+f '(1)=2 f '(1) 한편, f(x)=(2'ßx-1)‹ 에서
f '(x)=3(2'ßx-1)¤ ¥
∴ f'(1)=3¥1¥1=3
따라서 구하는 값은 2 f'(1)=2¥3=6 답 ③ 1
'ßx
f(1-x)-f(1) lim -x
x⁄0
f(1+x)-f(1) lim x
x⁄0
f(1+x)-f(1)+f(1)-f(1-x) lim x
x⁄0
f(1+x)-f(1-x) lim x
x⁄0
0831
` f(x)=ln(ex+e2x+e3x+y+e100x)이라 하면 f(0)=ln 100이므로
ln
= {ln(ex+e2x+e3x+y+e100x)-ln 100}
= =f '(0)
f '(x)= 이므로
f '(0)= =
따라서 A=5050이므로 100A=5050 답 5050 100
5050 100 1+2+y+100
100
ex+2e2x+3e3x+y+100e100x ex+e2x+e3x+y+e100x f(x)-f(0)
lim x
x⁄0
1 limx
x⁄0
ex+e2x+e3x+y+e100x 100
1 lim x
x⁄0
0832
` f(x)= 에서
f '(x)=
=-이때 f'(1)=10이므로
- =10
∴ k=-10
따라서 f(x)=- 이므로 f(0)=0
∴ = =f '(0)
= =10
답 10 10
(-1)¤
f(h)-f(0) lim h
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
10x 2x-1 k
(2-1)¤
k (2x-1)¤
k(2x-1)-2kx (2x-1)¤
kx
0833
2x-1단계 채점요소 배점
f '(x)구하기 30%
k의 값 구하기 30%
의 값 구하기 40%
f(h) lim h
h⁄0
` f '(x)=aeaxsin x+eaxcos x
=eax(a sin x+cos x)
f "(x)=aeax(a sin x+cos x)+eax(a cos x-sin x)
=eax(a2sin x+2a cos x-sin x)
∴ f"(x)-2 f'(x)+2 f(x)
∴=eax(a2sin x+2a cos x-sin x)
-2eax(a sin x+cos x)+2eaxsin x
∴=0
위의 식을 정리하면
eax{(a-1)2sin x+2(a-1)cos x}=0
그런데 위 식은 x에 대한 항등식이므로 a=1
답 1
0834
단계 채점요소 배점
f '(x)구하기 20%
f "(x)구하기 30%
f "(x)-2 f '(x)+2 f(x)=0정리하기 40%
a의 값 구하기 10%
=5에서 x⁄ 2일 때 (분모) ⁄ 0이므 로 (분자)⁄ 0이어야 한다.
즉, { f(x)+2}=0이므로 f(2)=-2
∴ = =f '(2)=5
한편, h(x)=f(g(x))라 하면 h(1)=f(g(1))=f(2)=-2이므로
= =h'(1)
이때 h'(x)=f'(g(x))g'(x)이고 g'(x)=8x이므로 구하는 값은 h'(1)=f '(g(1))g'(1)
=f '(2)g'(1)
=5¥8=40
답40 h(x)-h(1)
lim x-1
x⁄1
f(g(x))+2 lim x-1
x⁄1
f(x)-f(2) lim x-2
x⁄2
f(x)+2 lim x-2
x⁄2
limx⁄2
f(x)+2 lim x-2
x⁄2
0835
07. 여러 가지 미분법 121
(ae≈ +b)= sin(tan x)=f(0)
∴ a+b=0
⁄0-ae≈ (-1<x<0) cos(tan x)¥sec¤ x
(0<x<1)-xlim⁄0+
F'(1)=f '(1)¥1¥ln 5¥1=ln 5
∴ f '(1)=1 답 1
⁄1--ae—≈ (x<1)
;2“;b cos ;2“;x+1 (x>1) ({