선분의 내분점과 외분점

2

04-1

 최솟값: 13, P(3, 0)

|해결 전략 | x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓고 AP’ €+BP’ €을 구한다.

x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면

AP’ €+BP’ € ={(a-5)€+(0+1)€}+{(a-1)€+(0+2)€}

=2a€-12a+31

=2(a-3)€+13

따라서 AP’ €+BP’ €은 a=3일 때 최솟값 13을 갖고, 그때의 점 P의 좌표는 (3, 0)이다.

04-2

^{ P} {;2%;, ;2#;}

|해결 전략 | 직선 y=x-1 위의 점 P의 좌표를 (a, a-1)로 놓고 AP’ €+BP’ € 을 구한다.

직선 y=x-1 위의 점 P의 좌표를 (a, a-1)이라 하면

AP’ €+BP’ € ={(a+2)€+(a-1-3)€}+{(a-3)€+(a-1-4)€}

=(a+2)€+(a-4)€+(a-3)€+(a-5)€

=4a€-20a+54

=4 {a-;2%;}€+29

따라서 AP’ €+BP’ €은 a=;2%;일 때 최솟값 29를 갖고, 그때의 점 P의 좌표는 {;2%;, ;2#;}이다.

세 점 A(0, -1), B(x, 3), C(6, 1)에 대하여 AB’=BC’이므로

"ƒx€+(3+1)€="ƒ(6-x)€+(1-3)€

양변을 제곱하면

x€+16=(6-x)€+4, x€+16=x€-12x+40 12x=24 4 x=2

02 -1

 3A=90^인 직각이등변삼각형

|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 알 아본다.

AB’="ƒ(4+1)€+(-2-1)€='ß34 BC’="ƒ(2-4)€+(6+2)€='ß68 CA’="ƒ(-1-2)€+(1-6)€='ß34 4 AB’=CA’, BC’€=AB’€+CA’€

따라서 1ABC는 3A=90^인 직각이등변삼각형이다.

02 -2

^{ 3}

|해결 전략 | 삼각형 ABC가 ∠A=90^인 직각삼각형이면 BC’ €=AB’ €+CA’ €이다.

AB’="ƒ(-5-3)€+(-1+5)€='ß80 BC’="ƒ(7+5)€+(a+1)€="ƒa€+2a+145 CA’="ƒ(3-7)€+(-5-a)€="ƒa€+10a+41 1ABC가3A=90^인 직각삼각형이므로

BC’€=AB’€+CA’€에서 a€+2a+145=80+a€+10a+41 8a=24 4 a=3

03 -1

^{ P(0, 3)}

|해결 전략 | y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a)로 놓는다.

y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면 AP’="ƒ(0+2)€+(a-0)€="ƒa€+4 BP’="ƒ(0-3)€+(a-1)€="ƒa€-2a+10 AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로 a€+4=a€-2a+10, 2a=6 4 a=3 4 P(0, 3)

03 -2

^{ P(2, 2)}

|해결 전략 | 직선 y=3x-4 위의 점 P의 좌표를 (a, 3a-4)로 놓는다.

직선 y=3x-4 위의 점 P의 좌표를 (a, 3a-4)라 하면

AP’ ="ƒ(a+1)€+(3a-4-1)€

="ƒ(a+1)€+(3a-5)€

="ƒ10a€-28a+26

BP’ ="ƒ(a-3)€+(3a-4-5)€

="ƒ(a-3)€+(3a-9)€

="ƒ10a€-60a+90

AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로 10a€-28a+26=10a€-60a+90 32a=64 4 a=2

4 P(2, 2)

1

^⑴ P { 4_7+1_24+1 } 4 P(6) ⑵ Q { 2_7-3_22-3 } 4 Q(-8) ⑶ M { 2+72 } 4 M {;2(;}

2

^⑴ P { 3_2+1_43+1 , ^3_5+1_1_{3+1 }} 4 P {;2%;, 4}

⑵ Q { 1_2-3_41-3 , ^1_5-3_1_{1-3 }} 4 Q(5, -1)

⑶ M { 4+22 , ¹⁺⁵_{2 }} 4 M(3, 3)

3

^⑴ P { 3_6+2_(-4)3+2 , ^3_(-8)+2_2_{3+2 }} 4 P(2, -4)

⑵ Q { 5_6-1_(-4)5-1 , ^5_(-8)-1_2_5-1 } 4 Q {:¡2¶:, -:™2¡:}

⑶ M { -4+62 , ^2-8_{2 }} 4 M(1, -3)

4

^⑴ G { 3+2-23 , ^2-1+5₃ } 4 G(1, 2) ⑵ G { -2+2+33 , ⁰⁺⁰⁺³₃ } 4 G(1, 1) ⑶ G { 1+6+83 , ¹⁺⁵⁺⁹₃ } 4 G(5, 5)

개념 드릴

1

STEP

^| 242쪽 ^|

1 ⑴ P(6) ⑵ Q(-8) ⑶ M {;2(;}

2 ⑴ P {;2%;, 4} ⑵ Q(5, -1) ⑶ M(3, 3) 3 ⑴ P(2, -4) ⑵ Q {:¡2¶:, -:™2¡:} ⑶ M(1, -3) 4 ⑴ G(1, 2) ⑵ G(1, 1) ⑶ G(5, 5)

01-1

^{ 15'2}

|해결 전략 | 주어진 조건에 맞게 두 점 P, Q의 좌표를 구한 후 PQ’의 길이를 구 한다.

선분 AB를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는 { 1_8+2_(-1)1+2 , 1_7+2_(-2)

1+2 } 즉, P(2, 1)

선분 AB를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표는 { 2_8-1_(-1)2-1 , 2_7-1_(-2)

2-1 } 즉, Q(17, 16)

4 PQ’="ƒ(17-2)€+(16-1)€ =15'2

01-2

 P(3, 2) 또는 P(7, 6)

|해결 전략 | AP’=2BP’이므로 점 P는 AB’를 2：1로 내분 또는 외분하는 점이 다.

AP’=2BP’, 즉 AP’：BP’=2：1이므로 점 P는 AB’를 2：1로 내분 하는 점 또는 2：1로 외분하는 점이다.

1 점 P가 AB’를 2：1로 내분하는 점일 때 P { 2_4+1_12+1 , ^2_3+1_0₂₊₁ } 4 P(3, 2)

2 점 P가 AB’를 2：1로 외분하는 점일 때 P { 2_4-1_12-1 , ^2_3-1_0_2-1 } 4 P(7, 6)

1, 2에서

P(3, 2) 또는 P(7, 6)

02-1

 ;6!;<t<;5#;

|해결 전략 | 점 P의 좌표를 t에 대한 식으로 나타낸 후 x좌표와 y좌표의 부호 를 이용한다.

선분 AB를 (1-t)：t로 내분하는 점 P의 좌표는 {(1-t)_(-3)+t_2

(1-t)+t , (1-t)_(-1)+t_5 (1-t)+t } 즉, P(5t-3, 6t-1)

점 P가 제2사분면 위에 있으므로

5t-3<0, 6t-1>0 4 ;6!;<t<;5#; åå ㉠ 또, 점 P는 선분 AB를 (1-t)：t로 내분하므로

1-t>0, t>0 4 0<t<1 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;6!;<t<;5#;

A P B

P 외분점

내분점 2

2 1

1

필수 유형

2

STEP

^| 243쪽~247쪽 |

04-1

^{ 4'5}

|해결 전략 | 꼭짓점 D의 좌표를 (a, b)라 하고 평행사변형의 두 대각선은 서로 다 른 것을 이등분함을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.

점 D의 좌표를 (a, b)라 하면 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 AC’의 중점과 BD’의 중점이 일치한다.

즉, { -3+32 , 4+22 }={-4+a

2 , 1+b2 }에서 a-4=0, b+1=6 4 a=4, b=5

따라서 D(4, 5)이므로 대각선 BD의 길이는 BD’="ƒ(4+4)€+(5-1)€ =4'5

다른 풀이

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 두 대각선의 교점은 각 대각선의 중점이다.

두 대각선 AC와 BD의 교점을 E라 하면 A(-3, 4)

B(-4, 1) C(3, 2) D E

점 E는 AC’의 중점이므로

E { -3+32 , 4+22 } 4 E(0, 3) 이때, BD’=2BE’이고

BE’="ƒ(0+4)€+(3-1)€=2'5 4 BD’=4'5

04-2

^{ a=7, b=3}

|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 AC’의 중점 과 BD’의 중점이 일치한다.

즉, { 1+a2 , 1+3

2 }={5+b

2 , -1+5 2 }에서

1+a=5+b 4 a-b=4 åå ㉠ 마름모의 정의에 의하여 AB’=BC’, 즉 AB’ €=BC’ €이므로

(5-1)€+(-1-1)€=(a-5)€+(3+1)€

a€-10a+21=0, (a-3)(a-7)=0 4 a=3 또는 a=7

이것을 ㉠에 대입하면

a=3, b=-1 또는 a=7, b=3 4 a=7, b=3 (5 b>0)

05-1

^{ 7}

|해결 전략 | 1ABC의 무게중심의 좌표를 a, b에 대한 식으로 나타낸다.

1ABC의 무게중심의 좌표가 (3, -1)이므로 -1+4+b

3 =3, a-7+33 =-1 따라서 a=1, b=6이므로 a+b=7

05-2

^{ (2, -2)}

|해결 전략 | 1ABC의 무게중심과 1DEF의 무게중심은 일치함을 이용한다.

02 -2

^{ 3}

|해결 전략 | 외분점의 좌표를 구한 후 주어진 직선의 방정식에 대입한다.

선분 AB를 1：t로 외분하는 점의 좌표는 {1_3-t_(-1)

1-t , 1_6-t_(-2) 1-t } 즉, { t+31-t , 2t+6

1-t }

이 점이 직선 y=x-3 위에 있으므로 2t+61-t =t+3

1-t -3 2t+6=t+3-3(1-t) 2t=6 4 t=3

03 -1

^{ 4}

|해결 전략 | AO’：AB’=OC’：BC’임을 이용하여 점 C의 좌표를 구한다.

AC’가 3A의 이등분선이므로 AO’：AB’=OC’：BC’

이때,

AO’="ƒ3€+4€=5,

AB’="ƒ(7-3)€+(1-4)€=5 이므로

OC’：BC’=AO’：AB’=1：1

즉, 점 C는 선분 OB의 중점이므로 C {;2&;, ;2!;}

따라서 a=;2&;, b=;2!;이므로 a+b=4

03 -2

^{ 4}

|해결 전략 | AB’：AC’=BD’：CD’임을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.

AD’가 3A의 이등분선이므로

A(4, 5)

C(7, 2) D

B(-2, -1) y

O x

AB’：AC’=BD’：CD’

이때,

AB’ ="ƒ(-2-4)€+(-1-5)€

=6'2,

AC’ ="ƒ(7-4)€+(2-5)€

=3'2 이므로

BD’：CD’=AB’：AC’=2：1

즉, 점 D는 선분 BC를 2：1로 내분하는 점이므로 D {2_7+1_(-2)

2+1 , 2_2+1_(-1) 2+1 } 4 D(4, 1)

따라서 선분 AD의 길이는 AD’="ƒ(4-4)€+(1-5)€=4

1ABC의 무게중심과 1DEF의 무게중심은 일치하므로 1ABC 의 무게중심의 좌표를 (a, b)라 하면

a= 3+4-1 3 =2, b= 1-2-5 3 =-2

따라서 1ABC의 무게중심의 좌표는 (2, -2)이다.

세 변의 내분점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심

1ABC의 세 꼭짓점의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라 하고, 세 변 AB, BC, CA를 각각 m：n으로 내분하는 점 P, Q, R의 좌표 를 구하면

P {mx™+nx¡

m+n , my™+ny¡

m+n } Q {mx£+nx™

m+n , my£+ny™

m+n } R {mx¡+nx£

m+n , my¡+ny£

m+n } 이므로 1PQR의 무게중심의 좌표는

{

(m+n)(x¡+x™+x£) m+n3 ,

(m+n)(y¡+y™+y£) m+n3

}

즉, {x¡+x™+x£

3 , y¡+y™+y£

3 }

따라서 1PQR의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치한다.1PQR의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치한다.

LECTURE

1 -1

^{ 0, 4}

|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.

두 점 A(3, a), B(-1, 2) 사이의 거리가 2'5이므로

"ƒ(-1-3)€+(2-a)€=2'5 양변을 제곱하면

a€-4a=0, a(a-4)=0 4 a=0 또는 a=4

따라서 a의 값을 모두 구하면 0, 4이다.

1 -2

^{ -8}

|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.

두 점 A(a, -2), B(-4, 6) 사이의 거리가 10이므로

"ƒ(-4-a)€+(6+2)€=10 양변을 제곱하면

a€+8a-20=0, (a+10)(a-2)=0 4 a=-10 또는 a=2

따라서 모든 a의 값의 합은 -10+2=-8

유형 드릴

3

STEP

^| 248쪽~249쪽 |

2-1

^{ 3'3}

|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 알아본다.

AB’="ƒ(1+2)€+('3-0)€=2'3 BC’="ƒ(1-1)€+(-'3-'3 )€=2'3 CA’="ƒ(-2-1)€+(0+'3 )€=2'3

따라서 1ABC는 AB’=BC’=CA’인 정삼각형이므로 구하는 넓이는 '34 _(2'3 )€=3'3

참고

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 '3 4 a€이다.

2-2

 AB’=CA’인 이등변삼각형

|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 알아본다.

AB’="ƒ(1-3)€+(3+2)€='ß29 BC’="ƒ(-2-1)€+(0-3)€=3'2 CA’="ƒ(3+2)€+(-2-0)€='ß29

따라서 1ABC는 AB’=CA’인 이등변삼각형이다.

3-1

 P(-3, -3)

|해결 전략 | 직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)로 놓는다.

직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면 AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

(a+3)€+(a-2)€=(a-1)€+(a-0)€

2a€+2a+13=2a€-2a+1 4a=-12 4 a=-3 4 P(-3, -3)

3-2

 {-;4!;, ;4%;}

|해결 전략 | 문화센터가 건설되는 지점을 점 P라 하면 AP’=BP’=CP’이다.

문화센터가 건설되는 지점을 점 P(x, y)라 하면 AP’=BP’=CP’

AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로 (x+2)€+(y-4)€=(x-3)€+(y-1)€

x€+4x+y€-8y+20=x€-6x+y€-2y+10

10x-6y+10=0 4 5x-3y=-5 …… ㉠ 또, BP’=CP’에서 BP’ €=CP’ €이므로

(x-3)€+(y-1)€=(x-0)€+(y+2)€

x€-6x+y€-2y+10=x€+y€+4y+4

-6x-6y+6=0 4 x+y=1 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-;4!;, y=;4%;

따라서 문화센터가 건설되는 지점의 좌표는 {-;4!;, ;4%;}이다.

6 -1

 ;6!;<t<1

|해결 전략 | 점 P의 좌표를 t에 대한 식으로 나타낸 후 x좌표와 y좌표의 부호 를 이용한다.

선분 AB를 t：(1-t)로 내분하는 점의 좌표는 {t_5+(1-t)_(-1)

t+(1-t) , t_(-1)+(1-t)_(-2) t+(1-t) } 4 (6t-1, t-2)

이 점이 제4사분면 위에 있으므로

6t-1>0, t-2<0 4 ;6!;<t<2 åå ㉠ 또, 이 점이 선분 AB를 t：(1-t)로 내분하므로

t>0, 1-t>0 4 0<t<1 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;6!;<t<1

6 -2

^{ 9}

|해결 전략 | 내분점의 좌표를 구한 후 주어진 직선의 방정식에 대입한다.

선분 AB를 3 : t로 내분하는 점의 좌표는 { 3_0+t_33+t , ^3_5+t_0_3+t }

4 { 3t3+t, _3+t¹⁵ }

이 점이 직선 y=x-1 위에 있으므로 3+t =15 3t

3+t -1, 15=3t-3-t 2t=18 4 t=9

7 -1

^{ 1}

|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.

두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 { 5+72 , 1+3

2 }={a+b

2 , -1+c 2 }

4 a+b=12, c=5 yy ㉠

마름모의 정의에 의하여 AB’=BC’, 즉 AB’ €=BC’ €이므로 (a-5)€+(-1-1)€=(7-a)€+(3+1)€

a€-10a+29=a€-14a+65 4a=36 4 a=9 이것을 ㉠에 대입하면 b=3 4 a-b-c=9-3-5=1

7 -2

 C(8, -10)

|해결 전략 | 꼭짓점 B, D의 좌표를 구한 후 평행사변형의 성질을 이용하여 꼭짓 점 C의 좌표를 구한다.

B(a, b)라 하면 변 AB의 중점의 좌표는 { -2+a2 , 4+b2 }이므로 -2+a2 =0, 4+b2 =0

4 a=2, b=-4 4 B(2, -4)

4 -1

^{ 13}

|해결 전략 | x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓고 AP’ €+BP ’ €을 구한다.

x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면

AP’ €+BP’’ € ={(a-2)€+(0-2)€}+{(a-6)€+(0-1)€}

=2a€-16a+45

=2(a-4)€+13

따라서 AP’ €+BP’’ €은 a=4일 때 최솟값 13을 갖는다.

4 -2

^{ 1}

|해결 전략 | 직선 y=x+2 위의 점 P의 좌표를 (a, a+2)로 놓고 AP’ €+BP’ € 을 구한다.

직선 y=x+2 위의 점 P의 좌표를 (a, a+2)라 하면

AP’ €+BP’ € ={(a-1)€+(a+2+2)€}+{(a-5)€+(a+2-4)€}

=(a-1)€+(a+4)€+(a-5)€+(a-2)€

=4a€-8a+46

=4(a-1)€+42

따라서 AP’ €+BP’ €은 a=1일 때 최솟값 42를 가지므로 구하는 점 P 의 x좌표는 1이다.

5 -1

^{ 3'ß10}

|해결 전략 | 선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표를 a, b에 대한 식으로 나타 낸다.

선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표가 (-5, 15)이므로 2_(-2)-1_a

2-1 =-5, 2_b-1_(-3)2-1 =15 4 a=1, b=6

따라서 A(1, -3), B(-2, 6)이므로 AB’="ƒ(-2-1)€+(6+3)€=3'ß10

5 -2

 C(6, -11)

|해결 전략 | AC’=2BC’이므로 점 C는 AB’를 2：1로 외분하는 점이다.

AC’=2BC’, 즉 AC’：BC’=2：1이고 점 C가 AB’의 연장선 위에 있으므로 점 C는 AB’를 2：1로 외분하는 점이다.

따라서 점 C의 좌표는

{ 2_5-1_42-1 , 2_(-5)-1_1 2-1 } 즉, C(6, -11)

다른 풀이

AC’=2BC’에서 점 B는 AC’를 1：1로 내분하는 점, 즉 AC’의 중점이다.

점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 4+a2 =5, 1+b

2 =-5 4 a=6, b=-11 4 C(6, -11)

A B C

2 1

개념 드릴 ^| 255쪽 ^|

1

STEP

1 ⑴ y=2x+4 ⑵ y=-3x+13 1 ⑶ y=3x+9 ⑷ y=-5x+20

2 ⑴ y=-4x+5 ⑵ y=-x-2 ⑶ x=4 ⑷ y=2 3 ⑴ y=2x-6 ⑵ y=2x+4 ⑶ y=-;4!;x-1 4 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조

1

⑵ y-1=-3(x-2) ∴ y=-3x+7

2

⑴ y-1= -2-12-(-1) {x-(-1)} ∴ y=-x ⑵ x-3 +y

3 =1 ∴ y=x+3

3

⑴ 2x+y-3=0에서 y=-2x+3

이 직선은 기울기가 -2, y절편이 3이 므로 오른쪽 그림과 같다.

y

O x

2x+y-3=0

23 3

⑵ 3x+5=0에서 x=-;3%;

이 직선은 점 {-;3%;, 0}을 지나고 y축에 평행하므로 오른쪽 그림과 같다.

-35 y

O x

3x+5=0

⑶ y-4=0에서 y=4

이 직선은 점 (0, 4)를 지나고 x축에 평행하므로 오른쪽 그림과 같다.

y

O x

y-4=0 4

개념 확인 252쪽~254쪽

1 ⑴ y=2x-3 ⑵ y=-3x+7 2 ⑴ y=-x ⑵ y=x+3

3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조

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