•개념 BOOK 002 •테스트 BOOK 051
하
0
2
⑴ ∠x=;2!;(180˘-76˘)=52˘ ⑵ ∠B=∠ACB=180˘-117˘=63˘이므로 ⑵∠x=180˘-(63˘+63˘)=54˘0
3
△ABC와` △EFD에서 ∠C=∠D=90˘, AB”=EF”=10 cm, ∠A=180˘-(60˘+90˘)=30˘=∠E이므로 △ABC™△EFD (RHA 합동) 따라서 DF”=CB”이므로 x=50
4
⑤ ∠COD+∠DPC=180˘이지만 ⑤∠COD=∠DPC라고 할 수는 없다. 유형`` ① BD”=CD”=3 cm ② △ABD에서 ∠BAD=180˘-(90˘+70˘)=20˘ ⑤ ∠ABD=70˘이므로 △ABC는 정삼각형이 아니다. ∴ AB”+6 cm2
-1 △ABD에서 ∠ADB=90˘이므로 ∠x=180˘-(50˘+90˘)=40˘2
-2 △ABD에서 ∠ADB=90˘, ∠B=∠C=54˘이므로 ∠DAB=180˘-(90˘+54˘)=36˘ ∴ x=36 또` BD”=CD”이므로 BC”=2_6=12(cm) ∴ y=12 ∴ x+y=36+12=481. 삼각형의 성질
S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이>
개념
BOOK
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도형의 성질
V
01. 이등변삼각형과 직각삼각형개념
CHECK
025쪽 ⑴ 수직이등분 ⑵ 예각 ⑶ 변 01㈎ AC”, ㈏ ∠CAD, ㈐ AD”, ㈑ SAS 02⑴ 52˘ ⑵ 54˘ 035 04⑤ 유형 35˘ 1-1 50˘ 1-2 40˘ 1-3 55˘ 유형 ⑤ 2-1 40˘ 2-2 48 유형 123˘ 3-1 20˘ 3-2 36˘ 3-3 20˘ 유형 12 cm 4-1 ③ 4-2 ④ 유형 63˘ 5-1 13 5-2 98˘ 5-3 30 cm¤ 유형 ⑤ 6-1 AB”=DE” 또는 BC”=EF” 6-2 ㄱ, ㄴ 유형 ⑴ 8 cm ⑵ 32 cm¤ 7-1 ③ 7-2 22 cm¤ 유형 ④ 8-1 8 cm¤ 8-2 ②유형
EXERCISES
026~029쪽 2 3 1 4 6 7 5 82
유형`` △ABC는 AB”=AC”이므로 ∠B=;2!;(180˘-40˘)=70˘ ∴ ∠ABD=;2!;_70˘=35˘1
-1 ∠C=∠B=65˘ ∴ ∠A=180˘-(65˘+65˘)=50˘1
-2 △ACD는 AC”=DC”이므로 ∠CAD=∠CDA=50˘ 따라서 △ABC에서 ∠x=180˘-(90˘+50˘)=40˘1
-3 △ABC는 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;(180˘-70˘)=55˘ 이때 ∠EAD=∠B (동위각)이므로 ∠EAD=55˘1
개념 BOOK 유형`` △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠C=;2!;(180˘-36˘)=72˘ ∴ ∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_72˘=36˘ 또` △DAB에서 ∠BDC=36˘+36˘=72˘ 따라서 ∠BCD=∠BDC=72˘이므로 △BCD는 BC”=BD”인 이등변삼각형이다. ∴ BD”=BC”=12 cm A D B 12`cm C 36æ 36æ 72æ 72æ 유형`` △ABC에서 ∠B=∠ACB=;2!;(180˘-98˘)=41˘ △CAD에서 ∠D=∠CAD=180˘-98˘=82˘ 따라서 △DBC에서 ∠x=82˘+41˘=123˘
3
-1 ∠DCA=∠DCE=55˘이므로 ∠ACB=180˘-(55˘+55˘)=70˘ 이때 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB=70˘ ∴ ∠DBC=;2!;∠ABC ∴ ∠DBC=;2!;_70˘=35˘ 따라서 △DBC에서 ∠D=55˘-35˘=20˘3
-2 △ABD에서 AD”=BD”이므로 ∠ABD=∠A=∠x 이때 ∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠x AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C=2∠x 따라서 ∠x+2∠x+2∠x=180˘이므로 5∠x=180˘ ∴ ∠x=36˘3
-3 ∠A=∠x라고 하면 AB”=BC”이므로 ∠BCA=∠A=∠x △BAC에서 ∠DBC=∠x+∠x=2∠x △DBC에서 BC”=CD”이므로 ∠BDC=∠DBC=2∠x △DAC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x △DCE에서 DC”=DE””이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x △DAE에서 ∠x+3∠x+100˘=180˘ 즉, 4∠x=80˘이므로 ∠x=20˘ ∴ ∠A=20˘ A D B C E 35æ 70æ55æ55æ 35æ4
-1 ∠A=96˘-48˘=48˘즉, ∠B=∠A이므로 △CAB는 AC”=BC”인 이등변삼 각형이다. ∴ BC”=AC”=6 cm
4
-2 ① ∠A=∠C=45˘ ② △ABC는 이등변삼각형이므로 BM”⊥AC” ③, ⑤ ∠ABM=∠MBC=;2!;_90˘=45˘ ①△ABM과 △MBC가 이등변삼각형이므로 ①AM”=BM”=CM”3
4
유형`` BA”∥CD”이므로 ∠BAC=∠ACD=∠x (엇각) ∠BCA=∠ACD=∠x (접은 각) 따라서 △ABC에서 AB”=BC”이므로 ∠x=;2!;(180˘-54˘)=63˘5
-1 ∠BAC=∠DAC (접은 각), ∠DAC=∠BCA (엇각) 이므로 ∠BAC=∠BCA 따라서 △ABC에서 BA”=BC”=13 cm ∴ x=135
-2 ∠CAB=∠DAB ∠CAB=∠CBA=49˘ 따라서 △ABC에서 ∠x=49˘+49˘=98˘5
-3 ∠ABC=∠CBD=∠ACB 따라서 △ABC에서 AC”=AB”=10 cm ∴ △ABC=;2!;_6_10 ∴ △ABC=30(cm¤ ) D A C B 10`cm 6`cm D A C B 49æ x A D C B 13`cm x`cm 10`cm A D 54æ B C x xx5
유형`` ① RHS 합동 ② SAS 합동 ③ RHA 합동 ④ RHA 합동 ⑤ 모양은 같으나 크기가 같다고 할 수 없으므로 합동이 아니 다.
6
-1 RHS 합동이 되려면 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같아야 한다.6
-2 ㄱ. 삼각형의 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ㄱ. 나머지 한 각의 크기는 180˘-(90˘+30˘)=60˘ 따라서 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같은 두 직각삼 각형 ㄱ, ㄴ은 서로 합동이다. (RHA 합동)6
유형`` ⑴ △ABD™△CAE (RHA 합동)이므로 ⑴DE”=AD”+AE”=CE”+BD”=8(cm) ⑵ DBCE=;2!;_(BD”+CE”)_DE” ⑵ DBCE=;2!;_(5+3)_8=32(cm¤ )7
-1 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90˘, AD”=AC”, AE”는 공통이므로 △ADE™△ACE (RHS 합동) 이때 ∠EAD=90˘-55˘=35˘이므로 ∠A=2∠EAD=70˘ ∴ ∠B=90˘-70˘=20˘7
-2 △BDM과 △CEM에서 ∠D=∠CEM=90˘, BM”=CM”, ∠BMD=∠CME (맞꼭지각)이므로 △BDM≡△CEM (RHA 합동) 따라서 BD”=CE”=4 cm, DM”=EM”=3 cm이므로 △ABD=;2!;_4_(8+3)=22(cm¤ )7
유형``△AOP와 △BOP에서 ∠PAO=∠PBO=90˘, OP”는 공통, ∠AOP=∠BOP이므로
△AOP≡△BOP (RHA 합동)
∴ OA”=OB”, PA”=PB”, ∠OPA=∠OPB
8
8
-1 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 변 AC 에 내린 수선의 발을 E라고 하면 △ABD와 △AED에서 ∠ABD=∠AED=90˘, ∠BAD=∠EAD, AD”는 공통이므로 △ABD™△AED (RHA 합동) ∴ DE”=DB”=2 cm ∴ △ADC=;2!;_AC”_DE”=;2!;_8_2=8(cm¤ )8
-2 △ADE와 △CDE에서AD”=CD”, ∠ADE=∠CDE, DE”는 공통이므로 △ADE≡△CDE (SAS 합동)
∴ ∠DAE=∠DCE=∠x △ABE와 △ADE에서
∠B=∠ADE=90˘, AE”는 공통, BE”=DE”이므로 △ABE≡△ADE (RHS 합동) ∴ ∠BAE=∠DAE=∠x 따라서 △ABC에서 2∠x+90˘+∠x=180˘ 3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘ D B C A 8`cm 2`cm E
0
1
ㄴ. 삼각형의 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같으므 로 OA”=OB”=OC” ㄹ. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 AD”=BD” ㅁ. △OAF와 △OCF에서AF”=CF”, ∠OFA=∠OFC=90˘, OF”는 공통 ㅁ. ∴ △OAF™△OCF (SAS 합동)
0
2
⑴ ∠x+45˘+30˘=90˘ ∴ ∠x=15˘ ⑵ ∠x=2_70˘=140˘0
3
ㄱ. △IEC와 △IFC에서ㄱ. ∠IEC=∠IFC=90˘, ∠ICE=∠ICF, IC”는 공통 02. 삼각형의 외심과 내심
개념
CHECK
042쪽⑴ 외심 ⑵ 꼭짓점 ⑶ 내심 ⑷ 변 01ㄴ, ㄹ, ㅁ 02⑴ 15˘ ⑵ 140˘ 03ㄱ, ㄴ, ㄹ 04⑴ 20˘ ⑵ 125˘
개념 BOOK ㄱ. ∴ △IEC™△IFC (RHA 합동) ㄱ. ∴ CE”=CF” ㄴ. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID”=IE”=IF” ㄹ. ㄱ과 같은 방법으로 하면 ㄷ. △IAD™△IAF (RHA 합동)
0
4
⑴ ∠x+30˘+40˘=90˘ ∴ ∠x=20˘ ⑵ ∠x=90˘+;2!;_70˘=125˘1
-2 점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” △OAB에서 ∠OAB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘ △OCA에서 ∠OAC=;2!;_(180˘-60˘)=60˘ ∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=50˘+60˘=110˘ 유형 ④ 1-1 76˘ 1-2 110˘ 유형 16 cm 2-1 20p cm 2-2 60˘ 유형 128˘ 3-1 24˘ 3-2 48˘ 3-3 23˘ 유형 ② 4-1 3 cm 4-2 105˘ 4-3 42˘ 유형 20˘ 5-1 6˘ 5-2 114˘ 5-3 115˘ 유형 2 cm 6-1 30 cm¤6-2 ;;¡3º;; cm 6-3 32 cm¤ 유형 ;2(; 7-1 10 cm7-2 12 cm 7-3 10 cm 유형 64˘ 8-1 ⑤ 8-2 150˘ 8-3 15˘유형
EXERCISES
043~046쪽 2 3 1 4 6 7 5 8 유형`` 점 O가 △ABC의 외심이므로 OB”=OC”=OA”=;2!;AB”=5(cm) 따라서 △OBC의 둘레의 길이는 OB”+BC”+CO”=5+6+5=16(cm)2
-1 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접 원의 반지름의 길이는 ;2!;_20=10(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm)2
-2 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 AM”=BM”=CM” 즉, △MAB는 이등변삼각형 이므로 ∠MAB=∠MBA=30˘ 따라서 △ABM에서 ∠AMC=30˘+30˘=60˘ B M C A 30æ 30æ2
유형`` ① 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. ①∴ OA”=OB”=OC” ② 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 ①BE”=CE” ③, ⑤ △OAD와 △OBD에서①∠ODA=∠ODB=90˘, OA”=OB”, OD”는 공통이므로 △OAD™△OBD (RHS 합동)
①∴ ∠OAD=∠OBD
1
-1 OC”를 그으면 점 O가 △ABC의외심이므로 OA”=OB”=OC” 따라서 ∠OCA=∠OAC=42˘ ∠OCB=∠OBC=34˘ ∴ ∠C=∠OCA+∠OCB =42˘+34˘=76˘ B C O A 42æ 34æ 34æ 42æ
1
유형``점 O가 △ABC의 외심이므로 30˘+∠OBC+34˘=90˘ ∴ ∠OBC=26˘
∴ ∠BOC=180˘-2_26˘=128˘ ■ 다른 풀이 ■
점 O가 △ABC의 외심이므로 △OCA에서 OC”=OA” ∴ ∠OAC=34˘ ∠BAC=∠BAO+∠OAC=30˘+34˘=64˘이므로 ∠BOC=2∠BAC=2_64˘=128˘
3
-1 ∠OCB=∠OBC=26˘, ∠OAC=∠OCA=40˘ ∠OAB=∠OBA=∠x이므로 26˘+40˘+∠x=90˘ 66˘+∠x=90˘ ∴ ∠x=24˘3
3
-2 ∠AOB=2∠C=2_42˘=84˘ 따라서 △AOB에서 OA”=OB”이므로 ∠x=;2!;(180˘-84˘)=48˘3
-3 ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_96˘=48˘ ∠BAO=∠ABO=25˘ ∴ ∠x=48˘-25˘=23˘ ■ 다른 풀이 ■ ∠OCB=;2!;(180˘-96˘)=42˘ ∴ ∠x=90˘-(25˘+42˘)=23˘ 유형`` ① 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID”=IE”=IF” ③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 ∠IAD=∠IAF ④, ⑤ △IBD와 △IBE에서 ③∠IDB=∠IEB=90˘, ∠IBD=∠IBE, ③` IB”는 공통이므로 ③△IBD™△IBE (RHA 합동) ③∴ BD”=BE”4
-1 △IBD≡△IBE이므로 BE”=BD”=5 cm ∴ EC”=BC”-BE”=8-5=3(cm) ∴ FC”=EC”=3(cm)4
-2 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠ABI=40˘, ∠ICB=∠ACI=35˘ 따라서 △IBC에서 ∠BIC=180˘-(40˘+35˘)=105˘4
-3 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ABC=2∠IBC=2_31˘=62˘ ∠ACB=2∠ICB=2_38˘=76˘ ∴ ∠x=180˘-(62˘+76˘)=42˘4
유형`` AI”를 그으면 ∠IAC=;2!;_80˘=40˘ 30˘+∠x+40˘=90˘이므로 ∠x=20˘ ■ 다른 풀이 ■ ∠IBC=∠IBA=30˘이고 ∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+40˘=130˘이므로 △IBC에서 ∠x=180˘-(30˘+130˘)=20˘5
-1 ∠IAB=∠IAC이므로 ∠x=30˘ 30˘+∠y+36˘=90˘이므로 ∠y=24˘ ∴ ∠x-∠y=30˘-24˘=6˘5
-2 ∠BIC=90˘+;2!;∠BAC=90˘+24˘=114˘5
-3 AB”=AC”이므로 ∠B=;2!;(180˘-80˘)=50˘ ∴ ∠AIC=90˘+;2!;∠B=90˘+25˘=115˘ I A 30æ B x C 80æ5
유형`` △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC=;2!;_r_(6+8+10)=;2!;_6_8 ∴ r=26
-1 △ABC=;2!;_2_(5+13+12)=30(cm¤ )6
-2 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC=;2!;_r_(AB”+BC”+CA”)이므로 60=;2!;_r_36 ∴ r=:¡3º:6
-3 △ABC=;2!;_16_12=96(cm¤ ) △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC=;2!;_r_(20+16+12)=96 96=24r ∴ r=4 ∴ △IBC=;2!;_16_4=32(cm¤ )6
개념 BOOK
8
-2 △ABC에서 ∠B=180˘-(90˘+70˘)=20˘ 이때 점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” ∴ ∠OCB=∠OBC=20˘ 또 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=;2!;∠B=;2!;_20˘=10˘ 따라서 △PBC에서 ∠BPC=180˘-(10˘+20˘)=150˘8
-3 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘ 이때 OA”=OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=;2!;(180˘-80˘)=50˘ 또 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;(180˘-40˘)=70˘ 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_70˘=35˘ ∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=50˘-35˘=15˘ 유형`` CD”=CE”=x라고 하면 AF”=AE”=8-x BF”=BD”=10-x AB”=AF”+BF”이므로 9=(8-x)+(10-x) ∴ x=;2(;7
-1 BQ”=BP”=16-12=4(cm) AR”=AP”=12 cm이므로 CQ”=CR”=18-12=6(cm) ∴ BC”=BQ”+CQ”=4+6=10(cm)7
-2 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 내접원과 세 변 AB, BC, CA의 접점 을 각각 D, E, F라 하자. DBEI는 정사각형이므로 BD”=DI”=3 cm AF”=AD”=AB”-DB”=9-3=6(cm)이므로 CE”=CF”=15-6=9(cm) ∴ BC”=BE”+CE”=3+9=12(cm)7
-3 AB”=AC”인 이등변삼각형 ABC의 둘레의 길이가` 30 cm이므로 2AB”+10=30 ∴ AB”=10(cm) 점 I는 △ABC의 내심이고 DE”∥BC”이므로 ∠DBI=∠IBC=∠DIB ∴ DB”=DI” ∴ AD”+DI”=AD”+DB”=AB”=10(cm) B D E C 10`cm I A B D 6`cm I A C F 6`cm 3`cm 9`cm E B D E F C 10-x 10-x 8-x 8-x x x I A7
유형`` ∠BOC=2∠A=104˘이므로 ∠A=52˘ ∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+26˘=116˘ 따라서 ∠BIC의 크기와 ∠A의 크기의 차는 116˘-52˘=64˘8
-1 정삼각형의 외심과 내심은 일치한다.8
01④ 02② 0345˘ 04③ 056 cm 069 m 078 cm¤ 08③ 09③ 10④ 11③ 1248 cm¤ 1330˘ 14150˘ 1519 cm 16 10 cm 17⑤ 1829p cm¤ 1944˘ 20 58˘ 218 cm 22110˘ 2354˘ 2420 cm¤중단원
EXERCISES
047~050쪽0
1
AB”=AC”이므로 ∠C=∠B=3∠x-15˘ 따라서 △ABC에서 ∠x+(3∠x-15˘)+(3∠x-15˘)=180˘ 7∠x=210˘ ∴ ∠x=30˘0
2
∠A=180˘-2∠C=36˘ ∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;∠C=36˘이므로 △ABD에서 ∠BDC=∠A+∠ABD=36˘+36˘=72˘ ∴ ∠A+∠BDC=36˘+72˘=108˘03
∠ACD=;2!;(180˘-72˘)=54˘이므로 ∠DBC=∠D=;2!;(180˘-72˘-54˘)=27˘ 이때 ∠ABC=∠ACB=72˘이므로 ∠x=∠ABC-∠DBC=72˘-27˘=45˘04
BC”∥AD”이므로 ∠CAD=∠BCA=28˘ (엇각) ∴ ∠ADC=;2!;(180˘-28˘)=76˘ 이때 AD”=ED”이므로 ∠DAE=∠DEA=∠x 따라서 △DAE에서 ∠x+∠x=76˘ ∴ ∠x=38˘05
△ABC에서 ∠B=∠C이므로 AC”=AB”=8 cm 오른쪽 그림과 같이 AP”를 그으면 △ABC=△ABP+△APC이므로 24=;2!;_8_PD”+;2!;_8_PE” 24=4(PD”+PE”) ∴ PD”+PE”=6(cm)06
AB”=AC”이므로 AD”⊥BC” △ABD에서 ∠ABD=180˘-(45˘+90˘)=45˘ 따라서 △ABD에서 ∠BAD=∠ABD이므로 AD”=BD”=3 m 또` CD”=BD”=3 m이므로 BC”=BD”+CD”=6(m) ∴ AD”+BC”=3+6=9(m)07
△AED와 △AEC에서AD”=AC”, AE”는 공통, ∠ADE=∠ACE=90˘이므로 △AED™△AEC(RHS 합동) ∴ DE”=CE”=4 cm 직각이등변삼각형 ABC에서 ∠B=45˘이므로 ∠DEB=90˘-45˘=45˘ 따라서 △BDE에서 DB”=DE”=4 cm이므로 △BDE=;2!;_4_4=8(cm¤ )
08
△AMD≡△BMD (SAS 합동)이므로 ∠A=∠DBM 또 △BDM≡△BDC (RHS 합동)이므로 A B C D E 8`cm P 8`cm ∠DBM=∠DBC ∴ ∠A=∠DBM=∠DBC 따라서 △ABC에서 ∠A+∠DBM+∠DBC+90˘=180˘이므로 3∠A=90˘ ∴ ∠A=30˘09
△ADB와 △CEA에서 ∠D=∠E=90˘, AB”=AC”, ∠BAD=90˘-∠CAE=∠ACE 이므로 △ADB™△CEA(RHA 합동) ∴ AD”=CE” 또 ∠BAD+∠CAE=180˘-90˘=90˘10
④ ∠OCB=∠OBC=∠y, ∠OCA=∠OAC=∠z 이므로 ∠y와 ∠z가 항상 같지는 않다.11
주어진 원은 △ABC의 외접원이므로 외심을 찾으면 된다. 외심은 세 선분의 수직이등분선의 교점이므로 ③이다.12
OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=50˘ ∴ ∠AOB=180˘-(50˘+50˘)=80˘ ∠ABC=50˘+30˘=80˘이므로 ∠AOC=2∠ABC=160˘ 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 부채꼴 OAC의 넓이는 부채꼴 OAB의 넓이의 2배이다. 따라서 부채꼴 OAC의 넓이는 24_2=48(cm¤ )13
점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”=8 cm 따라서 △AOC는 정삼각형 이므로 ∠BAC=60˘ ∴ ∠B=180˘-(60˘+90˘)=30˘14
∠IBC=∠IBA=30˘, ∠ICB=∠ICA=40˘이므로 ∠y=180˘-(30˘+40˘)=110˘ 110˘=90˘+;2!;∠x이므로 ∠x=40˘ ∴ ∠x+∠y=40˘+110˘=150˘15
DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC A B C D I E 9`cm 10`cm 11`cm A B C O 8`cm 8`cm 8`cm개념 BOOK ∴ ∠DIB=∠DBI 즉, △DBI는DB”=DI”인 이등변삼각형이다. 같은 방법으로 하면 △EIC도EI”=EC”인 이등변삼각형 이다. 따라서 △ADE의 둘레의 길이는 AD”+DE”+EA”=AD”+(DB”+EC”)+EA” AD”+DE”+EA”=AB”+AC” AD”+DE”+EA=9+10=19(cm)
16
오른쪽 그림과 같이 밑면인 △ABC의 내 접원의 중심을 I라고 하자. △ABC의 넓이는 ;2!;_24_70=840(cm¤ ) 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 할 때,△ABC의 넓이는 △IAB, △IBC, △ICA의 넓이의 합과 같으므로 ;2!;_24_r+;2!;_70_r+;2!;_74_r=840 84r=840 ∴ r=10 따라서 넣을 수 있는 가장 큰 공의 반지름의 길이는 10 cm이다.
17
정삼각형의 외심과 내심은 일치한다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 AI”=9-3=6(cm)18
(외접원의 반지름의 길이)=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm) 이때 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC의 넓이는 ;2!;_r_(10+6+8)=;2!;_6_8 ∴ r=2 따라서 외접원과 내접원의 넓이의 합은 p_5¤ +p_2¤ =29p(cm¤ )19
∠DBE=∠A이므로 ∠ABC=∠A+24˘ △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠C ∠A+∠ABC+∠C=180˘이므로 ∠A+(∠A+24˘)+(∠A+24˘)=180˘, 3∠A=132˘ ∴ ∠A=44˘ B C A I r cm 74 cm 70 cm 24 cm20
△BDF와 △CED에서 BF”=CD”, BD”=CE” △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ∠B=;2!;(180˘-52˘)=64˘ ∴ △BDF™△CED (SAS 합동)∴ ∠BFD=∠CDE, ∠BDF=∠CED, DF”=ED” ∠BDF=a, ∠BFD=b라고 하면 a+b=180˘-64˘=116˘ ∴ ∠FDE=180˘-(a+b) ∴ ∠FDE=180˘-116˘=64˘ 따라서 △DEF에서 DF”=DE”이므로 ∠DEF=∠DFE ∴ ∠x=;2!;(180˘-64˘)=58˘
21
△ADB와 △BEC에서 ∠ADB=∠BEC=90˘, AB”=BC”, ∠BAD=90˘-∠DBA=∠CBE이므로 △ADB≡△BEC (RHA 합동) ∴ DB”=EC”=6(cm), BE”=AD”=14(cm) ∴ DE”=BE”-DB”=14-6=8(cm)22
OA”를 그으면OA”=OB” 이므로 ∠OAB=∠OBA=50˘ 또, OB”=OC”이므로 ∠OCB=∠OBC=20˘ 이때 ∠BCA=∠x라고 하면OA”=OC”이므로 ∠OAC=∠OCA=∠x+20˘ △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180˘ (50˘+∠x+20˘)+30˘+∠x=180˘ 100˘+2∠x=180˘ ∴ ∠x=40˘ ∴ ∠A=50˘+40˘+20˘=110˘23
∠BAD=∠CAD=∠a, ∠ABE=∠CBE=∠b라고 하면△ABE에서 2∠a+∠b=180˘-87˘=93˘ yy`㉠ △ABD에서 ∠a+2∠b=180˘-84˘=96˘ yy`㉡ ㉠+㉡을 하면 3∠a+3∠b=189˘ ∴ ∠a+∠b=63˘ A B C O 30æ 50æ x+20æ x 20æ 20æ A B C E F D 52æ x a a b b 64æ 64æ 64æ
따라서 △ABC에서 ∠C=180˘-2(∠a+∠b)=180˘-126˘=54˘
24
내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC의 넓이에서 ;2!;_12_5=;2!;_(13+12+5)_r 30=15r ∴ r=2 `IECF는 한 변의 길이가 2 cm인 정사각형이므로 BE”=BC”-EC” BE=12-2=10(cm) △BEI≡△BDI (RHS 합동)이므로 `DBEI=2△BEI `DBEI=2_;2!;_10_2=20(cm¤ ) B C I A D E 13`cm 12`cm 5`cm F0
1
⑴ 평행사변형에서 대변의 길이와 대각의 크기가 각각 같 으므로 a=10, b=120 ⑵ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므 로 a=5, b=32. 사각형의 성질
01. 평행사변형개념
CHECK
060쪽 ⑴ 평행 ⑵ 이등분 ⑶ 평행사변형 01⑴ a=10, b=120 ⑵ a=5, b=3 02⑴ DC”, BC” ⑵ DC”, BC” ⑶ ∠C, ∠D ⑷ OC”, OD” ⑸ DC”, DC” 03㈎ ∠EDF, ㈏ ∠DFC, ㈐ ∠BFD 유형 84˘ 1-1 4 cm 1-2 87˘ 유형 8 cm 2-1 7 2-2 20 cm 유형 70˘ 3-1 ② 3-2 36˘ 3-3 58˘ 유형 24 cm 4-1 ③ 4-2 4 cm¤ 유형 ③ 5-1 ㈎ DA”, ㈏ SSS, ㈐ ∠DCA, ㈑ ∠CAD5-2 ㈎ ∠DCA, ㈏ SAS, ㈐ ∠DAC,
㈑ AD”∥BC” 5-3 ④ 유형 16 cm 6-1 65˘ 6-2 ③ 유형 18 cm¤ 7-1 48 cm¤7-2 10 cm¤
유형
EXERCISES
061~064쪽 2 3 1 4 6 7 5 유형`` △DCE와 △FBE에서 CE”=BE”, ∠DCE=∠FBE (엇각), ∠DEC=∠FEB (맞꼭지각)이므로 △DCE™△FBE (ASA 합동) ∴ BF”=CD”=4 cm 또` AB”=CD”=4 cm이므로 AF”=AB”+BF”=4+4=8(cm)2
유형`` AD”∥BC”이므로 ∠DAC=∠x (엇각) AB”∥DC”이므로 ∠ABD=∠y (엇각) 이때 △ABD에서 (70˘+∠x)+∠y+26˘=180˘ ∴ ∠x+∠y=84˘1
-1 AB”∥DC”이므로 ∠BEC=∠DCE (엇각) 즉, △BEC가 이등변삼각형이 므로 BE”=BC”=12 cm ∴ AE”=BE”-AB” ∴ AE”=12-8=4(cm)1
-2 ∠CDB=∠ABD=32˘이므로 △DOC에서 ∠AOD=32˘+55˘=87˘ A E B D C 12`cm 8`cm1
개념 BOOK
2
-1 AB”=CD”이므로 3x=x+6 ∴ x=3 이때 BC”=2x+1=2_3+1=7이므로 AD”=BC”=72
-2 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C AC”∥DE”이므로 ∠C=∠BED (동위각) ∴ ∠B=∠BED 즉, △DBE는 DB”=DE”인 이등변삼각형이므로 DE”=8 cm 따라서 ADEF의 둘레의 길이는 2(AD”+DE”)=2_(2+8)=20(cm)4
-1 ③ OA”=OC”, OB”=OD”4
-2 △OCQ와 △OAP에서 ∠OCQ=∠OAP (엇각), OC”=OA”, ∠QOC=∠POA (맞꼭지각)이므로 △OCQ≡△OAP (ASA합동) 이때 AP”=AB”-PB”=8-6=2(cm)이므로 △OCQ=△OAP=;2!;_4_2=4(cm¤ ) 유형`` AD”∥BC”이므로 ∠DAE=∠AEB=55˘ (엇각) ∴ ∠A=2_55˘=110˘ 이때 ∠A+∠D=180˘이므로 ∠x=180˘-110˘=70˘3
-1 ∠A : ∠B=5 : 4이고, ∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=;9%;_180˘=100˘ ∴ ∠C=∠A=100˘3
-2 ∠DAE=∠E=∠36˘(엇각)이므로 ∠DAC=2_∠DAE=72˘ 또 ∠D=∠B=72˘이므로 △ACD에서 ∠ACD=180˘-(72˘+72˘)=36˘3
-3 ∠ADC=∠B=64˘이므로 ∠ADF=;2!;_64˘=32˘ △ADF에서 ∠DAF=180˘-(90˘+32˘)=58˘ 이때 ∠A+∠B=180˘이므로 (∠x+58˘)+64˘=180˘ ∴ ∠x=58˘3
유형``AB”=CD”=8 cm, AO”=;2!; AC”=7 cm BO”=;2!; BD”=9 cm 따라서 △OAB의 둘레의 길이는 8+7+9=24(cm)
4
유형`` ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다. ③ ∠B=∠C=60˘이면 동측내각의 크기의 합이 180˘가 아니 므로 AB”와 DC”는 평행하지 않다. 따라서 평행사변형이 아니다. ④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이 다. ⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.5
-3 대각의 크기가 같아야 하므로 ∠D=∠B=68˘ 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 180˘이므로 ∠BCD=180˘-68˘=112˘ △DEC가 이등변삼각형이므로 ∠ECD=;2!;(180˘-68˘)=56˘ ∴ ∠BCE=∠BCD-∠ECD=112˘-56˘=56˘5
유형`` ∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-60˘=120˘ ∴ ∠BAE=∠DAE=60˘ AD”∥BC”이므로 ∠BEA=∠FAE=60˘ (엇각) 따라서 △ABE는 정삼각형이므로 BE”=AE”=AB”=6 cm ∴ EC”=8-6=2(cm) CD”=AB”=6 cm이고, 같은 방법으로 하면 △CDF는 정삼각 형이므로 DF”=FC”=CD”=6 cm ∴ AF”=8-6=2(cm) 따라서 AECF의 둘레의 길이는 AE”+EC”+CF”+FA”=6+2+6+2=16(cm)6
02. 여러 가지 사각형
개념
CHECK
076쪽⑴ 등변사다리꼴 ⑵ 마름모
01⑴ x=60, y=6 ⑵ x=3, y=40 ⑶ x=4, y=45 02㈎ ㄱ 또는 ㄷ, ㈏ ㄴ 또는 ㄹ
0314 cm¤
6
-1 AE”∥`FC”, AE”=FC”이므로 AFCE는 평행사변형이다.따라서 ∠AFC=∠AEC=115˘이므로 ∠AFB=180˘-115˘=65˘
6
-2 △ABE와 △CDF에서 AB”=CD”, ∠BAE=∠DCF (엇각), ∠AEB=∠CFD=90˘이므로 △ABE™△CDF (RHA 합동) 따라서 ① AE”=CF”, ④ ∠ABE=∠CDF, ⑤ △ABE™△CDF 또 ∠BEF=∠DFE=90˘ (엇각)이므로 ② BE”∥DF”0
1
⑴ 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 이 등분하므로 △ODA는 이등변삼각형이다. ⑴∴ y=6, ∠ADO=30˘ ⑴△ABD에서 ∠ADO=30˘이므로 ⑴∠ABD=180˘-(90˘+30˘)=60˘ ⑴∴ x=60 ⑵ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므 로 x=3 ⑴△ABO에서 ∠AOB=90˘이므로 ⑴∠ABO=180˘-(50˘+90˘)=40˘ ⑴∴ y=40 ⑶ 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직 ⑴이등분하므로 x=8_;2!;=4 ⑴AC”⊥BD”이므로 ∠BOC=90˘ ⑴△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로 ⑴∠OCB=;2!;(180˘-90˘)=45˘ ⑴∴ y=450
3
AD”∥BC”이므로 △ABC=△DBC ∴ △OBC=△ABC-△ABO ∴ △OBC=△DBC-△ABO ∴ △OBC=20-6=14(cm¤ ) 유형`` △PAB+△PCD=△PAD+△PBC이므로 16+14=12+△PBC ∴ △PBC=18 cm¤7
-1 △BCD=2△ABO=2_6=12(cm¤ ) 이때 BC”=CE”, DC”=CF”이므로 BFED는 평행사변형이다. ∴ `BFED=4△BCD=4_12=48(cm¤ )7
-2 △AOP와 △COQ에서 AO”=CO”, ∠PAO=∠QCO (엇각), ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각)이므로 △AOP™△COQ (ASA 합동) ∴ △AOP+△DOQ=△COQ+△DOQ∴ △AOP+△DOQ=△COD=;4!; ABCD
∴ △AOP+△DOQ=;4!;_40=10(cm¤ )
7
유형 31 1-1 ③ 1-2 ④ 유형 120˘ 2-1 ①, ④ 2-2 3 cm 유형 ㄱ, ㄷ 3-1 ④ 3-2 ①, ③ 유형 25˘ 4-1 ④ 4-2 ∠x=75˘, ∠`y=30˘ 4-3 45˘ 유형 ③, ⑤ 5-1 ①, ③ 5-2 ㄴ, ㄷ 유형 35˘ 6-1 ③ 6-2 ② 유형 직사각형 7-1 ⑤ 7-2 ④ 7-3 ⑤ 유형 32 cm¤ 8-1 ② 8-2 ②, ④유형
EXERCISES
077~080쪽 2 3 1 4 6 7 8 5 유형`` 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분하 므로 △OBC는 이등변삼각형이다. 즉, OB”=OC”=;2!;_10=5(cm)이므로 x=51
개념 BOOK △ABC에서 ∠B=90˘이므로 ∠ACB=180˘-(64˘+90˘)=26˘ 즉, ∠DBC=∠ACB=26˘이므로 y=26 ∴ x+y=5+26=31
1
-1 △EDB는 BE”=DE”인 이등변삼각형이므로 ∠DBE=∠BDE AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠DBE (엇각) ∴ ∠ADB=∠BDE=∠EDC 이때 ∠ADC=90˘이므로 ∠EDC=;3!;_90˘=30˘ ∴ ∠DEC=180˘-(90˘+30˘)=60˘1
-2 ④ AB”=AD”인 경우에만 성립한다.③ AO”=;2!; AC”, DO”=;2!; BD”이므로 ①AO”=DO”이면 AC”=BD” ④ AC”⊥BD”이면 마름모가 된다. ⑤ ∠DAO=∠ADO이면 △AOD가 이등변삼각형이 므로 AO”=DO” ①∴ AC”=BD”
3
-2 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선 이 수직으로 만나면 마름모가 된다. 유형`` △BCD가 이등변삼각형이므로 ∠CBD=∠CDB=30˘ ∴ ∠C=180˘-2_30˘=120˘ 이때 마름모는 대각의 크기가 각각 같으므로 ∠A=∠C=120˘2
-1 ⑤ 마름모는 평행사변형이므로 두 쌍의 대변이 각각 평행 하다.2
-2 ∠AOD=90˘이므로 ∠ADO=180˘-(90˘+30˘)=60˘ AB”=AD”이므로 ∠ABO=∠ADO=60˘ 따라서 △ABD는 정삼각형이므로 BD”=AB”=;;™4¢;;=6(cm) ∴ BO”=;2!;BD”=3 cm A B C D 30æ 30æ 120æ2
유형``ㄱ. AC”=10 cm이면 AC”=BD”이므로 ABCD는 직사각형 이다. ㄷ. ∠BAD=90˘이면 ABCD는 직사각형이다. ㄴ, ㄹ. ABCD는 마름모가` 되고, 직사각형은` 되지 않는다.
3
-1 ① ∠DAB+∠ABC=180˘이므로 ①∠DAB=∠ABC이면 ∠DAB=∠ABC=90˘3
유형`` △ABE™△ADE (SAS 합동)이므로 ∠AEB=∠AED=70˘ 따라서 △EBC에서 ∠EBC+45˘=70˘ ∴ ∠EBC=25˘4
-1 AC”⊥BD”이고 OA”=OB”=OC”=OD”=3 cm이므로 ABCD=2△ABC ABCD={;2!;_6_3}_2=18(cm¤ )4
-2 △BCE는 정삼각형이므로 ∠EBC=∠ECB=60˘ ABCD가 정사각형이므로 ∠y=90˘-60˘=30˘ ∠ABE=∠y이고 △ABE는 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180˘-30˘)=75˘4
-3 △DAE는 DA”=DE”인 이등변삼각형이므로 ∠DEA=∠DAE=25˘ ∴ ∠ADE=180˘-(25˘+25˘)=130˘ 따라서 ∠CDE=130˘-90˘=40˘이므로 △DCE에서 ∠DEC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ ∴ ∠CEF=∠DEC-∠DEA=70˘-25˘=45˘4
유형`` ① `ABCD는 직사각형이다. ②, ④ `ABCD는 마름모이다. ③ AB”=BC”이면 평행사변형 ABCD는 마름모이다. OB”=OC”이면 마름모 ABCD는 정사각형이다. ⑤ ∠ABC=90˘이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이다. AC”⊥BD”이면 직사각형 ABCD는 정사각형이다.5
유형`` ∠DCB=∠B=75˘, ∠BCA=∠DAC=40˘ (엇각) ∴ ∠ACD=75˘-40˘=35˘
6
-1 AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠DBC=40˘ (엇각) AB”=AD”이므로 ∠ABD=∠ADB=40˘ 따라서 ∠ABC=40˘+40˘=80˘이므로 ∠C=∠ABC=80˘6
-2 ② AB”=AD”인지 알 수 없다. ③, ④ △ABC™△DCB (SAS 합동)이므로 ①∠DBC=∠ACB, AC”=DB” ⑤ △ABC=△DBC이므로 △AOB=△DOC6
유형`` `ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠B=180˘ ∴ ∠EAB+∠EBA=;2!; (∠A+∠B)=90˘ △ABE에서 ∠AEB=180˘-90˘=90˘ ∴ ∠HEF=∠AEB=90˘ 같은 방법으로 하면 ∠EFG=∠FGH=∠GHE=90˘ 따라서 EFGH는 직사각형이다.7
-1 △DEO와 △BFO에서 DO”=BO”, ∠EDO=∠FBO (엇각), ∠DOE=∠BOF=90˘이므로 △DEO™△BFO (ASA 합동) ∴ EO”=FO” (②) 따라서 `EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이 등분하므로 마름모이다.7
유형`` ABCD=△ABC+△ACD=△ABC+△ACE ABCD=20+12=32(cm¤ )8
-1 AD”∥BC”이므로 △DBC=△ABC=35(cm¤ ) ∴ △DOC=△DBC-△OBC =35-20=15(cm¤ )8
-2 AB”∥DC”이므로 △ADF=△BDF AE”∥BC”이므로 △DBE=△DCE ∴ △BDF=△CEF8
5
-1 OA”=OB”=OC”=OD”인 평행사변형 ABCD는 직사각 형이다. ① AB”=AD”이면 직사각형 ABCD는 정사각형이다. ③ AC”⊥BD”이면 직사각형 ABCD는 정사각형이다.5
-2 ㄴ. OB”=OC”이면 BD”=AC”이므로 마름모 ABCD는 정사각형이다. ㄷ. ∠ABC=∠BCD이면 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB이므로 마름모 ABCD는 정사각형이다. ① △EBF가 이등변삼각형이므로 ∠EBO=∠FBO ③ 마름모는 네 변의 길이가 같으므로 BE”=DE” ④ 마름모는 평행사변형이므로 BE”∥DF”7
-2 평행사변형에 포함되는 사각형은 대각선이 서로 다른 것 을 이등분한다. ④ 등변사다리꼴의 대각선은 서로 길이가 같다.7
-3 ⑤ 사각형에서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으면 평행 사변형이다. 0170˘ 02100˘ 03직사각형 04④ 0565˘ 0685˘ 07① 08△DBE, △DBF, △DAF 09② 1024 cm¤ 11마름모 12② 134 cm 14145˘ 15⑤ 16 ③ 1724 cm¤ 184 cm¤중단원
EXERCISES
081~083쪽01
∠B+∠C=180˘이므로 ∠C=180˘-∠B=180˘-70˘=110˘ ∴ ∠EAF=360˘-(90˘+90˘+110˘)=70˘02
∠FDB=∠BDC=40˘ (접은 각) ∠FBD=∠BDC=40˘ (엇각) 즉, ∠FBD=∠FDB=40˘이므로 △FBD에서 ∠BFD=180˘-2_40˘=100˘개념 BOOK
03
AB”=DC”, AM”=DM”, MB”=MC”이면 △ABM™△DCM (SSS 합동)이므로 ∠A=∠D …… ㉠ ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠D=180˘ …… ㉡ ㉠, ㉡`에서 ∠A=∠D=90˘ 따라서 ABCD는 직사각형이다.04
AM”∥NC”, AM”=NC”이므로 `ANCM은 평행사변형 이다. 또한 MD”∥BN”, MD”=BN”이므로 `MBND도 평행사 변형이다. 따라서 PN”∥MQ”, MP”∥QN”이므로 `MPNQ는 평행 사변형이다.05
ABCD는 마름모이므로 ∠A+∠B=180˘ ∴ ∠A=180˘-70˘=110˘ 정삼각형 ABP에서 ∠BAP=60˘이므로 ∠PAD=∠A-∠BAP=110˘-60˘=50˘ 또한, ABCD는 마름모이고 △ABP는 정삼각형이므로 AB”=AP”=AD” 따라서 △APD가 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘06
AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠CBD=25˘ 이때 ∠D=∠A=110˘이므로 ∠BDC=110˘-25˘=85˘07
△ABM=;2!;△ABC=;4!; ABCD=;4!;_16=4(cm¤ ) △CMN=;2!;△CMD=;2!;△ABM=;2!;_4=2(cm¤ ) △AND=;2!;△ACD=;4!; ABCD=;4!;_16=4(cm¤ ) ∴ △AMN ∴= ABCD-(△ABM+△CMN+△AND) ∴=16-(4+2+4)=6(cm¤ )08
△ABE=△DBE=△DBF=△DAF09
② 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형은 직사각 형이다.10
△APS™△BPQ™△CRQ™△DRS (SAS 합동) 이므로 PS”=PQ”=RQ”=RS” 따라서 `PQRS는 마름모이므로 그 넓이는 ;2!;_6_8=24(cm¤ )11
∠AFB=∠EBF (엇각)이므로 ∠ABF=∠AFB ∴ AB”=AF” 또 ∠BEA=∠FAE (엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA ∴ AB”=BE” 따라서 AF”=BE”이고 AF”∥BE”이므로 ABEF는 평행사변형이다. ∴ AB”∥FE” ∠ABF=∠EFB (엇각)이므로 ∠EBF=∠EFB ∴ BE”=EF”” 따라서 AB”=BE”=EF”=AF”이므로 ABEF는 마름모이다.12
BM” : QM”=2 : 3이므로 △PBM : △PMQ=2 : 3 6 : △PMQ=2 : 3 ∴ △PMQ=9(cm¤ ) ∴ APMC=△PMC+△PCA ∴ APMC=△PMC+△PCQ ∴ APMC=△PMQ=9(cm¤ )13
AD”∥BC”이므로 ∠ADF=∠CFD (엇각) 따라서 △CDF가 이등변삼각형이므로 CF”=CD”=AB”=6 cm ∴ BF”=BC”-CF”=8-6=2(cm) △AGD에서 ∠DAG+∠ADG=90˘이고 평행사변형 ABCD에서 ∠A+∠D=180˘이므로 ∠BAG+∠FDC=90˘ ∴ ∠BAG=∠DAG 따라서 ∠DAE=∠BEA (엇각)에서 △BAE도 이등변삼 각형이므로 BE”=AB”=6 cm ∴ EF”=BE”-BF”=6-2=4(cm)14
GB”∥DC”이므로 ∠DCG=∠BGC=55˘ (엇각) ∴ ∠BCG=∠DCG=55˘ △BCG에서 ∠BCG=∠BGC=55˘이므로∠CBG=180˘-(55˘+55˘)=70˘ AD”∥BC”이므로 ∠FEB=∠EBC=;2!;_70˘=35 ˘ (엇각) ∴ ∠BED=180˘-35˘=145˘
15
오른쪽 그림과 같이 CD”의 연장선 위 에 BP”=DR”가 되도록 점 R를 잡으 면 △ABP™△ADR (SAS 합동) 이때 ∠BAP=∠DAR이므로 ∠RAQ=∠DAR+∠DAQ ∠RAQ=∠BAP+∠DAQ ∠RAQ=90˘-45˘=45˘ △APQ와 △ARQ에서 AP”=AR”, ∠PAQ=∠RAQ=45˘, AQ”는 공통이므로 △APQ™△ARQ (SAS 합동) ∴ ∠x=∠AQP=180˘-(45˘+65˘)=70˘16
OA” : OC”=1 : 2이므로△OAD : △OCD=1 : 2, 2 : △OCD=1 : 2 ∴ △OCD=4 cm¤
이때 AD”∥BC”이므로 △ABD=△ACD ∴ △OAB=△OCD=4 cm¤
OA” : OC”=1 : 2이므로
△OAB : △OBC=1 : 2, 4 : △OBC=1 : 2 ∴ △OBC=8 cm¤ ∴ `ABCD ∴=△OAD+△OAB+△OBC+△OCD ∴=2+4+8+4=18(cm¤ )
17
△DPC=△DPM+△DMC △DPC=△DAM+△DMC △DPC=△AMC=△ABM △DPC=;2!;_6_8=24(cm¤ )18
AB”∥DC”이고 AB”=DC”이므로 △ABE=△DBC 즉, △ABF+△FBE=△DEF+△FBE+△EBC 이므로 △ABF=△DEF+△EBC 16=△DEF+12 ∴ △DEF=4(cm¤ ) D R Q P A B C 45æ 65æ x0
1
△AEC에서 EA”=EC”이므로 ∠EAC=∠ECA=∠a라고 하면 △ABC에서 180˘=90˘+3∠a 3∠a=90˘ ∴ ∠a=30˘ 따라서 △ABE에서 ∠x=180˘-(90˘+30˘)=60˘0
2
①, ② 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 ②수직이등분하므로 PD”⊥BC”, BD”=CD” ④ △ABP와 △ACP에서AB”=AC”, ∠BAP=∠CAP, AP”는 공통 ∴ △ABP™△ACP (SAS 합동) ⑤ △PBC에서 PB”=PC”이고 ②PD””⊥BC”, BD”=CD”이므로 ②∠BPC=2∠BPD
0
3
△DBC에서 BD”=BC”이므로 ∠BDC=∠C=70˘ ∴ ∠DBC=180˘-(70˘+70˘)=40˘ △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=70˘ ∴ ∠ABD=∠B-∠DBC=70˘-40˘=30˘0
4
∠ABC=∠ACB=;2!;(180˘-52˘)=64˘이므로 ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_64˘=32˘ ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(180˘-64˘)=58˘ ∴ ∠D=∠DCE-∠DBC=58˘-32˘=26˘0
5
△ABD와 △CAE에서 ∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA”, ∠ABD=90˘-∠BAD=∠CAE이므로 △ABD™△CAE (RHA 합동) 01② 02③ 03② 0426˘ 057 cm 06② 07④ 08① 09③ 10① 11② 12③ 13D(9, 5) 14④ 15⑤ 16③ 17③ 18마름모 19②, ③ 20③ 2127 cm¤ 226˘ 2318˘ 249 cm대단원
EXERCISES
086~089쪽개념 BOOK 따라서 AD”=CE”=5 cm, AE”=BD”=12 cm이므로 DE”=AE”-AD”=12-5=7(cm)
0
6
△POQ와 △POR에서 OP”는 공통, ∠PQO=∠PRO=90˘, ∠QOP=∠ROP이므로 △POQ™△POR (RHA 합동) ∴ PQ”=PR”0
7
OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA=42˘ ∴ ∠A=42˘+∠x 2(42˘+∠x)=136˘, 42˘+∠x=68˘ ∴ ∠x=26˘0
8
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 (6-r)+(8-r)=10 ∴ r=2 따라서 색칠한 부분의 넓이는 2_2-;4!;_p_2¤ =4-p(cm¤ )0
9
AD”=AF”=x cm라고 하면 BE”=BD”=10-x(cm), CE”=CF”=13-x(cm) BE”+CE”=BC”이므로 (10-x)+(13-x)=15 2x=8 ∴ x=4 ∴ AD”=4 cm10
BI”, CI”는 각각 ∠B, ∠C의 이등분선이므로 ∠DBI=∠CBI, ∠ECI=∠BCI 이때 DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠CBI (엇각), ∠EIC=∠BCI (엇각) ∴ ∠DBI=∠DIB, ∴∠ECI=∠EIC 따라서 △DBI, △ECI는 이등변삼각형이다. 즉, DI”=DB”, EI”=EC”이므로 △ADE의 둘레의 길이는 AD”+DE”+EA”=AB”+AC”=6+9=15(cm) 이때△ADE의내접원의반지름의길이가 2 cm이므로 △ADE=;2!;_2_15=15(cm¤ ) B C D A E I 9`cm 6`cm A B I r C r 6-r 8-r 8-r 6-r11
∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-60˘=120˘ ∠FAD=;2!;_120˘=60˘이고, ∠D=∠B=60˘ 또`` AD”∥FC”이므로 ∠EFC=∠FAD=60˘ (동위각), ∠ECF=∠D=60˘ 따라서 △ADE, △FEC는 정삼각형이다. DE”=AD”=9 cm, CD”=AB”=5 cm이므로 CE”=DE”-DC”=9-5=4(cm) 따라서 정삼각형 FEC의 둘레의 길이는 4_3=12(cm)12
∠B, ∠C의 크기를 각각 ∠b, ∠c라고 하면 ∠b+∠c=180˘ 두 이등변삼각형 ABE, CEF에서 ∠AEB=;2!;_(180˘-∠b) ∠CEF=;2!;_(180˘-∠c) ∴ ∠x=180˘-(∠AEB+∠CEF) ∴ ∠x=180˘-;2!;_{(180˘-∠b)+(180˘-∠c)} ∴ ∠x=;2!;_(∠b+∠c)=;2!;_180˘=90˘13
AD”가 x축과 평행해야 하므로 점 D는 직선 y=5 위에 있 어야 한다. 또` AD”=BC”=7이므로 D(2+7, 5)=D(9, 5)14
오른쪽 그림에서 AB”∥DC” 이므로 ∠ABD=∠BDC (엇각) ∴ ∠ABE=∠EBD ∴ ∠ABE=∠BDF=∠FDC 따라서 ∠EBD=∠FDB (엇각)에서 BE”∥FD”이고, ED”∥BF”이므로 `EBFD는 평행사변형이다. 이때 주어진 조건에서 BE”=ED”이므로 `EBFD는 마름 모이다. 따라서 △FBD는 FB”=FD”인 이등변삼각형이고, ∠FBD=∠FDB=;3!;_90˘=30˘이므로 x=180-2_30=120 한편 △DFO™△DFC (RHA 합동)이므로 A B D E F C O xæ y`cmDC”=DO”=;2!; BD”=;2!;_12=6(cm) ∴ y=6 ∴ x+y=120+6=126
15
① 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이다. ② 두 대각선이 수직으로 만나므로 마름모이다. ③ 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다. ④ 이웃하는 두 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90˘이 므로 정사각형이다. ⑤ 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.16
∠BCE=45˘이므로 △BCE에서 45˘+∠EBC=65˘ ∴ ∠EBC=20˘17
△BCD는 이등변삼각형이므로 ∠BDC=;2!;_(180˘-120˘)=30˘ ∴ ∠APB=∠DPH=90˘-30˘=60˘18
ABCD는 평행사변형이므로 BO”=DO” 즉, △BPO™△DPO (SSS 합동)이므로 ∠BOP=∠DOP=90˘ 따라서 두 대각선이 수직으로 만나므로 ABCD는 마름 모이다.19
마름모의 각 변의 중점을 연결하면 직사각형이 된다. 보기 중 직사각형의 성질이 아닌 것은 ②, ③이다.20
△ABH와 △DFH에서 AB”=DC”이고 DF”=DC”이므로 AB”=DF”, ∠ABH=∠DFH (엇각), ∠BAH=∠FDH (엇각)이므로 △ABH™△DFH (ASA 합동) ∴ AH”=DH” …… ㉠ 같은 방법으로 △ABG™△ECG (ASA 합동) ∴ BG”=CG” …… ㉡ 이때 AD”=BC”이므로 ㉠, ㉡에 의하여 AH”=BG” 즉, ABGH는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으 므로 평행사변형이다. 그런데 AD”=2AB”에서 AH”=AB”이므로 ABGH는 마름모이다. 이때 마름모의 두 대각선은 수직으로 만나므로 ∠FPE=90˘ 따라서 △FPE는 직각삼각형이다. ③ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.21
AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE ABCD=△ABC+△ACD ABCD=△ABC+△ACE ABCD=△ABE ABCD=;2!;_(6+3)_6 ABCD=27(cm¤ )22
∠BAC=180˘-2∠ABC ∠BAC=180˘-2_64˘=52˘ ∴ ∠BOC=2∠BAC=2_52˘=104˘ △OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로 ∠OCB=;2!;_(180˘-104˘)=38˘ ……❶ △IBC에서 ∠ICB=;2!;_64˘=32˘ ……❷ ∴ ∠OCI=∠OCB-∠ICB=38˘-32˘=6˘ ……❸23
정오각형의 한 외각의 크기는 =72˘이므로 ∠AEF=72˘ ……❶ ∠AEF=∠CEF=72˘ (접은 각)이므로 ∠AEC=2_72˘=144˘ AE”=CE”” (접은 선)이므로 이등변삼각형 EAC에서 ∠EAC=;2!;_(180˘-144˘)=18˘ ……❷ 이때 AD”∥BC”이므로 ∠ACB=∠EAC=18˘ ……❸ 360˘ 1315 ❶∠OCB의 크기 구하기 ❷∠ICB의 크기 구하기 ❸∠OCI의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶∠AEF의 크기 구하기 ❷∠EAC의 크기 구하기 ❸∠ACB의 크기 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점개념 BOOK
24
오른쪽 그림과 같이 AE”, OD”를 그으면 ED”=OC”=OA”, AC”∥ED” 따라서 AODE는 평행사변형 이므로 AF”=FD”, OF”=EF” ∴ AF”=;2!; AD”=;2!; BC”=5(cm) ……❶∴FO”=;2!; EO”=;2!; CD”=;2!; AB”=4(cm) ……❷
∴ AF”+FO”=5+4=9(cm) ……❸ A 8`cm 10`cm F O B C D E ❶AF”의 길이 구하기 ❷FO”의 길이 구하기 ❸AF”+FO”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점
1. 도형의 닮음
도형의 닮음과 피타고라스 정리
VI
01. 도형의 닮음개념
CHECK
105쪽 ⑴ 일정 ⑵ 같다 01⑴ 2 : 1 ⑵ 3 cm ⑶ 75˘ 02⑴ 5 : 3 ⑵ :™3º: cm ⑶ 80˘ 03⑴ 2 : 3 ⑵ x=3, y=;2(;, z=9 04④0
1
⑴ 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 ⑴AB” : DE”=4 : 2=2 : 1 ⑵ 닮음비가 2 : 1이므로 ⑴6 : DF”=2 : 1, 2 DF”=6 ∴ DF”=3(cm) ⑶ 대응각의 크기는 서로 같으므로 ⑴∠E=∠B=65˘ ⑴∴ ∠D=180˘-(65˘+40˘)=75˘0
2
⑴ 닮음비는 대응변의 길이의 비와 같으므로 ⑴AB” : EF”=5 : 3 ⑵ 닮음비가 5 : 3이므로 ⑴BC” : 4=5 : 3, 3 BC”=20 ∴ BC”=:™3º:(cm) ⑶ ABCD에서 ⑴∠A=360˘-(70˘+75˘+135˘)=80˘ ⑴대응각의 크기는 서로 같으므로` ∠E=∠A=80˘0
3
⑴ 입체도형에서 닮음비는 대응하는 모서리의 길이의 비와 같으므로 ⑴BC” : B'C'”=4 : 6=2 : 3 ⑵ 닮음비가 2 : 3이므로 ⑴AB” : A'B'”=2 : 3에서 2 : x=2 : 3 ∴ x=3 ⑴AC” : A'C'”=2 : 3에서 3 : y=2 : 3 ∴ y=;2(; ⑴BE” : B'E'”=2 : 3에서 6 : z=2 : 3 ∴ z=90
4
다음의 경우에 닮음이 아니다. ④ 2`cm 2`cm 3`cm 4`cm유형``
AC” : DF”=10 : 8=5 : 4이므로 △ABC와 △DEF의 닮음비는 5 : 4이다. ① AB” : DE”=5 : 4
② AB” : DE”=5 : 4이므로 8 : DE”=5 : 4 ②5 DE”=32 ∴ DE”=6.4(cm) ③ ∠E=∠B=70˘ ④ ∠C=∠F=35˘ ⑤ ∠A=180˘-(70˘+35˘)=75˘
1
-1 ∠A=∠E=120˘ ∠F=∠B=360˘-(120˘+90˘+80˘)=70˘ ∴ ∠A+∠F=190˘1
-2 9 : A'B'”=3 : 2이므로 A'B'”=6(cm) 12 : B'C'”=3 : 2이므로 B'C'”=8(cm) 따라서 △A'B'C'의 둘레의 길이는 6+8+7=21(cm) 유형 ⑤ 1-1 190˘ 1-2 21 cm 유형 36 2-1 16 2-2 20p cm 유형 ⑴ 6 cm ⑵ 7 cm 3-1 ① 3-2 6 cm 3-3 ⑤ 3-4 ④ 3-5 ② 유형 6 cm 4-1 ④ 4-2 ③ 4-3 ② 4-4 ③ 4-5 5 cm유형
EXERCISES
111~113쪽 2 3 1 41
유형`` GH” : G'H'”=9 : 12=3 : 4이므로 두 직육면체의 닮음비는 3 : 4이다. 12 : x=3 : 4이므로 x=16 15 : y=3 : 4이므로 y=20 ∴ x+y=16+20=362
-1 AC” : A'C'”=9 : 6=3 : 2이므로 두 삼각기둥의 닮음비는 3 : 2이다. 6 : x=3 : 2이므로 x=4 y : 8=3 : 2이므로 y=12 ∴ x+y=4+12=162
-2 두 원뿔 A, B의 모선의 길이의 비는 15 : 18 = 5 : 6이므 로 두 원뿔의 닮음비는 5 : 6이다. 즉, 원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 r : 12=5 : 6이므로 r=10 따라서 원뿔 A의 밑면의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm)2
유형`` △ABC와 △EDC에서 ∠ABC=∠EDC, ∠C는 공통 ∴ △ABCª△EDC (AA 닮음) ⑴ CA” : CE”=AB” : ED”이므로 ⑴(4+6) : 5=AB” : 3⑴5 AB”=30 ∴ AB”=6(cm) ⑵ AB” : ED”=BC” : DC”이므로 ⑴6 : 3=(BE”+5) : 6
⑴3(BE”+5)=36, BE”+5=12 ∴ BE”=7(cm)
3
02. 삼각형의 닮음 조건개념
CHECK
110쪽 ⑴ ② SAS ③ AA ⑵ ① BC” ② CD” ③ BD” 01ㄱ과 ㄹ (AA 닮음), ㄴ과 ㅁ (SAS 닮음), ㄷ과 ㅂ (SSS 닮음) 02⑴ △ABCª△CBD (SSS 닮음) ⑵ △ABCª△EBD (AA 닮음) 03;;¡3§;; 04⑴ ;2(; ⑵ :£3™: ⑶ 150
3
△ABC와 △ACD에서∠A는 공통, AB” : AC”=AC” : AD”=3 : 2 이므로 △ABCª△ACD (SAS 닮음) 3 : 2=BC” : CD”, 3 : 2=8 : CD” ∴ CD”=:¡3§:
0
4
⑴ 6¤ =x_8, 8x=36 ∴ x=;2(; ⑵ 10¤ =6(6+x), 100=36+6x, 6x=64 ⑵∴ x=:£3™: ⑶ 12¤ =16_BD”, 144=16_BD” ∴ BD”=9 ⑶이때 x¤ =9_(9+16)=(3_5)¤ =15¤ 이므로 ⑶x=15 (∵ x>0)개념 BOOK
3
-1 ① △ABC에서 ∠A=70˘이면 ①∠C=180˘-(50˘+70˘)=60˘ ①△DEF에서 ∠E=50˘이면 ①∠C=∠F, ∠B=∠E이므로 ①△ABCª△DEF (AA 닮음)3
-2 △ABC와 △CBD에서 ∠B는 공통, AB” : CB”=BC” : BD”=2 : 1 ∴ △ABCª△CBD (SAS 닮음) 따라서 AC” : CD”=2 : 1이므로 AC” : 3=2 : 1 ∴ AC”=6(cm)3
-3 △ABC와 △DBA에서 ∠B는 공통, AB” : DB”=BC” : BA”=4 : 3 ∴ △ABCª△DBA (SAS 닮음) AC” : DA”=4 : 3이므로 20 : DA”=4 : 3 ∴ DA”=15(cm)3
-4 △ABC와 △EDA에서AD”∥BC”이므로 ∠ACB=∠EAD (엇각) AB”∥DE”이므로 ∠BAC=∠DEA (엇각) ∴ △ABCª△EDA (AA 닮음) AC” : EA”=BC” : DA”이므로 12 : (12-4)=BC” : 10 8 BC”=120 ∴ BC”=15(cm)
3
-5 △BED와 △CFE에서 ∠B=∠C=60˘ yy ㉠ ∠BED+∠BDE=120˘, ∠BED+∠CEF=120˘이므로 ∠BDE=∠CEF yy ㉡ ㉠, ㉡에서 △BEDª△CFE (AA 닮음) 정삼각형 ABC의 한 변의 길이가 15 cm이고 DE”=AD”=7 cm이므로 BD”=15-7=8(cm), CE”=15-3=12(cm) 이때 BD” : CE”=ED” : FE”이므로 8 : 12=7 : FE” ∴ FE”=:™2¡:(cm) ∴ AF”=FE”=:™2¡:(cm) 유형`` △ABD와 △ACE에서 ∠ADB=∠AEC=90˘, ∠A는 공통 ∴ △ABDª△ACE (AA 닮음) 이때 AD”=20_;5@;=8(cm)이고, AB” : AC”=AD” : AE”이므로16 : 20=8 : AE” ∴ AE”=10(cm) ∴ BE”=16-10=6(cm)
4
-1 △ADE와 △ACB에서 ∠ADE=∠ACB=90˘, ∠A는 공통 ∴ △ADEª△ACB (AA 닮음) AD” : AC”=DE” : CB”이므로5 : 8=DE” : 6, 8 DE”=30 ∴ DE”=:¡4∞:(cm)
4
-2 ⁄ △ABD와 △ACE에서 ⁄∠ADB=∠AEC=90˘, ∠A는 공통 ⁄∴ △ABDª△ACE (AA 닮음) ¤ △ABD와 △FBE에서 ⁄∠ADB=∠FEB=90˘, ∠ABD는 공통 ⁄∴ △ABDª△FBE (AA 닮음) ‹ △FBE와 △FCD에서 ⁄∠FEB=∠FDC=90˘, ⁄∠EFB=∠DFC (맞꼭지각) ⁄∴ △FBEª△FCD (AA 닮음) ⁄, ¤, ‹에 의하여 △ABDª△ACEª△FBEª△FCD 따라서 나머지 네 삼각형과 닮음이 아닌 삼각형은 ③ △BCD이다.4
-3 ①, ②, ③, ④ △ABHª△CAH (AA 닮음)이므로①AH” : BH”=CH” : AH”에서 AH” ¤ =BH”_CH” ①BH” : AB”=AH” : CA”
①AH” : AB”=CH” : CA”
⑤ △ABCª△HBA (AA 닮음)이므로 ①AB” : BC”=HB” : BA” ∴ AB” ¤ =BC”_BH”
4
-4 AD” ¤ =BD”_CD”이므로12¤ =9_y ∴ y=16 AC” ¤ =CD”_CB”이므로
4
x¤ =16_(16+9)=4¤ _5¤ =(4_5)¤ =20¤ ∴ x=20 (∵ x>0) ∴ x-y=20-16=4
4
-5 △ABF와 △DFE에서 ∠A=∠D=90˘ yy ㉠ ∠ABF+∠AFB=90˘, ∠AFB+∠DFE=90˘ ∴ ∠ABF=∠DFE yy ㉡ ㉠, ㉡에서 △ABFª△DFE (AA 닮음) 즉, AB” : DF”=BF” : FE”이므로 9 : (15-12)=15 : FE” 9 FE”=45 ∴ FE”=5(cm)04
오른쪽 그림과 같이 건 물의 높이를 x m라고 하면 △ABCª△EDC 이므로 1.5 : x=2.5 : 8 ∴ x=;;™5¢;; 따라서 건물의 높이는 ;;™5¢;; m이다.05
△OAB와 △OBC의 닮음비는 OA” : OB”=8 : 12=2 : 3따라서 OB” : OC”=2 : 3, 즉 12 : OC”=2 : 3이므로 OC”=18(cm)
△OBC와 △OCD의 닮음비는 OB” : OC”=2 : 3
따라서 OC” : OD”=2 : 3, 즉 18 : OD”=2 : 3이므로 OD”=27(cm)
06
△FBE와 △FAD에서 AD”∥BC”이므로 ∠FBE=∠FAD (동위각) ∠F는 공통 ∴ △FBEª△FAD (AA 닮음) 즉, FB” : FA”=BE” : AD”이므로 2 : (2+4)=BE” : 9 6 BE”=18 ∴ BE”=3(cm) ∴ CE”=BC”-BE”=9-3=6(cm)07
△ABE와 △CDA에서 ∠BAE=∠DCA (엇각), ∠AEB=∠CAD (엇각)이므로△ABEª△CDA (AA 닮음)
이때 닮음비는 AE” : CA”=9 : 12=3 : 4이므로 AB” : CD”=3 : 4, 7 : CD”=3 : 4 ∴ CD”=;;™3•;;(cm) BE” : DA”=3 : 4, 8 : DA”=3 : 4 ∴ DA”=;;£3™;;(cm) 따라서 △ACD의 둘레의 길이는 AC”+CD”+DA”=12+;;™3•;;+;;£3™;;=32(cm)
08
BD”가 접는 선이므로 ∠EBD=∠CBD AD”∥BC”이므로 ∠CBD=∠EDB (엇각) ∴ ∠EBD=∠EDB 따라서 △EBD는 이등변삼각형이므로 BF”=FD”=10(cm) 또, △FED와 △ABD에서 1.5`m 2.5`m 8`m x`m A E B C D01
AD”” : A'D'”=5 : 10=1 : 2이므로 BC”” : B'C'”=1 : 2, 3 : B'C'”=1 : 2 ∴ B'C'”=6(cm)02
ABCDª HIJA이므로 AB”” : HI”=AD”” : HA” AB”” : 3=(4+8) : 44 AB”=36 ∴ AB”=9(cm) ABCDª AEFG이므로 AB””” : AE”=AD””” : AG”
9 : AE””=12 : 20 ∴ AE”=15(cm) ∴ BE”=AE”-AB”=15-9=6(cm)
03
△ACB와 △ECD에서 AB”∥DE”이므로 ∠A=∠E (엇각), ∠B=∠D (엇각) ∴ △ACBª△ECD (AA 닮음)따라서 AB””” : ED”=AC””” : EC”, 즉 7 : DE”=3 : 6 이므로 3 DE”=42 ∴ DE”=14(cm) 01③ 02③ 0314 cm 04;;™5¢;; m 0527 cm 066 cm 0732 cm 08④ 09② 10;;ª7§;; cm 11② 12;;£2∞;; cm 13③ 14;;∞5¢;; cm 158.4 164 : 1 17;;¡5ª;; 186 cm
중단원
EXERCISES
114~116쪽개념 BOOK ∠DFE=∠DAB=90˘, ∠ADB는 공통 ∴ △FEDª△ABD (AA 닮음) 즉, FD”” : AD””=EF” : BA”이므로 10 : 16=EF” : 12 ∴ EF”=:¡2∞:(cm)
09
△AGE와 △ADC에서 ∠EAG는 공통, ∠AGE=∠ADC=90˘ ∴ △AGEª△ADC (AA 닮음) 따라서 AG””” : AD”””=GE” : DC”이므로 5 : 8=GE” : 6 ∴ GE”=:¡4∞:(cm)10
△ADF와 △ABC에서 ∠ADF=∠ABC=90˘, ∠A는 공통 ∴ △ADFª△ABC (AA 닮음) 정사각형 DBEF의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 AD”=(6-x) cm 즉, AD”” : AB”=DF” : BC”이므로 (6-x) : 6=x : 8 6x=48-8x, 14x=48 ∴ x=:™7¢: 따라서 정사각형 DBEF의 둘레의 길이는 :™7¢:_4=:ª7§:(cm)11
AD” ¤ =BD”_DC”이므로 4¤ =BD”_6 ∴ BD”=;3*;(cm) ∴ △ABD=;2!;_;3*;_4=:¡3§:(cm¤ )12
직각삼각형 DAC에서DE” ¤ =AE”_CE”이므로 3¤ =AE”_4 ∴ AE”=;4(;(cm) AD” ¤ =AE”_AC”이므로 AD” ¤ =;4(;_{;4(;+4}=;4(;_:™4∞:={:¡4∞:}¤ ∴ AD”=:¡4∞:(cm) DC” ¤ =CE”_CA”이므로 DC” ¤ =4_{4+;4(;}=4_:™4∞:=25=5¤ ∴ DC”=5(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 2_{:¡4∞:+5}=:£2∞:(cm)
13
△ICD는 세 각의 크기가 각각 108˘, 36˘, 36˘인 이등변삼 각형이다. 각의 크기를 이용하여 △ICD와 닮음인 삼각형 을 찾으면 △HBC, △FAB, △GEA, △JDE, △ABE, △BCA, △CDB, △DEC, △EAD, △FCE, △HDA, △IEB, △`JAC, △GBD로 14개이다.14
△DEF와 △ABC에서 ∠DEF=∠BAE+∠ABE ∠DFE=∠CBF+∠ABE=∠ABC ∠DFE=∠CBF+∠BCF ∠DFE=∠ACD+∠BCF=∠ACB ∴ △DEFª△ABC (AA 닮음) DF”” : AC”=3 : 5이므로 EF”” : 7=3 : 5 ∴ EF”=:™5¡:(cm) DE”” : 6=3 : 5 ∴ DE”=:¡5•:(cm) 따라서 △DEF의 둘레의 길이는 :¡5•:+:™5¡:+3=:∞5¢:(cm)15
정삼각형의 한 변의 길이는 18이고, = 이므로` EC”=;3@;_18=12이다. △EDB와 △FEC에서 ∠B=∠C, ∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF이다. 이때 ∠B=∠DEF=60˘이므로 ∠BDE=∠CEF ∴ △EDBª△FEC (AA 닮음) 즉, BD” : CE”=BE” : CF”이므로 BD” : 12=6 : 7.5 7.5BD”=72 ∴ BD”=9.6 ∴ AD”=18-9.6=8.416
제 n단계에서 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 정 삼각형의 한 변의 길이의 (n은 자연수)이다. 따라서 제10단계에서 지워지는 정삼각형과 제12단계에서 지워지는 정삼각형의 닮음비는 : =2¤ : 1=4 : 1이다.17
정삼각형의 한 변의 길이는 5k이고, BD” : DC”=3 : 2 이므로 BD”=;5#;_5k=3k △BDF와 △CAD에서 ∠B=∠C=60˘ 1 1452⁄ ¤ 1 1452⁄ ‚ 1 142« 1 12 BE” 11EC”∠BDF+∠BFD=120˘이고, ∠BDF+∠CDA=120˘ 이므로 ∠BFD=∠CDA ∴ △BDFª△CAD(AA 닮음) 따라서 BD” : CA”=BF”: CD”, 즉, 3k : 5k=BF” : 2k이므로 5BF”=6k ∴ BF”=;5^;k ∴ AF”=AB”-BF”=5k-;5^;k=;;¡5ª;;k ∴ a=;;¡5ª;;
18
AD” ¤ =5_20=100=10¤ ∴ AD””=10(cm) 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AM”=BM”=CM”=;2!; BC”=:™2∞:(cm) ∴ DM”=BM”-BD”=:™2∞:-5=:¡2∞:(cm) ∠ADM=90˘이므로 △ADM의 넓이는 ;2!;_10_:¡2∞:=;2!;_:™2∞:_DE” ∴ DE”=6(cm)2. 닮음의 활용
01. 삼각형과 평행선개념
CHECK
125쪽 ⑴ AE”, CE” 01⑴ 8 ⑵ 12 02⑴ 8 ⑵ 4 036 cm 044 cm0
1
⑴ 6 : (6+9)=x : 20이므로 ⑴15x=120 ∴ x=8 ⑵ 3 : 6=(x-8) : 8이므로 ⑴6(x-8)=24, x-8=4 ∴ x=120
2
⑴ 6 : 9=x : 12이므로 9x=72 ∴ x=8 ⑵ 5 : 10=x : 8이므로 10x=40 ∴ x=40
3
AD”는 ∠A의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD” 8 : 12=(10-CD”) : CD” 8 CD”=120-12 CD” ∴ CD”=6(cm)0
4
AD”는 ∠A의 외각의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD”, 7 : 5=(BC”+10) : 10, 5 BC”+50=70, 5 BC”=20 ∴ BC”=4(cm) 02. 삼각형의 중점연결정리개념
CHECK
131쪽 ⑴` ;2!; ⑵ 직사각형 01x=50, y=3 02x=8, y=12 03⑴ 15 ⑵ 24 04⑴ 9 ⑵ 80
1
AM”=MB”, AN”=NC”이므로 MN”∥BC” ∠AMN=∠MBC=50˘ (동위각)이므로 x=50 y=MN”=;2!; BC”=30
2
AM”=MB”, MN”∥BC”이므로 AN”=NC” ∴ x=2_4=8 y=BC”=2 MN”=2_6=120
3
⑴ DF”=;2!; BC”=6⑴DE”=;2!; AC”=4, EF”=;2!; AB”=5 ⑴∴ (△DEF의 둘레의 길이)=6+4+5=15 ⑵ EF”=GH”=;2!; AC”=4, ⑴EH”=FG”=;2!; BD”=8 ⑴∴ ( EFGH의 둘레의 길이)=2(4+8)=24
0
4
⑴ x=;2!;(AD”+BC”)=;2!;_(8+10)=9 ⑵ PN”=;2!; BC”=;2!;_14=7이므로 QN”=7-3=4 ⑴∴ x=2 QN”=2_4=8 유형 28 1-1 15 1-2 ㄴ, ㄷ 1-3 ④ 1-4 ③ 1-5 6 유형 ;;™4∞;; 2-1 ;;¡2¡;; 2-2 18 2-3 22 유형 3 cm 3-1 7 3-2 ① 유형 4 cm 4-1 13 4-2 4 cm 4-3 8 cm 4-4 14 cm 유형 2 cm 5-1 ④유형
EXERCISES
132~134쪽 2 3 1 4 5개념
BOOK
유형``
(x+8) : 8=9 : 3이므로
3(x+8)=72, x+8=24 ∴ x=16 3 : 9=4 : y이므로 3y=36 ∴ y=12 ∴ x+y=16+12=28
1
-1 (6+4) : 6=15 : x이므로 10x=90 ∴ x=9 4 : 6=y : 9이므로 6y=36 ∴ y=6 ∴ x+y=9+6=151
-2 ㄱ. (6-2) : 2+3 : 1이므로 BC”와 DE”는 평행하지 않다. ㄴ. (8-6) : 6=(12-9) : 9이므로 BC”∥DE”이다. ㄷ. 24 : 16=21 : 14이므로 BC”∥DE”이다. ㄹ. 3 : 9+4 : 8이므로 BC”와 DE”는 평행하지 않다. 따라서 BC”∥DE”인 것은 ㄴ, ㄷ이다.1
-3 AE”=2EB”이므로 AE” : EB”=2 : 1△ABC에서 2 : 3=EN” : 24, 3 EN”=48 ∴ EN”=16(cm) △BAD에서 1 : 3=EM” : 21, 3 EM”=21 ∴ EM”=7(cm) ∴ MN”=16-7=9(cm)
1
-4 AC”를 긋고 AC”와 EF”의교점을 H라고 하자. △ABC에서 3 : 8=EH” : 16, 8 EH”=48 ∴ EH”=6(cm) △CDA에서 5 : 8=FH” : 8 ∴ FH”=5(cm) ∴ EF””=6+5=11(cm)
1
-5 △CAB에서 CF” : CB”=2 : 3 ∴ CF” : FB”=2 : 1 한편` FB” : BC”=1 : 3이므로 1 : 3=2 : x ∴ x=6 A B C F D E H 8`cm 16`cm1
유형`` 4 : 5=2 : x이므로 4x=10 ∴ x=;2%; 4 : 5=3 : y이므로 4y=15 ∴ y=;;¡4∞;; ∴ x+y=;2%;+;;¡4∞;;=;;™4∞;;2
-1 (4+a) : 6=5 : 5이므로 4+a=6 ∴ a=2 4 : (2+6)=x : 11이므로 8x=44 ∴ x=;;¡2¡;;2
-2 다음 그림과 같이 직선 p와 평행한 직선 p'을 그으면 3 : (3+6)=4 : (x-6)이므로 3(x-6)=36, x-6=12 ∴ x=182
-3 (8-a) : a=6 : 10이므로 6a=10(8-a), 6a=80-10a 16a=80 ∴ a=5 5 : (5+6)=10 : x이므로 5x=110 ∴ x=22 {8-a}cm a`cm 10`cm 6`cm 6`cm l m n x`cm 3`cm 6`cm 6`cm l p p' m n {x-6}cm 6`cm 4`cm 6`cm 4`cm 11`cm 6`cm 5`cm 5`cm x`cm a`cm l m n2
유형`` 10 : 6=5 : DC”이므로 10DC”=30 ∴ DC”=3(cm)3
-1 8 : 4=14 : x이므로 8x=56 ∴ x=73
유형`` 삼각형의 중점연결정리에 의하여 △DBC에서 BC”=2MN”=2_9=18(cm) △ABC에서 PQ”=;2!; BC”=;2!;_18=9(cm) ∴ PR”=9-5=4(cm)
4
-1 AM”=MB”, MN”∥BC”이므로 NC”=AN”=4(cm) ∴ x=4+4=8 y=;2!; BC”=;2!;_10=5 ∴ x+y=8+5=134
-2 △ABF에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 DE”∥BF”, DE”=;2!; BF”=;2!;_16=8(cm) △CDE에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 GF”=;2!; DE”=;2!;_8=4(cm)4
-3 점 E에서 BD”에 평행한 선분을 그어 AC”와 만나는 점을 F라고 하면 △ABC에서 BC”=2 EF” △GEF™△GDC (`ASA 합동) ∴ EF”=DC” BD”=BC”+CD”=2 EF”+EF”=3 EF” 3 EF”=24 ∴ EF”=8(cm) ∴ CD”=EF”=8(cm)4
-4 AE”=EB”, AH”=HD”, BF”=FC”, CG”=GD” 이므로 EF”∥HG”, EH”∥FG” 따라서 EFGH는 평행사변형이다. 이때 AC”⊥BD”이므로 EF”⊥EH” 즉, ∠HEF=90˘이므로 EFGH는 직사각형이다. △ABD에서 EH””=;2!; BD”=;2!;_6=3(cm) △ABC에서 EF”=;2!; AC”=;2!;_8=4(cm) ∴ (`` `EFGH의 둘레의 길이)=2_(3+4)=14(cm) B C D G F A E 24`cm4
유형`` AD”∥BC”이고 AE”=EB”, DF”=FC”이므로 AD”∥EF”∥BC”, EF”=;2!;(5+9)=7(cm) △ABD와 △ACD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 EM”=NF”=;2!;AD”=;2!;_5=;2%;(cm) ∴ MN”=7-2_;2%;=2(cm)5
-1 △ABD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 MP”=;2!; AD”=4(cm)이므로 MQ”=2 MP”=8(cm) ∴ BC”=2 MQ”=2_8=16(cm)5
3
-2 BD” : CD”=AB” : AC”=9 : 6=3 : 2 이때 △ABD : △ADC=BD” : CD”이므로 12 : △ADC=3 : 2, 3△ADC=24 ∴ △ADC=8(cm¤ ) 03. 삼각형의 무게중심개념
CHECK
139쪽 ⑴` 무게중심 ⑵ 2, 1 01⑴ 6 ⑵ 18 028 03⑴ 6 cm¤ ⑵ 6 cm¤ ⑶ 18 cm¤ 0415 cm 055 cm¤0
1
⑴ x=;3@;_9=6 ⑵ 12 : x=2 : 3, 2x=36 ∴ x=180
2
GD”=;2!; AG”=;2!;_24=12이므로 GG'”=;3@; GD”=;3@;_12=80
3
⑴ △GBC=2△GFB=2_3=6(cm¤ ) ⑵ GDCE=2△GFB=2_3=6(cm¤ ) ⑶ △ABC=6△GFB=6_3=18(cm¤ )0
4
두 대각선 BD와 AC의 교점을 O라고 하면 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로 BP”=PQ”=QD”=5 cm ∴ BD”=3_5=15(cm)개념 BOOK
0
5
점 P는 △ABC의 무게중심이므로 △APO=;6!;△ABC △APO=;6!;_{;2!; `ABCD} △APO=;1¡2; `ABCD △APO=;1¡2;_60=5(cm¤ ) 04. 닮은 도형의 넓이와 부피개념
CHECK
145쪽 ⑴` m¤ , n¤ , m‹ , n‹ 019 : 25 02900 mL 03120 cm‹ 04⑴ 10 cm ⑵ 0.75 km¤0
1
∠ADB=∠BDC=90˘ ∠ABD=90˘-∠BAD=∠ACB ∴ △ABDª△ACB (AA 닮음) 이때 두 삼각형의 닮음비가 6 : 10=3 : 5이므로 두 삼각형 의 넓이의 비는 3¤ : 5¤ =9 : 25이다.0
2
두 직육면체 모양의 상자의 닮음비가 2 : 3이므로 겉넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 9이다. 따라서 큰 상자를 칠하는 데 필요한 페인트의 양을 x mL 라고 하면 4 : 9=400 : x 4x=3600 ∴ x=900 따라서 큰 상자를 칠하는 데 필요한 페인트의 양은 900 mL이다.0
3
두 사면체 A, B의 닮음비가 2 : 3이므로 부피의 비는 2‹ : 3‹ =8 : 27이다. 사면체 A의 부피를 x cm‹ 라고 하면 x : 405=8 : 27 27x=3240 ∴ x=120 따라서 사면체 A의 부피는 120 cm‹ 이다.0
4
⑴ 5(km)=500000(cm)이므로 ⑴500000_ =10(cm) ⑵ 3_50000¤ =7500000000(cm¤ )=0.75(km¤ ) 1 11150000 유형 4 cm 1-1 18 cm1-2 ⑤ 1-3 15 cm¤ 유형 8 cm 2-1 9 cm 2-2 4 cm¤ 2-3 7 cm¤ 유형 32 cm¤ 3-1 24 cm¤3-2 1 : 8 : 27 3-3 384 cm¤ 유형 81p cm‹ 4-1 28분 4-2 125개 4-3 25 : 16유형
EXERCISES
146~147쪽 2 3 1 4 유형`` 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 GD”=;3!; AD”=;3!;_18=6(cm) 점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GG'”=;3@; GD”=;3@;_6=4(cm)1
-1 △AGG'ª△AEF (SAS 닮음)이므로 2 : 3=6 : EF”, 2 EF”=18 ∴ EF”=9(cm) BE”=ED”, DF”=FC”이므로 BC”=2 EF”=2_9=18(cm)1
-2 △GBC=6△G'BD=6_3=18(cm¤ ) ∴ △ABC=3△GBC=3_18=54(cm¤ )1
-3 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 BDGF=△FBG+△GBD BDGF=;6!;`△ABC+;6!;`△ABC BDGF=;6@;`△ABC BDGF=;3!;_45=15(cm¤ )1
유형``AC”, BD”의 교점을 O라고 하면 BM”=MC”, AO”=OC”, CN”=ND”이므로 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심 이다. 따라서 BP”=PQ”=QD”이므로 PQ”=;3!; BD”=8(cm)
2
-1 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로 BP”=PQ”=QD”=6 cm ∴ BD”=3 BP”=18(cm)2
유형`` △ADEª△ABC (AA 닮음)이고 닮음비가 3 : 5이므로 두 삼각형의 넓이의 비는 9 : 25이다. 따라서 △ADE : `DBCE=9 : 16이므로 9 : 16=18 : `DBCE, 9 `DBCE=288 ∴ `DBCE=32(cm¤ )
3
-1 △GEDª△GBC (SAS 닮음)이고 닮음비가 1 : 2이므로 두 삼각형의 넓이의 비는 1 : 4이다. ∴ △GBC=4_6=24(cm¤ )3
-2 △ABB'ª△ACC'ª△ADD' (AA 닮음)이고 닮음비가 1 : 3 : 6이므로 세 삼각형의 넓이의 비는 1 : 9 : 36이다. ∴ △ABB' : BCC'B' : CDD'C'=1 : 8 : 273
-3 두 상자 A, B의 닮음비는 3`: 4이므로 겉넓이의 비는 3¤ `: 4¤ =9`: 16이다. 구하는 포장지의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 216`: x=9`: 16, 9x=216_16 ∴ x=384 따라서 상자 B의 겉면을 싸는 데 384 cm¤ 의 포장지가 필 요하다.3
유형`` 두 컵 A, B의 겉넓이의 비가 4 : 9=2¤ : 3¤ 이므로 닮음비가 2 : 3이다. 따라서 두 컵 A, B의 부피의 비는 8 : 27이다. 8 : 27=24p : (B의 부피), 8_(B의 부피)=648p ∴ (B의 부피)=81p(cm‹ )4
-1 물의 높이와 그릇의 높이의 비가 1 : 2이므로 4분 동안 채운 물과 그릇의 부피의 비는 1 : 8이다. 현재 물의 양과 그릇을 가득 채울 때까지 더 넣어야 할 물 의 양의 비는 1 : (8-1)=1 : 7 따라서 이 그릇에 물을 가득 채우려면 4_7=28(분)이 더 걸린다.4
-2 큰 쇠구슬과 작은 쇠구슬의 닮음비가 5 : 1이므로 두 쇠 구슬의 부피의 비는 5‹ : 1=125 : 1이다. 따라서 큰 쇠구슬 한 개를 녹이면 작은 쇠구슬 125개를 만들 수 있다.4
-3 두 직육면체 P, Q의 부피의 비가 250 : 128=5‹ : 4‹ 이므로 두 직육면체의 닮음비는 5 : 4이다. 따라서 두 직육면체의 겉넓이의 비는 5¤ : 4¤ =25 : 16이다.4
△CBD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 MN”=;2!; BD”=;2!;_18=9(cm)2
-2 점 P는 △ABC의 무게중심이므로 OPMC=;3!;`△ABC=;3!;_;2!; ABCD OPMC=;6!;` ABCD=4(cm¤ )2
-3 AC”와 BD”의 교점을 O라고 하면 AN”=ND”,BO”=OD”, DM”=MC”이므로 점 P, Q는 각각 △ABD, △DBC의 무게중심이다. 이때 AP”=PQ”=QC”이므로 △BPQ=;3!;`△ABC=;3!;_;2!; ABCD △BPQ=;6!; ABCD=;6!;_42=7(cm¤ )
01
3 : 5=2 : x ∴ x=;;¡3º;;3 : 5=y : (y+4), 5y=3(y+4), 2y=12 ∴ y=6 ∴ x+y=;;¡3º;;+6=;;™3•;; 01;;™3•;; 026 : 2 : 1 0312 cm 0416 05x=12, y=;;∞3™;; 06;;¡2∞;; cm 076 cm 0816 cm 0924 cm 108 cm 1112 cm 123 cm 1316 cm¤ 1452 L 151 : 7 : 19 16125개 17③ 1860 m 199 205 : 4 214 : 5 22;;™2∞;; cm¤ 232 : 1 24A : 120 g, B : 270 g, C : 480 g
