2
1
⑴ i €fi=(i ›)fl_i=i⑵ ('2 i)fi=('2 )fi_i fi=4'2_i ›_i=4'2 i ⑶ (-i)⁄‡=-i ⁄‡=-(i ›)›_i=-i ⑷ { 1i }100= 1i ⁄‚‚= 1(i ›)€fi=1 ⑸ i€‚+i›‚=(i›)fi+(i›)⁄‚=1+1=2
⑹ i ‡+(-i)· =i ‡-i ·=i›_i‹-(i›)€_i
=i‹-i=-i-i=-2i ⑺ 1i +1
i €+ 1 i ‹+ 1
i ›= 1i -1-1 i +1=0 개념 드릴
1
STEP
| 82쪽 |1 ⑴ i ⑵ 4'2 i ⑶ -i ⑷ 1 ⑸ 2 ⑹ -2i ⑺ 0 2 ⑴ 6i ⑵ -'ß10 ⑶ 6i ⑷ 3i ⑸ -'2i ⑹ 3
01-1
⑴ 10-10i ⑵ -2i|해결 전략 | ⑴ 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.
⑵ 괄호 안의 식을 간단히 한 후 i의 거듭제곱을 계산한다.
⑴ i+2i€+3i‹+4i›+5ifi+ ! +20i20
= (i+2i€+3i‹+4i›)+(5ifi+6ifl+7i‡+8i°)
+ ! +(17i17+18i18+19i19+20i20) = (i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)
+ ! +(17i-18-19i+20) =(2-2i)+(2-2i)+ ! +(2-2i)
=5(2-2i) =10-10i
⑵ 1-i1+i = (1-i)€
(1+i)(1-i) =-2i 2 =-i 1+i
1-i = (1+i)€
(1-i)(1+i) =2i 2 =i
∴ { 1-i1+i }
5+{ 1+i1-i }
15=(-i)fi+i15
=-i›_i+(i›)‹_i‹=-i+i‹
=-i-i=-2i
02-1
⑴ -2'2+2i ⑵ -3+2i|해결 전략 | a>0일 때, 'ß-a='a i임을 이용한다.
⑴ 'ß-2'ß-4+'2'ß-8+ '8 'å-2 =-'8 +'ß-16-æ√ 8-2 =-2'2+'ß16i-'4i =-2'2+4i-2i =-2'2+2i
⑵ 'ß-3'ß-12+'ß-5'5+ 'ß-27 'å-3 + 'ß27
'å-3 =-'ß36+'ß-25+æ√ -27-3 -æ√ 27
-3 =-6+5i+'9-'9i
=-6+5i+3-3i =-3+2i
필수 유형
2
STEP
| 83쪽~85쪽 |02-2
10|해결 전략 | a>0일 때, 'ß-a='a i임을 이용하여 좌변을 계산한다.
'ß-3'ß-27+(1+'ß-3)(1-'ß-3)+ 'ß32 'å-8
=-'ß81+(1+'3 i)(1-'3 i)-æ√ 32-8
=-9+1-3i€-'4 i
=-9+1+3-2i
=-5-2i
따라서 a=-5, b=-2이므로 ab=10
03-1
-a|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a'b=-'ßab일 때, a<0, b<0임 을 이용한다.
'a'b=-'ßab, a+0, b+0에서 a<0, b<0이므로 a+b<0
따라서 "ƒ(a+b)€=|a+b|=-(a+b), |b|=-b이므로
"ƒ(a+b)€-|b| =-(a+b)-(-b)
=-a-b+b
=-a
03-2
0|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a
'b=-æ;bA;일 때, a>0, b<0임 을 이용한다.
'a'b=-æ;bA;, a+0, b+0에서 a>0, b<0이므로 a-b>0
따라서 |-a|=|a|=a, |b|=-b, "ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b이 므로
|-a|+|b|-"ƒ(a-b)€ =a+(-b)-(a-b)
=a-b-a+b=0
1 -1
6|해결 전략 | 주어진 복소수를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리한 후, a+bi가 실 수이면 b=0임을 이용한다.
(3+2ai)(1-4i)=(3+8a)+(2a-12)i
이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로 2a-12=0 ∴ a=6
유형 드릴
3
STEP
| 86쪽~87쪽 |1-2
8|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.
z=x€-(10+i)x+2(8+i)=(x€-10x+16)+(2-x)i 제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로 x€-10x+16=0, 2-x+0
(x-2)(x-8)=0, x+2
∴ x=8
2-1
1|해결 전략 | a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다.
(2+3i)x+(i-1)y=5(1+i)에서 (2x-y)+(3x+y)i=5+5i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 2x-y=5, 3x+y=5
두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1
∴ x+y=1
2-2
12|해결 전략 | a+bi=0 (a, b는 실수)이면 a=0, b=0임을 이용한다.
(x-i)(2+6i)-(2-yi)=0에서 (2x+4)+(6x+y-2)i=0 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 2x+4=0, 6x+y-2=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=14
∴ x+y=12
3-1
20|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 인수분해를 이용하여 계산한다.
a=1+3i, b=1-3i에서 a+b=(1+3i)+(1-3i)=2 ab=(1+3i)(1-3i)=1+9=10
∴ a€b+ab€=ab(a+b)=10_2=20
3-2
-1|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.
a=-1+'3 i, b=-1-'3 i에서 a+b=(-1+'3 i)+(-1-'3 i)=-2 ab=(-1+'3 i)(-1-'3 i)=1+3=4
∴ b
a+ ab= a€+b€ab = (a+b)€-2abab = (-2)€-2_44 = 4-84 =-1
4 -1
-2i|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정 식을 만들어 해결한다.
x=1-2i에서 x-1=-2i 양변을 제곱하면 (x-1)€=(-2i)€
x€-2x+1=-4 ∴ x€-2x+5=0
∴ x‹-2x€+6x-1 =x(x€-2x+5)+x-1
=x_0+x-1=x-1
=-2i
x€-4x+4=-1 ∴ x€-4x+5=0
∴ x‹-4x€+5x+9 =x(x€-4x+5)+9
=x_0+9=9
5 -1
25|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+b, a+b’의 값을 대입한다.
aa”+a”b+ab”+bb” =a”(a+b)+b”(a+b)
=(a+b)(a”+b”)
=(a+b)(a+b’) a=2-3i, b=1+7i이므로 a+b=3+4i, a+b’=3-4i
∴ aa”+a”b+ab”+bb” =(a+b)(a+b’)
=(3+4i)(3-4i)
=9+16=25
5 -2
12|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을 대입한다.
ab+ab”+a”b+ab’ =ab+ab”+a”b+a” b”
=a(b+b”)+a”(b+b”)
=(a+a”)(b+b”) a=3-i, b=1+3i이므로
a+a”=(3-i)+(3+i)=6 b+b”=(1+3i)+(1-3i)=2
∴ ab+ab”+a”b+ab’ =(a+a”)(b+b”)
=6_2=12
6 -1
1-2i|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 각 등식에 대입한다.
z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi z+z”=2에서 2a=2 ∴ a=1
z-z”=-4i에서 2bi=-4i ∴ b=-2
∴ z=1-2i
6 -2
2-i|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 등식에 대입한 후 복소수가 서로 같을 조건을 이용한다.
z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi (3+i)z+2i z” =(3+i)(a+bi)+2i(a-bi)
=3a+3bi+ai-b+2ai+2b
=(3a+b)+(3a+3b)i
= (-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)
+ … +(-25i-26+27i+28)-29i-30
=(2+2i)+(2+2i)+ … +(2+2i)-29i-30
i›=-i-1+i+1=0
❷ 1
7 -2
1|해결 전략 | 처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 입력하여 출력하는 과정 을 10번 시행했을 때의 결과를 계산한다.
처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 z를 입력하여 출력하는 과정을 n번 시행하였을 때 출력되는 복소수를 zn이라 하면
입력하여 출력하는 과정을 1번 시행하여 나온 결과는 z¡=z(1+i)
입력하여 출력하는 과정을 2번 시행하여 나온 결과는 z™=z¡(1+i)=z(1+i)€
입력하여 출력하는 과정을 3번 시행하여 나온 결과는 z£=z™(1+i)=z(1+i)‹
⋮
이와 같이 이 프로그램에 z를 입력하여 출력하는 과정을 10번 시행하 여 나온 결과는 z(1+i)⁄‚이다.
∴ z(1+i)⁄‚=32 i …… ㉠
이때, (1+i)€=1+2 i-1=2i이므로
z(1+i)⁄‚=z{(1+i)€}fi=z(2 i)fi=2fii fiz=32 i_z
㉠에서 32i_z=32i이므로 z=1
따라서 이 프로그램에 처음 입력한 복소수는 1이다.
8 -1
③|해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이면 a<0, b<0임을 이용한다.
a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이므로 a<0, b<0
① ab>0이므로 |ab|=ab
② "∂a€+|b|=|a|+|b|=-a-b
③ a+b<0이므로 |a+b|=-a-b |a|+|b|=-a-b
∴ |a+b|=|a|+|b|
④ -a>0, b<0이므로 'ß-a'b='ß-ab
⑤ 'a 'b=æç ab
8 -2
④|해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a
'b=-æ;bA;이면 a>0, b<0임을 이용한다.
a+0, b+0일 때, 'a
'b=-æç ab 이므로 a>0, b<0
① 'a'b='ßab
② "∂a€"∂b€=|a|_|b|=a_(-b)=-ab
③ a>0, -b>0이므로 'a'ß-b='ß-ab
④ -a<0, -b>0이므로 'ß-a'ß-b='ßab
⑤ a-b>0이므로 "ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b