03
Ⅰ.지수함수와 로그함수1…log™ x<2, 2…log™ y<3 log™ 2…log™ x<log™ 2¤ , log™ 2¤ …log™ y<log™ 2‹
이때 밑 2가 2>1이므로 2…x<4, 4…y<8
¤ [log™ x]=2, [log™ y]=1일 때,
⁄과 같은 방법으로 하면 4…x<8, 2…y<4
⁄, ¤에서 점 (x, y)가 존재하는 영역은 위의 그림의 색칠한 부분과 같다. (단, 경계선의 실선은 포함, 점선은 제외한다.) 따라서 구하는 영역의 넓이는
2_4+4_2=16 답 ④
O x
y
2 4 8
4 2 8
= { }
x
=0 답 0
3 lim 4
xڦ
3x 22x
xlimڦ
0256
(3≈ -5≈ )= 5≈ [{ }
x
-1]
이때 [{ }
x
-1]=-1이므로 5≈ [{ }
x
-1]=-¶ 답 음의 무한대로 발산
3 lim 5
xڦ
3 lim 5
xڦ
3 lim 5
xڦ
xlimڦ
0258
= =
이때 25≈ =0이므로
=-1 답 -1
25≈ +1 25≈ -1
xlim⁄-¶
xlim⁄-¶
25≈ +1 25≈ -1
xlim⁄-¶
5¤ ≈ +1 5¤ ≈ -1
xlim⁄-¶
5≈ +5—≈
5≈ -5—≈
xlim⁄-¶
0259
-x=t로 놓으면 x⁄ -¶일 때 t ⁄ ¶이므로 {1- }
2x
= {1+ }
-2t
= [{1+ }
t
]
-2
=e—¤ 답 e—¤
1 lim t
tڦ
1 lim t
tڦ
1 lim x
x⁄-¶
0267
{1+ }
x
= [{1+ } ]
2
=e¤ 답 e¤
x
2 2
lim x
xڦ
2 lim x
xڦ
0266
{1+ } = [{1+ } ] =e32 답 e32
3 2 2
x x
lim 2
x⁄0 3
x x
lim 2
x⁄0
0265
(1+2x) =lim{(1+2x)2x1}¤ =e¤ 답 e¤
x⁄0 1
lim x x⁄0
0264
x-4=t로 놓으면 x⁄ 4+일 때 t ⁄ 0+이므로 log;2!;(x-4)= log;2!;t=¶
답 양의 무한대로 발산
tlim⁄0+
xlim⁄4+
0263
{log£(3x+1)-log£ x}
= log£ = log£ {3+ }
=log£ 3=1 답 1
1 lim x
xڦ
3x+1 lim x
xڦ
xlimڦ
0262
log¢(x¤ +1)=¶ 답 양의 무한대로 발산
xlimڦ
0261
log;3!;x=¶ 답 양의 무한대로 발산
xlim⁄0+
0260
= = 1 =1 답 1
0+1 lim 1
xڦ
2x 1+2x
xlimڦ
0257
{ }
x
1 +1 2
03. 지수함수와 로그함수의 미분 039
0278
3xy'=ln x+x¥1=ln x+1 답 y'=ln x+1 (2x+5)ln 3 2
(2x+5)ln 3 1
(2x+5)ln 3
0280
좌변의 분모, 분자를 각각 3≈ 으로 나누면
{log£(7+3x)-log£ x}
= log£ 3+11111111log£ x
log£ {1+;[#;+15}x¤5 2+11111111log£ x
xlimڦ
(log™|x‹ -1|-log™|x¤ -1|)
= log™ {log£ (ax+1)-log£ (x-1)}
= log£
03. 지수함수와 로그함수의 미분 041 lim 3x+1
x⁄0
ln (1+3x)(1-3x) lim x¤ 111115_22x
ln (1+6x) 111115_66x limx⁄ 0
= [ _a]
log™(3+x)-log™ 3 lim x
03. 지수함수와 로그함수의 미분 043
=3에서 x ⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이고
03. 지수함수와 로그함수의 미분 045 즉, ln (5x+a)=0 ∴ ln a=0
∴ a=e‚ =1
a=1을 ㉠의 좌변에 대입하면
= [ _5]=1_5=5
따라서 b=5이므로 a+b=1+5=6 답 ④
ln (5x+a) lim 5x
x⁄0
ln (5x+a) lim x
x⁄0
limx⁄0
함수 f(x)가 x=0에서 연속이려면 f(x)=f(0)이어야 한다.
즉, =a
= [ x _e≈ ]=1_1=1이므로 a=1 답 1 e≈ -1
limx⁄0
xe≈
e≈ -1 limx⁄0
xe≈
e≈ -1 limx⁄0
limx⁄0
0315
함수 f(x)가 구간 {- , ¶}에서 연속이므로 f(x) 는 x=0에서 연속이다. 즉, f(x)=f(0)이므로
2=
2= [ _ ]
=1_ =
∴ k=4 답 ④
k 2 k 2
k 2 2x
ln (1+2x) limx⁄0
kx ln (1+2x) limx⁄0
limx⁄0
1
0316
2(x-1)f(x)=e¤ ≈ —¤ -1에서 x+1일 때 f(x)=
이때 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 f(x)는 x=1 에서 연속이다.
즉, f(x)=f(1)이므로
=f(1)
이때 x-1=t로 놓으면 x⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로
=
= [ _2]=1_2=2
따라서 f(1)=2
답 2 e¤ † -1
lim 2t
t⁄0
e¤ † -1 lim t
t⁄0
e¤ ≈ —¤ -1 lim x-1
x⁄1
e¤ ≈ —¤ -1 lim x-1
x⁄1
limx⁄1
e¤ ≈ —¤ -1 x-1
0317
단계 채점요소 배점
함수 f(x) 구하기 20%
limx⁄1f(x)=f(1)임을 알기 30%
f(1)의 값 구하기 50%
f(x)=(6x¤ +2)e≈에서 f '(x)=(6x¤ +2)'e≈ +(6x¤ +2)(e≈ )'
=12xe≈ +(6x¤ +2)e≈
=(6x¤ +12x+2)e≈
∴ f '(0)=2 답 ②
0318
곱의 미분법에 의하여
⑴ y'=(e≈ )'(3x¤ -1)+e≈ (3x¤ -1)'
=e≈ (3x¤ -1)+e≈ _6x
=e≈ (3x¤ +6x-1)
⑵ y=2‹ ≈ —⁄ =(2‹ )≈ ¥2—⁄ = _8≈이므로
y'= _8≈ ln 8=2—⁄ _(2‹ )≈ _3 ln 2=3¥2‹ ≈ —⁄ ln 2
⑶ y'=(5≈ )'(2x-1)+5≈ (2x-1)'
=5≈ ln 5_(2x-1)+5≈ _2
=5≈ {(2x-1)ln 5+2}
⑷ y'=x'e‹ ≈ +x(e‹ ≈ )'
=e‹ ≈ +x_e‹ ≈ ln e‹
=e‹ ≈ +3xe‹ ≈
=e‹ ≈ (1+3x)
⑸ e—≈ ={ }≈ 이므로 y=x¤ e—≈에서
y'=(x¤ )'e—≈ +x¤ [{ }≈ ]'
=2x_e—≈ +x¤ _{ }≈ ln
=2x_e—≈ -x¤ _e—≈
=xe—≈ (2-x)
답 ⑴ y'=e≈ (3x¤ +6x-1) ⑵ y'=3¥2‹ ≈ —⁄ ln 2
답 ⑶ y'=5≈ {(2x-1)ln 5+2} ⑷ y'=e‹ ≈ (1+3x)
답 ⑸ y'=xe—≈ (2-x) 1 e 1 e 1 e 1
e 1 2
1 2
0319
f(x)=a‹ ≈ =(a‹ )≈이므로 f '(x)=a‹ ≈ ln a‹
이때 주어진 곡선 위의 점 (1, f(1))에서의 미분계수가 e이므로 f '(1)=a‹ ln a‹ =e
∴ a‹ =e
∴ a=e;3!; 답 e;3!;
0321
f '(x)=(ex+ln 3)'=(eln 3¥ex)'=3ex이므로 f(ln 2)-f '(0)=eln 2+ln 3-3e‚
=eln 6-3
=6-3=3 답 3
0320
⑴ ln 6x=ln 6+ln x이므로 y'=x' ln 6x+x(ln 6x)'
=ln 6x+x(ln 6+ln x)'
=ln 6x+x {0+ }
=ln 6x+1
⑵ log™ 5x=log™ 5+log™ x이므로 y'=(log™ 5+log™ x)'
=0+ =
⑶ y'=(x‹ )' ln x+x‹ (ln x)'
=3x¤ ln x+x‹ _
=3x¤ ln x+x¤
=x¤ (3 ln x+1)
⑷ y'=(e≈ )' log£ x+e≈ (log£ x)'
=e≈ log£ x+e≈ _
=e≈ {log£ x+ }
⑸ y'=(e‹ ≈ )' ln x+e‹ ≈ (ln x)'
=(e‹ ≈ ln e‹ )ln x+e‹ ≈ _
=3e‹ ≈ ln x+e‹ ≈ _
=e‹ ≈ {3 ln x+ }
답 ⑴ y'=ln 6x+1 ⑵ y'=
답 ⑶ y'=x¤ (3 ln x+1) ⑷ y'=e≈ {log£ x+ }
답 ⑸ y'=e‹ ≈{3 ln x+ } 1 x
1 x ln 3 1
x ln 2 1
x 1 x
1 x 1 x ln 3
1 x ln 3 1 x 1 x ln 2 1
x ln 2 1 x
0323
함수 f(x)=ln x가 닫힌 구간 [2, 4]에서 연속이고 열 린 구간 (2, 4)에서 미분가능하다.
f '(x)= 이고,
= = ln = 이므로
f '(c)= (2<c<4)인 c가 존재한다.
따라서 = 이므로 c= 2 답 ③
ln 2 ln 2
2 1 c
ln 2 2
ln 2 2 4 2 1 2 ln 4-ln 2
2 f(4)-f(2)
4-2 1 x
0322
y=x¤ ln x에서
y'=2x ln x+x¤ _ =2x ln x+x
한편, 곡선 y=x¤ ln x 위의 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기 는 x=1에서의 미분계수와 같으므로
2_1_0+1=1 답 1
1 x
0324
ln 3x=ln 3+ln x이므로 f '(x)=(e≈ )' ln 3x+e≈ (ln 3x)'
=e≈ ln 3x+e≈ (ln 3+ln x)'
=e≈ ln 3x+e≈ _
=e≈ {ln 3x+ }
∴ f '{1}=e;3!;(0+3)=3e;3!; 답 3e;3!;
3
1 x
1 x
0325
f(x)=x ln x+x‹ 에서 f '(x)=ln x+x_ +3x¤
=ln x+3x¤ +1 한편,
=
=
-= + [ _2]
=f '(1)+2f '(1)=3f '(1)
이때 f'(1)=0+3+1=4이므로 3f '(1)=3_4=12 답 ⑤ f(1-2h)-f(1)
lim -2h
h⁄0
f(1+h)-f(1) lim h
h⁄0
f(1-2h)-f(1) lim h
h⁄0
f(1+h)-f(1) lim h
h⁄0
f(1+h)-f(1)-{ f(1-2h)-f(1)}
lim h
h⁄0
f(1+h)-f(1-2h) lim h
h⁄0
1 x
0326
f(x)=e¤ ≈ ln x에서 f '(x)=(e¤ ≈ ln e¤ )ln x+e¤ ≈ _
=2e¤ ≈ ln x+e¤ ≈ _
=e¤ ≈ {2 ln x+ } 한편,
= [ _(x¤ +x+1)]
= _(x¤ +x+1)
=
이때 f'(1)=e¤ (2_0+1)=e¤ 이므로 = 답 3 e¤
3 e¤
3 f '(1) 3
f '(1)
)} 0 1
f(x)-f(1) x-1 ({
9 limx⁄1
x-1 f(x)-f(1) limx⁄1
x‹ -1 f(x)-f(1) limx⁄1
1 x
1 x
1 x
0327
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연 속이다.
즉, f(x)=f(1)에서
a+b=5 yy㉠
limx⁄1
0328
03. 지수함수와 로그함수의 미분 047
{log£(1+x)}(5≈ -1) lim x¤
0337
x⁄0= { + + }
=ln(ln 4-ln 2)=ln(ln 2)
∴ e Å =eln(ln 2)=ln 2 답 ⑤
a>b>0에서 0< <1이므로 (a≈ +b≈ );[!; f(2)=2+log¡º 2-2=log¡º 2>0 f(3)=3+log¡º 3-2=1+log¡º 3>0 f(4)=4+log¡º 4-2=2+log¡º 4>0 f(6)=6+log¡º 6-2=4+log¡º 6>0
따라서 f(1)f(2)<0이므로 사이값 정리에 의하여 주어진 방 정식의 실근이 존재하는 구간은 (1, 2)이다. 답 ② 다른풀이 x+log¡º x-2=0에서
log¡º x=-x+2
오른쪽 그림에서 두 함수 y=log¡º x,
03. 지수함수와 로그함수의 미분 049
2a =2a_1=2a
따라서 2a=4이므로
f(3+h)-f(3)-{ f(3-2h)-f(3)}
lim h 1125+;2#[{;2x limx⁄0
1125_;2!;+;2#;x limx⁄0 1125+111_2+111_3+y+1115_10x 2x 3x 10x limx⁄0
10
e≈ -1 e¤ ≈ -1 e‹ ≈ -1 e⁄ ‚ ≈ -1 1125+111+111+y+1115x x x x limx⁄0
=3_1_1_{- }
=-3 답 ①
S(t)= (e-1)ln t이므로
f(x)= f(x)=f(1) ln bx= (ax¤ +1)=f(1)
2ax (x<1)
;[!; (x>1)
03. 지수함수와 로그함수의 미분 051
0358
x-1점 P의 좌표는 (t, e† -1)이라고 하면
=2_1_1_2=4 답 4
ln (1+t)