∴ PQRS= ABCD-4△ABQ
`∴ PQRS=(4a)¤ -4_16S=16a¤ -4_16_;1™7;a¤
∴ PQRS=16a¤ {1-;1•7;}=16a¤ _;1ª7;
따라서 두 정사각형 ABCD와 PQRS의 넓이의 비는 1 : ;1ª7;, 즉 17 : 9이다.
02
오른쪽 그림과 같이 AP”의 연장선과 BC”의 교점을 M, AQ”의 연장선과 CD”의 교점을 N이라고 하면 MN”=;2!; BD”점 P는 △ABC의 무게중심이고, 점 Q는 △ACD의 무게중심이므로 AP”:AM”=AQ”:AN”=2 : 3
∴ PQ”=;3@; MN”=;3@;_;2!; BD”=;3!; BD”
마찬가지로
RQ”=;3@;_;2!; BC”=;3!; BC”, PR”=;3@;_;2!; CD”=;3!; CD”
따라서 △PQRª△DBC (SSS 닮음)이고, 닮음비는 PQ” : BD”=1 : 3이다.
같은 방법으로 하면 △OPQª△ADB, △OQRª△ABC,
△ORPª△ACD이고, 닮음비는 모두 1 : 3이다.
따라서 (사면체 O-PQR)ª(사면체 A-DBC)이고, 닮음 비는 1 : 3이므로 부피의 비는 1‹ : 3‹ =1 : 27
∴ (사면체 O-PQR의 부피)
∴=;2¡7;_(사면체 A-DBC의 부피)
∴=;2¡7;_27=1(cm‹ )
03
△ABC에서 AB”=2_5=10 AC”=18-(5+5)=8 BC”2=10¤ -8¤ =6¤∴ BC”=6 (∵ BC”>0) 즉, 원기둥 모양의 그릇의 밑면인 원의 지름의 길이는 5+6+5=16
따라서 밑면인 원의 반지름의 길이가 8이고, 높이가 18인 원기둥의 부피는
p_8¤ _18=1152p
A 18
B C
5 5 5
5 55 5 A
B
D C O R Q P
M N
18
오른쪽 그림에서 AC”=11-5=6(m)△ACB에서 AB”2=82+62=102이므로 AB”=10(m) (∵ AB”>0) ……❶ 따라서 새가 A나무 꼭대기에 도달하는 데 걸리는 시간은 :¡2º:=5(분) ……❷
19
ㄱ. x=10일 때, 12¤ >5¤ +10¤ (둔각삼각형) ㅁ. x=14일 때, 14¤ >5¤ +12¤ (둔각삼각형)20
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_15_AC”=45∴ AC”=6(cm)
A 6`m B
C 8`m
❶AB”의 길이 구하기
❷걸리는 시간 구하기
60 % 40 %
채점 기준 배점
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지이 다.
따라서 구하는 경우의 수는 4+6=10
08 눈의 수의 차가 2인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4)의 8가지이고,
눈의 수의 차가 4인 경우는
(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)의 4가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 8+4=12
09 합이 4인 경우 : (1, 3), (2, 2), (3, 1)
합이 10인 경우 : (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4) 따라서 구하는 경우의 수는 3+5=8
10 20보다 작은 경우 : 12, 13, 14, 15 50보다 큰 경우 : 51, 52, 53, 54 따라서 구하는 경우의 수는 4+4=8
11 5_4=20
12 주사위에서 짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지이 고 동전에서 앞면이 나오는 경우는 1가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 3_1=3
13 햄버거는 4종류, 음료는 3종류, 디저트는 2종류이므로 구하는 경우의 수는 4_3_2=24
14 3_3_3=27
15 ⁄A⁄ B ⁄ D인 경우의 수는 1_2=2
¤A⁄ C ⁄ D인 경우의 수는 3_3=9
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 2+9=11
16 A지점과 B지점 사이를 왕복하는데
⁄A⁄ P ⁄ B ⁄ A인 경우의 수는
⁄(3_2)_2=12
¤A⁄ B ⁄ P ⁄ A인 경우의 수는
⁄2_(2_3)=12
VII 확률
1. 경우의 수
01⑤ 027 033 048가지
0522 065 0710 0812
098 108 1120 123
1324 1427 1511 1624
유형 TEST
01. 사건과 경우의 수 056~057쪽01 ① 소수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 3, 5의 3
② 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 3
③ 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 3, 5의 3
④ 4의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 2, 4의 3
⑤ 6의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 2, 3, 6의 4
02 1부터 30까지의 자연수 중에서 4의 배수가 나오는 경우는 4, 8, 12, y, 28의 7가지이다.
03 2x+y=9를 만족시키는 경우는 x=2일 때, y=5
x=3일 때, y=3 x=4일 때, y=1
따라서 구하는 경우의 수는 3이다.
04 줄 수 있는 용돈을 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서혜현이에게줄수있는용돈의금액은 8가지이다.
05 4+8+10=22
06 3+2=5
07 눈의 수의 합이 5인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지이고, 눈의 수의 합이 7인 경우는
(단위 : 원) 0
-0 1000 2000
1 2
5000
1 6000 7000
10000
2 11000 12000
1000원(장) 5000원(장)
테스트BOOK
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 12+12=24
016 0224 0348 0412
0524 06⑴ 24 ⑵ 48 0724
0816 0941 1024 111
1230 134 1415회 1556
1615 17120 1810
유형 TEST
02. 여러 가지 경우의 수 058~059쪽01 3_2_1=6
02 D를 뺀 나머지 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므 로 4_3_2_1=24
03 b, c를 하나의 문자로 생각했을 때, 4개의 문자를 한 줄로 나열하는 경우의 수는 4_3_2_1=24
b, c가 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 경우의 수는 24_2=48
04 B, C, D를 한 줄로 세우는 경우의 수는 3_2_1=6
A, E가 양 끝에서 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 경우의 수는 6_2=12
05 A에 칠할 수 있는 색은 3가지, B에 칠할 수 있는 색은 A 에 칠한 색을 제외한 2가지, C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠 한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색 을 제외한 2가지이므로 구하는 경우의 수는
3_2_2_2=24
06 ⑴ A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색 은 A, B, C에 칠한 색을 제외한 1가지이므로 구하는 경 우의 수는
⑵4_3_2_1=24
⑵ A에 칠할 수 있는 색은 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지, B에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 2가지, D에 칠할 수 있는 색 은 A, C에 칠한 색을 제외한 2가지이므로 구하는 경우 의 수는
4_3_2_2=48
07 4_3_2=24
08 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 1, 2, 3, 4의 4 개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제 외한 4개이다.
따라서 구하는 자연수의 개수는 4_4=16
09 ⁄일의 자리의 숫자가 0인 경우 : 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1부터 9까지의 9개
¤일의 자리의 숫자가 0이 아닌 경우 : 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4, 6, 8의 4개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 일의 자리의 숫자를 제외한 8개이므로 8_4=32(개)
⁄, ¤에 의하여 구하는 짝수의 개수는
` 9+32=41
10 4의 배수가 되려면 끝의 두 자리의 수가 4의 배수이어야 한 다. 주어진 카드로 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중 4의 배수는 끝의 두 자리의 수가
04, 12, 20, 24, 32, 40, 52이어야 한다.
⁄ `04, ` 20, `40인 경우는 백의 자리에 올 수 있는 숫자가 각각 4개이므로 4_3=12(개)
¤ `12, `24, `32, `52인 경우는 백의 자리에 올 수 있는 숫자가 각각 3개이므로 3_4=12(개)
⁄, ¤에 의하여 4의 배수의 개수는 12+12=24
11 0, 1, 2, 3, 4, 5가 적힌 6장의 카드에서 2장의 카드를 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는
5_5=25
⁄ 짝수의 개수는
⁄일의 자리의 숫자가 0인 경우 : 5
⁄일의 자리의 숫자가 0을 제외한 2, 4인 경우 : 4_2=8
⁄∴ 5+8=13
01 한 개의 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 경우의 수는 36이다. 직선 ax+by=b가 일치하는 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면
(1, 1)=(2, 2)=(3, 3)=(4, 4)=(5, 5)=(6, 6), (1, 2)=(2, 4)=(3, 6),
(1, 3)=(2, 6), (2, 1)=(4, 2)=(6, 3), (2, 3)=(4, 6), (3, 1)=(6, 2), (3, 2)=(6, 4)
따라서 직선 ax+by=b 중 서로 다른 직선의 개수는 36-(5+2+1+2+1+1+1)=36-13=23
02 점(a, b)가 제2사분면 위의 점이 되려면 a<0, b>0이어 야 한다. 따라서 A주머니에서는 -4, -3이 나오고, B주 머니에서는 1, 2, 3이 나오면 되므로 구하는 경우의 수는 2_3=6`
03 4번 중 앞면이 나온 횟수를 x, 뒷면이 나온 횟수를 y라고 할 때 1_x+(-2)_y=-5인 경우를 찾으면 x=1, y=3일 때이다.
즉, 1개의 동전을 4번 던져서 앞면이 1번, 뒷면이 3번 나오 는 경우를 순서쌍으로 나타내면
(앞, 뒤, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 뒤), (뒤, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 뒤, 앞)의 4가지이다.
04 삼각형의 두 변의 길이 a, b와 다른 한 변의 길이 c는 a-b<c<a+b를 만족해야 한다.
⁄ 세 변의 길이가 모두 같은 경우 :
⁄a=b=c인 순서쌍 (a, b, c)는
(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)의 6가지이다.
¤ 두 변의 길이만 같은 경우 :
순서쌍 (a, b, c)에서 a=b인 경우 가능한 c의 값을 구하면
⁄(2, 2)일 때 c의 값은 1, 3
⁄(3, 3)일 때 c의 값은 1, 2, 4, 5
⁄(4, 4)일 때 c의 값은 1, 2, 3, 5, 6
⁄(5, 5)일 때 c의 값은 1, 2, 3, 4, 6
⁄(6, 6)일 때 c의 값은 1, 2, 3, 4, 5
⁄의 21가지이고, b=c, c=a일 때도 있으므로 21_3=63(가지)
¤ 홀수의 개수는 25-13=12`
⁄, ¤에 의하여 짝수의 개수와 홀수의 개수의 차는 1이다.
12 6_5=30
13 D가 대표로 뽑히는 경우의 수는 D를 제외한 나머지 4명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 구하는 경 우의 수는 4이다.
14 2명이 악수를 한 번 하므로 구하는 악수의 횟수는 6명 중에 서 순서를 생각하지 않고 2명을 뽑는 경우와 같다.
∴ =15(회)
15 8명 중에서 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는
=56
16 6개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 선택하는 경우와 같으므로
=15
17 10개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개를 선택하는 경우와 같으므로
=120
18 삼각형이 만들어지려면 점 A를 반드시 선택한 후 B~F의 5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개를 선택하면 된 다. 따라서 구하는 개수는
5_4 =10 11252
10_9_8 1121223_2_1 1126_52
8_7_6 111243_2_1 1126_52
0123 026 034 0469
0512 0612 07144 0812 0984 10⑴ 15 ⑵ 21 ⑶ 45 1119
실력 TEST
060~062쪽테스트BOOK
4_3_2_1=24 ……❶
C와 D가 이웃하여 서는 경우의 수는
(3_2_1)_2=12` ……❷
따라서 C와 D가 이웃하여 서지 않는 경우의 수는
08 모든 경우의 수는 6_6=36
x+2y<7이 되는 경우를 순서쌍 (x, y)로 나타내면 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)의 6가지이다.
따라서 구하는 확률은 ;3§6;=;6!;
09 모든 경우의 수는 6_6=36
ax=b에서 b가 a의 배수이면 x=;aB;가 정수이다.
따라서 이를 만족하는 경우는 a=1일 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6 a=2일 때, b=2, 4, 6 a=3일 때, b=3, 6 a=4일 때, b=4 a=5일 때, b=5 a=6일 때, b=6 의 14가지이다.
따라서 구하는 확률은 ;3!6$;=;1¶8;
10 원판 전체의 넓이는 9p이고 색칠한 부분의 넓이는 9p-4p=5p이므로 구하는 확률은
=;9%;
11 색칠한 부분은 전체 원의 넓이의 ;4!;이므로 구하는 확률은
;4!;이다.
12 ⑴ 두 눈의 수의 합이 15인 경우는 없으므로 구하는 확률은 0이다.
⑵ 두 눈의 수의 합이 10인 경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3 가지이므로 구하는 확률은
⑵;3£6;=;1¡2;
⑶ 두 눈의 수의 합은 항상 12 이하이므로 구하는 확률은 1 이다.
13 ② 1이 적힌 구슬이 나올 확률은 ;1¡0;이다.
④ 10 이상의 수는 10뿐이므로 그 확률은 ;1¡0;이다.
215p9p (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지이다.
따라서 구하는 확률은 ;3§6;=;6!;
02 D는 남은 7장의 카드 중에서 1장을 뽑아야 한다. 이때 D가 대표가 되려면 7, 8, 9, 10이 적힌 카드 중에서 하나를 뽑 아야 하므로 구하는 확률은 ;7$;이다.
03 2등급을 받은 학생은 20-(3+8+3+2)=4(명)이다.
따라서 구하는 확률은 ;2¢0;=;5!;
04 4장에서 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수 는 4_3=12이고, 그 자연수가 3의 배수인 경우는 12, 21, 24, 42의 4가지이다.
따라서 구하는 확률은 ;1¢2;=;3!;
05 구슬의 개수는 (n+3)이고, 파란 구슬을 꺼낼 확률은
;5!;이므로
=;5!;, n+3=15 ∴ n=12
06 모든 경우의 수는 6_6=36
a가 1, 2, 4, 5일 때는 b가 1부터 6까지의 어떤 수라도 정수 또는 유한소수가 된다. a가 3일 때 b가 될 수 있는 수는 3, 6을 제외한 4개이고, a가 6일 때 b가 될 수 있는 수는 3, 6 을 제외한 4개이므로 구하는 경우의 수는 4+4=8 따라서 구하는 확률은 ;3•6;=;9@;
07 모든 경우의 수는 6_6=36
A가 던져서 나온 눈의 수를 x, B가 던져서 나온 눈의 수를 y라고 할 때, x>y인 경우는 다음과 같다.
y=1일 때, x=2, 3, 4, 5, 6 y=2일 때, x=3, 4, 5, 6 y=3일 때, x=4, 5, 6 y=4일 때, x=5, 6 y=5일 때, x=6
즉, A가 이기는 경우의 수는 15이므로 구하는 확률은 ;3!6%;=;1∞2;
112n+33
테스트BOOK
⑤ 5 이상의 수는 5, 6, 7, 8, 9, 10이므로 그 확률은
②;1§0;=;5#;이다.
따라서 옳은 것은 ①, ③이다.
14 흰 공이 나올 확률이 ;7#;이므로 노란 공이 나올 확률은 1-;7#;=;7$;
15 불량품이 나올 확률이 ;1¡0∞0;이므로 합격품이 나올 확률은 1-;1¡0∞0;=;1•0∞0;=;2!0&;
16 1부터 20까지의 수 중 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20의 5개 이다. 따라서 4의 배수가 아닌 수가 나올 확률은
1-;2∞0;=;2!0%;=;4#;
17 두 눈의 수의 합이 11보다 큰 경우는 합이 12인 경우로 (6, 6)뿐이다.
따라서 구하는 확률은 1-;3¡6;=;3#6%;
18 서로 같은 눈이 나오는 경우의 수는 6이므로 서로 다른 눈이 나올 확률은 1-;3§6;=;3#6);=;6%;
19 모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120 A, B가 이웃하여 서는 경우의 수는 (4_3_2_1)_2=48
따라서 A, B가 이웃하여 설 확률은 ;1¢2•0;=;5@;이므로 구하는 확률은 1-;5@;=;5#;
20 모든 경우의 수는 4_3_2_1=24 A가 맨 뒤에 서는 경우의 수는 3_2_1=6 따라서 A가 맨 뒤에 설 확률은 ;2§4;=;4!;이므로 구하는 확률은 1-;4!;=;4#;
21 모든 경우의 수는 2_2_2=8
모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 1이므로 그 확률은 ;8!;이다.
01;5#; 02;9&; 03;2!; 04;1∞0ª0;
05;3!; 06;4!; 07;4#; 08;5@;
09;9@; 10;5£6; 11;1¡0; 12;3!;
13;9@; 14;5@; 156 % 16;1¶5;
17;2!8#; 18;5@; 19;4@0#; 20;2¢7;
21;1£0; 22;2∞1; 23;2@5!;
유형 TEST
02. 확률의 계산 066~068쪽따라서 구하는 확률은 1-;8!;=;8&;
22 7명 중에서 2명의 대표를 뽑는 경우의 수는
=21
2명의 대표 모두 여학생이 뽑히는 경우의 수는
=6
따라서 2명의 대표 모두 여학생이 뽑힐 확률은
;2§1;=;7@;이므로 구하는 확률은 1-;7@;=;7%;
23 모든 경우의 수는 =15
두 개 모두 빨간 공이 나오는 경우의 수는 =3 따라서 두 개 모두 빨간 공일 확률은 ;1£5;=;5!;이므로 구하는 확률은 1-;5!;=;5$;
21223_22 21226_52
21224_32 21227_62
01 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이므로 그 확률은 ;1§5;이고, 4의 배수는 4, 8, 12의 3개이므로 그 확률은 ;1£5;이다.
따라서 구하는 확률은 ;1§5;+;1£5;=;1ª5;=;5#;
02 흰 공이 나올 확률은 ;9$;, 노란 공이 나올 확률은 ;9#;이다.
따라서 구하는 확률은 ;9$;+;9#;=;9&;