(직선 BC의 기울기)= 13-99-a = 4
9-a 즉, 13-a
8 = 4
9-a 이므로 (13-a)(9-a)=32 a€-22a+85=0, (a-5)(a-17)=0
∴ a=5 또는 a=17
03-2
y=x+1|해결 전략 | (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용하여 먼저 a 의 값을 구한다.
세 점 A, B, C가 한 직선 l 위에 있으려면 직선 AC의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같아야 한다.
(직선 AC의 기울기)= -1-a-2-2 =a+1 4 (직선 BC의 기울기)= -1-(-2)-2-(-a) = 1
a-2 즉, a+1
4 = 1
a-2 이므로 (a+1)(a-2)=4 a€-a-6=0, (a+2)(a-3)=0
∴ a=3 (5 a>0)
따라서 직선 l은 점 A(2, 3)을 지나고 기울기가 1이므로 y-3=x-2 ∴ y=x+1
04-1
⑴ 제2, 3사분면 ⑵ 제1, 2, 4사분면|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.
⑴ a+0, b=0이므로 ax+by+c=0에서 x=-;aC;
a>0, c>0에서 -;aC;<0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른 쪽 그림과 같으므로 제 2, 3사분면을 지난다.
⑵ b+0이므로 ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;
ab>0이므로 (기울기)=-;bA;<0 ;cB;<0이므로 (y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오 른쪽 그림과 같으므로 제1, 2, 4사분면을 지난다.
y
O x
y
O x
1
두 직선 y=2x+3, y=mx-3이 평행하므로 m=22
직선 y=-3x+1에 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면 (-3)_m=-1 ∴ m=;3!;3
⑴ 2a =-32 +-1 ∴ a=-;3$;1 ⑵ 2a+(-3)_2=0 ∴ a=34
y-1-k(x-2)=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 y-1=0, x-2=0∴ x=2, y=1
따라서 구하는 점의 좌표는 (2, 1)
5
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을x-y-3+k(2x+y-1)=0 (k는 실수) …… ㉠ 으로 놓으면 이 직선이 원점을 지나므로
-3-k=0 ∴ k=-3 k=-3을 ㉠에 대입하면
x-y-3-3(2x+y-1)=0 ∴ 5x+4y=0
개념 확인 260쪽~262쪽
1 2 2 ;3!;
3 ⑴ -;3$; ⑵ 3 4 (2, 1) 5 5x+4y=0
두 직선의 위치 관계
2
1
⑴ -2=5k-7 ∴ k=1 ⑵ 5=3k+8 ∴ k=-1 ⑶ k6 = 4-3 +0
1 ∴ k=-8 ⑷ -2k+1 =;2#;+ 3
-1 ∴ k=-;3&;
개념 드릴 | 263쪽 |
1
STEP
1 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ -8 ⑷ -;3&;
2 ⑴ -;2!; ⑵ ;3@; ⑶ -10 ⑷ 3 3 ⑴ (3, 2) ⑵ (-1, -1) ⑶ {-3, ;2!;}
4 ⑴ x-3y=0 ⑵ x+7y-15=0 ⑶ 5x-y+6=0
01-1
y=-x+1|해결 전략 | 두 직선이 평행하면 두 직선의 기울기가 같음을 이용한다.
두 점 A(-1, 2), B(4, -3)을 지나는 직선의 기울기는 4-(-1) =-1-3-2
따라서 기울기가 -1이고 y절편이 1인 직선의 방정식은 y=-x+1
01-2
y=2x+3|해결 전략 | 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다.
직선 x+2y-2=0의 기울기는 -;2!;이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면
-;2!;m=-1 ∴ m=2
따라서 점 (1, 5)를 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식은 y-5=2(x-1) ∴ y=2x+3
02-1
⑴ -1 ⑵ 4|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 평행하면 a' =a b
b' +c
c' 이고, 수직이면 aa'+bb'=0이다.
⑴ 두 직선이 평행하므로 a-1
2 = 1
-a-2 +-1
2 åå ㉠
a-12 = 1
-a-2 에서 (a-1)(-a-2)=2 a€+a=0, a(a+1)=0
∴ a=-1 또는 a=0 이때, ㉠에서 a-1
2 +-1
2 이므로 a+0 ∴ a=-1
⑵ 두 직선이 수직이려면
(a-1)_2+1_{-(a+2)}=0 2a-2-a-2=0 ∴ a=4
02-2
19|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 수직, 평행 조건을 이 용한다.
두 직선 x+ay+1=0, 3x-by+1=0이 서로 수직이므로 1_3+a_(-b)=0 ∴ ab=3
y=-;2!;x+1
필수 유형 | 264쪽~269쪽 |
2
2
⑴ ;3@;_3k=-1 ∴ k=-;2!;STEP
⑵ -3_ k2 =-1 ∴ k=;3@;⑶ (k-2)_1+4_3=0 ∴ k=-10 ⑷ y=x+2에서 x-y+2=0
k_1+3_(-1)=0 ∴ k=3
3
⑴ 3x-4y-1+k(x-y-1)=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립 하므로3x-4y-1=0, x-y-1=0 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=2 따라서 구하는 점의 좌표는 (3, 2)이다.
⑵ (2x+3y+5)k+2x+y+3=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립 하므로
2x+3y+5=0, 2x+y+3=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-1 따라서 구하는 점의 좌표는 (-1, -1)이다.
⑶ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 -2y+1+k(x+3)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 -2y+1=0, x+3=0
∴ x=-3, y=;2!;
따라서 구하는 점의 좌표는 {-3, ;2!;}이다.
4
⑴ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을x+2y-3+k(2x-y-3)=0 (k는 실수) …… ㉠ 으로 놓으면 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로
-3-3k=0 ∴ k=-1 k=-1을 ㉠에 대입하면 x+2y-3-(2x-y-3)=0 ∴ x-3y=0
⑵ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
x-y+5+k(x+3y-5)=0 (k는 실수) …… ㉠ 으로 놓으면 이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로
4+2k=0 ∴ k=-2 k=-2를 ㉠에 대입하면 x-y+5-2(x+3y-5)=0 ∴ x+7y-15=0
⑶ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
2x+y+4+k(3x-2y+2)=0 (k는 실수) …… ㉠ 으로 놓으면 이 직선이 점 (-1, 1)을 지나므로
3-3k=0 ∴ k=1 k=1을 ㉠에 대입하면 2x+y+4+3x-2y+2=0 ∴ 5x-y+6=0
두 직선 x+ay+1=0, x-(b-5)y-1=0이 서로 평행하므로 11 = a
-b+5 + 1 -1 11 = a
-b+5 에서 a=-b+5 ∴ a+b=5
∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=5€-2_3=19
03-1
-1|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이고 선분 AB의 중점을 지 난다.
직선 AB의 기울기는 2-(-2)5-3 =2이므로 AB’에 수직인 직선의 기
울기는 -;2!;이다.
또, AB’의 중점의 좌표는 {3+5
2 , -2+2
2 }, 즉 (4, 0)
따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;2!;이고 점 (4, 0)을 지 나는 직선이므로
y-0=-;2!;(x-4) ∴ y=-;2!;x+2 따라서 a=-;2!;, b=2이므로 ab=-1
03-2
-;3@;|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이고 선분 AB의 중점을 지 난다.
직선 AB의 기울기는 -2-4 -3-(-1) =3이므로 AB’에 수직인 직선의
기울기는 -;3!;이다.
또, AB’의 중점의 좌표는 {-1-3
2 , 4-2
2 }, 즉 (-2, 1)
따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;3!;이고 점 (-2, 1)을 지나는 직선이므로
y-1=-;3!;{x-(-2)} ∴ y=-;3!;x+;3!;
이때, 직선 y=-;3!;x+;3!;이 점 (3, a)를 지나므로 a=-;3!;_3+;3!;=-;3@;
04-1
-1, ;2#;, 3|해결 전략 | 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행할 때, 세 직선 중 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.
두 직선 y=-x+2, y=;2#;x-3이 평행하지 않으므로 주어진 세 직선 이 삼각형을 이루지 않으려면 세 직선 중 두 직선이 평행하거나 세 직 선이 한 점에서 만나야 한다.
1 세 직선 중 두 직선이 평행할 때
직선 y=ax-6이 직선 y=-x+2 또는 y=;2#;x-3과 평행해야 하므로
a=-1 또는 a=;2#;
2 세 직선이 한 점에서 만날 때
직선 y=ax-6이 두 직선 y=-x+2, y=;2#;x-3의 교점을 지 나야 한다.
y=-x+2, y=;2#;x-3을 연립하여 풀면 x=2, y=0
따라서 직선 y=ax-6이 점 (2, 0)을 지나야 하므로 0=2a-6 ∴ a=3
1, 2에서 a=-1 또는 a=;2#; 또는 a=3
04-2
-1, 2|해결 전략 | 세 직선 l, m, n이 한 점에서 만나는 경우는 직선 n이 두 직선 l, m 의 교점을 지날 때이다.
주어진 세 직선이 한 점에서 만나려면 직선 kx+y-1=0이 두 직선 x-y+1=0, x-2y+k=0의 교점을 지나야 한다.
x-y+1=0, x-2y+k=0을 연립하여 풀면 x=k-2, y=k-1
따라서 직선 kx+y-1=0이 점 (k-2, k-1)을 지나야 하므로 k(k-2)+(k-1)-1=0, k€-k-2=0
(k+1)(k-2)=0
∴ k=-1 또는 k=2
05-1
P(-1, -2)|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한 항등식임을 이용한다.
(5-3k)x+(k+1)y=k-7을 k에 대하여 정리하면 5x+y+7+k(-3x+y-1)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 5x+y+7=0, -3x+y-1=0
두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-2
따라서 점 P의 좌표는 (-1, -2)이다.
05-2
y=-;2#;x+;2&;|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한 항등식임을 이용한다.
(2k+1)x-(k+3)y+5=0을 k에 대하여 정리하면 x-3y+5+k(2x-y)=0
이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 x-3y+5=0, 2x-y=0
두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2
즉, 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지난다.
따라서 두 점 (1, 2), (3, -1)을 지나는 직선의 방정식은 y-2= -1-23-1 (x-1)
∴ y=-;2#;x+;2&;
06 -1
x+2y+10=0|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선 의 방정식을 ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0 (k는 실수)으로 놓는다.
두 직선 2x-y+5=0, x-3y-5=0의 교점을 지나는 직선의 방정 식을
2x-y+5+k(x-3y-5)=0 (k는 실수) 으로 놓으면
(k+2)x+(-3k-1)y+(-5k+5)=0 åå ㉠ 이 직선의 기울기가 -;2!;이므로
- k+2-3k-1 =-;2!;, 2(k+2)=-3k-1 5k=-5 ∴ k=-1
k=-1을 ㉠에 대입하면 x+2y+10=0
다른 풀이
두 직선의 방정식 2x-y+5=0, x-3y-5=0을 연립하여 풀면 x=-4, y=-3
따라서 두 직선의 교점의 좌표가 (-4, -3)이므로 점 (-4, -3)을 지나고 기울기가 -;2!;인 직선의 방정식은
y-(-3)=-;2!;{x-(-4)}
∴ x+2y+10=0
06 -2
2x+y-3=0|해결 전략 | 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구한 후 수직 조건을 이 용한다.
두 직선 2x-y-1=0, x-2y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정 식을
2x-y-1+k(x-2y+1)=0 (k는 실수) 으로 놓으면
(k+2)x+(-2k-1)y+k-1=0 åå ㉠