이때, 중점 M이 직선 y=-x+3 위의 점이므로 -1+b
2 =- 2+a2 +3 -1+b=-2-a+6
4 a+b=5 yy ㉠
또, 직선 PP'과 직선 y=-x+3이 서로 수직이므로 b-(-1)
a-2 _(-1)=-1 b+1=a-2
4 a-b=3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1 따라서 구하는 점의 좌표는 (4, 1)이다.
2
⑴ x-3_(-y)-2=0 ∴ x+3y-2=0 ⑵ -x-3y-2=0 ∴ x+3y+2=0 ⑶ -x-3_(-y)-2=0 ∴ x-3y+2=0 ⑷ y-3x-2=0 ∴ 3x-y+2=03
⑴ (x-2)€+(-y+3)€=4 4 (x-2)€+(y-3)€=4 ⑵ (-x-2)€+(y+3)€=4 4 (x+2)€+(y+3)€=4 ⑶ (-x-2)€+(-y+3)€=4 4 (x+2)€+(y-3)€=4 ⑷ (y-2)€+(x+3)€=4 4 (x+3)€+(y-2)€=4개념 드릴
1
STEP
| 320쪽 |1 ⑴ (-5, -3) ⑵ (5, 3) ⑶ (5, -3) ⑷ (3, -5) 2 ⑴ x+3y-2=0 ⑵ x+3y+2=0
⑶ x-3y+2=0 ⑷ 3x-y+2=0
3 ⑴ (x-2)€+(y-3)€=4 ⑵ (x+2)€+(y+3)€=4 ⑶ (x+2)€+(y-3)€=4 ⑷ (x+3)€+(y-2)€=4 4 ⑴ Q(1, -1) ⑵ Q(-5, -5)
⑶ Q(0, 4) ⑷ Q(-2, -4)
2
⑴ 2x-(-y)+3=0 4 2x+y+3=0 ⑵ 2_(-x)-y+3=0 4 2x+y-3=0⑶ 2_(-x)-(-y)+3=0 4 2x-y-3=0
⑷ 2y-x+3=0 4 x-2y-3=0
3
점 P(2, -1)을 점 (4, 3)에 대하여 대칭이P(2, -1) (4, 3)
P'(x', y') 동한 점을 P'(x', y')이라 하면
선분 PP'의 중점이 (4, 3)이므로 2+x'
2 =4, -1+y' 2 =3 4 x'=6, y'=7
따라서 구하는 점의 좌표는 (6, 7)이다.
개념 확인 316쪽~319쪽
1 ⑴ (2, -3) ⑵ (-2, 3) ⑶ (-2, -3) ⑷ (3, 2) 2 ⑴ 2x+y+3=0 ⑵ 2x+y-3=0
⑶ 2x-y-3=0 ⑷ x-2y-3=0 3 (6, 7)
4 (4, 1)
2 대칭이동
4
점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면⑴ 점 (2, 0)은 두 점 P(3, 1), Q(a, b)의 중점이므로 3+a
2 =2, 1+b 2 =0 4 a=1, b=-1
따라서 점 Q의 좌표는 (1, -1)이다.
⑵ 점 (-1, -2)는 두 점 P(3, 1), Q(a, b)의 중점이므로 3+a
2 =-1, 1+b 2 =-2 4 a=-5, b=-5
따라서 점 Q의 좌표는 (-5, -5)이다.
⑶ 두 점 P(3, 1), Q(a, b)에 대하여 PQ’의 중점 { 3+a2 , 1+b 2 } 가 직선 y=x+1 위의 점이므로
1+b 2 =3+a
2 +1, 1+b=3+a+2
4 a-b=-4 yy ㉠
또, 직선 PQ와 직선 y=x+1은 서로 수직이므로 b-1
a-3 _1=-1, b-1=-a+3
4 a+b=4 yy ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=0, b=4 따라서 점 Q의 좌표는 (0, 4)이다.
⑷ 두 점 P(3, 1), Q(a, b)에 대하여 PQ’의 중점 { 3+a2 , 1+b 2 } 가 직선 y=-x-1 위의 점이므로
1+b
2 =-3+a
2 -1, 1+b=-3-a-2
4 a+b=-6 yy ㉠
또, 직선 PQ와 직선 y=-x-1은 서로 수직이므로 b-1
a-3 _(-1)=-1 4 a-b=2 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-2, b=-4
따라서 점 Q의 좌표는 (-2, -4)이다.
01-2
y=-;2!;x+;2%;|해결 전략 | 점 (a, b)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (a, -b), 직선 y=x에 대 하여 대칭이동하면 (b, a)이다.
점 P(3, -1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는 (3, 1)
점 P(3, -1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 (-1, 3)
따라서 두 점 A(3, 1), B(-1, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-1= 3-1-1-3 (x-3) 4 y=-;2!;x+;2%;
02-1
a=-1, b=3|해결 전략 | 포물선을 대칭이동하면 꼭짓점은 대칭이동된 포물선의 꼭짓점으로 옮겨진다.
y=x€+2ax+b에서 y=(x+a)€+b-a€
이 포물선의 꼭짓점 (-a, b-a€)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동 한 점의 좌표는
(b-a€, -a)
이 점이 점 (2, 1)과 일치하므로
b-a€=2, -a=1 4 a=-1, b=3
02-2
;2!;|해결 전략 | 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지나는 직선이다.
직선 y=mx+3을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
-y=mx+3 4 y=-mx-3 yy ㉠
x€+y€-4x+8y+4=0에서 (x-2)€+(y+4)€=16
직선 ㉠이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (2, -4)를 지나야 하므로
-4=-2m-3 4 m=;2!;
도형의 넓이를 이등분하는 직선
❶ 원: 중심을 지나는 직선
❷ 평행사변형: 두 대각선의 교점을 지나는 직선 LECTURE
03-1
a=0, b=5|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 평행이동한 후 대칭이동한다.
점 (a, -2)를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동한 점의 좌표는
(a+2, -2-3), 즉 (a+2, -5)
이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-a-2, 5)
이 점이 점 (-2, b)와 일치하므로 -a-2=-2, 5=b 4 a=0, b=5
01-1
1|해결 전략 | 점 (a, b)를 y축에 대하여 대칭이동하면 (-a, b), 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하면 (-b, -a)이다.
점 (-4, 1)을 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (4, 1)
이 점을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-1, -4)
이 점이 포물선 y=x€+ax-4 위에 있으므로 -4=1-a-4 4 a=1
필수 유형
2
STEP
| 321쪽~326쪽 |06-1
5|해결 전략 | 점 A를 x축에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.
점 A(-1, 1)을 x축에 대하여 대칭이 y
O
-1 -1 P 3 x
A 1 B 2
A' 동한 점을 A'이라 하면
A'(-1, -1)
이때, AP’=A”'P’이므로 오른쪽 그림에서 AP’+BP’=A”'P’+BP’
>A”'B’
="ƒ(3+1)€+(2+1)€=5 따라서 AP’+BP’의 최솟값은 5이다.
06-2
'ß10|해결 전략 | 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.
점 A(2, 3)을 직선 y=x에 대하여 대칭 y
O 2 x
2 3 5
3 y=x A
A' B 이동한 점을 A'이라 하면 P
A'(3, 2)
이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림에서 AP’+BP’=A'P’+BP’
>A'B’
="ƒ(2-3)€+(5-2)€='ß10 따라서 AP’+BP’의 최솟값은 'ß10이다.
1 -1
10|해결 전략 | 점 (-6, 5)가 평행이동에 의하여 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.
점 (-6, 5)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동한 점의 좌표는
(-6+a, 5-3), 즉 (-6+a, 2) 이 점이 점 (2, b)와 일치하므로 -6+a=2, 2=b 4 a=8, b=2 4 a+b=10
1 -2
-6|해결 전략 | 점 (4, 1)이 평행이동에 의하여 옮겨진 점이 직선 3x-2y+4=0 위에 있다.
점 (4, 1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이 동한 점의 좌표는
(4+a, 1-2), 즉 (4+a, -1)
이 점이 직선 3x-2y+4=0 위에 있으므로 3(4+a)-2_(-1)+4=0, 3a=-18 4 a=-6
유형 드릴
3
STEP
| 327쪽~328쪽 |03 -2
2|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 대칭이동한 후 평행이동한다.
직선 x+2y-1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정 식은
y+2x-1=0 4 2x+y-1=0
이 직선을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은 2x+(y-n)-1=0 4 2x+y-n-1=0
이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로 2+1-n-1=0 4 n=2
04 -1
7|해결 전략 | 점 P를 점 A에 대하여 대칭이동한 점을 P'이라 하면 점 A는 선분 PP'의 중점이다.
두 점 (a, -8), (-1, b)를 이은 선분의 중점 (-1, b)
(2, -3)
(a, -8) 이 점 (2, -3)이므로
a-12 =2, -8+b
2 =-3 4 a=5, b=2 4 a+b=7
04 -2
0|해결 전략 | 원을 대칭이동하면 원의 중심은 대칭이동된 원의 중심으로 옮겨진다.
x€+y€-2x-8y+16=0에서 (x-1)€+(y-4)€=1
원의 중심 (1, 4)를 점 (3, a)에 대하여 대
(3, a) (b, 6) (1, 4)
칭이동한 점의 좌표가 (b, 6)이다.
따라서 두 점 (1, 4), (b, 6)을 이은 선분 의 중점이 점 (3, a)이므로
1+b2 =3, 4+6
2 =a 4 a=5, b=5 4 a-b=0
05 -1
2|해결 전략 | 두 원이 직선 l에 대하여 대칭이면 두 원의 중심도 직선 l에 대하여 대칭이다.
두 원의 중심 (0, 0), (-1, a)를 이은 선분의 중점 {- 12 , ;2A;}가 직선 y=mx+1 위의 점이므로
;2A;=-;2!;m+1 4 a+m=2 yy ㉠ 또, 두 원의 중심 (0, 0), (-1, a)를 지나는 직선과 직선 y=mx+1 은 서로 수직이므로
-1-0 _m=-1 4 am=1 a-0 yy ㉡
4 a€+m€ =(a+m)€-2am
=2€-2=2 (5 ㉠, ㉡)
2 -1
2x-y-4=0|해결 전략 | 직선 l의 방정식을 ax+by+c=0으로 놓고 평행이동한다.
직선 l의 방정식을 ax+by+c=0이라 하자.
직선 l을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동 한 직선의 방정식은
a(x-1)+b(y+2)+c=0 4 ax+by-a+2b+c=0
이 직선이 직선 2x-y-8=0과 일치하므로 a=2, b=-1, -a+2b+c=-8
-2-2+c=-8에서 c=-4
따라서 직선 l의 방정식은 2x-y-4=0 다른 풀이
직선 2x-y-8=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행 이동하면 직선 l이 된다.
따라서 2x-y-8=0에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면 직선 l의 방 정식은
2(x+1)-(y-2)-8=0 4 2x-y-4=0
2 -2
17|해결 전략 | 원의 방정식을 표준형으로 고친 후 평행이동한 원의 방정식을 구한다.
x€+y€-6x+2ay+8=0에서 (x-3)€+(y+a)€=a€+1
이 원을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 원의 방정식은
(x+4-3)€+(y-5+a)€=a€+1
4 (x+1)€+(y-5+a)€=a€+1 yy ㉠ 한편, x€+y€+2bx-8y+c=0에서
(x+b)€+(y-4)€=b€-c+16 yy ㉡
㉠과 ㉡이 일치하므로
b=1, -4=-5+a, b€-c+16=a€+1 4 a=1, b=1, c=15
4 a+b+c=17 다른 풀이
원 (x-3)€+(y+a)€=a€+1의 중심 (3, -a)를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 점의 좌표는
(3-4, -a+5), 즉 (-1, -a+5)
이 점이 원 (x+b)€+(y-4)€=b€-c+16의 중심 (-b, 4)와 일치하므로 -1=-b, -a+5=4 4 a=1, b=1
또, 평행이동한 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로
"ƒa€+1="ƒb€-c+16 에서 '2 ='ß17-c 4 c=15 4 a+b+c=17
3 -1
2'ß13|해결 전략 | 점 (a, b)를 y축에 대하여 대칭이동하면 (-a, b), 원점에 대하여 대 칭이동하면 (-a, -b)이다.
점 A(3, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는 (-3, 2)
점 P(-3, 2)를 원점에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표는 (3, -2)
4 PQ’="ƒ(3+3)€+(-2-2)€=2'ß13
3-2
6|해결 전략 | 점 P를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 세 점 A, B, C의 좌표를 구하고 좌표평면 위에 나타낸다.
점 P(-3, -1)을
x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는 (-3, 1) y축에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 (3, -1) 원점에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 (3, 1) 따라서 오른쪽 그림에서 1ABC의 넓이는
;2!;_6_2=6
4-1
-6|해결 전략 | 도형 f(x, y)=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식 은 f(y, x)=0이다.
직선 2x-3y+1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방 정식은
2y-3x+1=0, 즉 3x-2y-1=0
이 직선이 직선 ax+by-1=0과 일치하므로 a=3, b=-2 4 ab=-6
4-2
2|해결 전략 | 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지난다.
직선 y=mx+4를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은
y=-mx+4 yy ㉠
x€+y€-6x+4y-3=0에서 (x-3)€+(y+2)€=16
직선 ㉠이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (3, -2)를 지나야 하므로
-2=-3m+4 4 m=2
5-1
1|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 평행이동한 후 대칭이동한다.
직선 3x+y+1=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2 만큼 평행이동한 직선의 방정식은
3(x-1)+(y+2)+1=0 4 3x+y=0
이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 3x-y=0
이 직선이 점 (k, 3)을 지나므로 3k-3=0 4 k=1
5-2
1|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 대칭이동한 후 평행이동한다.
원 (x+1)€+(y-1)€=2를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은
y
O x
-3 -1
1
3 A
B C
P
또, 두 점 A(-4, 2), B(-2, 6)을 이은 선분의 중점 { -4-22 , 2+6
2 }, 즉 (-3, 4)는 직선 y=ax+b 위의 점이므로 4=-3a+b에서
4=-3_{-;2!;}+b 4 b=;2%;
7 -2
29|해결 전략 | 두 원의 중심이 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이다.
(x-8)€+(y-4)€=4 yy ㉠
x€+y€-8x-4y+c=0에서
(x-4)€+(y-2)€=20-c yy ㉡
원 ㉠과 원 ㉡이 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이므로 원 ㉠의 중심
="ƒ(1+2)€+(3-7)€=5 따라서 AP’+BP’의 최솟값은 5이다. AP’+BP’ =A'P’+BP’
AP’+BP>A'B’
AP’+BP’="ƒ5€+(2-1)€='åß26 따라서 AP’+BP’의 최솟값은 'åß26 이다.
y