04 삼각함수 Ⅱ. 삼각함수

0362

^답

0363

^답

0364

^답 h=360˘_n+120˘ (n은 정수)

0365

^답 h=360˘_n+210˘ (n은 정수)

0366

500˘=360˘_1+140˘이므로 360˘_n+140˘ (n은 정수) yy답

0367

-650˘=360˘_(-2)+70˘이므로 360˘_n+70˘ (n은 정수) yy답

0368

550˘=360˘_1+190˘이므로 550˘는 제 3 사분면의

각이다. 답 제 3 사분면

0369

-380˘=360˘_(-2)+340˘이므로 -380˘는 제 4

사분면의 각이다. 답 제 4 사분면

0370

^{240˘=240_ =;3$;p 답 ;3$;p}

0371

;4%;p=;4%;p_ =225˘ ^답 225˘

0372

-300˘=(-300)_ =-;3%;p ^답 -;3%;p

0373

-;3@;p={-;3@;p}_ =-120˘ 답 -120˘

0374

l=4_;4“;=p, S=;2!;_4¤ _;4“;=2p

답 l=p, S=2p

0375

36˘=;18“0;_36=;5“;이므로 l=15_;5“;=3p, S=;2!;_15¤ _;5“;=:¢2∞:p

답 l=3p, S=:¢2∞:p 180˘

p p 180 180˘

p p 180

X P

O -210˘

X P

O 30˘

0376

부채꼴의 반지름의 길이가 3, 호의 길이가 2p이므로 2p=3h ∴ h=;3@;p

∴ S=;2!;_3_2p=3p ^답 h=;3@;p, S=3p

0377

부채꼴의 호의 길이가 4이므로 4=rh 넓이가 6이므로 ;2!;r¤ h=6에서 ;2!;r_4=6

∴ r=3, h=;3$; ^답 r=3, h=;3$;

0378

OP”="√3¤ +√(-1≈)Ω¤ ='1ß0이므로

⑴ sin h= =- ⑵ cos h=

⑶ tan h= =-;3!; ^답 ⑴- ⑵ ⑶-;3!;

0379

sin h>0인 것은 제 1 사분면과 제 2 사분면이고, cos h<0인 것은 제 2 사분면과 제 3 사분면이므로 h는 제 2 사

분면의 각이다. 답 제 2 사분면

0380

cos h>0인 것은 제 1 사분면과 제 4 사분면이고, tan h<0인 것은 제 2 사분면과 제 4 사분면이므로 h는 제 4

사분면의 각이다. 답 제 4 사분면

0381

sin¤ h+cos¤ h=1이고, h가 제 2 사분면의 각이므로 sin h="√1-√cos¤ ≈h =æ≠1-≠{-≠;5#;}2 =;5$;

tan h= =-;3$; ^답 sin h=;5$;, tan h=-;3$;

0382

sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱하면 sin¤ h+cos¤ h+2 sin h cos h=;4!;

1+2 sin h cos h=;4!;

∴ sin h cos h=-;8#; ^답 -;8#;

0383

sin 780˘=sin(360˘_2+60˘)

sin 780˘=sin 60˘= ^답

0384

cos :™6∞:p=cos{4p+;6“;}=cos ;6“;= ^답

0385

tan ;3&;p=tan{2p+;3“;}=tan ;3“;='3 ^답 '3 '3

2 '3

2

'3 2 '3

2 sin h

cos h

3'1å0 10 '1å0

10 -1

3

3'1å0 10 '1å0

10 -1

'1ß0

04. 삼각함수 053

① -500˘=360˘_(-2)+220˘

② -300˘=360˘_(-1)+60˘

③ -100˘=360˘_(-1)+260˘

④ 400˘=360˘_1+40˘

⑤ 700˘=360˘_1+340˘

따라서 a의 값이 가장 작은 것은 ④이다. 답 ④

0390

ㄱ. 1680˘=360˘_4+240˘

ㄴ. -240˘=360˘_(-1)+120˘

ㄷ. 2040˘=360˘_5+240˘

ㄹ. -1920˘=360˘_(-6)+240˘

ㅁ. 720˘=360˘_2

따라서 240˘를 나타내는 동경과 일치하는 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

답ㄱ, ㄷ, ㄹ

0392

① -300˘=360˘_(-1)+60˘

② 60˘

③ 120˘

④ 420˘=360˘_1+60˘

⑤ 780˘=360˘_2+60˘

따라서 같은 위치의 동경을 나타내는 것이 아닌 것은 ③이다.

답 ③

0391

h가 제 3사분면의 각이므로

360˘_n+180˘<h<360˘_n+270˘(n은 정수) 각 변을 2로 나누면

180˘_n+90˘< <180˘_n+135˘

⁄ n=2k(k는 정수)일 때 h 2

180˘_2k+90˘< <180˘_2k+135˘

360˘_k+90˘< <360˘_k+135˘

따라서 는 제`2사분면의 각이다.

¤ n=2k+1(k는 정수)일 때

180˘_(2k+1)+90˘< <180˘_(2k+1)+135˘

360˘_k+270˘< <360˘_k+315˘

따라서 는 제`4사분면의 각이다.

⁄, ¤에서 를 나타내는 동경이 존재하는 사분면은 제`2, 4

사분면이다. 답제`2, 4사분면

h 2 h 2

h 2

h 2 h

2

h 2 h 2

0393

0386

sin {-;4“;}=-sin ;4“;=- ^답 -'2 2 '2

2

0387

cos 330˘=cos(360˘-30˘)=cos(-30˘)=cos 30˘

cos 330˘= 답 '3

2 '3

2

0388

tan :¡6¡:p=tan{2p-;6“;}=tan{-;6“;}

=-tan ;6“;=- ^답 - '3 3 '3

3

0389

① 390˘=360˘_1+30˘

② 750˘=360˘_2+30˘

③ -330˘=360˘_(-1)+30˘

④ -390˘=360˘_(-2)+330˘

⑤ -690˘=360˘_(-2)+30˘

따라서 동경 OP가 나타내는 각이 될 수 없는 것은 ④이다.

답 ④

ㄱ. 400˘=360˘_1+40˘ ∴ 제 1 사분면 ㄴ. 820˘=360˘_2+100˘ ∴ 제 2 사분면 ㄷ. -200˘=360˘_(-1)+160˘ ∴ 제 2 사분면 ㄹ. -1000˘=360˘_(-3)+80˘ ∴ 제 1 사분면

따라서 제 2 사분면의 각은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ

0394

h가 제 4사분면의 각이므로

360˘_n+270˘<h<360˘_n+360˘ (n은 정수) 각 변을 2로 나누면

180˘_n+135˘< <180˘_n+180˘

⁄ n=2k(k는 정수)일 때,

180˘_2k+135˘< <180˘_2k+180˘

따라서 는 제`2사분면의 각이다.

¤ n=2k+1(k는 정수)일 때,

180˘_(2k+1)+135˘< <180˘_(2k+1)+180˘

360˘_k+315˘< <360˘_k+360˘

따라서 는 제 4사분면의 각이다.

⁄, ¤에서 를 나타내는 동경이 존재하는 사분면은 제`2, 4

사분면이다. 답④

h 2 h 2

h 2

h 2 h

2

h 2 h 2

0395

h가 제`2사분면의 각이므로

360˘_n+90˘<h<360˘_n+180˘ (n은 정수) 각 변을 3으로 나누면

120˘_n+30˘<;3Ω;<120˘_n+60˘

⁄n=3k (k는 정수)일 때,

0396

⁄120˘_3k+30˘<;3Ω;<120˘_3k+60˘

⁄360˘_k+30˘<;3Ω;<360˘_k+60˘

⁄따라서;3Ω;는 제`1사분면의 각이다.

¤n=3k+1(k는 정수)일 때,

⁄120˘_(3k+1)+30˘<;3Ω;<120˘_(3k+1)+60˘

⁄360˘_k+150˘<;3Ω;<360˘_k+180˘

⁄따라서;3Ω;는 제`2사분면의 각이다.

‹n=3k+2(k는 정수)일 때,

⁄120˘_(3k+2)+30˘<;3Ω;<120˘_(3k+2)+60˘

⁄360˘_k+270˘<;3Ω;<360˘_k+300˘

⁄따라서;3Ω;는 제`4사분면의 각이다.

⁄, ¤, ‹에서;3Ω;는 제`1사분면 또는 제`2사분면 또는 제`4사분 면의 각이므로;3Ω;를 나타내는 동경은 제`3사분면에 존재할 수 없

다. 답 제`3사분면

각 h를 나타내는 동경과 각 4h를 나타내는 동경이 x축 에 대하여 대칭이므로

h+4h=2np (n은 정수)

5h=2np∴∴∴ h=:™5˜:p yy`㉠

;2“;<h<p에서 ;2“;<:™5˜:p<p이므로

;4%;<n<;2%;

n은 정수이므로 n=2

n=2를 ㉠에 대입하면 h=;5$;p ^답 ;5$;p

0397

a+b=360˘_n+90˘(n은 정수)이므로

a+b가 될 수 있는 각은 90˘이다. 답 ④

0398

각 h를 나타내는 동경과 각 3h를 나타내는 동경이 y 축에 대하여 대칭이므로

h+3h=(2n+1)p (n은 정수)

∴ h= p yy`㉠

0…h<2p에서 0… p<2p이므로 0…2n+1<8, -;2!;…n<;2&;

n은 정수이므로 n=0, 1, 2, 3 2n+1

4 2n+1

4

이 값들을 ㉠에 대입하면 h=;4“;, ;4#;p, ;4%;p, ;4&;p 따라서 모든 h의 값의 합은

;4“;+;4#;p+;4%;p+;4&;p=4p ^답 4p

0399

⑴ 각 h를 나타내는 동경과 각 7h를 나타내는 동경이 일치하므로

7h-h=2np`(n은 정수)

6h=2np ∴ h=;3N;p yy`㉠

;2“;<h<p에서 ;2“;<;3N;p<p이므로 ;2#;<n<3 n은 정수이므로 n=2

n=2를 ㉠에 대입하면 h=;3@;p

⑵ 각 h를 나타내는 동경과 각 6h를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대이므로

6h-h=(2n+1)p (n은 정수)

5h=(2n+1)p∴∴∴ h= p yy㉠

0<h<;2“;에서 0< p<;2“;이므로 0<2n+1<;2%;, -;2!;<n<;4#;∴∴

n은 자연수이므로 n=0

n=0을 ㉠에 대입하면 h=;5“; ^답 ⑴;3@;p ⑵ ;5“;

2n+1 5

2n+1 5

0400

① 45˘=45_ =

② 160˘=160_ = p

③ -144˘=-144_ =- p

④ p= p_ =75˘

⑤ p= p_180˘=324˘ ^답 ⑤

p 9 5 9 5

180˘

p 5

12 5 12

4 5 p 180

8 9 p 180

p 4 p

0401

180

h= p이므로

= p= p_ =144˘

따라서 h는 제`2사분면의 각이다. 답제`2사분면 2

180˘

p 8

10 8 10 h 2

8

0402

5

ㄱ. 16˘=16_ =;4¢5;p ㄴ. ;9@;p=;9@;p_ =40˘

ㄷ. ;3!;라디안=;3!;_ =60˘

p 180˘

p 180˘

p p

0403

180

04. 삼각함수 055 ㄹ. 2라디안=2_ =

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 360˘

p 180˘

p

① 120˘=120_ =;3@;p

② 210˘=210_ =;6&;p

③;5#;p=;5#;p_ =108˘

④ :¡6¡:p=:¡6¡:p_ =330˘

⑤;1∞2;p=;1∞2;p_180˘=75˘ 답 ④ p

180˘

p 180˘

p p 180

p

0404

180

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h라고 하면

;2!;r_6p=12p∴∴∴ r=4

따라서 4h=6p이므로 h=;2#;p ^답 ⑤

0405

⑴ l=6_ =2p S= _6¤ _ =6p

⑵ 120˘=120_ = p이므로 l=12_ p=8p

S= _12¤ _ p=48p

답⑴ l=2p, S=6p ⑵ l=8p, S=48p 2

3 1

2 2 3

2 3 p 180 p 3 1

2

p

0406

3

부채꼴의 반지름의 길이를 r라고 하면 호의 길이가

;3@;r이므로 둘레의 길이는

r+r+;3@;r=24, ;3*;r=24 ∴ r=9 따라서 부채꼴의 넓이는

;2!;_9¤ _;3@;=27 ^답 ④

0407

⑴ 부채꼴의 호의 길이를 l이라고 하면 p_3¤ =;2!;_6_l ∴ l=3p

⑵ 부채꼴의 반지름의 길이를 r라고 하면 둘레의 길이가 24이 므로 호의 길이는 24-2r이다.

따라서 부채꼴의 넓이 S는 S=;2!;r(24-2r)=-r¤ +12r S=-(r-6)¤ +36 (0<r<12)

따라서 r=6일 때, 부채꼴의 넓이의 최댓값은 36이다.

⑶ 길이가 12cm인 부채꼴의 반지름의 길이를 rcm, 호의 길 이를 l cm라고 하면

2r+l=12,즉 r=6-;2!;l yy㉠ 또한, 부채꼴의 넓이 S는

S=;2!;rl yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

S=;2!;_{6-;2!;l}_l=-;4!;(l¤ -12l)=-;4!;(l-6)¤ +9 따라서 부채꼴의 넓이는 l=6(cm)일 때, 최대가 된다.

답 ⑴ 3p ⑵ r=6, S=36 ⑶ 6 cm

0408

오른쪽 그림에서 원점 O와 점 P(12, -5)를 지나는 동경 OP 가 나타내는 각의 크기를 h라고 할 때,

OP”="√12¤ +(-5)¤ =13 이므로

sin h=- , cos h= , tan h=-csc h=- , sec h= , cot

h=-⑴ 13 sin h-13 cos h+12 tan h

=-5-12-5=-22

⑵æ≠ =

=æ– =

답 ⑴ -22 ⑵ 2 5 2

5 4 25

{-:¡5£:}_{-:¡5™:}

39 csc h cot h

39

12 5 13

12 13

5

5 12 12

13 5

13

0409

x y

O

P(12, -5)

-13 13

12

-13 -5 13

h

æ ≠

⑴ csc ;3“;= = = =

⑵ sec {-;4#;p}=

sec {-;4#;p}= = =

sec {-;4#;p}= =- =-'2

⑶ cot :¡6¡:p= =

cot :¡6¡:p= = =-'3

답 ⑴ 2'3 ⑵ -'2 ⑶ -'3 3

1 -121

'3 1

-tan ;6“;

1 tan {2p-;6“;}

1 tan :¡6¡:p

2 '2 1

-12'22

1 -cos ;4“;

1 cos {p-;4!;p}

1 cos ;4#;p

1 cos {-;4#;p}

2'3 3 2 '3 1 12'32 1

sin ;3“;

0410

점 P{a, ;2#;}에서 tan h= =;2£a;이므로

;2£a;=-;4#;∴∴∴ a=-2 또한, r=Ƭ(-2)¤ +¬{;2#;}2 =;2%;

∴ a+r=;2!; ^답 ;2!;

;2#;

0411

a

제`2사분면의 점 P(a, b)가 직선 y=-'3x 위의 점이 므로

b=-'3a에서 P(a, -'3a) (단, a<0)

∴ OP”="√a¤ +√(-√'3a)Ω¤ =2|a|=-2a (∵ a<0)

따라서 sin h= = , cos h= =-;2!;, tan h= =-'3이므로

sin h+cos h+tan h=

답 -1-'3 2 -1-'3

2 -'3a

a

a -2a '3

2 -'3a

-2a

0412

단계 채점요소 배점

점 P의 좌표를 a로 나타내기 20%

OP”의 길이 구하기 30%

sin h, cos h, tan h의 값 구하기 40%

sin h+cos h+tan h의 값 구하기 10%

⁄csc h sec h>0에서 csc h와 sec h의 부호가 서로 같으므로 h는 제`1사분면 또는 제`3사분면의 각이다.

¤cos h tan h>0에서 cos h와 tan h의 부호가 서로 같으므 로 h는 제`1사분면 또는 제`2사분면의 각이다.

⁄, ¤에서 각 h는 제`1사분면의 각이다. 답 ①

0413

⑴ h=- p=2p_(-1)+ p이므로 h는 제`3사 분면의 각이다.

∴ sin h<0, cos h<0, tan h>0, csc h<0, sec h<0, cot h>0

⑵ h= p=2p_3+ p이므로 h는 제`2사분면의 각이다.

∴ sin h>0, cos h<0, tan h<0, csc h>0, sec h<0, cot h<0

⑶ h=560˘=360˘_1+200˘이므로 h는 제`3사분면의 각이다.

∴ sin h<0, cos h<0, tan h>0, csc h<0, sec h<0, cot h>0

2 3 20

3

7 5 3

5

⑷ h=-770˘=360˘_(-3)+310˘이므로 h는 제`4사분면의 각이다.

∴ sin h<0, cos h>0, tan h<0,

csc h<0, sec h>0, cot h<0 ^답 풀이 참조

0414

cot h<0에서 h는 제`2, 4사분면의 각이고 sec h>0 에서 h는 제 1, 4사분면의 각이므로 동시에 만족시키는 h는 제

`4사분면의 각이다.

따라서 h의 값이 될 수 있는 것은 ⑤ 5p이다. 답 ⑤ 3

0415

csc h sec h<0에서

csc h>0, sec h<0 또는 csc h<0, sec h>0 이므로 h는 제 2사분면 또는 제 4사분면의 각이다.

따라서 항상 옳은 것은 ② cot h<0이다. 답 ②

0416

각 h가 제`3사분면의 각이므로 sin h<0, cos h<0, tan h>0 csc h<0, sec h<0, cot h>0

① sin h tan h<0

② >0

③ <0

④ sin h cos h tan h>0

⑤ <0

따라서 옳은 것은 ②이다. ^답 ②

sin h tan h sec h cot h csc h sec h

0417

⑴ h가 제 3 사분면의 각이므로 sin h<0, cos h<0, tan h>0

∴"çsin¤ h+"çcos¤ h+cos h-tan h+|tan h|

=|sin h|+|cos h|+cos h-tan h+|tan h|

=-sin h-cos h+cos h-tan h+tan h

=-sin h

⑵ h가 제`4 사분면의 각이므로 csc h<0, sec h>0, cot h<0

∴ sec h-cot h>0, csc h+cot h<0

∴"√(sec h-cot h)¤ -"√(csc h+cot h)¤

=|sec h-cot h|-|csc h+cot h|

=(sec h-cot h)+(csc h+cot h)

=sec h+csc h

답 ⑴ -sin h ⑵ sec h+csc h

0418

sin h cos h+0이고 =-æ– 이므로 sin h<0, cos h>0

즉, h는 제`4사분면의 각이므로 ;2#;p<h<2p

따라서 a=;2#;, b=2이므로 a+b=;2&; ^답 ③ cos h

sin h 'ƒcos ßh

'ƒsin ßh

0419

04. 삼각함수 057 'ƒcos h 'ƒtan h=-'ƒcos h tan h이고

cos h tan h+0이므로 cos h<0, tan h<0

즉, h는 제`2사분면의 각이므로 sin h>0, cos h<0, tan h<0

∴ cos h+tan h<0, sin h-tan h>0 (주어진 식)

=-tan h cos h-cos h+(cos h+tan h)-(sin h-tan h)

=- _cos h-cos h+cos h+tan h-sin h+tan h

=-2 sin h+2 tan h ^답 -2 sin h+2 tan h 1125-1cos h

sin h 1125+1cos h (cos h+sin h)(cos h-sin h)

(sin h+cos h)¤

④ (1-sin¤ h)(1-cos¤ h)(1+tan¤ h)(1+cot¤ h)

=cos¤ h sin¤ h sec¤ h csc¤ h

=cos¤ h_sin¤ h_ _

=1

⑤ +

= cos h(sec h+tan h)+cos h(sec h-tan h) sec¤ h-tan¤ h (1-sin h)(1+sin h) sin h+1

sin¤ h(1-cos¤ h) cos¤ h

1+tan¤ h-tan¤ h 1+sin h+1-sin h

sec¤ h-tan¤ h

=(1-csc¤ h)(1-sec¤ h)

=(-cot¤ h)(-tan¤ h)

=(sin¤ h+2+csc¤ h)+(cos¤ h+2+sec¤ h)

-(tan¤ h+2+cot¤ h)

=(sin¤ h+cos¤ h)+(csc¤ h-cot¤ h)

+(sec¤ h-tan¤ h)+2

=1+(1+cot¤ h-cot¤ h)+(1+tan¤ h-tan¤ h)+2

=1+1+1+2=5 2(1+sin h)

cos h(1+sin h)

1+2 sin h+sin¤ h+cos¤ h cos h(1+sin h) (1+sin h)¤ +cos¤ h

cos h(1+sin h)

0423

sin¤ h+cos¤ h=1에서 sin¤ h=1-cos¤ h=1-{- }¤ =

⑴ 1+cot¤ h=csc¤ h= 이므로

sin¤ h+cos¤ h=1에서 cos¤ h=1- =

그런데 <h<p이므로 sin h>0, cos h<0

∴ sin h= , cos h=-sin¤ h+cos¤ h=1에서

cos¤ h=1-sin¤ h=1-{- }¤ = 그런데 p<h<2p이므로 cos h>0

∴ cos h=3 1-cos h+1+cos h

(1+cos h)(1-cos h) 1

1+tan¤ h=sec¤ h에서 sec¤ h=1+{- }¤ =

1111111125'1å33 2 1+{-11}_11 1+tan h=(2+'3)(1-tan h) (3+'3)tan h=1+'3

∴ tan h= = = (sin h-cos h)¤=1-2_{-;8#;}=;4&;

0428

04. 삼각함수 059 한편, h는 제`2사분면의 각이므로

sin h>0, cos h<0, 즉 sin h-cos h>0

∴ sin h-cos h=

∴ sin¤ h-cos¤ h=(sin h+cos h)(sin h-cos h)

∴ sin¤ h-cos¤ h=;2!;_ ='7 답 ② 4

'7 2 '7

2

⑴ (sin h+cos h)¤ =1+2 sin h cos`h이므로 { }¤ =1+2 sin h cos h

∴ sin h cos

h=-⑵ (sin h-cos h)¤ =1-2 sin h cos h

=1-2_{- }=

∴ sin h-cos h= (∵ sin h>cos h)

⑶ sin‹ h+cos‹ h

=(sin h+cos h)‹ -3 sin h cos h(sin h+cos h)

={ }‹ -3_{- }_

= + =

⑷ sin› h+cos› h=(sin¤ h+cos¤ h)¤ -2 sin¤ h cos¤ h

=1-2(sin h cos h)¤

=1-2_{- }¤

=1- =

답⑴ - ⑵ ⑶ ⑷ 49 81 13

'1å7 27 3 4

9 49 81 32 81

4 9 13

27 4 9 1 27

1 3 4 9 1

3

'1å7 3

17 9 4 9 4

9 1

3

0429

sin h-cos h='2의 양변을 제곱하면 sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h=2

1-2 sin h cos h=2

∴ sin h cos

h=-∴ sec h-csc h=

-=

= '2 =-2'2 ^답 ②

-;2!;

sin h-cos h sin h cos h

1 sin h 1

cos h 1 2

0430

⑴ 0<h< 이므로 sin h>0, cos h>0 tan h+cot h= +

= sin¤ h+cos¤ h sin h`cos h

cos h sin h sin h

cos h p

0431

2

= =3

즉, sin h cos h=

∴ (sin h+cos h)¤ =1+2 sin h cos h

=1+2_ = 이때 sin h+cos h>0이므로

sin h+cos h=æ =

⑵ sin h+cos h=- 의 양변을 제곱하면 1+2 sin h cos h=

∴ sin h cos

h=-∴ tan¤ h+ = +

=

=

= -2

= -2

= -2=

답 ⑴ ⑵ 46 9 '1å5

3 46

9 64

9 1 {-;8#;}¤

1 (sin h cos h)¤

(sin¤ h+cos¤ h)¤ -2 sin¤ h cos¤ h (sin h cos h)¤

sin› h+cos› h sin¤ h cos¤ h

cos¤ h sin¤ h sin¤ h

cos¤ h 1

tan¤ h 3 8 1 4 1 2

'1å5 3 5 3

5 3 1 3 1

3 1 sin h`cos h

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin h+cos h=-;5#;, sin h cos h=;5K;

sin h+cos h=-;5#;의 양변을 제곱하면 sin¤ h+cos¤ h+2 sin h cos h=;2ª5;

1+2 sin h cos h=;2ª5;

∴ sin h cos h=-;2•5;

따라서;5K;=-;2•5;이므로

k=-;5*; ^답 -;5*;

0432

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (sin h+cos h)+(sin h-cos h)=1 yy㉠ (sin h+cos h)(sin h-cos h)=a yy㉡

0433

sin h+cos h=- 의 양변을 제곱하면 1+2 sin h cos h=

∴ sin h cos h=-이때 tan h`cot h=1이고 tan h+cot h= +

=

=

=-따라서 tan h, cot h를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 12인 이차 방정식은

12{x¤ + x+1}=0, 12x¤ +25x+12=0

∴ a=25, b=12

∴ a+b=25+12=37 답 37

25 12

25 12 1

sin h`cos h sin¤ h+cos¤ h

sin h`cos h cos h sin h sin h

cos h 12 25 1 25

1

0434

5

이차방정식 2x¤ -1=0의 두 근이 sin h, cos h이므로 근과 계수의 관계에 의하여

sin h+cos h=0, sin h cos h=-;2!;

이때 tan h_ =1이고,

tan h+ = +

tan h+ =

tan h+ = =-2

이므로 tan h, 을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차 방정식은 x¤ +2x+1=0

답 x¤ +2x+1=0 1

tan h 1 sin h cos h sin¤ h+cos¤ h

sin h cos h cos h sin h sin h

cos h 1

tan h 1 tan h

0435

단계 채점요소 배점

sin h+cos h, sin h cos h의 값 구하기 30%

tan h_ , tan h+ 의 값 구하기 50%

이차방정식 구하기 20%

1 tan h 1

tan h

+

= +

=tan¤ h- =

-= =-cos¤ h=-1 답 ②

cos¤ h sin¤ h-1

cos¤ h

1 cos¤ h sin¤ h

cos¤ h 1

cos¤ h

-cos h cos h cos¤ h -sin h tan¤ h

-sin h

sin {;2#;p+h}

sin {;2“;+h} cos¤ (2p-h) sin(p+h) tan¤ (p-h)

cos {;2#;p-h}

0436

ㄱ. sin(-h)=-sin hㄴㄴㄴ. sin{;2“;-h}=cos h ㄷ. sin(p-h)=sin h ㄹ. sin{;2#;p-h}=-cos h ㅁ. sin{;2“;+h}=cos h ㅂ. sin(p+h)=-sin h

따라서 sin h의 값과 같은 것은 ㄷ의 1개이다. 답 ①

0437

cos 100˘=cos(90˘_1+10˘)=-sin 10˘

=-0.1736

tan 200˘=tan(90˘_2+20˘)=tan 20˘=0.3640

∴ cos 100˘+tan 200˘=-0.1736+0.3640

∴ cos 100˘+tan 200˘=0.1904 답 0.1904

0438

⑴ sin 150˘=sin(90˘_2-30˘)=sin 30˘=;2!;

sin 120˘=sin(90˘_2-60˘)=sin 60˘=

sin 135˘=sin(90˘_2-45˘)=sin 45˘=

cos 120˘=cos(90˘_2-60˘)=-cos 60˘=-;2!;

cos 135˘=cos(90˘_2-45˘)=-cos 45˘=-cos 150˘=45˘=-cos(90˘_2-30˘)=-45˘=-cos 30˘=- '3

2 '2

2 '2

2 '3

2

0440

cos(-110˘)=cos 110˘

=cos(90˘_2-70˘)

=-cos 70˘=a

∴ cos 70˘=-a

∴ sin 250˘=sin(90˘_2+70˘)

=-sin 70˘

=-"√1-cos¤ 70˘

=-"√1-a¤ ^답 ①

0439

㉠에서 2sin h=1∴∴∴ sin h=;2!;

따라서 ㉡에서

(sin h+cos h)(sin h-cos h)=sin¤ h-cos¤ h (sin h+cos h)(sin h-cos h)=sin¤ h-(1-sin¤ h) (sin h+cos h)(sin h-cos h)=2 sin¤ h-1

(sin h+cos h)(sin h-cos h)=2_{;2!;}2 -1=-;2!;

이므로 a=-;2!; ^답 ①

04. 삼각함수 061

∴

-∴=

-∴=

-∴='3+'2-('3-'2)=2'2

⑵ cos 390˘=cos(90˘_4+30˘)=cos 30˘=

tan 300˘=tan(90˘_3+30˘)=-cot 30˘=-'3 sin 420˘=sin(90˘_4+60˘)=sin 60˘=

sin 210˘=sin(90˘_2+30˘)=-sin 30˘=-;2!;

cot 150˘=cot(90˘_1+60˘)=-tan 60˘=-'3 cos (-300˘)=cos 300˘=cos(90˘_3+30˘) cos (-300˘)=sin 30˘=;2!;

∴ (주어진 식)

= +

= +

= +

=-답 ⑴ 2'2 ⑵ - 3+3'3 2 3+3'3

2

1-4'3 2 '3-4

2

1-4'3 2 3-4'3

2'3

{-;2!;}¤ +(-'3)

;2!;

{12}'32 ¤ +(-'3) 12'32

'3 2 '3

2 1

'3+'2 1

'3-'2

-;2!;

'2 '3 -12-122 2

;2!;

'3 '2 12-122 2

cos 120˘

cos 135˘+cos 150˘

sin 150˘

sin 120˘-sin 135˘

⑴ +sin h tan(p-h) sin{;2“;-h}

= +sin h(-tan h)cos h

=-cos h sin h { +tan h}

=-cos h sin h { + }

=-(cos¤ h+sin¤ h)=-1

⑵ cos¤ (p-h)+cos¤ {;2#;p+h}+cos¤ {;2#;p-h}

+cos¤ (2p-h)

=(-cos h)¤ +sin¤ h+(-sin h)¤ +cos¤ h

=2 ^답⑴ -1 ⑵ 2

sin h cos h cos h

sin h 1 tan h cos h(-sin h)

tan h

cos h cos {;2“;+h}

tan(p+h)

0441

(주어진 식)

=sin 1˘cos 1˘_ +sin 89˘cos 89˘_sin 89˘

cos 89˘

sin 1˘

cos 1˘

=sin¤ 1˘+sin¤ 89˘

=sin¤ 1˘+sin¤ (90˘_1-1˘)

=sin¤ 1˘+cos¤ 1˘=1 답 1

0442

h=9˘에서 20h=180˘이므로 cos 21h=cos(180˘+h)=-cos h cos 22h=cos(180˘+2h)=-cos 2h

⋮

cos 40h=cos(180˘+20h)=-cos 20h

∴ cos h+cos 2h+y+cos 40h

∴=(cos h+cos 2h+y+cos 20h)

+(cos 21h+cos 22h+y+cos 40h)

∴=(cos h+cos 2h+y+cos 20h)

-(cos h+cos 2h+y+cos 20h)

∴=0 답 ①

0443

;4“;+h=A라고 하면 h=A-;4“;이므로

;4“;-h=;4“;-{A-;4“;}=;2“;-A

∴ sin¤ {;4“;+h}+sin¤ {;4“;-h}=sin¤ A+sin¤ {;2“;-A}

∴ sin¤ {;4“;+h}+sin¤ {;4“;-h}=sin¤ A+cos¤ A=1

답 ②

0444

h-40˘=A라고 하면 h+50˘=A+90˘

∴ cos¤ (h-40˘)+cos¤ (h+50˘)

=cos¤ A+cos¤ (A+90˘)

=cos¤ A+(-sin A)¤

=cos¤ A+sin¤ A=1 답 ②

0445

cos ;2ª0;p=cos {;2“;-;2…0;}=sin ;2…0;

cos ;2¶0;p=cos {;2“;-;2£0;p}=sin ;2£0;p

∴ (주어진 식)

∴={cos¤ ;2…0;+cos¤ ;2ª0;p}+{cos¤ ;2£0;p+cos¤ ;2¶0;p}

+cos¤ ;2∞0;p

∴={cos¤ ;2…0;+sin¤ ;2…0;}+{cos¤ ;2£0;p+sin¤ ;2£0;p}+cos¤ ;4“;

∴=1+1+;2!;=;2%; ^답 ;2%;

0446

⑴ cos¤ 89˘=cos¤ (90˘_1-1˘)=sin¤ 1˘이므로 cos¤ 1˘+cos¤ 89˘=cos¤ 1˘+sin¤ 1˘=1

이와 같은 방법으로

cos¤ 3˘+cos¤ 87˘=cos¤ 3˘+sin¤ 3˘=1

⋮

cos¤ 43˘+cos¤ 47˘=cos¤ 43˘+sin¤ 43˘=1

0447

A+B+C=p이므로 ㄱ. sin { }=sin { }

=sin {;2“;- }

=cos (참)

ㄴ. tan (B+C)=tan (p-A)=-tan A (거짓) ㄷ. tan A+tan (B+C)=tan A+tan (p-A)

=tan A-tan A=0 (참) ㄹ. cos (B+C)=cos (p-A)=-cos A이므로

-cos A>0에서 cos A<0

∴;2“;<A<p

따라서 삼각형 ABC는 둔각삼각형이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ

A 2

A 2 p-A

2 B+C

2

0448

A+C=p, B+D=p이므로 C=p-A, D=p-B

ㄱ. sin A+sin B+sin C+sin D

=sin A+sin B+sin(p-A)+sin(p-B)

=2(sin A+sin B)>0 (∵ 0<A<p, 0<B<p) (거짓) ㄴ. cos A+cos B+cos C+cos D

=cos A+cos B+cos(p-A)+cos(p-B)

=cos A+cos B-cos A-cos B=0 (참) ㄷ. tan A+tan B+tan C+tan D

=tan A+tan B+tan(p-A)+tan(p-B)

=tan A+tan B-tan A-tan B=0 (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ

0449

10h=2p에서 5h=p이므로

① sin 6h=sin(5h+h)=sin(p+h)=-sin h

①∴ sin h+sin 6h=0

② sin(-5h)=-sin 5h=-sin p=0

①sin h+0이므로 sin h+sin(-5h)+0

③ cos 4h=cos(5h-h)=cos(p-h)=-cos h

①∴ cos 2h+cos 4h=cos 2h-cos h+0

④ cos 4h=cos(5h-h)=cos(p-h)=-cos h

①cos 6h=cos(5h+h)=cos(p+h)=-cos h

①∴ cos 4h=cos 6h

⑤ sin h는 점 P¡의 y좌표이고, cos 3h는 점 P£의 x좌표이므로

①sin h+cos 3h 답 ④

0450

① 950˘=360˘_2+230˘∴∴∴ 제 3 사분면

② -500˘=360˘_(-2)+220˘∴∴∴ 제 3 사분면

③ -;6%;p=2p_(-1)+;6&;p∴∴∴ 제 3 사분면

④;3$;p는 제 3 사분면

⑤:¡4¡:p=2p+;4#;p∴∴∴ 제 2 사분면 답 ⑤

0451

;2“;<h<p이므로

sin h>0, cos h<0, csc h>0, sec h<0

∴ csc h-sec h>0

∴"√csc¤ `h-"√sec¤ h+|csc h-sec h|

∴=csc h+sec h+csc h-sec h

∴=2 csc h 답 ⑤

0453

① cos {-;3*;p}=cos ;3*;p=cos {2p+;3@;p}

=cos ;3@;p=cos {p-;3“;}

=-cos ;3“;=-;2!;

② sin :¡4£:p=sin {2p+;4%;p}=sin ;4%;p sin :¡4£:p=sin {p+;4“;}=-sin ;4“;=- '2

2

0454

sin p=sin {2p+ }=sin = tan p=tan{2p+ }=tan =1 cos {- }=cos =

tan {- }=-tan =-1

∴ (주어진 식)= =

= ('3+2)¤ =-7-4'3 ^답 ② ('3-2)('3+2)

'3+2 '3-2 12+1'32

12-1'32 p 4 p

4

'32 p 6 p

6

p 4 p

4 9

4

'32 p 3 p

3 7

0452

3

∴ cos¤ 1˘+cos¤ 3˘+cos¤ 5˘+y+cos¤ 87˘+cos¤ 89˘

∴=1+1+1+y+1+cos¤ 45˘

∴=22+;2!;=:¢2∞:

⑵ sin¤ 1˘+sin¤ 2˘+sin¤ 3˘+y+sin¤ 88˘+sin¤ 89˘

=(sin¤ 1˘+sin¤ 89˘)+(sin¤ 2˘+sin¤ 88˘)

=+(sin¤ 3˘+sin¤ 87˘)+y+(sin¤ 44˘+sin¤ 46˘)

=+sin¤ 45˘

=(sin¤ 1˘+cos¤ 1˘)+(sin¤ 2˘+cos¤ 2˘)

=+(sin¤ 3˘+cos¤ 3˘)+y+(sin¤ 44˘+cos¤ 44˘)+;2!;

=1_44+;2!;=:•2ª: ^답 ⑴:¢2∞: ⑵ :•2ª:

( | { | 9_22개

04. 삼각함수 063

③ tan 495˘=tan(360˘+135˘)

=tan 135˘=tan (180˘-45˘)

=-tan 45˘=-1

④ sin 870˘=sin(360˘_2+150˘)=sin 150˘

sin 870˘=sin(180˘-30˘)=sin 30˘=;2!;

⑤ cos {-;6%;p}=cos ;6%;p=cos {p-;6“;}

cos {-;6%;p}=-cos

;6“;=-따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④

'32

tan(180˘+A)=tan A sin(90˘+A)=cos A

cos(180˘-A)=-cos A

∴ (주어진 식)=tan A cos A-(-cos A)cot A

=sin A+

=

= 1 =csc A ^답 ②

sin A

sin¤ A+cos¤ A sin A

cos¤ A sin A

0455

(1+tan h+sec h)(1+cot h-csc h)

={1+ + } {1+ - }

= _

=

= 1+2 sin h cos h-1 =2 ^답 ⑤

cos h`sin h (cos h+sin h)¤ -1

cos h`sin h

sin h+cos h-1 sin h cos h+sin h+1

cos h

1 sin h cos h

sin h 1

cos h sin h

cos h

0456

;3$;p<h<;2#;p이므로 h는 제`3사분면의 각이다.

∴ sin h<0, cos h<0, sin h+cos h<0 즉, sin h-;2!;<0, cos h-;2!;<0

∴ (주어진 식)

∴=-{sin h-;2!;}-{cos h-;2!;}+(sin h+cos h)

∴=-sin h+;2!;-cos h+;2!;+sin h+cos h

∴=1 답 1

0457

OP”=øπ(-1)¤ +('3)¤ =2이므로 sin h= , cos h=-;2!;

tan h=-'3

∴ = = 답 '3-3

6 '3-3

6 12-;2!;'32

-'3 sin h+cos h

tan h '3

2

0458

=-æ≠ 에서

cos h>0, tan h<0

따라서 h는 제`4사분면의 각이므로 sin h<0

∴ sin h-cos h<0

∴ (주어진 식)

=-(sin h-cos h)+sin h+cos h+cos h

=3 cos h ^답 3 cos h

cos h tan h 'ƒcos h

'ƒtan h

0459

sin› h-cos› h=(sin¤ h+cos¤ h)(sin¤ h-cos¤ h)

=(sin h+cos h)(sin h-cos h) 이므로

= (sin h-cos h)

∴ sin h-cos h=;2!;

(sin h+cos h)¤ =1+2 sin h cos h { }¤ =1+2 sin h cos h

∴ sin h cos h=;8#;

∴ sin‹ h-cos‹ h

∴=(sin h-cos h)(sin¤ h+sin h cos h+cos¤ h)

∴=;2!;{1+;8#;}=;1!6!; ^답 ③

'7 2

'72 '74

0460

cos (p+h)=-cos h tan (2p-h)=-tan h sin { p+h}=cos h sin (3p-h)=sin h cos { p-h}=-sin h cot (-h)=-cot h

∴ (주어진 식)

=

-=tan h- =tan h-tan h

=0 ^답 ③

1 cot h

sin h (-sin h)(-cot h) (-cos h)(-tan h)

cos h 3

2 5 2

0461

tan h+cot h=2에서 tan h+ =2

tan¤ h-2 tan h+1=0 ∴ tan h=1

∴ csc¤ h+sec¤ h=(1+cot¤ h)+(1+tan¤ h)

=1+ +1+tan¤ h

=1+ 1 +1+1¤ =4 ^답 ④

1¤

1 tan¤ h 1

tan h

0462

① sin› h-cos› h=(sin¤ h+cos¤ h)(sin¤ h-cos¤ h)

=sin¤ h-cos¤ h

=sin¤ h-(1-sin¤ h)

=sin¤ h-(1-sin¤ h)

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