VaR의 계산방법

한 가정이 성립하지 않는다면 특정 신뢰수준에서 계산된 VaR은 다른 수준의 신 뢰수준에서는 얼마가 될지 알 수 없게 된다. 따라서 보고나 회계의 목적이라면 일정한 신뢰수준을 일관되게 사용해야 한다.

라. 선정의 기준

신뢰수준의 선택은 VaR의 계산목적에 따라 달라질 수밖에 없다. 타당성 검증 이 목적이라면 신뢰수준이 낮은 것이 적절하며, 위험관리나 자본적정성이 목적 이라면 높은 것이 유리하고, 회계상 목적이나 비교의 목적이라면 일관된 수준을 유지해야 한다. 결국 어떤 목적으로 VaR을 계산하느냐가 신뢰수준을 결정하는 유일한 요인이라고 할 수 있다.

다.

그러나 고정소득 증권이나 파생상품의 경우 수익률은 위험요인에 대한 선형함 수가 아니며, 위험 자체도 정규분포가 아니다. 이런 경우에는 수익률에 대해 1차 혹은 선형근사를 통해 VaR을 계산할 수 없다.

이런 경우에는 비선형성이나 비정규성을 수정할 필요가 있으며, 이를 수정하 는 방법이 2차 근사 혹은 델타-감마(delta-gamma)의 방법이다. 2차 근사는 1차 근사방법인 델타-노말 방법이 고려하지 못하는 감마위험(gamma risk)을 고려하는 방법이다.

이외에도 비정규성에 초점을 맞추어 두꺼운 꼬리(fat-tail)를 나타내는 모수를 추가하는 방법이나 분산-공분산 행렬을 사용하는 몇 가지 비정규 접근법이 있다.

정규분포를 가정하는 경우의 가장 중요한 장점은 VaR의 계산이 간편하다는 점이다. 포트폴리오 수익률이 정규분포를 따르면 VaR의 계산은 포트폴리오의 표준편차에 대한 곱으로 간단하게 계산된다. 또한 정규분포는 VaR 추정치를 중 심으로 신뢰구간에 따른 값들을 간단히 계산할 수 있게 해준다.

정규분포의 또 다른 장점은 VaR의 수치를 통해 많은 정보를 제공할 수 있다는 점이다. VaR의 값은 보유기간과 신뢰수준이라는 두 모수에 대한 조건부 값이다.

앞에서 설명한 것처럼 VaR을 계산하는 기관들은 그 목적에 따라 다른 신뢰수준 과 보유기간을 사용할 수 있다.

이 경우 수익률이 정규분포라면 비교의 목적을 위해 일관된 위험의 크기를 계 산할 수 있다. 즉, 95% 신뢰수준에서 계산된 VaR을 99% 신뢰수준의 값으로 전 환할 수 있으며, 일일 VaR을 통해 월별 VaR도 계산할 수 있다.

예를 들어 VaR의 값이 95% 신뢰수준을 사용하여 계산된 값이고, 99% 신뢰수 준에서의 값을 알고 싶다고 하자. 정규분포를 가정하면, VaR은 - α σ W 이며 이때 95% 신뢰수준에서 α는 -1.65이다. 이 VaR 값을 VaR_0.95라 하면 포트폴리 오의 표준편차는 ^VaR0.95 임을 알 수 있다. 따라서 정규분포를 가정하면 99%

신뢰수준에서의 VaR은 2.33 σ W 또는 ^2.33

1.65 VaR_0.95로 계산된다.

이러한 논리는 어떠한 신뢰수준에 대해서나 적용할 수 있다. 이 방법을 통해 정규분포를 가정하면 특정 신뢰수준에서 계산된 VaR 값을 다른 신뢰수준의 VaR 값으로 전환이 가능하다.

문제는 확률밀도함수에 대해 어떠한 가정을 사용했는가이다. 이 확률밀도함 수에 대한 가정을 알지 못하면 특정한 모수(보유기간과 신뢰수준)를 사용하여 계 산된 VaR에 대해 다른 모수를 사용하는 경우 어떠한 값이 될지 아무것도 알 수 가 없다. 따라서 VaR의 값을 통해서 추가적인 정보를 얻기 위해서는 먼저 확률 밀도함수에 대한 가정을 알아야 한다.

보유기간에 대해서도 동일한 방법을 적용할 수 있다. 일별수익률이 독립적인 분포를 갖는다고 할 때 특정한 보유기간을 통해 계산된 VaR 값을 다른 보유기간 에 대한 VaR 값으로 전환할 수 있다. 수익률이 독립적이라면 1개월의 수익률은 일별 수익률에 거래일수를 곱한 값이 된다.

즉 일별수익률을 _rd , 1개월의 수익률을 _rm이라 하고 1개월의 거래일수를 20 일이라 하면 다음으로 표시된다.

r_m = 20 r_d

동일하게 1개월 간의 변동성은 다음이 된다.

σ²_m = 20 σ²_d

따라서 표준편차는 다음 식으로 계산된다.

σ_m = 20 σ_d

월별 VaR은 다음 식이 된다.

VaR = - α σ_d 20 W

이와 같이 일별 표준편차를 통해 기간의 확대해서 주별, 월별 변동성으로 확대 해 가는 것을 시간의 제곱근 공식(rule of square root of time)이라 한다. 이 공식 은 수익률이 정규분포를 따르는 경우에 적용이 가능하다.

(2) 역사적 시뮬레이션 접근법

역사적 시뮬레이션(historical simulation)은 수익률의 과거분포를 사용하여 포트 폴리오의 VaR을 시뮬레이션 하는 방법이다.

이 방법을 적용하기 위해서는 포트폴리오에서 다른 자산들을 확인하고 일정한 관찰기간에 대해 이들의 과거 수익률 자료를 수집해야 한다. 다음으로 현재의 포트폴리오에서 이들이 차지하는 비중을 이용하여 현재의 포트폴리오를 관찰기 간 동안 보유한다면 발생할 수 있는 가상적인 수익률을 만들어내게 된다. 결국 이 방법은 과거의 수익률분포가 미래의 수익률 분포에 대한 가장 적절한 대용치 가 된다는 가정을 하고 있는 것이다.

예를 들어 시점 0에서 T까지 t개의 관찰치를 가지고 있다고 하자. 포트폴리 오에 포함된 자산 i의 t기간 수익률을 R_{i, t}로 놓으면 n개의 자산으로 구성된 포트폴리오의 수익률은 다음으로 표시된다.

R^p_t =

∑

i = 1 w_i R_{i, t} , t = 0, …, T

각 시점 t에서 특정한 포트폴리오의 수익률이 나타나게 된다. 따라서 역사적 관찰치의 표본들은 포트폴리오 수익률에 대한 (가상적인) 표본분포를 제공한다.

이러한 포트폴리오의 수익률을 손익금액으로 전환하여 VaR 금액을 찾을 수 있 다. 즉, 1,000개의 관측자료를 가지고 있다면, 95% 신뢰수준의 일수는 총 50일에 해당하므로 51번째로 큰 손실금액이 VaR 값이 된다.

이 방법은 계산이 간편하고 필요한 자료를 쉽게 확보할 수 있으며, 수익률에 대해 특정한 분포를 가정하지 않으므로 일반적인 VaR 계산에서 문제가 되는 두 꺼운 꼬리부분에 대한 고려를 할 필요가 없다는 장점을 가지고 있다.

그러나 어떠한 과거자료를 사용하느냐에 의해서 VaR 값이 크게 달라질 수 있 다는 점, 위험요인의 변화를 제대로 반영하기 어렵다는 점, 과거에 발생한 사건 만을 반영하고 있기 때문에 미래의 사건을 적절히 고려하지 않으므로 신뢰할만 한 VaR 값을 얻을 수 없다는 점 등이 문제로 지적되고 있다.

(3) 몬테카를로 시뮬레이션 접근법

몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo simulation) 방법에서는 금융자산의 가격을 결정하는 요인의 확률적 과정을 반복해서 시뮬레이션한다. 각 시뮬레이션의 결 과는 목표기간 말에 포트폴리오가 가질 수 있는 가능한 값을 나타낸다. 이러한 시뮬레이션을 충분히 반복하면 이를 통해 얻게 되는 포트폴리오 가치의 분포는 실제의 분포와 유사할 것이다. 따라서 이 분포를 이용하여 VaR 값을 계산하면 실제에 가까운 위험수치를 얻을 수 있게 된다.

이 방법은 다른 방법들이 갖지 못하는 장점을 가지고 있다. 특히 몬테카를로 시뮬레이션을 이용하면 단순히 VaR 값 뿐 아니라 다른 유용한 통계량도 얻어낼 수 있다. 그러나 이 방법은 사용이 복잡하고 계산에 시간과 비용이 많이 소요된 다는 문제점을 가지고 있다.

(4) 변동성의 추정

재무위험의 측정에서 정확한 VaR을 계산하기 위해 변동성과 상관관계의 예측 은 필수적이다. VaR 예측치의 정확성은 변동성과 상관관계가 얼마나 잘 예측되

는가에 의존한다. 변동성을 예측하기 위해서는 대표적으로 다음과 같은 방법이 사용된다.

가. 표본분산

가장 단순한 변동성 측정치는 표본분산이다. 기간 t의 수익률을 r_t라 하고 이 기간동안 T개의 관찰치가 있다면 분산은 다음으로 계산된다.

σ²

ˆ ₌

∑

i = 1

( r_i - r)² T-1

일반적으로 r는 알려지지 않으므로, 변동성 추정치는 r에 대한 추정치의 오 차에 의해 영향을 받는다. 이러한 오차를 줄이기 위해 실무적으로는 변동성에 대해 0의 평균수익률을 가정한다. 이 접근법은 변동성 추정치에 약간의 상향편 의(upward bias)를 가져오지만 이 편의는 아주 작으며, 특히 아주 짧은 기간을 다 루는 경우에는 크게 문제가 되지 않는 것으로 알려지고 있다.

표본분산은 측정이 간편하지만 대부분의 경우 적절하지 못하다. 가장 큰 문제 는 이 측정방법이 실제의 분산(true variance)을 상수라고 가정하고 있으며 시간에 따른 분산의 변동을 고려하지 못한다는 점이다. 특히 이 방법은 잘 알려진 변동 성 군집(volatility clustering) 현상을 고려하지 못하는 문제점이 있다.

또한 이 방법이 관찰치의 순서를 고려하지 않는 점은 수익률 추이가 포함하고 있는 정보를 무시하고 있으며, 오래 전의 관찰치와 최근의 관찰치에 대해 동일한 가중치를 부여한다는 단점이 있다.

나. 지수가중이동평균법(exponentially weighted moving average; EWMA) 표본분산의 문제점을 일부 개선한 방법이 지수가중이동평균법이다. 이것은

측하는 방식이다. 즉 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

σ²_t = λ σ²_{t- 1} + ( 1 - λ) r²_t

여기에서 소멸계수(decaying factor)라고도 불리우는 가중치 _λ는 표본기간에 대해 예측치와 측정된 변동성 사이의 오차를 최소화하도록 선택된다. 이 접근법 은 기간에 따라 변동성이 변화하는 것을 추적할 수 있으며, 변동성 군집현상을 설명할 수 있다. 즉 한 기간의 변동성이 평균보다 높은 값을 보인다면 다음 기간 에도 평균 이상의 변동성을 가져올 가능성이 크게 나타나도록 계산하게 되는 것 이다. 결국 다음의 식으로 나타나는 이 방식은 변동성 예측치를 지수적으로 가 중치를 부여한 이동평균으로 계산하는 방법이다.

ˆσ²

t = ( 1 - λ)

∑

∞

i = 0 λ^{i - 1} r²_{t- i}

지수가중이동평균법은 사용이 간편하고, 하나의 모수 λ만을 필요로 하고 실 제적으로 나타나는 변동성을 잘 설명하는 것으로 알려지고 있다. 이러한 장점 때문에 RiskMetrics 시스템에서도 이 방법을 적용하고 있다. RiskMetrics 시스템 에서는 일별자료에 대해 0.94, 월별자료의 경우에는 0.97의 λ를 사용한다.

다. GARCH

보다 일반적인 형태의 변동성 추정방법은 GARCH(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) 모형이다. 이 모형은 변동성 추정치를 시차를 둔 수 익률의 제곱항과 시차를 둔 변동성 추정치에 의해 계산한다. 즉 일반적으로 다 음 식으로 표현할 수 있다.