유형``
두 컵 A, B의 겉넓이의 비가 4 : 9=2¤ : 3¤ 이므로 닮음비가 2 : 3이다. 따라서 두 컵 A, B의 부피의 비는 8 : 27이다.
8 : 27=24p : (B의 부피), 8_(B의 부피)=648p
∴ (B의 부피)=81p(cm‹ )
4-1 물의 높이와 그릇의 높이의 비가 1 : 2이므로 4분 동안 채운 물과 그릇의 부피의 비는 1 : 8이다.
현재 물의 양과 그릇을 가득 채울 때까지 더 넣어야 할 물 의 양의 비는 1 : (8-1)=1 : 7
따라서 이 그릇에 물을 가득 채우려면 4_7=28(분)이 더 걸린다.
4-2 큰 쇠구슬과 작은 쇠구슬의 닮음비가 5 : 1이므로 두 쇠 구슬의 부피의 비는 5‹ : 1=125 : 1이다.
따라서 큰 쇠구슬 한 개를 녹이면 작은 쇠구슬 125개를 만들 수 있다.
4-3 두 직육면체 P, Q의 부피의 비가 250 : 128=5‹ : 4‹
이므로 두 직육면체의 닮음비는 5 : 4이다.
따라서 두 직육면체의 겉넓이의 비는 5¤ : 4¤ =25 : 16이다.
△CBD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 4 MN”=;2!; BD”=;2!;_18=9(cm)
2-2 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
OPMC=;3!;`△ABC=;3!;_;2!; ABCD OPMC=;6!;` ABCD=4(cm¤ )
2-3 AC”와 BD”의 교점을 O라고 하면 AN”=ND”, BO”=OD”, DM”=MC”이므로 점 P, Q는 각각
△ABD, △DBC의 무게중심이다.
이때 AP”=PQ”=QC”이므로
△BPQ=;3!;`△ABC=;3!;_;2!; ABCD
△BPQ=;6!; ABCD=;6!;_42=7(cm¤ )
01 3 : 5=2 : x ∴ x=;;¡3º;;
3 : 5=y : (y+4), 5y=3(y+4), 2y=12 ∴ y=6
∴ x+y=;;¡3º;;+6=;;™3•;;
01;;™3•;; 026 : 2 : 1 0312 cm 0416 05x=12, y=;;∞3™;; 06;;¡2∞;; cm 076 cm 0816 cm 0924 cm 108 cm 1112 cm 123 cm 1316 cm¤ 1452 L 151 : 7 : 19 16125개 17③ 1860 m 199 205 : 4 214 : 5 22;;™2∞;; cm¤ 232 : 1 24A : 120 g, B : 270 g, C : 480 g
중단원 EXERCISES
148~151쪽개념BOOK
02 △ADC에서 AD”∥EF”이므로 DF” : FC”=AE” : EC”=4 : 2=2 : 1
△ABC에서 AB”∥ED”이므로 BD” : DC”=AE” : EC”=4 : 2=2 : 1 FC”=a라고 하면 DF”=2a이므로 DC”=3a ∴ BD”=6a
∴ BD” : DF”” : FC”=6a : 2a : a=6 : 2 : 1
03 12 : 6=8 : CD”이므로
12 CD”=48 ∴ CD”=4(cm) BC”=8+4=12(cm)이므로
12 : 6=(12+CE”) : CE”, 12+CE”=2CE”
∴ CE”=12(cm)
04 2 : 3=x : 6, 3x=12 ∴ x=4 1 : 3=y : 12, 3y=12 ∴ y=4
∴ xy=4_4=16
05 점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그으면 x : 6=10 : 5이므로 5x=60 ∴ x=12 (y-12) : 8=10 : 15이므로
15(y-12)=80, 15y=260 ∴ y=;;∞3™;;
06 △CAB에서 FC” : BC”=3 : 5
∴ BF”” : BC”=2 : 5
△BCD에서 EF”” : DC”=2 : 5, 3 : DC”=2 : 5 2 DC”=15 ∴ DC”=;;¡2∞;;(cm)
07 △AFG에서 AD”=DF”, AE”=EG”이므로 DE”∥FG”, FG”=2 DE”=12(cm)
△DBE에서 DF”=FB”, DE”∥FP”이므로 FP””=;2!;DE”=3(cm)
△EDC에서 EG”=GC”, DE””∥QG”이므로 QG”=;2!;DE”=3(cm)
∴ PQ”=12-(3+3)=6(cm)
08 삼각형의 중점연결정리에 의하여
12`cm
6`cm xcm
ycm
B 20`cm C
5`cmF 10`cm A D
E
C
EG”=;2!; AB”, GF”=;2!; DC”이므로
EG”+GF”=;2!;(AB”+DC”)=;2!;_18=9(cm)
∴ (△EGF의 둘레의 길이)=9+7=16(cm)
09 삼각형의 중점연결정리에 의하여
DE”=;2!; AC”, EF”=;2!!; AB”, DF”=;2!!; BC”이므로 (△DEF의 둘레의 길이)=DE”+EF”+DF”
(△DEF의 둘레의 길이)=;2!;(AC”+AB”+BC”) (△DEF의 둘레의 길이)=;2!;_48=24(cm)
10 △ABC에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 MQ”=;2!; BC”=;2!;_14=7(cm)
∴ MP”= MQ”- PQ”=7-3=4(cm)
△BAD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 AD”=2 MP”=2_4=8(cm)
11 △CAD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 AD”=2 EF”=2_9=18(cm)
이때 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=;3@; AD”=18_;3@;=12(cm)
12 CO”=;2!; AC”=9(cm)이고 점 P는 △BCD의 무게중심이므로
CP” : PO”=2 : 1 ∴ OP”=9_;3!;=3(cm)
13 △AODª△COB (AA 닮음)이고 그 닮음비가 4 : 6=2 : 3이므로
△AOD : △COB=4 : 9 따라서 △AOD : 36=4 : 9이므로
9△AOD=144 ∴ △AOD=16(cm¤ )
14 물의 높이와 그릇의 높이의 비가 1 : 3이므로 부피의 비는 1‹ : 3‹ =1 : 27
현재 물의 양과 그릇에 가득 채울 때까지 더 넣어야 할 물의 양의 비는 1 : (27-1)=2 : (물의 양)
∴ (물의 양)=2_26=52(L)
15 모선의 길이의 비가 1 : 2 : 3인 세 원뿔의 부피의 비는 1‹ : 2‹ : 3‹ =1 : 8 : 27
따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는 1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19
16 큰 쇠공과 작은 쇠공의 반지름의 길이의 비가 15 : 3=5 : 1 이므로 부피의 비는 53: 13=125 : 1이다. 따라서 작은 쇠공 을 125개 만들 수 있다.
17 400(m)=40000(cm)이므로 지도에서 두 지점 사이의 거리는 40000_;100!!00;=4(cm)
18 100(m)=10000(cm)이므로
(축척)= =
∴ AB”=3_2000=6000(cm)=60(m)
19 △ABC에서 DE”∥BC”이므로 AE” : EC”=AD” : DB”=3 : 1
△ADC에서 DC”∥FE”이므로 AF” : FD”=AE” : EC”=3 : 1 따라서 x : (12-x)=3 : 1이므로 x=36-3x ∴ x=9
20 점 E에서 BC”에 평행한 직선을 그어 AD”와 만나는 점을 G라고 하자.
△ABD에서 삼각형의 중점연결정리 에 의하여 EG”=;2!; BD”
△FEGª△FCD (AA 닮음)이고 닮음비가 EG”” : CD”=;2!;BD” : 4BD”=1 : 8
GF” : FD”=1 : 8이고 AG” : GD”=1 : 1이므로 GF”=a라고 하면 FD”=8a
∴ AG”=GD”=a+8a=9a 이때 AF”=9a+a=10a이므로 AF” : FD”=10a : 8a=5 : 4
21 △ABD에서 EI” : 12=2 : 3 3 EI”=24 ∴ EI”=8(cm)
△AGK에서 8 : GK”=1 : 2
∴ GK”=16(cm)
A
E
B D C
G F
25515520001 155155100005
△DAC에서 HK” : IF” : 12=1 : 2 : 3
∴ HK”=4(cm), IF”=8(cm)
즉, EF”=8+8=16(cm), GH”=16+4=20(cm) 이므로 EF”” : GH”=16 : 20=4 : 5
22 △EDC=△EBD=;2!;△EBC=;2!;_;2!;△ABC
△EDC=;4!;_60=15(cm¤ )
△EDC에서 DF” : FC”=1 : 1이므로
△EDF=;2!;△EDC=;;¡2∞;;(cm¤ )
△DEB에서 BG” : GE”=2 : 1이므로
△DGE=;3!;△DEB=;3!;_15=5(cm¤ )
∴ GDFE=;;¡2∞;;+5=;;™2∞;;(cm¤ )
23 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
△PBM=;6!; △ABC=;1¡2; ABCD BP”=PQ”=QD”이므로
△APQ=;3!; △ABD=;6!; ABCD
∴ △APQ : △PBM=;6!; ABCD : ;1¡2; ABCD
∴ △APQ : △PBM=2 : 1
24 빵 A, B, C의 높이가 서로 같으므로 빵의 부피의 비는 밑 면의 넓이의 비와 같다.
즉, 3개의 빵 A, B, C의 부피의 비는 2¤ : 3¤ : 4¤ =4 : 9 : 16
이때 반죽의 무게가 총 870 g이므로
(빵 A의 반죽의 무게)=870_ =120(g)
(빵 B의 반죽의 무게)=870_ =270(g)
(빵 C의 반죽의 무게)=870_ 16 =480(g) 251551552554+9+16
251551552554+9+169 251551552554+9+164
A
G E
D F
B C
개념BOOK
03 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여
10<x<10+6 ∴ 10<x<16 yy ㉠ 둔각삼각형이므로 x¤ >6¤ +10¤ ∴ x¤ >136 yy ㉡