2
⑴ -3<x<2일 때, y=(x+1)€-6의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점 의 x좌표 -1이 -3<x<2에 포함되 므로 f(-3)=-2, f(-1)=-6, f(2)=3을 비교하면 최댓값은 3, 최 솟값은 -6이다.⑵ 2<x<4일 때, y=-(x-1)€+3의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점 의 x좌표 1이 2<x<4에 포함되지 않 으므로 f(2)=2, f(4)=-6을 비교하 면 최댓값은 2, 최솟값은 -6이다.
y
O2 x 3
-1
-6 -3
-2
y
O x
-6 1 2 4 23
개념 확인 130쪽~131쪽
1 ⑴ 최댓값: 없다, 최솟값: 3 ⑵ 최댓값: -5, 최솟값: 없다.
1 ⑶ 최댓값: 없다, 최솟값: -13
4 ⑷ 최댓값: ;8(;, 최솟값: 없다.
2 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: -6 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: -6
이차함수의 최대·최소
2
1
⑴ x=0일 때 최댓값은 4, 최솟값은 없다.⑵ x=0일 때 최솟값은 3, 최댓값은 없다.
⑶ y=x€+2x+2=(x+1)€+1
따라서 x=-1일 때 최솟값은 1, 최댓값은 없다.
⑷ y=-x€+4x-5=-(x-2)€-1
따라서 x=2일 때 최댓값은 -1, 최솟값은 없다.
⑸ y=;3!;x€+2x+7=;3!;(x+3)€+4
따라서 x=-3일 때 최솟값은 4, 최댓값은 없다.
개념 드릴
1
STEP
| 132쪽 |1 ⑴ 최댓값: 4, 최솟값: 없다. ⑵ 최댓값: 없다, 최솟값: 3 ⑶ 최댓값: 없다, 최솟값: 1 ⑷ 최댓값: -1, 최솟값: 없다.
⑸ 최댓값: 없다, 최솟값: 4
2 ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -2 ⑵ 최댓값: 6, 최솟값: -2 ⑶ 최댓값: 4, 최솟값: -4 ⑷ 최댓값: 8, 최솟값: -4 ⑸ 최댓값: 5, 최솟값: -3
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 -3+1=-(a-1), -3_1=1-b 따라서 a=3, b=4이므로 a+b=7
04 -1
2|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 이 용한다.
이차방정식 x€-2x+2=2x-k, 즉 x€-4x+2+k=0의 판별식 을 D라 하면
;;4Î;;=(-2)€-(2+k)=2-k
이차함수 y=x€-2x+2의 그래프와 직선 y=2x-k가 접하려면 D=0이어야 하므로
2-k=0 4 k=2
04 -2
-2|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선이 만나므로 판별식 D>0임을 이용한다.
이차방정식 x€+2x-1=3x+k+1, 즉 x€-x-k-2=0의 판별식을 D라 하면
D=(-1)€-4_1_(-k-2)=4k+9
이차함수 y=x€+2x-1의 그래프와 직선 y=3x+k+1이 만나려 면 D>0이어야 하므로
4k+9>0 4 k>-;4(;
따라서 정수 k의 최솟값은 -2이다.
참고
이차함수의 그래프와 직선이 만나려면 서로 다른 두 점에서 만나거나 한 점에서 만나야 한다.
즉, 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, D>0 또는 D=0 ➡ D>0
05 -1
a=2, b=-2|해결 전략 | 평행한 두 직선의 기울기는 같다.
직선 y=ax+b가 직선 y=2x+3에 평행하므로 a=2
직선 y=2x+b가 이차함수 y=x€-1의 그래프와 접하므로 이차방 정식 x€-1=2x+b, 즉 x€-2x-b-1=0의 판별식을 D라 하면
D4 =(-1)€-(-b-1)=0 4 b=-2
05 -2
m=0, n=-1|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.
이차방정식 x€-2kx+k€-1=mx+n, 즉
x€-(2k+m)x+k€-n-1=0의 판별식을 D라 하면 D={-(2k+m)}€-4_1_(k€-n-1)=0 4 4mk+m€+4n+4=0
위 식은 k에 대한 항등식이므로 4m=0, m€+4n+4=0 4 m=0, n=-1
01-2
최댓값: 9, 최솟값: 없다. -1<t<8이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면
⑵ y=x€+8x+13=(x+4)€-3이므 로 -3<x<-1일 때, 주어진 함수
⑷ y=-3x€+6x+5=-3(x-1)€+8 이므로 0<x<3일 때, 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 f(0)=5, f(1)=8, f(3)=-4이므로 최댓값은 8, 최솟값 은 -4이다.
⑸ y=2x€-4x-1=2(x-1)€-3이므로 -1<x<1일 때, 주어진 함수의 그래프
⑵ y=x€-2ax+8 =(x-a)€-a€+8
05-1
9AB’=x cm, AD’=y cm라 하면
△FAD6△FBE이므로 FA’：FB’=AD’：BE’에서 (10-x)：10=y：8
8(10-x)=10y 4 y=8-;5$;x
이때, 변의 길이는 양수이므로 x>0, y>0, 즉 x>0, 8-;5$;x>0 4 0<x<10
직사각형 ABCD의 넓이를 S cm€라 하면 S=xy=x{8-;5$;x}=-;5$;x€+8x
=-;5$;(x-5)€+20 (0<x<10)
따라서 오른쪽 그림에서 S는 x=5일 때 최댓 2<t<6
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면
y =-t€+4t+8
=-(t-2)€+12 (2<t<6) 이므로 [그림 2]에서 t=(x+1)€-2 4 t>-2
이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면 x€+x(x-4) =2x€-4x
=2(x-1)€-2 (1<x<3) 2x€+(-2x-3)€ =6x€+12x+9
=6(x+1)€+3
2-2
-2|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 x축과 만나려면 판별식 D>0이어야 한다.
이차방정식 x€-2(k+1)x+k€-4=0의 판별식을 D라 하면
;;4Î;;={-(k+1)}€-(k€-4)=2k+5
이차함수의 그래프가 x축과 만나려면 D>0이어야 하므로 2k+5>0 4 k>-;2%;
따라서 정수 k의 최솟값은 -2이다.
3-1
19|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 두 실근이 -5, 3이다.
이차방정식 x€+ax+1=x+b, 즉 x€+(a-1)x-b+1=0의 두 실근이 -5, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여
-5+3=-(a-1), -5_3=-b+1 4 a=3, b=16 4 a+b=3+16=19
3-2
5|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 1, 3이다.
이차방정식 -x€+3mx+1=-x+n, 즉 x€-(3m+1)x+n-1=0 의 두 실근이 1, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여
1+3=3m+1, 1_3=n-1 4 m=1, n=4 4 m+n=1+4=5
4-1
k>4|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 구 한다.
이차방정식 x€+5=2x+k, 즉 x€-2x-k+5=0의 판별식을 D 라 하면
;;4Î;;=(-1)€-1_(-k+5)=k-4
이차함수 y=x€+5의 그래프와 직선 y=2x+k가 서로 다른 두 점 에서 만나려면 D>0이어야 하므로
k-4>0 4 k>4
4-2
-2|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.
이차함수 y=-2x€-x+a의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 3=-2_(-1)€-(-1)+a 4 a=4
이차방정식 -2x€-x+4=3x+b, 즉 2x€+4x+b-4=0의 판별 식을 D라 하면
;;4Î;;=2€-2_(b-4)=-2b+12
이차함수 y=-2x€-x+4의 그래프와 직선 y=3x+b가 접하려면 D=0이어야 하므로
-2b+12=0 4 b=6 4 a-b=4-6=-2
1 -1
-2|해결 전략 | 이차함수 y=x€+x+k의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, a+3 으로 놓는다.
이차함수 y=x€+x+k의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, a+3 이라 하면 이차방정식 x€+x+k=0의 두 실근이 a, a+3이다.
이때, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+(a+3)=-1, a(a+3)=k
4 a=-2, k=-2
1 -2
a=2, b=4|해결 전략 | 이차방정식 -x€+2ax=0의 두 실근이 0, b이다.
이차함수 y=-x€+2ax의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 0, b이 므로 이차방정식 -x€+2ax=0의 두 실근이 0, b이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 0+b=2a 4 b=2a
이차함수 y=-x€+2ax=-(x-a)€+a€의 꼭짓점 B의 좌표는 (a, a€)이고, 삼각형 OAB의 넓이가 8이므로
;2!;_b_a€=8 이때, b=2a이므로
;2!;_2a_a€=8, a‹=8 4 a=2 (5 a는 실수) 4 b=2a=4
2 -1
-4|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 판별식 D=0이어야 한다.
이차방정식 x€-ax+2-a=0의 판별식을 D라 하면 D=(-a)€-4_1_(2-a)=a€+4a-8
이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 D=0이어야 하므로 a€+4a-8=0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 -4이다.
유형 드릴
3
STEP
| 139쪽~141쪽 |다른 풀이
1FAD61FBE이므로
FA’：AD’=FB’：BE’=10：8=5：4 이때, FA’=5x, AD’=4x(0<x<2)라 하면 AB’=10-5x
직사각형 ABCD의 넓이를 S cm€라 하면 S =4x(10-5x)=-20x€+40x
=-20(x-1)€+20 (0<x<2)
따라서 S는 x=1일 때 최댓값 20을 가지므로 직사각형 ABCD의 넓이의 최 댓값은 20 cm€이다.
삼각형에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 삼각형의 넓이의 ;2!;이다.
LECTURE
즉, 3a+b=4, -a+b=-8이므로 a=3, b=-5 y =t€-8(t-2)-5=t€-8t+11
=(t-4)€-5 (1<t<5) -2<x<1에서 -1<t<3 이때, 주어진 함수는
y =(t+2)€-8t-5=t€-4t-1=(t-2)€-5 (-1<t<3) 이므로 -5<y<4
9 -1
1|해결 전략 | y€+2x=2를 변형한 식을 x€+y€+4x에 대입한다.
y€+2x=2에서 y€=-2x+2
y€>0이므로 -2x+2>0 4 x<1 y€=-2x+2를 x€+y€+4x에 대입하면
x€+y€+4x =x€-2x+2+4x=x€+2x+2
=(x+1)€+1 (x<1)
4 f(k) =4k€+8k+8=4(k+1)€+4 따라서 f(k)의 최솟값은 k=-1일 때 4이다.
y =ax€-2ax+b
=a(x-1)€-a+b
11-2
2|해결 전략 | 이차방정식 x€+4x+3=0의 실근을 이용하여 두 점 A, B의 좌표 를 구한다.
C(0, 3)이고, x축과 만나는 두 점이 A, B이므로 x€+4x+3=0, (x+3)(x+1)=0
x=-3 또는 x=-1, 즉 A(-3, 0), B(-1, 0)
한편, 점 P(a, b)는 y=x€+4x+3의 그래프 위의 점이므로 b=a€+4a+3 (-3<a<0)
4 -2a+b =-2a+a€+4a+3
=a€+2a+3
=(a+1)€+2
-2a+b=t라 하면 t=(a+1)€+2이고, 꼭짓점의 a좌표가 -3<a<0에 포함되 므로 구하는 최솟값은 2이다.
12-1
225원|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 함수식을 세운다.
지우개 한 개의 가격을 x원 인상하면 판매량은 2x개 감소하므로 (지우개 한 개의 가격)=200+x(원)
(지우개 판매량)=500-2x(개) (단, 0<x<250) 이때, 하루 총 판매 금액을 y원이라 하면
y =(200+x)(500-2x)
=-2x€+100x+100000
=-2(x€-50x+625)+101250
=-2(x-25)€+101250
따라서 y의 최댓값은 x=25일 때 101250이므로 구하는 지우개 한 개의 가격은
200+25=225(원)
12-2
1900원|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 함수식을 세운다.
참가비를 100x원 내리면 신청 학생 수는 10x명 증가하므로 (참가비)=3000-100x(원)
(신청 학생 수)=80+10x(명) (단, 0<x<30) 이때, 참가비 총액을 y원이라 하면
y =(3000-100x)(80+10x)
=-1000x€+22000x+240000
=-1000(x€-22x+121)+361000
=-1000(x-11)€+361000
따라서 y의 최댓값은 x=11일 때 361000이므로 구하는 참가비는 3000-100_11=1900(원)
6
3
-3 -1 2 t
O a
t=(a+1)2+2
9 -2
8|해결 전략 | 2x-y-4=0을 변형한 식을 4x€+y€에 대입한다.
2x-y-4=0, 즉 y=2x-4를 4x€+y€에 대입하면 4x€+y€ =4x€+(2x-4)€
=8x€-16x+16
=8(x-1)€+8
4x€+y€=t라 하면 t=8(x-1)€+8이고, x=1일 때 t=8
따라서 4x€+y€의 최솟값은 8이다.
10-1
1|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 ( )€+( )€+m 꼴로 변형하여 (실수)€>0임을 이용한다.
x€-2x+2y€-4y+k€-k+1
=(x€-2x+1)+2(y€-2y+1)+k€-k-2
=(x-1)€+2(y-1)€+k€-k-2
이때, x, y는 실수이므로 (x-1)€>0, (y-1)€>0 4 x€-2x+2y€-4y+k€-k+1>k€-k-2 주어진 식의 최솟값이 0이므로 k€-k-2=0
따라서 모든 k의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 1이다.
10-2
12|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 ( )€+( )€+m 꼴로 변형하여 (실수)€>0임을 이용한다.
6x-8y-x€-2y€-6
=-(x€-6x+9)-2(y€+4y+4)+11
=-(x-3)€-2(y+2)€+11
이때, x, y는 실수이므로 (x-3)€>0, (y+2)€>0 4 6x-8y-x€-2y€-6<11
따라서 주어진 식은 x=3, y=-2일 때 최댓값 11을 갖는다.
즉, a=3, b=-2, c=11이므로 a+b+c=12
11-1
12|해결 전략 | 점 C의 좌표를 (k, 0)으로 놓는다.
점 C의 좌표를 (k, 0) (0<k<'5 )이라 하면
BC’=2k, CD’=-k€+5
직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 l이라 하면
l =2(BC’+CD’)
=2{2k+(-k€+5)}
=-2k€+4k+10
=-2(k-1)€+12
따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 12이다.
A
B C
D y5
O k x
y=-x2+5