0497 ⑴ 오른쪽 그림에서 - 2014 개념원리 RPM 미적분2 답지 정답

O x

-1

1 y=|cos x|

p 2

3 2p

O x

p 2p

-1

1 y=|sin x|

;2“;

y=tan{x-;2;} +2p

3p 2

O x

p 2 2

p 2p

0497

^{⑴ 오른쪽 그림에서}

y=sin x의 그래프와 직선 y=-;2!;의 교점의 x좌표가 ;6&;p,

:¡6¡:p이므로

x=;6&;p 또는 x=:¡6¡:p

⑵ 2 cos x-'3=0에서 cos x=

오른쪽 그림에서 y=cos x의 그래프와 직선 y= 의 교점의 x좌표가;6“;, :¡6¡:p이므로 x=;6“; 또는 x=:¡6¡:p

⑶ 오른쪽 그림에서 y=tan x의 그래프와 직선 y='3의 교점의 x좌표가;3“;, ;3$;p이므로 x=;3“; 또는 x=;3$;p

답 풀이 참조

0498

⑴ 2 sin 2x='3에서 sin 2x=

2x=t로 놓으면 0…t<4p

위의 그림과 같이 0…t<4p에서 함수 y=sin t의 그래프와 직선 y= 의 교점의 t좌표가;3“;, ;3@;p, ;3&;p, ;3*;p이므로 x=;6“; 또는 x=;3“; 또는 x=;6&;p 또는 x=;3$;p

⑵ cos ;2{;=;2!;에서 ;2{;=t로 놓으면 0…t<p

오른쪽 그림에서 함수 y=cos t의 그래프와 직선 y=;2!;의 교점의 t

O t

y y=cos t

p 3

1 y=;2;1

'32

3p 4p 2p

O t

y y=sin t

p 3

y=:2:'3 2

3p 8

3p 7 3p

'3 2

2p y=tan x

p 3

O x

y='3

4 3p p

'3 2 '3

O x

p 2p -1

y=cos x p

6 11p

6 y=:2:'3 y=sin x

7 6p 11

6 p

p 2p

O x

y=-;2;1 1

-1

|b|

좌표가;3“;이므로 x=;3@;p

-;4“;…t<;4&;p에서 y=sin t의 그래프와 직선 y=;2!;의 교점의 t좌표가;6“;, ;6%;p이므로

x=;1∞2;p 또는 x=;1!2#;p

⑵ x+;3“;=t로 놓으면 ;3“;…t<;3&;p 오른쪽 그림과 같이

;3“;…t<;3&;p에서 y=cos t의 그 래프와 직선 y= 의 교점의

0…x…;6“; 또는 :¡6¡:p…x<2p

⑶

주어진 부등식의 해는 y=tan x의 그래프가 직선 y='3보 다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로

;3“;<x<;2“; 또는 ;3$;p<x<;2#;p ^답 풀이 참조

0501

⑴ 다음 그림에서 주어진 부등식의 해는

0…x…;3“; 또는 ;3@;p…x<;6&;p 또는 :¡6¡:p<x<2p

⑵ 다음 그림에서 주어진 부등식의 해는

;3“;<x…;4#;p 또는 ;4%;p…x<;3%;p

y=cos x

05. 삼각함수의 그래프 071

⑶ 다음 그림에서 주어진 부등식의 해는

;6“;<x…;3“; 또는 ;6&;p<x…;3$;p

답 풀이 참조

O x

y y=tan x

p 2 p

3 3

2p 2p

y=:3:'3 y='3

7 6p

4 3p p

① 최댓값은 2-1=1

② 최솟값은 -2-1=-3

③ 주기는 =p

④ f{ p}=2 sin { p+ }-1

=2 sin p-1

=2_0-1=-1

⑤ y=2 sin{2x+ }-1

=2 sin 2 {x+ }-1

이므로 이 함수의 그래프는 y=2 sin 2x의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한

것이다. ^답 ⑤

p 12

p 12 p 6

p 6 10 12 5

12 2p

0502

y=- sin {4x- }+1에서

주기：p= =

최댓값：M=|- |+1=

최솟값：m=-|- |+1=

∴ pMm= _ _ = p 답 3p

8 3

8 1 2 3 2 p 2

1 2 1

2 3 2 1

2 p 2 2p

p 6 1

0503

y=sin 3x+1의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=sin (-3x)+1=-sin 3x+1

이 함수의 그래프를 x축의 방향으로;2“;만큼 평행이동하면 y=-sin 3{x-;2“;}+1

y=-sin{3x-;2#;p}+1 y=sin{;2#;p-3x}+1 y=-cos 3x+1

따라서 a=-1, b=1이므로

a+b=-1+1=0 답 0

0504

① 최댓값은 2-1=1

② 최솟값은 -2-1=-3

③ 주기는 =4p

④ f(2p)=2 cos {p-;3“;}-1

④ f(2p)=2 cos ;3@;p-1=2_{-;2!;}-1=-2

④따라서 점 (2p, -2)를 지난다.

⑤ y=2 cos {;2{;-;3“;}-1=2 cos ;2!;{x-;3@;p}-1

④따라서 y=2 cos ;2{;의 그래프를 x축의 방향으로 ;3@;p만큼,

④y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 답 ④

;2!;

0505

p= = , M=|-2|+3=5

m=-|-2|+3=-2+3=1

∴ p+M+m= +5+1= 답 20

3 20

3 2

3 2 3 2p

|-3p|

0506

y=cos 2x+1의 그래프를 x축의 방향으로 만큼 평 행이동하면

y=cos 2{x- }+1=cos(2x-p)+1

=cos(p-2x)+1

=-cos 2x+1

이 함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면

y=-cos (-2x)+1=-cos 2x+1 ^답 ④

p 2

0507

y=3 tan {2x+;2“;}+1=3 tan 2{x+;4“;}+1

•주기는 이다.

•y=3 tan 2x의 그래프를 x축의 방향으로 만큼, y축의

•방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

•점근선의 방정식은 2x+;2“;=np+;2“;∴∴

•∴

답 ㈎;2“; ㈏ -;4“; ㈐ 1 ㈑ x=;2N;p(n은 정수) x=;2N;p(n은 정수)

-1p4 p

0508

y=-2 tan {;3{;+p}+3에서 주기는 =3p

각 함수의 주기를 구해 보면 다음과 같다.

① =6p ② 2p=2

p 2p

;3!;

0509

y=tan {px- }=tan p{x- }이므로 y=tan px 의 그래프를 x축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 이 함수의 그래프의 점근선의 방정식은 px- =np+ 에서

px=np+p

∴ x=n+1

∴ x=n (n은 정수)

한편, 이 함수의 주기는 p=1 답 ④

p p 2 p

1 2

1 2 p

0510

f(x)=f(x+p)이므로 함수 f(x)는 주기가

;n“;(n은 자연수)인 함수이다.

각 함수의 주기를 구해 보면 다음과 같다.

ㄱ. 2p ㄴ. p ㄷ. :™2…:=p ㄹ. =4p

따라서 주기가;n“;(n은 자연수)인 함수는 ㄴ, ㄷ이다.

답 ㄴ, ㄷ 2p

;2!;

0511

f(x+'2)=f(x)이므로 함수 f(x)는 주기가 (n은 자연수)인 함수이다.

각 함수의 주기를 구해 보면 다음과 같다.

① = ② =2

③ ='2 ④ =2'2

⑤ =p

따라서 주기가 (n은 자연수)인 함수는 ①, ③이다.

답 ①, ③ '2

n 2p

2p 12p'22 2p

'2p

2p '2 p

2 p '2p '2n

0512

㈎에서 모든 실수 x에 대하여 f(x+3)=f(x)를 만족 시키므로 함수 f(x)는 3의 배수마다 같은 값을 갖는 주기함수 이다.

∴ f{ }=f {30+ }=f {3_10+ }=f { }

㈏에 의해 0…x<3일 때, f(x)=cos px이므로 2 3 2 3 2

3 92

f { }=cos

p=-∴ f{ }=f { }=- ^답 -1

2 1

2 2 3 92

1 2 2

3 2

0513

모든 실수 x에 대하여 f(x-2)=f(x+1)이 성립하 므로 양변에 x 대신 x+2를 대입하면

f(x)=f(x+3)

즉, 함수 f(x)는 3의 배수마다 같은 값을 갖는 주기함수이다.

f(2001)=f(3_667+0)=f(0)=-1 f(2002)=f(3_667+1)=f(1)=1 f(2003)=f(3_668-1)=f(-1)=2

∴ f(2001)+f(2002)+f(2003)=-1+1+2=2 ^답 2

0514

함수 f(x)=a sin {x+;2“;}+b의 최댓값이 4이고 a>0이므로

a+b=4 yy㉠

또한, f{;3“;}=;2#;이므로 f {;3“;}=a sin {;3“;+;2“;}+b f {;3“;}=a sin ;6%;p+b

f {;3“;}=;2!;a+b=;2#; yy㉡

㉠, ㉡에서 a=5, b=-1

∴ f(x)=5 sin {x+;2“;}-1

따라서 f(x)의 최솟값은 -5-1=-6 답 ②

0515

함수 f(x)=a tan bx의 주기는 ;3“;이고 b>0이므로

;b“;=;3“;∴∴∴ b=3

f {;1…2;}=a tan{3_;1…2;}=a tan ;4“;

f {;1…2;}=a=3

∴ ab=9 답 9

0516

f(x)=a cos {;2“;-bx}+c=a sin bx+c에서 최댓값이 5이고 a>0이므로

a+c=5 yy㉠

주기가 2p이고 b>0이므로:™b…:=2p∴∴∴ b=1 또, f{;6%;p}=3에서

a sin ;6%;p+c=3, ;2A;+c=3

∴ a+2c=6 yy㉡

0517

③;1“;=p ④ =3p

⑤ =4

따라서 주어진 함수와 주기가 같은 함수는 ④이다. 답 ④ 2p

;2“;

;3@;

05. 삼각함수의 그래프 073

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, c=1

∴ 3a+2b+c=12+2+1=15 답 15

모든 실수 x에 대하여 f(x+p)=f(x)를 만족시키는 양수 p의 최솟값이 4p이므로

함수 f(x)=a sin b{x+;2“;}+c의 주기는 4p이다.

b>0이므로 :™b…:=4p∴∴∴ b=;2!;

한편, 함수 f(x)=a sin b{x+;2“;}+c의 최댓값이 3, 최솟값 이 1이고 a>0이므로

a+c=3, -a+c=1 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, c=2

∴:ÅbÇ:= =4

답 4 1_2

;2!;

0518

단계 채점요소 배점

주기가 4p임을 이해하기 20%

b의 값 구하기 30%

a와 c의 값 구하기 40%

:ÅbÇ:의 값 구하기 10%

주어진 그래프에서 = , = p이므로

a+b=p, c+d=5p

∴ a+b+c+d=p+5p=6p 답 ③

5 2 c+d

2 p 2 a+b

0519

y=cos x의 그래프에서 두 점 (a, 0), (c, 0)은 직선 x=p에 대하여 대칭이므로 =p ∴ a+c=2p y=sin x의 그래프에서 두 점 (b, 0), (d, 0)은 직선 x= p에 대하여 대칭이므로 = p ∴ b+d=3p

∴ a+b+c+d=(a+c)+(b+d)=2p+3p=5p

∴ sin =sin

=sin {p+ }=-sin

=- ^답 - '2

'2 2 2

p 4 p

4 5p

4 a+b+c+d

3 2 b+d

2 3

a+c 2

0520

y=cos ;2!;x의 주기는 =4p이고 그래프는 다음

그림과 같다.

두 점 (b, 0), (c, 0)은 직선 x=2p에 대하여 대칭이므로

=2p ∴ b+c=4p

두 점 (c, 0), (d, 0)은 직선 x=3p에 대하여 대칭이므로

=3p ∴ c+d=6p

∴ b+2c+d=(b+c)+(c+d)

=4p+6p=10p

∴ cos =cos =cos {3p+;3“;}

=-cos ;3“;

=-;2!; ^답-;2!;

10p 3 b+2c+d

3 c+d

2 b+c

O 1

-1

x y

3p 4p p

b a k

-k

c d

y=-k y=k y=cos1

;2; x

;2!;

0521

주어진 그래프에서 함수의 주기가;4%;p-;4“;=p이고 a>0이므로

:™a…:=p∴∴∴ a=2

또한, 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 -2=2 sin(-b), -2 sin b=-2∴∴

∴ sin b=1

이때 0<b<p이므로 b=;2“;

∴ ab=2_;2“;=p ^답 ⑤

0522

주어진 그래프에서 주기가;2“;이고 a>0이므로

;a“;=;2“;∴∴∴ a=2

주어진 그래프는 함수 y=tan 2x의 그래프를 x축의 방향으로

;4“;만큼 평행이동한 것이므로

y=tan 2{x-;4“;}=tan {2x-;2“;}∴∴∴ b=;2“;

∴ a+2b=2+2_;2“;=2+p ^답 2+p

0523

a>0이고 최댓값이 1, 최솟값이 -3이므로 a+b=1, -a+b=-3

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ y=2 cos ;3“;(2x-1)-1

0524

주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 2이고 a>0이므 로 a=2

또, 주기는 3p-(-p)=4p이고 b>0이므로 :™b…:=4p∴∴∴ b=;2!;

따라서 주어진 함수의 식은 y=2 cos {;2!;x+c}이고, 그래프가 점 (p, 2)를 지나므로

2=2 cos {;2“;+c}∴∴

∴ cos {;2“;+c}=1 0<c<2p이므로 c=;2#;p

∴ abc=2_;2!;_;2#;p=;2#;p

답 ;2#;p

0525

단계 채점요소 배점

a의 값 구하기 20%

b의 값 구하기 30%

c의 값 구하기 40%

abc의 값 구하기 10%

함수 y=3 cos 5x의 주기는 :™5…:이다.

한편, 함수 y=|tan ax|의 주기는 이므로

=:™5…:

그런데 a는 양수이므로 a=;2%; ^답 ;2%;

|a|

0526

y=|tan x|의 그래프는 다음 그림과 같다.

① 주기는 p이다.

② 최댓값은 존재하지 않는다.

③ 최솟값은 0이다.

3 2p p

-p

O x

p 2 p -2 3

-2p

y=|tan x|

④ 직선 x=np(n은 정수)에 대하여 대칭이다.

⑤ 점근선의 방정식은 x=np+;2“;(n은 정수)이다. ^답 ⑤

0527

ㄱ. y=sin|x|, y=|sin x|의 그래프는 각각 다음 그 림과 같다.

ㄴ. y=cos x, y=cos |x|의 그래프는 각각 다음 그림과 같다.

ㄴ.

즉, y=cos x의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 y=cos |x|의 그래프와 일치한다.

ㄷ. y=cos {;2“;-x}=sin x

따라서 두 함수의 그래프가 일치하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

O x

y p 2

3 2p p

-2

-1

1 y=cos |x|

O x

y p 2

3 2p p

-2

-1

1 y=cos x

O 1

x y y=|sin x|

-2p -p 2p

O -1 1

x y

p -p -2p

2p y=sin |x|

0528

함수 f(x)=a|cos bx|+c의 주기는 ;3“;이고 b>0이 므로

;b“;=;3“;∴∴∴ b=3 0…|cos bx|…1이므로 c…a|cos bx|+c…a+c 함수 f(x)의 최댓값이 5이므로 a+c=5댓댓yy㉠

f {;6“;}=1이므로

a|cos {3_;6“;}|+c=1∴∴∴ c=1

㉠에서 a+1=5∴∴∴ a=4

∴ a+b+c=4+3+1=8 답 8

0529

cos(x-p)=cos(p-x)=-cos x이므로 y=|2+3 cos(x-p)|-1

y=|2-3 cos x|-1

cos x=t로 놓으면 -1…t…1이고 주어진 함수는 y=|2-3t|-1

오른쪽 그림에서

t=-1일 때, 최댓값 M=4 t=;3@;일 때, 최솟값 m=-1

∴ M+m=4-1=3

답 ③

O t

y 4

1 1 -1

-1 2 3

y=|2-3t|-1

0530

주기는 =3이므로 c-1=3 ∴ c=4

∴ abc=2_(-1)_4=-8 답 -8

2p :™3…:

05. 삼각함수의 그래프 075

⑴ y=|2 sin x+1|-3에서 sin x=t로 놓으면 -1…t…1이고 y=|2t+1|-3

오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값은 0,

t=-;2!;일 때 최솟값은 -3이다.

⑵ y=3-|cos x-2|에서

cos x=t로 놓으면 -1…t…1이고 y=3-|t-2|

오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값은 2, t=-1일 때 최솟값은 0이다.

답 ⑴ 최댓값：0, 최솟값：-3 ⑵ 최댓값：2, 최솟값：0

-1 1 2 2 3

O t

y=3-|t-2|

-2 1

-3 -1 O

t y

-1

;2;

y=|2t+1|-3

0531

⑴ y=-|sin x+2|+k에서 sin x=t로 놓으면 -1…t…1이고 주어진 함수는

y=-|t+2|+k 오른쪽 그림에서

t=-1일 때 최댓값은 k-1, t=1일 때 최솟값은 k-3이다.

이때 최댓값과 최솟값의 합이 1 이므로

k-1+k-3=1, 2k=5

∴ k=;2%;

⑵ y=-|3 sin x-a|+2에서 sin x=t로 놓으면 -1…t…1이고 주어진 함수는

y=-|3t-a|+2

a>0이므로 이 함수는 t=-1에서 최솟값 -2를 가진다.

즉, -|-3-a|+2=-2 -{-(-3-a)}+2=-2 -1-a=-2 ∴ a=1

∴ y=-|3t-1|+2

따라서 이 함수는 t=;3!;일 때, 최댓값 2를 가진다.

답 ⑴;2%; ⑵ a=1, 최댓값：2

O t

-2-1 1 k-1

k-3 y=-|t+2|+k

0532

y=-2 sin¤ x+2 cos x+1

=-2(1-cos¤ x)+2 cos x+1

=2 cos¤ x+2 cos x-1 cos x=t로 놓으면 -1…t…1이고 y=2t¤ +2t-1=2{t+;2!;}¤ -;2#;

따라서 오른쪽 그림에서 t=-;2!;일 때, 최솟값 m=-;2#;, t=1일 때, 최댓값 M=3

∴ M+m=;2#; ^답 ③

-1 -1

-;2;

3 1 O

t y y=2t™+2t-1

0534

y=a|sin 2x+2|+b에서 sin 2x=t로 놓으면 -1…t…1이고 주어진 함수는

y=a|t+2|+b

a>0이므로 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값, t=-1일 때 최솟값을 가진다.

즉, 3a+b=4, a+b=2에서 a=1, b=1

∴ a-b=0 답 ②

O t

a+b 3a+b

1 -1 -2 y=a|t+2|+b

0533

y=cos¤ x+2 sin x+2

=(1-sin¤ x)+2 sin x+2

=-sin¤ x+2 sin x+3

sin x=t로 놓으면 -p…x…p에서 -1…t…1이고 y=-t¤ +2t+3=-(t-1)¤ +4

따라서 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값은 4이므로 M=4

t=1,즉 sin x=1일 때 x=;2“;이므로 a=;2“;

∴ aM=;2“;_4=2p ^답 ③

O t

-1 1 4 y=-t™

+2t+3

0535

y=sin¤ x-4 cos x+k

=(1-cos¤ x)-4 cos x+k

=-cos¤ x-4 cos x+k+1

cos x=t로 놓으면 -1…t…1이고 y=-t¤ -4t+k+1

y=-(t+2)¤ +k+5

따라서 오른쪽 그림에서

t=-1일 때 최댓값이 k+4이므 로

k+4=3

∴ k=-1

답 -1

O t

y=-t™ y

-4t+k+1 k+4

1 -1 -2

0536

단계 채점요소 배점

sin¤ x=1-cos¤ x임을 이용하여 식 정리하기 40%

cos x=t로 치환하기 30%

k의 값 구하기 30%

y=cos¤ {;2“;-h}-3 cos¤ h+4 sin(p+h) y=sin¤ h-3 cos¤ h-4 sin h

=sin¤ h-3(1-sin¤ h)-4 sin h

=4 sin¤ h-4 sin h-3 0…x…;4“;에서 0…t…1이고

y= =

05. 삼각함수의 그래프 077 y=sin ;3“;x의 주기는 =6

이므로 점 E의 좌표는 (3, 0)이다.

BC”=2이므로

OB”=;2!;_(OE”-BC”) OB=;2!;_(3-2)=;2!;

즉, 점 B의 x좌표는 ;2!;이다.

따라서 점 A의 y좌표는 y=sin {;3“;_;2!;}=sin ;6“;=;2!;

∴ A{;2!;, ;2!;}

따라서 직사각형 ABCD의 넓이는

2_;2!;=1 ^답 ①

1 O

A D

B C E

3 x y

y=sin;3;x p

;3“;

0544

2 sin {2x+;3“;}=1에서 sin {2x+;3“;}=;2!;

2x+;3“;=t로 놓으면 sin t=;2!;

한편, 0…x<p에서 0…2x<2p

;3“;…2x+;3“;<;3&;p∴∴

∴;3“;…t<;3&;p yy㉠

㉠의 범위에서 함수 y=sin t의 그래프와 직선 y=;2!;을 그려 서 교점의 t좌표를 구하면

t=;6%;p 또는 t=:¡6£:p

즉, 2x+;3“;=;6%;p 또는 2x+;3“;=:¡6£:p

∴ x=;4“; 또는 x=;1!2!;p 따라서 모든 근의 합은

;4“;+;1!2!;p=;6&;p ^답 ;6&;p

6p 13

6p y=;2;1

;2;1

7 3p -1

p 3

O t

y=sin t

0545

sin 2x=-;2!;에서 2x=t로 놓으면 sin t=-;2!;

한편, 0…x<2p에서 0…2x<4p

∴ 0…t<4p yy㉠

㉠의 범위에서 함수 y=sin t의 그래프와 직선 y=-;2!;의 그래 프를 그려서 교점의 t좌표를 구하면

t=;6&;p 또는 t=:¡6¡:p 또는 t=:¡6ª:p 또는 t=:™6£:p 즉, 2x=;6&;p 또는 2x=:¡6¡:p, 2x=:¡6ª:p 또는 2x=:™6£:p

∴ x=;1¶2;p 또는 x=;1!2!;p 또는 x=;1!2(;p 또는 x=;1@2#;p

답 ③

O t

y=sin t 11

6p 7

6p 19

6p 23 6 p

y=-;2;1 -;2;1

-1

2p 4p

0546

⑴ tan ;2!;x='3에서 ;2!;x=t로 놓으면 tan t='3

한편, 0…x<2p에서 0…;2!;x<p ∴ 0…t<p yy㉠

㉠의 범위에서 함수 y=tan t의 그래프와 직선 y='3을 그려서 교점의 t좌표를 구하면

t=;3“;

즉, ;2!;x=;3“;에서 x=;3@;p

⑵ cos {x-;4“;}=- 에서 x-;4“;=t로 놓으면 cos

t=-한편, 0…x<2p에서 -;4“;…x-;4“;<;4&;p∴∴

∴ -;4“;…t<;4&;p yy㉠

㉠의 범위에서 함수 y=cos t의 그래프와 직선 y=-을 그려서 교점의 t좌표를 구하면

t=;6%;p 또는 t=;6&;p

즉, x-;4“;=;6%;p 또는 x-;4“;=;6&;p

∴ x=;1!2#;p 또는 x=;1!2&;p

답 ⑴ x=;3@;p ⑵ x=;1!2#;p 또는 x=;1!2&;p

y=cos t -1

O t

7 4p 7 6p

3 2p p

2 -;4;p

y=-:2:'3 -:2:'3

5 6p

'3 2 '3

2 '3

O t

y '3 y='3

;2;

;3; p

0547

⑴ sin x=cos x에서

=1∴∴∴ tan x=1 p…x…2p에서 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y=1의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 두 그래 프의 교점의 x좌표는

x=;4%;p

⑵ 2 sin px='3에서 sin px=

함수 y=sin px의 주기는 :™ç…:=2이므로 y=sin px의 그래프는 다음 그림과 같다.

1-x™=x¡, x£-2=3-x¢이므로 x¡+x™=1, x£+x¢=5

∴ x¡+x™+x£+x¢=6

답 ⑴;4%;p ⑵ 6

O x

y=sin px 1

-1

y=:2:'3 x£ x¢

x™

x¡

2 3 4

'3 2

2p p

y=tan x

O x

5 4p

y=1

sin x cos x

0548

2 sin¤ x-cos x-1=0에서 2(1-cos¤ x)-cos x-1=0 2 cos¤ x+cos x-1=0

cos x=t로 놓으면 0…x…p에서 -1…t…1이고 주어진 방 정식은

2t¤ +t-1=0, (2t-1)(t+1)=0

∴ t=;2!; 또는 t=-1

⁄ t=;2!;, 즉 cos x=;2!;일 때

⁄ x=;3“;

¤ t=-1,즉 cos x=-1일 때

⁄ x=p

⁄, ¤에서 x=;3“; 또는 x=p ^답 ③

O x

p p

3 p 2 -1

y=-1 y=cos x

y=;2;1

0549

⑴ 2 cos¤ x-cos x=0에서 cos x=t로 놓으면 0…x<2p에서 -1…t…1이고 주어진 방정식은 2t¤ -t=0, t(2t-1)=0

∴ t=0 또는 t=;2!;

⁄ t=0,즉 cos x=0일 때,

⁄ x=;2“; 또는 x=;2#;p

¤ t=;2!;, 즉 cos x=;2!;일 때,

⁄ x=;3“; 또는 x=;3%;p

⁄, ¤에서

x=;3“; 또는 x=;2“; 또는 x=;2#;p 또는 x=;3%;p

⑵ 3 sin x-2 cos¤ x=0에서 3 sin x-2(1-sin¤ x)=0 2 sin¤ x+3 sin x-2=0

sin x=t로 놓으면 0…x<2p에서 -1…t…1이고 주어진 방정식은 2t¤ +3t-2=0, (2t-1)(t+2)=0

∴ t=;2!;

즉, sin x=;2!;

0…x<2p이므로 x=;6“; 또는 x=;6%;p

⑶ tan x+ =1+'3의 양변에 tan x를 곱하면 tan¤ x-(1+'3)tan x+'3=0

tan x=t로 놓으면 주어진 방정식은 t¤ -(1+'3)t+'3=0

(t-1)(t-'3)=0

∴ t=1 또는 t='3

⁄ t=1, 즉 tan x=1일 때 0…x<2p이므로 x=;4“; 또는 x=;4%;p

¤ t='3, 즉 tan x='3일 때 0…x<2p이므로

x=;3“; 또는 x=;3$;p

⁄, ¤에서

x=;4“; 또는 x=;3“; 또는 x=;4%;p 또는 x=;3$;p

답 풀이 참조 '3

tan x

0550

'ƒ1+cos x='2 sin x의 양변을 제곱하면 1+cos x=2 sin¤ x

1+cos x=2(1-cos¤ x) 2 cos¤ x+cos x-1=0

cos x=t로 놓으면 0…x…;2“;에서 0…t…1이고 주어진 방정 식은

2t¤ +t-1=0, (2t-1)(t+1)=0

∴ t=;2!; 또는 t=-1 그런데 0…t…1이므로 t=;2!;

따라서 0…x…;2“;에서 cos x=;2!;의 해는 x=;3“; ^답 ;3“;

0551

05. 삼각함수의 그래프 079 3 cos¤ x-1=sin x cos x에서

sin¤ x+cos¤ x=1이므로

3 cos¤ x-(sin¤ x+cos¤ x)=sin x cos x 2 cos¤ x-sin x cos x-sin¤ x=0 (2 cos x+sin x)(cos x-sin x)=0

∴ cos x=-;2!; sin x 또는 cos x=sin x 즉, tan x=-2 또는 tan x=1

그런데 0…x…;2“;에서 tan xæ0이므로 tan x=1

∴ x=;4“;

답 x=;4“;

0552

단계 채점요소 배점

(2 cos x+sin x)(cos x-sin x)=0 구하기 50%

tan x=1 구하기 30%

방정식의 해 구하기 20%

3 cos¤ A-7 cos A+2=0에서 (3 cos A-1)(cos A-2)=0

∴ cos A=;3!; (∵ -1…cos A…1) 이때 A+B+C=p이므로 B+C=p-A

∴ sin(B+C)=sin(p-A)

=sin A="√1-cos¤ A

=æ≠1-{ }¤ =2'2 답 ①

3 1 3

0553

4 cos¤ A+4'3 sin A-7=0에서 4(1-sin¤ A)+4'3 sin A-7=0 4 sin¤ A-4'3 sin A+3=0

(2 sin A-'3)¤ =0, 2 sin A-'3=0

∴ sin A=

삼각형 ABC는 예각삼각형이므로 0<A<

∴ A=

이때 A+B+C=p에서 p-(B+C)=A이므로 tan{p-(B+C)}=tan A

=tan p='3 ^답 ⑤

3 p

p 2 '3

0554

A+B+C=p이므로 B+C=p-A

∴ sin =sin =sin { - }=cos 따라서 주어진 방정식에서

2 cos¤ +cos -1=0

{2 cos -1}{cos +1}=0 이때 0< < 이므로 0<cos <1

∴ cos =

따라서 = 이므로 A= p

∴ sin A=sin p= 답 '3

'3 2 2 2 3

2 3 p

3 A

2 1 2 A

A 2 p

2 A

A 2 A

2 p 2 p-A

2 B+C

0555

4 cos¤ A+4 sin A=5에서 4(1-sin¤ A)+4 sin A=5 4 sin¤ A-4 sinA +1=0

(2 sin A-1)¤ =0 ∴ sin A=;2!;

cos {;2“;+B+C}=-sin (B+C)

=-sin (p-A) (∵ A+B+C=p)

=-sin A=-;2!;

답 -;2!;

0556

단계 채점요소 배점

sin A의 값 구하기 60%

cos {;2“;+B+C}의 값 구하기 40%

방정식 sin px=;1£0;x의 실근의 개수는

y=sin px의 그래프와 직선 y=;1£0;x의 교점의 개수와 같다.

y=sin px에서 주기는 :™ç…:=2이므로 함수 y=sin px와 y=;1£0;x의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.

위의 그림에서 두 그래프의 교점이 7개이므로 주어진 방정식

문서에서 2014 개념원리 RPM 미적분2 답지 정답 (페이지 69-90)