13 3 ⑴ x€+y€-2x=8에서
(x€-2x+1)+y€=9 (x-1)€+y€=3€
4 중심의 좌표: (1, 0), 반지름의 길이: 3 ⑵ x€+y€+2x-4y+4=0에서
(x€+2x+1)+(y€-4y+4)=1 (x+1)€+(y-2)€=1€
4 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 1 ⑶ x€+y€-4x+2y-11=0에서
(x€-4x+4)+(y€+2y+1)=16 (x-2)€+(y+1)€=4€
4 중심의 좌표: (2, -1), 반지름의 길이: 4 ⑷ 2x€+2y€+20x-8y+50=0에서 2(x€+10x+25)+2(y€-4y+4)=8 (x+5)€+(y-2)€=2€
4 중심의 좌표: (-5, 2), 반지름의 길이: 2
4
⑴ 중심이 점 (5, 2)이고 x축에 접하는 원의 반지름의 길이는|2|=2이므로 원의 방정식은 (x-5)€+(y-2)€=2€
4 (x-5)€+(y-2)€=4
⑵ 중심이 점 (-3, -2)이고 y축에 접하는 원의 반지름의 길이는
|-3|=3이므로 원의 방정식은 (x+3)€+(y+2)€=3€
4 (x+3)€+(y+2)€=9
⑶ 중심이 점 (-2, 2)이고 x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지 름의 길이는 |-2|=|2|=2이므로 원의 방정식은
(x+2)€+(y-2)€=2€
4 (x+2)€+(y-2)€=4
⑷ 중심이 점 (3, -3)이고 x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지 름의 길이는 |3|=|-3|=3이므로 원의 방정식은
(x-3)€+(y+3)€=3€
4 (x-3)€+(y+3)€=9
개념 드릴
1
STEP
| 282쪽 |1 ⑴ x€+y€=4 ⑵ (x-2)€+(y-3)€=16
⑶ (x+2)€+(y-1)€=1 ⑷ (x-1)€+(y-2)€=3 2 ⑴ 중심의 좌표: (0, 0), 반지름의 길이: 4
⑵ 중심의 좌표: (-1, 0), 반지름의 길이: 1 ⑶ 중심의 좌표: (0, 2), 반지름의 길이: 2 ⑷ 중심의 좌표: (3, -4), 반지름의 길이: 3 3 ⑴ 중심의 좌표: (1, 0), 반지름의 길이: 3
⑵ 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 1 ⑶ 중심의 좌표: (2, -1), 반지름의 길이: 4 ⑷ 중심의 좌표: (-5, 2), 반지름의 길이: 2
4 ⑴ (x-5)€+(y-2)€=4 ⑵ (x+3)€+(y+2)€=9 ⑶ (x+2)€+(y-2)€=4 ⑷ (x-3)€+(y+3)€=9
01-1
(x-1)€+(y-2)€=13|해결 전략 | 중심이점(a,b)이고반지름의길이가r인원의방정식은 (x-a)€+(y-b)€=r€이다.
반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-1)€+(y-2)€=r€
이 원이 점 (3, 5)를 지나므로 (3-1)€+(5-2)€=r€ 4 r€=13 4 (x-1)€+(y-2)€=13
필수 유형
2
STEP
| 283쪽~289쪽 |1
(x-1)€+{y-(-2)}€=5€4 (x-1)€+(y+2)€=25
2
⑴ (x-3)€+(y+2)€=3€에서중심의 좌표: (3, -2), 반지름의 길이: 3 ⑵ x€+y€+2x-4y+1=0에서
(x€+2x+1)+(y€-4y+4)=4 (x+1)€+(y-2)€=2€
4 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 2
3
⑴ x축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 y좌표의 절댓값과 같으므로 원의 반지름의 길이는 |-2|=2⑵ y축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 x좌표의 절댓값과 같으므로 원의 반지름의 길이는 |-3|=3
⑶ x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 x좌표, y좌표의 절댓값과 같으므로 원의 반지름의 길이는
|-1|=|1|=1
개념 확인 280쪽~281쪽
1 (x-1)€+(y+2)€=25
2 ⑴ 중심의 좌표: (3, -2), 반지름의 길이: 3
⑵ 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 2 3 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 1
원의 방정식
1
01 -2
x€+(y-1)€=10|해결 전략 | 원의중심의좌표와반지름의길이를구해(x-a)€+(y-b)€=r€
을이용한다.
구하는 원의 중심은 AB’의 중점이므로 원의 중심의 좌표는 { 1-12 , 4-2
2 }, 즉 (0, 1)
원의 중심을 P라 하면 원의 반지름의 길이는 AP’ 또는 BP’이므로 AP’="ƒ(-1)€+(1-4)€='ß10
따라서 중심의 좌표가 (0, 1)이고 반지름의 길이가 'ß10인 원의 방정 식은 x€+(y-1)€=10
다른 풀이
오른쪽 그림과 같이 원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 지름에 대한 원주각의 크기 는 90^이므로
3APB=90^
즉, AP’€+BP’€=AB’€에서
(x-1)€+(y-4)€+(x+1)€+(y+2)€=(-1-1)€+(-2-4)€
x€+y€-2y=9 4 x€+(y-1)€=10
02 -1
(x-1)€+(y+3)€=20|해결 전략 | 중심이직선y=-3x위에있으므로중심의좌표를(a,-3a)로
놓는다.
원의 중심이 직선 y=-3x 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, -3a)라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-a)€+{y-(-3a)}€=r€ 4 (x-a)€+(y+3a)€=r€
이 원이 두 점 (-1, 1), (3, 1)을 지나므로
(-1-a)€+(1+3a)€=r€에서 10a€+8a+2=r€ yy ㉠ (3-a)€+(1+3a)€=r€에서 10a€+10=r€ yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, r€=20
따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+3)€=20 다른 풀이
원의 중심의 좌표를 (a, -3a)라 하면 점 (a, -3a)에서 두 점 (-1, 1), (3, 1)에 이르는 거리가 반지름의 길이로 같으므로
"ƒ(a+1)€+(-3a-1)€="ƒ(a-3)€+(-3a-1)€
양변을 제곱하여 정리하면 10a€+8a+2=10a€+10 8a=8 4 a=1
즉, 원의 중심의 좌표는 (1, -3)이고 반지름의 길이는
"ƒ(1+1)€+(-3-1)€=2'5
이므로 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+3)€=20
02 -2
25p|해결 전략 | 중심이x축위에있으므로중심의좌표를(a,0)으로놓는다.
원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-a)€+y€=r€
이 원이 두 점 (0, -3), (1, 4)를 지나므로
(-a)€+(-3)€=r€에서 a€+9=r€ yy ㉠ (1-a)€+4€=r€에서 a€-2a+17=r€ yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, r€=25
P(x, y)
B(-1, -2)
A(1, 4)
따라서 원의 방정식은 (x-4)€+y€=25이므로 구하는 원의 넓이는 25p이다.
03-1
x€+y€-11x+7y=0|해결 전략 | x€+y€+Ax+By+C=0에주어진세점의좌표를대입하여원 의방정식을구한다.
원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0이라 하면 세 점 O(0, 0), A(-1, -3), B(2, 2)를 지나므로
C=0 åå ㉠
1+9-A-3B+C=0 åå ㉡
4+4+2A+2B+C=0 åå ㉢
㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면 A+3B=10, A+B=-4
두 식을 연립하여 풀면 A=-11, B=7 따라서 구하는 원의 방정식은
x€+y€-11x+7y=0
03-2
5|해결 전략 | x€+y€+Ax+By+C=0에세점O,A,B의좌표를대입하여
원의방정식을구한다.
원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0이라 하면 세 점 O(0, 0), A(2, -1), B(-1, 3)을 지나므로
C=0 åå ㉠
4+1+2A-B+C=0 åå ㉡
1+9-A+3B+C=0 åå ㉢
㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면 2A-B=-5, A-3B=10
두 식을 연립하여 풀면 A=-5, B=-5 따라서 원의 방정식은 x€+y€-5x-5y=0 이때, 점 C(5, k)가 이 원 위의 점이므로 25+k€-25-5k=0, k(k-5)=0 4 k=5 (5 k>0)
04-1
⑴ k<-2 또는 k>1 ⑵ -1<k<3|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후(반지름의길이)€>0임을이 용한다.
⑴ x€+y€-2kx+2ky-2k+4=0에서
(x€-2kx+k€)+(y€+2ky+k€)-2k€-2k+4=0 (x-k)€+(y+k)€=2k€+2k-4
이 방정식이 원을 나타내려면 2k€+2k-4>0, k€+k-2>0
(k+2)(k-1)>0 4 k<-2 또는 k>1
⑵ x€+y€-2(k+1)x-2y+2k€-1=0에서
{x€-2(k+1)x+(k+1)€}+(y€-2y+1)-(k+1)€+2k€-2=0 {x-(k+1)}€+(y-1)€=-k€+2k+3
이 방정식이 원을 나타내려면 -k€+2k+3>0, k€-2k-3<0 (k+1)(k-3)<0 4 -1<k<3
04-2
2|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후(반지름의길이)€>0임을이 용한다.
x€+y€-2ax+4ay+7a€-3a-2=0에서 (x€-2ax+a€)+(y€+4ay+4a€)+2a€-3a-2=0 (x-a)€+(y+2a)€=-2a€+3a+2
이 방정식이 원을 나타내려면 -2a€+3a+2>0, 2a€-3a-2<0 (2a+1)(a-2)<0 4 -;2!;<a<2 따라서 구하는 정수 a는 0, 1의 2개이다.
05-1
(x+5)€+(y-3)€=25|해결 전략 | 중심의좌표를(a,3)으로놓고y축에접하는원의반지름의길이는
|a|임을이용한다.
점 (0, 3)에서 y축에 접하므로 원의 중심의 좌표를 (a, 3)이라 하면 반지름의 길이는 |a|이다.
4 (x-a)€+(y-3)€=a€
이 원이 점 (-1, 0)을 지나므로 (-1-a)€+(0-3)€=a€
a€+2a+1+9=a€, 2a=-10 4 a=-5 따라서 구하는 원의 방정식은
(x+5)€+(y-3)€=25
05-2
(x-2)€+(y-1)€=1 또는 (x-6)€+(y-5)€=25|해결 전략 | 중심이직선y=x-1위에있으므로중심의좌표를(a,a-1)로
놓고x축에접하는원의반지름의길이는|a-1|임을이용한다.
원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, a-1)이라 하자.
이 원이 x축에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a-1|이다.
4 (x-a)€+(y-a+1)€=(a-1)€
이 원이 점 (3, 1)을 지나므로 (3-a)€+(1-a+1)€=(a-1)€
a€-6a+9+a€-4a+4=a€-2a+1 a€-8a+12=0, (a-2)(a-6)=0 4 a=2 또는 a=6
따라서 구하는 원의 방정식은
(x-2)€+(y-1)€=1 또는 (x-6)€+(y-5)€=25
06-1
(x+1)€+(y-1)€=1 또는 (x+5)€+(y-5)€=25|해결 전략 | x축,y축에동시에접하면서제2사분면위의점을지나는원의중심 은제2사분면위에있음을이용한다.
x축과 y축에 동시에 접하는 원이 점 y
O x
(-1, 2) (-1, 2)를 지나므로 원의 중심이 제2사
분면 위에 있어야 한다.
즉, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심 의 좌표는 (-r, r)이므로 원의 방정식은 (x+r)€+(y-r)€=r€
이 원이 점 (-1, 2)를 지나므로 (-1+r)€+(2-r)€=r€
r€-6r+5=0, (r-1)(r-5)=0 4 r=1 또는 r=5
따라서 구하는 원의 방정식은
(x+1)€+(y-1)€=1 또는 (x+5)€+(y-5)€=25
06-2
{x-;2%;}€+{y-;2%;}€= 254 또는 (x-5)€+(y+5)€=25|해결 전략 | x축,y축에동시에접하는원의중심은직선y=x또는y=-x위 에있음을이용한다.
x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 y=-x 위 에 있다.
1 직선 y=-3x+10과 직선 y=x의 교점의 x좌표는 -3x+10=x에서 x=;2%;
따라서 원의 중심의 좌표는 {;2%;, ;2%;}
2 직선 y=-3x+10과 직선 y=-x의 교점의 x좌표는 -3x+10=-x에서 x=5
따라서 원의 중심의 좌표는 (5, -5)
1, 2에서 중심이 직선 y=-3x+10 위에 있고 x축과 y축에 동시 에 접하는 원의 방정식은
{x-;2%;}€+{y-;2%;}€= 254 또는 (x-5)€+(y+5)€=25 다른 풀이
원의 중심이 직선 y=-3x+10 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, -3a+10)이라 하자.
이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 원의 반지름의 길이는
|a|=|-3a+10|이다.
4 (x-a)€+(y+3a-10)€=a€
|a|=|-3a+10|의 양변을 제곱하면 a€=9a€-60a+100, 2a€-15a+25=0 (2a-5)(a-5)=0 4 a=;2%; 또는 a=5 따라서 구하는 원의 방정식은
{x-;2%;}€+{y-;2%;}€=:™4∞: 또는 (x-5)€+(y+5)€=25
07-1
(x+2)€+(y+1)€=8|해결 전략 | 점P의좌표를(x,y)라하고AP’：BP’=1：2임을이용한다.
AP’：BP’=1：2이므로 2AP’=BP’ 4 4AP’ €=BP’ € 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
4{(x+1)€+y€}=(x-2)€+(y-3)€
3x€+3y€+12x+6y-9=0, x€+y€+4x+2y-3=0 4 (x+2)€+(y+1)€=8
다른 풀이
주어진 조건을 만족시키는 점 P가 그리는 도형은 AB’를 1：2로 내분하는 점 M과 1：2로 외분하는 점 N을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.
M { 1_2+2_(-1)1+2 , 1_3+2_01+2 }, 즉 M(0, 1) N { 1_2-2_(-1)1-2 , 1_3-2_01-2 }, 즉 N(-4, -3)
이때, 두 점 M(0, 1), N(-4, -3)을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 중심의 좌표는 (-2, -1), 반지름의 길이는 2'2 이므로 점 P가 그리는 도형의 방정 식은 (x+2)€+(y+1)€=8
07 -2
15|해결 전략 | 점P의좌표를(x,y)라하고AP’：BP’=2：3임을이용한다.
AP’：BP’=2：3이므로 3AP’=2BP’ 4 9AP’ €=4BP’ € 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
9{(x+3)€+y€}=4{(x-2)€+y€}
5x€+5y€+70x+65=0, x€+y€+14x+13=0 4 (x+7)€+y€=36
점 P가 그리는 도형은 중심의 좌표가 (-7, 0), 반지름의 길이가 6인 원이고, 1PAB의 넓이가 최대가 될 때는 오른 쪽 그림과 같이 높이가 원의 반지름의 길이와 같을 때이다.
따라서 1PAB의 넓이의 최댓값은
;2!;_5_6=15
A P
-7 6
-3 y
OB 2 x
⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+1=0 사이의 거리 d는 d= |1|
"ƒ1€+(-1)€= '22
이때, 원의 반지름의 길이는 '2 이고 '2 2 <'2
따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서 만난다.
1
두 원 x€+y€-2x=0, x€+y€+2y=0에 대하여 ⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은x€+y€-2x-(x€+y€+2y)=0 4 x+y=0
⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€-2x+k(x€+y€+2y)=0 (k+-1) åå ㉠ 이 원이 점 (1, 0)을 지나므로
1-2+k=0 4 k=1 k=1을 ㉠에 대입하면
x€+y€-2x+(x€+y€+2y)=0 4 x€+y€-x+y=0
2
⑴ y=x+1을 x€+y€=2에 대입하면 x€+(x+1)€=2, 2x€+2x-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D4 =1€-2_(-1)=3>0
따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서 만난다.
개념 확인 290쪽~291쪽
1 ⑴ x+y=0 ⑵ x€+y€-x+y=0
2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.