VaR이 얼마나 적절하게 위험을 평가하고 있는가에 대한 검증작업은 VaR의 이 용에 필수적인 사항이다. VaR의 계산에는 오류가 발생할 수 있는 많은 원천이 있다.
표본오차를 제외하고도 자료를 부적절하게 사용하거나 자료처리가 정확하지 않은 경우, 부적절한 모형, 또는 모형을 적용하는 사람의 실수에 이르기까지 많 은 오류의 가능성이 있다. 이런 요인들 때문에 대단히 정교한 방법을 사용한
VaR 추정치의 경우에도 편의를 가질 가능성은 대단히 크다.
따라서 VaR 예측치가 정상적인 기준에서 적절한가를 평가해야 한다. VaR의 타당성은 그 예측치가 사후적으로 실현되었는가가 아니라, 예측을 할 때 사용했 던 신뢰수준에서 실현되는 수익률이 VaR의 예측과 일치하는 가를 확인하는 방 법을 사용한다. 일반적으로 사용되는 VaR의 타당성 검증에는 다음과 같은 방법 들이 있다.
(1) 초과손실 횟수 검증
VaR의 타당성을 검증하는 가장 간편한 방법은 실제 손실이 얼마나 자주 VaR 예측치를 초과하는가를 확인하는 것이다.
예를 들어 선택된 신뢰수준이 95%이면 VaR을 초과하는 손실은 5%의 확률로 발생해야 한다. 그러나 실제로 정확하게 5%만큼의 확률로 초과손실이 발생하는 경우는 거의 없을 것이다. 실제적인 문제는 실현되는 손실의 빈도가 조금씩 다 를 때, 이들 수치가 통계적으로 5%와 얼마나 유의하게 다른가를 확인해야 한다.
이러한 방법 가운데 한 가지는 Kupiec(1995)에 의해 제시된 방법이다. 예를 들 어, 신뢰수준이 1-p*라고 하자. 그리고 T 기간동안 예측된 VaR과 관찰되는 손실자료에서 VaR을 초과하는 손실이 발생한 경우가 N회라 하자. 즉 VaR을 초과하는 손실의 빈도는 N
T 이다. VaR의 정확성을 알기 위해서는 이 횟수가, 예측된 값인 p*와 유의하게 다른지를 평가해야 한다. 표본크기 T에서 관찰된 실패횟수 N의 확률은 다음으로 주어지는 이항과정을 따른다.
(1-p)T - N pN
Kupiec은 귀무가설 p = p*에 대한 가장 적절한 검증은 다음으로 주어지는
-2 ln [ ( 1 -p*)T - N p* N] + ln
[ (
1 -TN)
T - N(
NT)
N]
이 통계량은 귀무가설 하에서 자유도가 1인 카이스퀘어 분포를 따른다. 따라 서 차이가 유의하다면 모형이 문제가 있는 것으로 간주할 수 있다.3) 그러나 Kupiec의 분석결과에 의하면 이 모형의 검정력은 아주 약한 것으로 나타나고 있 다. 즉 이 방법을 사용한다고 해도 서로 다른 VaR 계산방법들 중에서 어느 것이 더 적절한 가에 대해서는 알 수가 없는 것으로 나타나고 있다.
(2) Crnkovic-Drachman의 VaR 퍼센타일 검정
Kupiec의 이러한 문제점을 개선할 수 있는 방법이 Crnkovic and Drachman(1995)에 의해 제시되었다. 이 검정은 초과손실 검정의 빈도를 일반화 한 것으로 볼 수 있다. Kupiec의 방법은 단지 특정한 확률 p* 하에서 VaR를 초 과하는 손실만을 의미하는 것이었으나, 이들의 방법에서는 모든 가능한 p*에 대 해서 VaR을 초과하는 손실을 계산한다. 이 접근법은 손실을 유발하는 확률분포 에 대해 최소한의 가정만을 사용한다는 장점이 있다.
그러나 이 방법은 많은 수의 자료를 필요로 한다. 이들에 의하면 1,000개 미만 의 자료에서는 검정이 적절히 이루어지지 않으며, 500개 미만인 경우에는 대단히 심각한 문제를 가져올 수 있는 것으로 설명하고 있다. 또한 Kupiec의 경우와 마 찬가지로 p*를 작게 설정하는 경우는 검정력이 아주 약한 것으로 나타난다.
(3) Christofferson의 구간예측 검정(interval forecast test)
3) 이 검정은 표본의 크기 T가 커짐에 따라 더 강력해진다. 모형이 정확하다면 표본의 크기가 커짐에 따라 N
T 와 p*와의 차이(실제와 예상빈도의 차이)는 줄어들 것이다.
또 다른 타당성 검증방법은 Christofferson(1996)에 의해 제시된 구간예측 검정 이다. 이것은 VaR 예측치를 포함한 구간검정에 효율적인 일반적인 검정방법이 다. 이 검정은 변동성이 작은 기간에서 구간 예측치는 작아지고 변동성이 큰 기 간에는 구간예측치도 커지는 모든 상황을 모두 고려한다. 이러한 조건의 형태를 고려하면 수익률을 지배하는 확률분포에 대한 가정의 영향을 분리할 수 있게 된 다. 즉, 구간 예측치가 틀리는 경우 이 방법을 적용하면 이것이 수익률의 동적인 움직임을 부적절하게 다루어서 틀린 것인지, 아니면 분포의 가정이 잘못된 것인 지, 또는 둘 다인지를 알려주며 이 정보는 잠재적으로 예측치를 개선하는데 도움 이 된다.
(4) 초과손실 크기 검정
수익률의 확률밀도함수에 대한 특정한 가정을 하면 추가적인 검정을 할 수 있 다. 수익률이 특정한 분포를 따른다면 이 분포를 가지고 꼬리부분의 사건이 발 생하는 경우 손실을 예측할 수 있고, 이 기대손실을 실현된 값과 비교하여 VaR의 타당성을 평가할 수 있다. 꼬리 부분의 기대손실은 그 부분의 사건이 발생한 경 우의 가중평균이 된다. 정규분포의 경우 이 기대손실은 다음으로 주어진다.
E [ Rt | Rt < - α σt] = -σt f ( α) / F ( α)
여기에서 f ( α)는 α에서 평가한 표준정규분포함수이며, F( α)는 누적 표준 정규분포 확률이다. 그러면 이 예측치를 실제의 관찰된 손실, 표본 표준편차를 추정하고 t검정을 통하여 표본평균이 예측된 평균과 같은지를 비교할 수 있다.
이 검정이 기각되면 분포가 정규분포라는 것과 VaR이 적절하다는 결합가설에 대한 반증으로 볼 수 있다.
이상의 모든 검정의 중요한 문제점은 검정력이 약하다는 것이다. 심지어는 좋 은 모형과 나쁜 모형을 반대로 평가하기도 한다. 이 낮은 검정력의 문제는 자료 가 작은 경우에는 특히 심하다.
Lopez(1996)는 이러한 문제를 피하기 위해 가설을 검정하는 것이 아니라 비통 계적인 표준예측평가기준(standard forecast evaluation criterion)을 사용하였다. 이 개념은 예측되는 손실함수를 규정하고 이 손실함수의 점수를 이용하여 VaR 예 측치의 정확성을 측정하는 것이다. 이 점수가 높다는 것은 모형이 정확하지 않 다는 것을 의미하며 이 점수가 너무 높으면 모형을 기각하게 된다.
이 방법에서는 우선 관심이 되는 사건을 규정한다. 여기에서는 VaR를 초과하 는 손실의 횟수가 된다. 다음으로 다음 기에 이 사건이 발생할 확률을 예측한다.
일반적으로는 (1-신뢰수준)이 된다. 다음으로 사건이 실제로 발생했는가의 기록 으로부터 이러한 확률 예측치의 표본을 수집한다. 실현된 사건에 대해 이러한 예측의 정확성을 평가하기 위해 손실함수를 선정한다. 모형의 점수는 자료를 손 실함수에 대입하여 구한다. Lopez가 사용한 손실함수는 2차형 확률점수 (quadratic probability score; QPS)이다. 이 모형은 표본크기 T에 대해 다음으로 주어진다.
QPS = 2
∑
Tt = 1
( pft - It)2 T
여기에서 pft는 기간 t에 사건이 발생할 것이라는 예측되는 확률이며, It는 지 시변수(indication variable)로 사건이 발생하면 1을, 그렇지 않으면 0의 값을 갖는 다. QPS 지수는 정확한 예측치의 경우에는 낮은 값을 갖는다.
Lopez는 이 접근법의 정확성을 통계적인 접근법의 정확성에 대해 평가하기 위 해, 시뮬레이션을 통해 Kupiec의 이항검정, Crnkovic and Drachman의 VaR 퍼센타 일 검정, Christoffersen의 구간예측 검정을 평가하였다. 이를 통해 통계적인 방법
들의 검정력이 낮다는 것을 보였으며, 이러한 검정이 정확하지 않을 수 있다고 주장하였다. 또한 시뮬레이션에 의한 결과를 통해 그가 사용한 손실함수가 모형 을 잘 식별해 낸다는 것을 보였다.