12 15 9 6
8 10
도형의 닮음과 피타고라스 정리
VI
01②, ⑤ 0256 cm 0320p cm 0425 059 cm 0612p cm
07⑴ ㄴ, SSS 닮음 ⑵ ㄱ, SAS 닮음 ⑶ ㄷ, AA 닮음 08⑴ △ABC∽△EBD (SAS 닮음)
08⑵ △ABC∽△EBD (AA 닮음) 08⑶ △ABC∽△BDC (SSS 닮음) 08⑷ △ADC∽△BEC (AA 닮음)
09⑤ 10① 119 cm 12②
135 cm 14③ 1511 cm 1616 cm
17④ 18③ 1924 202 cm
219 cm 22;;¡5™;; cm
유형 TEST
01. 도형의 닮음02. 삼각형의 닮음 조건 030~033쪽테스트BOOK
⑴AC” : BC”=9 : 12=3 : 4
⑴∴ △ABC∽△BDC (SSS 닮음)
⑷ △ADC와 △BEC에서
⑴∠ADC=∠BEC=90˘,
⑴∠C는 공통
⑴∴ △ADC∽△BEC (AA 닮음)
09 ⑤ BC”와 CA”의 끼인각은 ∠C이고,
⑤EF”와 FD”의 끼인각은 ∠F이므로
⑤∠C=∠F일 때, △ABCª△DEF (SAS 닮음)이다.
10 ① ∠A=75˘이면 ∠C=180˘-(45˘+75˘)=60˘
∠F=45˘이면 ∠B=∠F, ∠C=∠E이므로
△ABCª△DFE (AA 닮음)
11 △BDE와 △BAC에서 BD” : BA”=6 : 9=2 : 3, BE” : BC”=8 : 12=2 : 3,
∠B는 공통
∴ △BDEª△BAC (SAS 닮음) 따라서 DE” : AC”=2 : 3이므로 6 : AC”=2 : 3 ∴ AC”=9(cm)
12 △ADB와 △ABC에서 AB” : AC”=6 : 12=1 : 2,
AD” : AB”=(12-9) : 6=1 : 2,
∠A는 공통
∴ △ADBª△ABC (SAS 닮음) 따라서 DB” : BC”=1 : 2이므로 4 : BC”=1 : 2 ∴ BC”=8(cm)
13 △ABC와 △EDC에서
∠A=∠DEC, ∠C는 공통
∴ △ABCª△EDC (AA 닮음) 따라서 BC” : DC”=AC” : EC”이므로 (BE”+3) : 4=6 : 3
3(BE”+3)=24, 3BE”=15 ∴ BE”=5(cm)
14 ∠DAE=∠DEB=90˘이므로
∠ABE+∠EDB=90˘,
∠EDB+∠DEA=90˘
따라서 ∠ABE=∠DEA이므로
B C E F
A D
∠BEA=∠EDB
∴ △ABCª△DBEª△EACª△DEAª△EBA
15 △ABD와 △CBE에서
∠BDA=∠BEC=90˘, ∠B는 공통
∴ △ABDª△CBE (AA 닮음) 이때 AB” : CB”=BD” : BE”이므로 10 : 15=BD” : 6
15BD”=60 ∴ BD”=4(cm)
∴ DC”=15-4=11(cm)
16 △ABE와 △ADF에서
∠AEB=∠AFD=90˘
∠B=∠D (평행사변형의 대각)
∴ △ABEª△ADF (AA 닮음) AB” : AD”=AE” : AF”이므로 12 : AD”=9 : 12
9 AD”=144 ∴ AD”=16(cm)
17 △FEC와 △FAB에서
∠ECF=∠ABF=90˘, ∠F는 공통
∴ △FECª△FAB (AA 닮음) CF”=16-12=4(cm)이고, EF” : AF”=CF” : BF”이므로 5 : AF”=4 : 16
4 AF”=80 ∴ AF”=20(cm)
18 BD”가 접는 선이므로 ∠PBD=∠DBC
∠PDB=∠DBC (엇각)이므로 ∠PBD=∠PDB 따라서 △PBD는 이등변삼각형이므로 꼭지각의 이등분선 은 밑변을 수직이등분한다.
∴ BQ”=DQ”=10_;2!;=5(cm) 이때 △PQD와 △BAD에서
∠PQD=∠BAD=90˘, ∠ADB는 공통
∴ △PQDª△BAD (`AA닮음) 따라서 PQ”” : BA”=QD”” : AD”이므로
PQ” : 6=5 : 8, 8PQ”=30 ∴ PQ”=;;£8º;;=;;¡4∞;;(cm)
19 △EBF와 △FCG에서
∠B=∠C=90˘, ∠EFH=∠A=90˘이므로
∠EFB+∠CFG=90˘, ∠EFB+∠FEB=90˘
01 원 A의 반지름의 길이를 a라고 하면 이때 AB”=2AC”이므로 AC”=2x 따라서 △ACD와 △ABC에서
;2!;_4_3=;2!;_5_DH” ∴ DH”=;;¡5™;;(cm)
011 : 2 : 4 024 : 1 034 cm 047 05a¤ cm¤ 06;4!;배 0716 : 9 0835 cm
실력 TEST
034~035쪽테스트BOOK
06 `ABCD는 등변사다리꼴이므로 AB”=DC”
`AECD는 평행사변형이므로 AE”=DC”
즉, AB”=AE”이므로 △ABE는 이등변삼각형이다.
△CAB와 △AEB에서
AC”=BC”이므로 ∠CAB=∠AEB,
∠B가 공통
∴ △CABª△AEB (AA 닮음)
AB”” : EB”=CB”” : AB”=2 : 1 ∴ AB”=2 EB”
∴ BE”=;2!; AB”=;2!;_;2!; BC”=;4!; BC”
따라서 BE”의 길이는 BC”의 길이의 ;4!;배이다.
07 △ADCª△EFD (AA 닮음)이므로 AD” : EF”=AC” : ED”=4 : 3
△DAEª△FEG (AA 닮음)이므로
DE” : FG”=AD” : EF”=4 : 3 yy ㉠ AC”=a라고 하면
a : DE”=4 : 3 ∴ DE”=;4#;a 이 식을 ㉠에 대입하면 ;4#;a : FG”=4 : 3 4 FG”=;4(;a ∴ FG”=;1ª6;a
∴ AC” : FG”=a : ;1ª6;a=16 : 9
08 △ABD에서 AE” ¤ =BE”_ED”이므로
36=BE”_8 ∴ BE”=;2(;(cm) ……❶ AB” ¤ =BE”_BD”이므로
AB” ¤ =;2(;{;2(;+8}=;2(;_;;™2∞;;= ={;;¡2∞;;}¤
∴ AB”=;;¡2∞;;(cm)(∵ AB”>0) ……❷ AD” ¤ =DE”_DB”이므로
AD” ¤ =8{8+;2(;}=8_;;™2∞;;=4_25=2¤ _5¤ =10¤
∴ AD”=10(cm)(∵ AD”>0) ……❸ 따라서 `ABCD의 둘레의 길이는
3¤ _5¤
112532¤
2_{;;¡2∞;;+10}=35(cm) ……❹
❶△AEHª△ABG임을 보이기
❷△AEH의 높이를 a에 대하여 나타내기
❸△AEH의 넓이 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
❶BE”의 길이 구하기
❷AB”의 길이 구하기
❸AD”의 길이 구하기
❹ ABCD의 둘레의 길이 구하기
30 % 30 % 30 % 10 %
채점 기준 배점
2. 닮음의 활용
01①, ④ 028 03x=2, y=3
04;;¡5•;; cm 057 cm 06⑴ ;;¡4∞;; cm ⑵ ;;∞8∞;; cm
075 08x=8, y=;;¡2∞;; 0913
104 cm 118 cm 126 cm 13③ 1412 cm 154 cm 166 cm 1722 cm 1836 cm 1964 205 cm 21③
228 234 cm 2415 2536 cm¤
269 cm¤ 2715 cm¤ 286 cm 294 cm¤
3010 cm¤ 3160p cm¤ 3265 cm¤ 33;;™3∞;; cm¤
34320 cm‹ 3557 cm‹ 3637분 3724p cm‹
384 cm 39②
유형 TEST
01. 삼각형과 평행선~ 036~041쪽04. 닮은 도형의 넓이와 부피
01 BC”∥DE”이려면 AD” : AB”=AE” : AC” 또는 AD” : DB”=AE” : EC”이어야 한다.
① 12 : 6=8 : 4
② (12-4) : 4+6 : 2
③ 5 : 4+6 : 3
④ 3 : 9=2 : 6
⑤ 3 : 2+5 : 2
따라서 BC”∥DE”인 것은 ①, ④이다.
02 10 : 25=x : 20이므로 25x=200 ∴ x=8
03 4 : (4+8)=x : 6이므로 12x=24 ∴ x=2 2 : 6=1 : y이므로 2y=6 ∴ y=3
04 EQ”∥BC”이므로 AE” : AB”=EQ” : BC”
3 : 5=EQ” : 10 ∴ EQ”=6(cm) EP”∥AD”이므로 EB” : AB”=EP” : AD”
2 : 5=EP” : 6 ∴ EP”=;;¡5™;;(cm)
∴ PQ”=EQ”-EP”=6-;;¡5™;;=;;¡5•;;(cm)
05 점 A를 지나고 CD”에 평행한 직 선이 EF”, BC”와 만나는 점을 각 각 G, H라고 하면
GF”=HC”=AD”=5 cm
∴ BH”=BC”-HC”=8-5=3(cm) EG”∥ BH”이므로 AE” : AB”=EG” : BH”
4 : (4+2)=EG” : 3, 6 EG”=12 ∴ EG”=2(cm)
∴ EF”=2+5=7(cm)
06 ⑴ △ABEª△CDE (AA 닮음)
⑴BE” : DE”=6 : 10=3 : 5이므로
⑴BE” : BD”=3 : 8
⑴따라서 EF” : 10=3 : 8이므로
⑴8EF”=30 ∴ EF”=;;¡4∞;;(cm)
⑵ BF” : FC”=3 : 5이므로 FC”=;8%;_11=;;∞8∞;;(cm)
07 x : (15-x)=4 : 8이므로
8x=4(15-x), 12x=60 ∴ x=5
08 12 : 9=x : 6이므로 9x=72 ∴ x=8 12 : 9=10 : y이므로 12y=90 ∴ y=:¡2∞:
09 12 : 8=x : 6이므로 8x=72 ∴ x=9 8 : y=6 : 3이므로 6y=24 ∴ y=4
∴ x+y=13
10 9 : 6=(10-DC”) : DC”이므로 9 DC”=6(10-DC”), 9 DC”=60-6 DC”
15 DC”=60 ∴ DC”=4(cm)
B C
F A D
4`cm 5`cm
8`cm 2`cmE G
H
11 AB” : 12=4 : 6이므로 6 AB”=48 ∴ AB”=8(cm)
12 6 : 4=(CD”+3) : CD”이므로
4(CD”+3)=6 CD”, 2 CD”=12 ∴ CD”=6(cm)
13 6 : 4=3 : PC”이므로
6PC”=12 ∴ PC”=2(cm) 6 : 4=(5+CQ”) : CQ”이므로 4(5+CQ”)=6CQ”, 20+4CQ”=6CQ”
∴ CQ”=10(cm)
이때 △ABP와 △APQ의 높이는 같으므로 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.
∴ △ABP : △APQ=BP” : PQ”=3 : 12=1 : 4
14 AM””=MB””, BC”∥MN”이므로 AN”=NC”
즉, AM”””=;2!;AB”, MN”=;2!;BC””, NA”=;2!;CA”이므로 (△AMN의 둘레의 길이)
=;2!;_(△ABC의 둘레의 길이)
=;2!;_24=12(cm)
15 삼각형의 중점연결정리에 의하여
△DBC에서 BC”=2PQ”=8(cm)
△ABC에서 MN”=;2!; BC”=4(cm)
16 △AEC에서 AD”=DE”, AF”=FC”이므로 DF”∥EC”, EC”=2DF”=8(cm)
△BDF에서 DE”=EB”, DF”∥EP”이므로 EP”=;2!; DF””=2(cm)
∴ CP”=8-2=6(cm)
17 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같으므로 AC”=BD”=11 cm
삼각형의 중점연결정리에 의하여
EF”=HG”=EH”=FG”=;2!; AC”=;;¡2¡;; (cm)
∴ (` EFGH의 둘레의 길이)
∴=;;¡2¡;;_4=22(cm)
테스트BOOK
∴ x=6
△CAD에서 CE”=EA”, AD”∥EF”이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 y=;2!; AD”=;2!;_(12+6)=9
∴ x+y=6+9=15
25 △GBM=2△GNM=2_3=6(cm¤ )
∴ △ABC=6△GBM=6_6=36(cm¤ )
26 △ADC=;2!;△ABC=;2!;_108=54(cm¤ )
△DAE=;2!;△ADC=;2!;_54=27(cm¤ ) 이때 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
△GDE=;3!;△DAE=;3!;_27=9(cm¤ )
27 △ADG=;2!;△ABG=;2!;_;3!;△ABC=;6!;△ABC
△AEG=;2!;△ACG=;2!;_;3!;△ABC=;6!;△ABC 즉, ADGE=△ADG+△AEG
즉, ADGE=;6!; △ABC+;6!; △ABC 즉, ADGE=;3!;△ABC
즉, ADGE=5(cm¤ )
∴ △ABC=3_5=15(cm¤ )
28 대각선 AC를 그으면 두 점 M, N은 각각 △ABC,
△ACD의 무게중심이다.
∴ BD”=3MN”=3_4=12(cm)
△CBD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 PQ”=;2!; BD”=;2!;_12=6(cm)
29 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
△APO=;6!;_△ABC=;6!;_;2!; ABCD
△APO=;1¡2; ABCD=;1¡2;_48=4(cm¤ )
30 두 대각선 AC, BD의 교점을 R라고 하면 점 P, Q는 각각
△ABC와 △ACD의 무게중심이 므로
A
B M C
P RQ D
N
18 삼각형의 중점연결정리에 의하여 EH”=FG”=;2!; AC”=8(cm) GH”=EF”=;2!; BD”=10(cm)
∴ (` EFGH의 둘레의 길이)
=2_(8+10)=36(cm)
19 AD”∥BC”, AM”=MB”, DN”=NC”이므로 AD”∥MN”∥BC”
△ABC에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 x=;2!; BC”=;2!; _16=8
△CDA에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 y=2PN”=2_4=8
∴ xy=8_8=64
20 AD”∥BC”, AM”=MB”, DN”=NC”이므로 AD”∥MN”∥BC”
△ABC에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 MF”=;2!; BC”=:¡2∞:(cm)
△ABD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 ME”=;2!; AD”=;2%;(cm)
∴ EF”=MF”-ME”=:¡2∞:-;2%;=5(cm)
21 ③ △ABC가 정삼각형일 때만 AG”=BG”=CG”가 성립한 다.
22 CG” : GD”=2 : 1이므로 x=;3!; CD”=;3!;_9=3 점 E는 BC”의 중점이므로 y=BE”=5
∴ x+y=3+5=8
23 점 G는 △ABC의 무게중심이므로 12 : GD”=2 : 1, 2GD”=12
∴ GD”=6(cm)
점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GG'”=;3@; GD”=;3@;_6=4(cm)
24 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 12 : x=2 : 1, 2x=12
CMPR=;3!;△ABC=;3!;_;2!; ABCD CMPR=;6!; ABCD=;6!;_30=5(cm¤ ) CNQR=;3!;△ACD=;3!;_;2!; ABCD CMPR=;6!; ABCD=;6!;_30=5(cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)=5+5=10(cm¤ )
31 두 원의 둘레의 길이의 비가 2 : 3이므로 닮음비는 2 : 3이다.
따라서 두 원의 넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 9이므로 작은 원의 넓이는 195p_;1¢3;=60p`(cm¤ )
32 가장 작은 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 AN”=r cm, AM”=2r cm, AB”=4r cm이므로 세 원의 닮음비는 AM” : AB” : AC”=1 : 2 : 4 이때각각을 지름으로 하는 세 원의 넓이의 비는 1¤ : 2¤ : 4¤ =1 : 4 : 16
따라서 나누어진 세 부분의 넓이의 비는
1 : (4-1) : (16-4)=1 : 3 : 12이므로 색칠한 부분의 넓이의 합은
5+12_5=65(cm¤ )
33 △ABCª△ADE (AA닮음)이고 닮음비는 AC” : AE”=5 : 8이므로
△ABC : △ADE=5¤ : 8¤ =25 : 64
∴ △ABC : BDEC=25 : (64-25)=25 : 39
△ABC : 13=25 : 39, 39△ABC=325
∴ △ABC=;;™3∞;;(cm¤ )
34 두 원기둥의 닮음비가 3 : 4이므로 부피의 비는 3‹ : 4‹ =27 : 64
원기둥 ㈏의 부피를 x cm‹ 라고 하면 27 : 64=135 : x, 27x=8640
∴ x=320
따라서 원기둥 ㈏의 부피는 320 cm‹ 이다.
35 세 원뿔의 닮음비는 1 : 2 : 3이므로 부피의 비는 1‹ : 2‹ : 3‹ =1 : 8 : 27
따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는 1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19
이때 원뿔대 C의 부피를 x cm‹ 라고 하면 7 : 19=21 : x, 7x=399
∴ x=57
따라서 원뿔대 C의 부피는 57 cm‹ 이다.
36 수면의 높이와 그릇의 높이의 비가 3 : 4이므로 부피의 비는 27 : 64이다. 15 cm까지 물을 채우는 데 27분이 걸렸으므 로 그릇에 물을 가득 채우려면 64-27=37(분)이 더 걸린 다.
37 두 구의 중심을 지나는 단면의 넓이의 비가 4 : 9이므로 두 구의 닮음비는 2 : 3이다.
따라서 두 구의 부피의 비는 8 : 27이므로 구 O의 부피를 x cm‹ 라고 하면
8 : 27=x : 81p ∴ x=24p 따라서 구 O의 부피는 24p cm‹ 이다.
38 40(m)=4000(cm)이므로 지도에서 두 지점 사이의 거 리를 x cm라고 하면
1 : 1000=x : 4000 1000x=4000 ∴ x=4
즉, 지도에서 두 지점 사이의 거리는 4 cm이다.
39 축척이 ;100¡000;이므로 지도에서의 마을의 넓이와 실제 마 을의 넓이의 비는 1¤ : 100000¤ =1 : 10⁄ ‚
이때 A마을의 실제 넓이를 x cm¤ 라고 하면 1 : 10⁄ ‚ =5 : x ∴ x=5_10⁄ ‚
따라서 A마을의 실제 넓이는 5_10⁄ ‚ (cm¤ )=5(km¤ )
테스트BOOK
9AM”=60 ∴ AM”=:™3º:(cm)
02 8 : AC”=4 : 3이므로
04 사다리꼴 EBCF에서 EF”∥GH”∥BC”, FH”=HC”
이므로 8=;2!;(x+9) ∴ x=7
즉, △ABF에서 AF”=2_2x=18+x(cm) 3x=18 ∴ x=6
△ASD에서 SD”=2a cm
즉, △DRC에서 SR”=SD”=2a cm
따라서 △ABP에서 PQ”=2a cm, BQ”=2a cm이므로 PQ” : BH”=2a : 5a=2 : 5
∴ PQRS=;5@; HBFD
∴ PQRS=;5@;_;2!; ABCD=;5!; ABCD
∴ PQRS=;5!;_20=4(cm¤ )
07 BE”=ED”=DF”=FC”=3 cm이므로
EF”=6(cm) ……❶
실력 TEST
042~044쪽❶AC”의 길이 구하기
△FEC=;2!;△DCF=;2!;_30=15(cm¤ )
09 △GBG'=;3@;△GBM=;3@;_;2!;△GBC
△GBG'=;3!;_;3!;△ABC=;9!;_45=5(cm¤ )
10 △GNLª△GBM (AA 닮음)이고 닮음비가 1 : 2이므로 두 삼각형의 넓이의 비는 1 : 4이다.
∴ △GBM=4△GNL=4_2=8(cm¤ )
∴ △ABC=6△GBM=6_8=48(cm¤ )
11 OD”를 지름으로 하는 반원을 P, AO”를 지름으로 하는 반 원을 Q, AB”를 지름으로 하는 반원을 R라고 하면 P, Q, R 의 닮음비는 1 : 2 : 4이므로 넓이의 비는
1 : 4 : 16이다. ……❶
반원 P의 넓이와 색칠한 부분의 넓이의 비는
1 : (16-4-1-1)=1 : 10 ……❷
∴ (색칠한 부분의 넓이)=3_10=30(cm¤ ) ……❸
12 세 정사각뿔의 닮음비는 1 : 2 : 3이므로 부피의 비는 1‹ : 2‹ : 3‹ =1 : 8 : 27
즉, 세 입체도형 ㈎, ㈏, ㈐의 부피의 비는 1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19
따라서 입체도형 ㈏와 처음에 주어진 정사각뿔의 부피의 비는 7 : 27이므로 처음에 주어진 정사각뿔의 부피를 x cm‹ 라고 하면
7 : 27=84 : x
∴ x=324
따라서 처음에 주어진 정사각뿔의 부피는 324 cm‹ 이다.
❶크기가 서로 다른 세 반원의 넓이의 비 구하기
❷가장 작은 반원의 넓이와 색칠한 부분의 넓이의 비 구하기
❸색칠한 부분의 넓이 구하기
30 %
40 %
30 %
채점 기준 배점
3. 피타고라스 정리
0121 0217 033 045
0515 06124 076 08④
09;2(; 10200 1190 12②, ④
1360 148 15④ 1619
179 18④ 19;5*; 20:£5§:
21150 2281 2318 24116
2525p cm2 2624+:™2∞:p 276 2815
유형 TEST
01. 피타고라스 정리`⑴ 045~048쪽02. 피타고라스 정리`⑵
01 △ABD에서 x2=132-52=122 ∴ x=12 (∵ x>0)
△ADC에서 y2=152-122=92 ∴ y=9 (∵ y>0)
∴ x+y=12+9=21
02 △ABD에서 BD”2=102-82=6¤
∴ BD”=6 (∵ BD”>0)
△ADC에서 DC”=21-6=15이므로 AC”2=152+82=172
∴ AC”=17 (∵ AC”>0)
03 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 DH”=AB”=4
△DHC에서` HC”2=52-42=32
∴ HC”=3 (∵ HC”>0) 즉, BH”=6-3=3이므로 AD”=BH”=3
04 △ABC에서` BC”2=102-62=82
∴ BC”=8 (∵ BC”>0)
이때 AB” : AC”=BD” : CD”=10 : 6=5 : 3이므로 BD”=8_;8%;=5
05 △ABC에서 BC”2=132-52=122
∴ BC”=12 (∵ BC”>0) 점 D에서 AB”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면
△AHD에서 AH”=9, HD”=BC”=12이므로 AD”2=92+122=152 ∴ AD”=15 (∵ AD”>0)
D 13
4 5
A
B 4 H
A
B C
D 5 6 4
H
테스트BOOK
06 △ACD에서 x¤ =10¤ -5¤ =75이므로
△ABC에서 y¤ =x¤ +7¤ =75+49=124
07 AC”2=12+12=2, AD”2=2+12=3 AE”2=3+12=4, AF”2=4+12=5 AG”2=5+12=6
08 ④ AEDB=AB”¤ , △ABC=;2!;_AB”_AC”이므로
④ AEDB+2△ABC
09 AC”2=52-42=32 ∴ AC”=3 (∵ AC”>0)
△AGC™△HBC (`SAS 합동)이므로
△AGC=△HBC=△HAC
△AGC=;2!; ACHI=;2!;_3¤ =;2(;
10 BC””2=162+122=400이므로 BDEC=BC”2=400
꼭짓점 A에서` BC”에 수선을 그어 BC”, DE”와 만나는 점을 각각 F, G 라고 하면 색칠한 부분의 넓이는
△ABD+△AEC
=△FBD+△FEC
=;2!; BDEC=;2!;_400=200
11 △ABP≡△PCD에서 AP”=PD”, ∠APD=90˘이므로
△APD는 직각이등변삼각형이다. 이때 AB”=PC”=12 이고 △ABP에서` AP”2=62+122=180이므로
△APD=;2!;_AP”2=;2!;_180=90
12 ② 62+32+52
④ 52+32+32
13 8¤ +15¤ =17¤ 이므로 직각을 낀 두 변의 길이가 8, 15인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는 ;2!;_8_15=60
14 x가 10 미만의 짝수이므로 x=2, 4, 6, 8
그런데 ∠C=90˘인 직각삼각형이 되려면 x+2가 가장 긴 변이어야 하므로 x=6 또는 x=8이다.
x=6이면 세 변의 길이는 (6, 6, 8) x=8이면 세 변의 길이는 (6, 8, 10)
E D
C B
A
16 12
G F
이 중 AB”2=BC”2+AC”2인 경우는 (6, 8, 10)이다.
따라서 구하는 x의 값은 8이다.
15 ④ 142<92+122이므로 예각삼각형이다.
16 x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형의 세 변의 길이 사이 의 관계에 의하여
7<x<4+7 ∴ 7<x<11 yy ㉠ 둔각삼각형이므로 x¤ >4¤ +7¤ ∴ x¤ >65 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 x의 값은 9, 10이므로 9+10=19
17 a가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형의 세 변의 길이 사이 의 관계에 의하여
8<a<6+8 ∴ 8<a<14 yy ㉠ 예각삼각형이므로 a¤ <6¤ +8¤ ∴ a¤ <100 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 a의 값은 9이다.
18 ④ b2<a2+c2이면 ∠B<90˘이지만 ∠A 또는 ∠C가 90˘
보다 클 수 있으므로 예각삼각형이라고 말할 수 없다.
19 △ABC에서` BC”2=82+62=102
∴ BC”=10 (∵ BC”>0)
AB”¤ =BH”_BC”이므로 8¤ =10x ∴ x=:£5™:
AB”_AC”=AH”_BC”이므로 8_6=10y ∴ y=:™5¢:
∴ x-y=:£5™:-:™5¢:=;5*;
20 △ABC에서` BC”2=92+122=152
∴ BC”=15 (∵ BC”>0)
9_12=15_AH” ∴ AH”=:£5§:
21 △AHC에서` AH”2=152-92=122
∴ AH”=12 (∵ AH”>0) AH”2=BH”_HC”이므로 122=BH”_9 ∴ BH”=16 따라서` BC”=BH”+CH”=25이므로
△ABC=;2!;_25_12=150
22 122+x2=152+y2
∴ x2-y2=225-144=81
23 5¤ +3¤ =4¤ +DP”¤ ∴DP”¤ =18
24 BE”2+DC”2=DE”2+BC”2=42+102=116
25 반원 R의 넓이는 ;2!;_52_p=;;™2∞;;p(cm2)이고, R=P+Q이므로 P+Q+R=2R=25p(cm2)
26 △ABC에서` AC”2=102-82=62
∴ AC”=6 (∵ AC”>0)
S¡+S™=△ABC=;2!;_8_6=24
S£=;2!;_p_{:¡2º:}2 =:™2∞:p
∴ (색칠한 부분의 넓이)
∴=S¡+S™+S£
∴=24+:™2∞:p
27 AQ”=AD”=15이므로 △ABQ에서
BQ”2=152-92=122 ∴ BQ”=12 (∵ BQ”>0)
∴ CQ”=15-12=3
△PQC∽△QAB이므로 QC” : AB”=PC” : QB”
3 : 9=PC” : 12 ∴ PC”=4
∴ △PQC=;2!;_3_4=6
28 △ABE™△C'DE (ASA 합동)이므로 AE”=7
△ABE에서` BE”2=242+72=252이므로 BE”=25 (∵ BE”>0)
△ABD에서` BD”2=322+242=402이므로`
BD”=40 (∵ BD”>0) ∴ BF”=20
△BFE에서` EF”2=252-202=152이므로`
EF”=15 (∵ EF”>0)
10 C 8 B
S¡ A
S™
S£
01 `ABCD=9_BC”=108 ∴ BC”=12 AC”2=BD”2=12¤ +9¤ =15¤ 이므로 AC”=BD”=15 (∵ AC”>0, BD”>0)
∴ OA”=OD”=:¡2∞:
따라서 △OAD의 둘레의 길이는 12+2_:¡2∞:=27
02 △ABD™△CAE (RHA 합동) AD”=CE”=1, AE”=BD”=2이므로 DE”=AE”-AD”=2-1=1 따라서 △DBE에서 BE”2=22+12=5
03 BFQP+ HNMJ+ IJLK
= BFQP+ ACHI
= BFQP+ PQGC= BFGC 한편, △ABC에서 BC”2=2¤ +1¤ =5이므로
BFGC=BC”2=5
04 AC”2=22+22=8, AD”2=8+22=12이므로 AE”2=12+22=16 ∴ AE”=4 (∵ AE”>0)
05 A(0, 3), B(-4, 0)이므로 `OA”=3, OB”=4
AB”2=32+42=52 ∴ AB”=5 (∵ AB”>0) ……❶ 5_OH”=3_4 ∴ OH”=;;¡5™;; ……❷
06 (색칠한 부분의 넓이)=2_△ACD
= ABCD=24
07 AD”=BD”=6, CE”=EB”=8이므로 DECA에서 62+82=DE”2+AC”2
AC”=2DE”이므로 DE”2+4DE”2=100 ∴ DE”2=20
08 AC”2=32+42=52이므로 `AC”=5 (∵ AC”>0)
∴ BD”=AD”=DC”=;2!;AC”=;2%; ……❶ BG” : GD”=2 : 1이므로 `
BG”=;3@;_BD”=;3@;_;2%;=;3%; ……❷
0127 025 035 044
05;;¡5™;; 0624 0720 08;3%;
09;2&; 102.1 cm 1115 12;;§5£;;
실력 TEST
049~051쪽❶AB”의 길이 구하기
❷OH”의 길이 구하기
60 % 40 %
채점 기준 배점
09 점 E에서 BF”에 내린 수선의 발을 G라고 하면
△ABE™△GBE (RHA 합동)
∴ GB”=AB”=8, 16_12=20_DR” ∴ DR”=;;¢5•;;
△CDP'에서 CD”2=DR”_DP'”이므로 122=;;¢5•;;_DP'” ∴ DP'”=15
QPP'D는 평행사변형이므로 PQ”=DP'”=15
12 △ABC에서 AB”2=32+42=52이므로
12 △ABC에서 AB”2=32+42=52이므로