tan 60˘+tan 45˘
1-tan 60˘ tan 45˘
0611
cos 75˘=cos (30˘+45˘)
=cos 30˘ cos 45˘-sin 30˘ sin 45˘
sin 105˘=sin (60˘+45˘)
=sin 60˘ cos 45˘+cos 60˘ sin 45˘
(1+cos x)(1-cos x) cos x-1
06. 삼각함수의 미분 091
sin(2x¤ +x) 2x¤ +x limx⁄0
2x¤ +x x sin(2x¤ +x)
2x¤ +x limx⁄0
sin(2x¤ +x) lim x
sin x+tan 2x lim x
cos 105˘=cos(60˘+45˘)
=cos 60˘ cos 45˘-sin 60˘ sin 45˘
=cos(95˘+40˘)=cos 135˘
=-⑵ (주어진 식)=sin(100˘+80˘)=sin 180˘=0
⑶ sin 70˘=sin(90˘-20˘)=cos 20˘
sin 100˘=sin(90˘+10˘)=cos 10˘
∴ (주어진 식)=cos 20˘ cos 10˘-sin 20˘ sin 10˘
⑴ 0<a< , <b<p에서 cos a>0, sin b>0이 므로
cos a="√1-sin¤ a=æ≠1-{ }
2
= sin b="√1-cos¤ b=æ≠1-{- }
2
⑵ <a<p, p<b<2p에서 cos a<0, sin b<0이므로
cos a=-"√1-sin¤ a=-æ≠1-{ }¤
tan(a+b)=tan p=1 즉, =1 tan a+tan b=1-tan a tan b
∴ (1+tan a)(1+tan b)
=1+tan a+tan b+tan a tan b
=1+(1-tan a tan b)+tan a tan b
=2 답 ④
tan a+tan b 1-tan a tan b
5
0634
4tan 15˘=tan(45˘-30˘)
=
= =
=2-'3 답 ①
'3-1 '3+1 1-121
11111'31 1+1_12
'3 tan 45˘-tan 30˘
1+tan 45˘ tan 30˘
0635
0<a< 이고 sin a= 이므로 tan a=
또, <b<p이고 cot b=- 이므로 tan
b=-∴ tan(a-b)=
=
=-답 -24 7 24
7
;3$;-{-;3$;}
1+;3$;¥{-;3$;}
tan a-tan b 1+tan a tan b
4 3 3
4 p
2 4 3
4 5 p
0636
2⑴ tan (x-y)=4에서
= =4
4(1+2 tan y)=2-tan y, 9 tan y=-2
∴ tan
y=-⑵ p<h<2p이고 cos h= 이므로 tan h=-2'2
1 3 3
2
2 9
2-tan y 1+2 tan y tan x-tan y
1+tan x tan y
∴ tan{ +h}=
= =
∴ a='2 답 ⑴ - ⑵'2
2 9 4'2-9
7 1-2'2 1+2'2
tan ;4“;+tan h 1-tan ;4“; tan h p
4
0637
sin a+sin b= , cos a+cos b= 의 양변을 각 각 제곱하면
sin¤ a+2 sin a`sin b+sin¤ b= yy ㉠ cos¤ a+2 cos a cos b+cos¤ b= yy㉡
㉠+㉡을 하면
(sin¤ a+cos¤ a)+2(sin a sin b+cos a cos b)
+(sin¤ b+cos¤ b)=
1+2(cos a cos b+sin a sin b)+1=
2 cos (a-b)=
∴ cos (a-b)= 답 1
4 1
4 1 2
5 2
5 2 9
4 1 4
3 2 1
0638
2이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan a+tan b= , tan a tan b=
∴ tan(a+b)= = =k
∴ k=3 답 ③
;2K;
1-;2!;
tan a+tan b 1-tan a tan b
1 2 k
2
0639
sin a+cos b= , cos a+sin b= 의 양변을 각각 제곱하면
sin¤ a+2 sin a cos b+cos¤ b= yy`㉠
cos¤ a+2 cos a sin b+sin¤ b= yy㉡
㉠+㉡을 하면
(sin¤ a+cos¤ a)+2(sin a cos b+cos a sin b)
+(sin¤ b+cos¤ b)=
2+2(sin a cos b+cos a sin b)=
sin a cos b+cos a sin
b=-∴ sin(a+b)=- 답 -7
9 7
9
7 9
4 9
4 9 1
3 1 9
'33 1
0640
3단계 채점요소 배점
tan a의 값 구하기 30%
tan b의 값 구하기 20%
tan(a-b)의 값 구하기 50%
06. 삼각함수의 미분 093 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
tan a+tan b=4, tan a tan b=-1
∴ tan(a+b)=
= =2
따라서 오른쪽 그림의 직각삼각형에서 빗변의 길이는'5이고 <a+b< p이므로 cos(a+b)<0
∴ cos(a+b)=-
=-답 - '5 5 '55
1 '5
3 2 p
2
1 '5 2
a+b
4 1+1
tan a+tan b 1-tan a tan b
0641
두 직선 y=3x, y= x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=3, tan b=
∴ tan h=|tan(a-b)|=| |
= = =1
∴ h=
∴ sin h='2 답 ②
2 p 4
5 2 5
|
2 3-;2!;1+3¥;2!;
|
tan a-tan b 1+tan a tan b 1
2 1
0642
2⑴ 두 직선 y=-2x+1, y=x+1이 x축의 양의 방 향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=-2, tan b=1
∴ tan h=|tan (a-b)|
=| |
=| |=3
⑵ x-y+1=0에서 y=x+1
(2-'3 )x+y-'3=0에서 y=('3-2)x+'3
두 직선 y=x+1, y=('3-2)x+'3이 x축의 양의 방향 과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=1, tan b='3-2
따라서 두 직선이 이루는 예각의 크기를 h라 하면 tan h=|tan (a-b)|=| |
=| |
=| 3-'3 |='3 답⑴ 3 ⑵'3 -1+'3
1-('3-2) 1+1¥('3-2)
tan a-tan b 1+tan a tan b (-2)-1
1+(-2)¥1 tan a-tan b 1+tan a tan b
0643
mx-y-1=0에서 y=mx-1 3x-y+2=0에서 y=3x+2
두 직선 y=mx-1, y=3x+2가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=m, tan b=3
따라서 두 직선이 이루는 예각의 크기가 45˘이므로
|tan(a-b)|=| |
=| |=1
∴ |1+3m|=|m-3|
1+3m=—(m-3)에서 m=-2 또는 m=
그런데 m>0이므로 m= 답 1
2 1
2
1 2 m-3
1+m¥3 tan a-tan b 1+tan a tan b
0644
직선 y= x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 를 h라 하면 tan h=
이때 직선 y=ax+b가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 는 h+45˘이므로
a=tan (h+45˘)=
= =3
따라서 직선 y=3x+b가 점 (2, 1)을 지나므로 1=3¥2+b ∴ b=-5
∴ ab=3¥(-5)=-15 답 ④
;2!;+1 1-;2!;¥1
tan h+tan 45˘
1-tan h tan 45˘
1 2 1
0645
2g{ }=a, g{ }=b라고 하면 f(a)= , f(b)=
즉, tan a= , tan b= 이므로
tan(a+b)= =
=1
이때 0<a+b<p이므로 a+b=
∴ g{ }+g{ }=a+b= 답 p
4 p
4 1
3 1
2
p 4
;2!;+;3!;
1-;2!;¥;3!;
tan a+tan b 1-tan a tan b
1 3 1
2 1 3 1
2
1 3 1
0646
2함수 g(x)는 함수 f(x)의 역함수이므로 g{ }=a에서 f(a)= , 즉 cos a= 8
17 8
17 8
17
0647
g{ }=b에서 f(b)= , 즉 cos b=
0<x<p이므로
sin a="√1-cos¤ a=æ≠1-{ }¤ = sin b="√1-cos¤ b=æ≠1-{ }¤ =
∴ f(a+b)=cos(a+b)
=cos a cos b-sin a sin b tan h=tan {180˘-(a+b)}
=-tan (a+b) tan h=tan(a-b)
= = -1…sin (x+a)…1이므로
-'7…'7 sin(x+a)…'7 따라서 M='7, m=-'7이므로
=sin x+cos x`cos -sin x sin
=sin x+ cos x- sin x
='2å1 sin(x+a)+1
{단, sin a=- , cos a= } 이때 -1…sin(x+a)…1이므로
-'2å1+1…'2å1 sin(x+a)+1…'2å1+1
∴ 최댓값：'å2å1+1, 최솟값：-'å2å1+1, 주기：2p
06. 삼각함수의 미분 095
1…2 sin{x+ p}+3…5
∴ 최댓값：5, 최솟값：1, 주기：2p t=sin x+cos x
='2{ sin x+ cos x}
='2 sin {x+ }
이때 -1…sin{x+ }…1이므로 -'2…'2 sin {x+ }…'2
∴ -'2…t…'2
∴ y=1+sin x+cos x+(sin x+cos x)¤
=1+t+t¤
='ƒa+1 sin(x+a)
{단, sin a= , cos a=- }
=2 sin x+'3 cos x
='7 { sin x+ cos x}
='7 sin(x+a) {단, sin a= , cos a= } 이때 -1…sin(x+a)…1이므로
-'7…'7 sin(x+a)…'7
따라서 주기는 2p이므로 a=2이고 최댓값은'7이므로 AP”=cos h, BP”=sin h
∴ AP”+2BP”=cos h+2 sin h
='5 sin(h+a)
{단, sin a= , cos a= } cos¤ x(1+sin x) lim
x⁄;2“;
(1-sin x)(1+sin x) cos¤ x(1+sin x) lim
(sin x-cos x)(sin x+cos x) (sin x- cos x)cos¤ x (1-sin x)(1+sin x) lim (1+cos x)(1-cos x) limx⁄0 lim 5x+4
x⁄0
3x¤ +5x 5x¤ +4x sin(3x¤ +5x)
3x¤ +5x limx⁄0
sin(3x¤ +5x) 5x¤ +4x limx⁄0
0661
06. 삼각함수의 미분 097
sin 2x-sin 4x sin 3x sin(sin 5x)
sin 5x limx⁄0
sin(sin 5x) sin 4x limx⁄0
0662
f(g(x))=f(sin x)=2sin x g( f(x))=g(2x)=sin 2x
∴ = = { ¥ }
sin 100x lim 100x
x⁄0
sin 100x lim x
sin 100x x
sin x+sin 2x+sin 3x+y+sin 100x lim x tan(tan 2x)
tan 2x limx⁄0
tan(tan 2x) tan 3x
sin(x¤ +2x) tan(3x¤ +x)
3x¤ +x
tan 2x+tan 5x lim 3x
tan(sin 3x) limx⁄0
tan x+tan 2x+tan 3x limx⁄0
tan(x¤ -2x) tan x
lim x
x⁄0
tan x(tan x-2) tan(x¤ -2x) limx⁄0
tan¤ x-2 tan x tan(x¤ -2x) limx⁄0
(cos x-1)(cos x+1) x sin x(cos x+1)
=
1+cos 2x 1+cos x
1+cos 2x 1+cos x sin¤ x
sin¤ 2x limx⁄0
1+cos 2x 1+cos x 1-cos¤ x
1-cos¤ 2x limx⁄0
1+cos 2x 1+cos 2x 1+cos x
1+cos x 1-cos x
1-cos 2x limx⁄0
1-cos x 1-cos 2x limx⁄0 3(1+cos x) 3x sin x(1-cos x)(1+cos x) limx⁄0
x‹ cos x sin x(1-cos x) limx⁄0
x‹
sin x 1125-sin xcos x limx⁄0 1+cos kx k¤
1-cos¤ kx 4x¤ (1+cos kx) limx⁄0
(1-cos kx)(1+cos kx) 4x¤ (1+cos kx) limx⁄0
1-cos kx lim 4x¤ t sin(p+t) limt⁄0
1+cos x (x-p)sin x limx⁄p
06. 삼각함수의 미분 099
lim180
t⁄0
1 2x p
lim 180
xڦ
0680
x-2= [ ¥ ¥ ]
⑴ lim ax+b
x⁄;2“;
06. 삼각함수의 미분 101
3(1-cos¤ x) x tan x(1+cos x) limx⁄0
3(1-cos x)(1+cos x) x tan x(1+cos x)
sin 3(x-1) lim x-1
tan (x-1)p lim x-1
x⁄1
limx⁄1
tan (x-1)p
0691
x-1함수 f(x)가 x= 에서 연속이려면 t(cos t+1) limt⁄0
(cos t-1)(cos t+1) t(cos t+1) limt⁄0
△ABC에서 CA”=tan 2h
△CAHª△CBA이므로 ∠CAH=2h 따라서 △CAH에서
CH”=CA”¥sin 2h=tan 2h sin 2h
∴ =
6(1-cos¤ h) h¤ (1+cos h)
hlim⁄0+
6(1-cos h) lim h¤
sin 2pt lim 2pt
t⁄0
sin 2pt lim 2t BC”=1¥sin h=sin h
OC”=1¥cos h=cos h
∴ S™= ¥BC”¥OC”= sin h cos h
y'=(-sin x)cos x sin x+cos x(-sin x)sin x +cos x cos x cos x
06. 삼각함수의 미분 103
답 ⑶ y'=e¤ ≈ (2 cos x-sin x)
답 ⑷ y'=cos x(-2 sin¤ x+cos¤ x)
f(x)=x‹ cos x에서 f '(x)=3x¤ cos x+x‹ (-sin x)
=3x¤ cos x-x‹ sin x
∴ f '{ }=0-{ }‹ sin
=- ¥1
=-p‹ 답 ①
8 p‹
8
p 2 p
2 p
2
0701
= ¥2
=2 f '(p) 이때 f'(x)=cos x-x sin x이므로
=2 f '(p)
=2(cos p-p sin p)
=-2 답 -2
f(p+2h)-f(p) lim h
h⁄0
f(p+2h)-f(p) lim 2h
h⁄0
f(p+2h)-f(p) lim h
0703
h⁄0f(x)=sin¤ x=sin x sin x이므로 f '(x)=(sin x)' sin x+sin x(sin x)'
=cos x sin x+sin x cos x
=2 sin x cos x
∴ =
이때 x-p=t로 놓으면 x ⁄ p일 때 t ⁄ 0이고 x=p+t이 므로
(주어진 식)=
=
=2
=2 ¥cos t
=2¥1¥1=2 답 ④
sin t lim t
t⁄0
sin t cos t lim t
t⁄0
2(-sin t)(-cos t) lim t
t⁄0
2 sin(p+t)cos(p+t) lim t
t⁄0
2 sin x cos x lim x-p
x⁄p
f '(x) lim x-p
x⁄p
0702
⑴ f(x)=e≈ (sin x-cos x+1)에서 f(0)=0이므로
= =f '(0)
f '(x)=e≈ (sin x-cos x+1)+e≈ (cos x+sin x)
=e≈ (2 sin x+1) 이므로 f'(0)=1
⑵ f(x)=x cos x에서
f '(x)=cos x+x(-sin x)=cos x-x sin x f(x)-f(0)
lim x
x⁄0
f(x) lim x
x⁄0
∴
= ¥3
=3 f '{ }
f '{ }=cos - sin
=-∴ 3f '{ }=- p 답 ⑴ 1 ⑵ -3p 2 3
2 p 2
p 2
p 2 p 2 p 2 p
2 p 2
f {;2“;+3h}-f {;2“;}
lim 3h
h⁄0
f {;2“;+3h}-f {;2“;}
lim h
h⁄0
0704
` f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이다.
즉, sin x= (ax+b)=f(0)
∴ b=0
또, f'(x)= 에서
cos x= a
∴ a=1
∴ a+b=1+0=1 답 1
xlim ⁄0-xlim⁄0+
a (-1<x<0) cos x (0<x<1) [
xlim ⁄0-xlim⁄0+
0705
f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이다.
즉, cos x= (5x¤ +ax+b)=f(0)
∴ b=1
또, f '(x)=[ 에서
(-sin x)= (10x+a)
∴ 0=a
∴ a=0, b=1
답 a=0, b=1
xlim⁄0+
xlim
⁄0--sin x (x<0) 10x+a (x>0)
xlim⁄0+
xlim
⁄0-0706
단계 채점요소 배점
b의 값 구하기 40%
a의 값 구하기 60%
sin(-160˘)=-sin 160˘
=-sin(180˘-20˘)
=-sin 20˘
cos 200˘=cos(180˘+20˘)=-cos 20˘
cos(-280˘)=cos 280˘=cos(180˘+100˘)
=-cos 100˘
∴ (주어진 식)=-sin 100˘ sin 20˘+cos 20˘ cos 100˘
0707
f(x)=sin¤ x-cos¤ x=sin x sin x-cos x cos x
0<a< 이므로 cos a>0
<b<p이므로 sin b>0 sin a= 이므로
∴ sin(a+b)=sin a cos`b+cos a sin b
= ¥{- }+ ¥
=-∴cos(a+b)=cos a cos`b-sin a sin b
= ¥{- }- ¥
=-∴ sin(a+b)-cos(a+b)
=- + =47 답 ⑤
△ABC에서 A+B+C=180˘이므로 C=135˘
∴ tan 135˘=-1 답 ②
sin A+sin B=1에서 (sin A+sin B)¤ =1
sin¤ A+2 sin A sin B+sin¤ B=1 yy ㉠ cos A-cos B=a에서
(cos A-cos B)¤ =a¤
y=sin 2x+'3 cos 2x
=2 { sin 2x+ cos 2x}
=cos 120˘
=-1 답 ③
2
06. 삼각함수의 미분 105 2 cos(a-b)=0
∴ cos(a-b)=0
이때 -p<a-b<p이므로 a-b=- 또는 a-b= sin¤ t(1+cos t) limt⁄0
1-cos¤ t sin¤ t(1+cos t) limt⁄0
(1-cos t)(1+cos t) sin¤ t(1+cos t) limt⁄0 sin 3x+sin 4x
lim x
x⁄0
sin 3x+sin 4x x(cos x+1) limx⁄0 tan(sin px)
sin px limx⁄0
tan(sin px) lim x
x⁄0
0722
= cos x-sin x 2-(1+tan¤ x)
cos x-sin x
cos¤ x(cos x-sin x) (cos x+sin x)(cos x-sin x)
cos x-sin x
= { + }¥
△DBC에서 BD”=3'2이므로 sin b= , cos b=
sin 3x('ƒax+4+2) limx⁄0
('ƒax+4-2)('ƒax+4+2) sin 3x('ƒax+4+2) limx⁄0 a cos¤ 0+b=a+b=0
∴ b=-a
b sin(p+t) lim t
sin x+sin 3x x cos x
06. 삼각함수의 미분 107
f(p+h)-f(p)- f(p-h)+f(p) lim h
sin p(t+1) lim -t
amn=2'3¥ ¥'3
=2p
tan h=tan(b-a)=
= =
즉, f(x)=f(0)=18 f(x)= 1-cos ax
lim x¤
x⁄0
limx⁄0
limx⁄0
1-cos ax x¤ 1+cos ax sin ax
lim ax
x⁄0
1 1+cos ax sin¤ ax
lim x¤
x⁄0
1-cos¤ ax x¤ (1+cos ax) limx⁄0
0730
= [ ¥ ] yy㉠ 이때 2-cos x=t로 놓으면 x⁄ 0일 때 t ⁄ 1이므로
(주어진 식)= ¥
=f '(1)¥
=f '(1)¥ [{ }¤ ¥ ]
=10¥1¥1=5 답 5
2
1 1+cos x sin x
lim x
x⁄0
1-cos¤ x x¤ (1+cos x) limx⁄0
1-cos x lim x¤
x⁄0
f(t)-f(1) lim t-1
t⁄1
(2-cos x)-1 x¤
f(2-cos x)-f(1) (2-cos x)-1 limx⁄0
f(2-cos x)-f(1) lim x¤
x⁄0
0735
` f(x)가 x=0에서 미분가능하려면 x=0에서 연속이 어야 하므로
(b sin x+2x-1)= ae≈ =f(0)
∴ a=-1
또, f '(0)의 값이 존재해야 하므로 f '(x)=
에서 (b cos x+2)= (-e≈ ) b+2=-1
∴ b=-3
∴ ab=-1¥(-3)=3 답 ⑤
x⁄0-lim
xlim⁄0+
-e≈ (x<0) b cos x+2 (x>0) [
xlim ⁄0-xlim⁄0+
0736
오른쪽 그림과 같이 반지름 의 길이가 4인 원의 중심을 O, 반 지름의 길이가 r인 두 원의 중심을 각각 O¡, O™라 하면
OO™”=4, O¡O™”=2r,
∠O™OO¡=2p n
0737
2 r 4
O™
O¡
O H
2p n
단계 채점요소 배점
tan a, tan b의 값 구하기 20%
tan h의 값 구하기 40%
tan{;4“;-h}의 값 구하기 40%
x ⁄ 일 때 (분자) ⁄ 0이고 0이 아닌 극한값이 존 재하므로 (분모)⁄ 0이다.
즉, (ax+b)=0이므로
a+b=0 ∴ b=- a
b=- a를 주어진 식에 대입하면
= = yy㉠
x- =t로 놓으면 x ⁄ 일 때 t ⁄ 0이므로 ㉠은
=
=-따라서 - = 이므로 a=-2, b=p
∴ ab=-2p
답 -2p 1
2 1 a
1 a -sin t lim at
t⁄0
lim at
t⁄0
p 2 p
2
1 2 cos x cos x
p 2
p 2 p
2
p
0733
2단계 채점요소 배점
b=- a로 나타내기 30%
식 간단히 하기 30%
a, b의 값 구하기 30%
ab의 값 구하기 10%
p 2
lim
x⁄p 2
cos { +t}p 2 lim
x⁄p 2
lim
x⁄p
ax-pa 2
2 a {x- }p
2
구간{- , }에서 x+0일 때, tan¤ x>0이므로 0< <1
따라서 x+0일 때,
f(x)=x¤ + + +y
=
=x¤ (1+tan¤ x) tan¤ x
x¤
x¤
(1+tan¤ x)¤
x¤
1+tan¤ x 1
1+tan¤ x
p 2 p 2
함수 f(x)가 x=0에서 연속이려면 f(0)= f(x)이어야 하므로
a=
= [{ }
2
¥(1+tan¤ x)]
=1¤ ¥(1+0)=1
답 1 x
tan x limx⁄0
x¤ (1+tan¤ x) tan¤ x limx⁄0
limx⁄0
0734
단계 채점요소 배점
등비급수의 수렴 조건 조사하기 20%
등비급수의 합 구하기 40%
a의 값 구하기 40%
1- 1
1+tan¤ x
07. 여러 가지 미분법 109 이때 중심 O에서 O¡O™”에 내린 수선의 발을 H라 하면
∠HOO¡=
이므로
r=HO¡”=4 sin
∴ f(n)= 2pr¥n
= {2p¥4 sin ¥n} yy㉠
=t로 놓으면 n⁄ ¶일 때 t ⁄ 0이므로 ㉠은
{2p¥4 sin pt¥ }= {8p¥ ¥p}
=8p¥1¥p=8p¤ 답 ⑤
sin pt lim pt
t⁄0
1 lim t
t⁄0
1 n
p lim n
nڦ
nlimڦ
nlimڦ
p n p n
⁄ 0<x<1일 때, x« = x« ±⁄ =0 이므로 f(x)=sin apx
¤ x=1일 때, f(1)=1
‹ x>1일 때, |sin apx|…1이므로
f(x)= =x
f(x)가 x=1에서 연속이려면 sin apx= x=1
∴ sin ap=1
ap= p ∴ a= 답 1
2 1
2 1
2
xlim⁄1+
xlim
⁄1-(x-1)sin apx x+1111111x«
1111111115x-1 1+112x«
nlimڦ
nlimڦ
nlimڦ