연립이차부등식

2

1

⑴ x+1>3에서 x>2 åå ㉠

x(x-5)<0에서 0<x<5 åå ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

2<x<5

⑵ 0<x€+x<6 ➡ [0<x€+x x€+x<6 0<x€+x에서 x(x+1)>0

∴ x<-1 또는 x>0 åå ㉠

x€+x<6에서 x€+x-6<0

(x+3)(x-2)<0 ∴ -3<x<2 åå ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-3<x<-1 또는 0<x<2

5 x 0 2

㉠

㉡

㉠ ㉡ ㉠

-3 -1 0 2 x

2

이차방정식 x€+2x+k-3=0의 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하 면

1 ;;4Î;;=1€-(k-3)>0, -k+4>0 ∴ k<4 …… ㉠ 2 a+b=-2<0

3 ab=k-3>0 ∴ k>3 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

3<k<4

3

이차방정식 2x€-3x-4k+3=0의 두 근을 a, b라 하면 ab=-4k+3

2 <0, -4k+3<0 ∴ k>;4#;

4

÷f(x)=x€+kx+2k라 하면

÷f(x)=0의 두 근이 모두 -1보다 크므로 y=÷f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

1 ÷f(x)=0의 판별식을 D라 하면 D=k€-8k>0

k(k-8)>0 ∴ k<0 또는 k>8 …… ㉠ 2 ÷f(-1)=1-k+2k=k+1>0 ∴ k>-1 …… ㉡ 3 y=÷f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-;2K;이므로

-;2K;>-1에서 k<2 …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

-1<k<0

3 4 k

㉡

㉠

-1 x

y=f(x)

8 k -10 2

㉠

㉡

㉢

㉠

개념 드릴 ^| 220쪽 ^|

1

STEP

1 ⑴ 2<x<4 ⑵ x>2 ⑶ x<-2 ⑷ -5<x<0 2 ⑸ -;3!;<x<2

2 ⑴ -2<x<-1 또는 2<x<3 2 ⑵ -6<x<-5 또는 2<x<3 2 ⑶ -2<x<-1 또는 3<x<4 2 ⑷ x<-1 또는 4<x<5 2 ⑸ x>2

1

⑴ x-1>1에서 x>2 …… ㉠ (x-1)(x-4)<0에서 1<x<4 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

2<x<4

⑵ 2x+1>5에서 2x>4 ∴ x>2 …… ㉠ (x+2)(x+1)>0에서 x<-2 또는 x>-1 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

x>2

⑶ 2x-4<0에서 2x<4 ∴ x<2 …… ㉠ x€-4x-12>0에서 (x+2)(x-6)>0

∴ x<-2 또는 x>6 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

x<-2

⑷ (x+5)(x-2)<0에서 -5<x<2 …… ㉠ x(x-4)>0에서 x<0 또는 x>4 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-5<x<0

⑸ (3x+1)(x-2)<0에서 -;3!;<x<2 …… ㉠ x€+2x-8<0에서 (x+4)(x-2)<0

∴ -4<x<2 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -;3!;<x<2

2

⑴ 2<x€-x<6 ➡ [^2<x€-x_x€-x<6 2<x€-x에서 x€-x-2>0

(x+1)(x-2)>0 ∴ x<-1 또는 x>2 …… ㉠ x€-x<6에서 x€-x-6<0

(x+2)(x-3)<0 ∴ -2<x<3 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-2<x<-1 또는 2<x<3

⑵ 10<x€+3x<18 ➡ [10<x€+3x x€+3x<18 10<x€+3x에서 x€+3x-10>0

(x+5)(x-2)>0 ∴ x<-5 또는 x>2 …… ㉠ x€+3x<18에서 x€+3x-18<0

(x+6)(x-3)<0 ∴ -6<x<3 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-6<x<-5 또는 2<x<3

1 2 4 x

⑶ 3<x€-2x<8 ➡ [^3<x€-2x_x€-2x<8 3<x€-2x에서 x€-2x-3>0

(x+1)(x-3)>0 ∴ x<-1 또는 x>3 …… ㉠ x€-2x<8에서 x€-2x-8<0

(x+2)(x-4)<0 ∴ -2<x<4 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-2<x<-1 또는 3<x<4

⑷ 4x-1<3x+4<x€ ➡ [4x-1<3x+4 3x+4<x€

4x-1<3x+4에서 x<5 …… ㉠ 3x+4<x€에서 x€-3x-4>0

(x+1)(x-4)>0 ∴ x<-1 또는 x>4 …… ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

x<-1 또는 4<x<5

⑸ 7-x<x+3<2x€ ➡ [^7-x<x+3_x+3<2x€

7-x<x+3에서 x>2 …… ㉠ x+3<2x€에서 2x€-x-3>0

(x+1)(2x-3)>0 ∴ x<-1 또는 x>;2#; …… ㉡ x€-x>0에서 x(x-1)>0

∴ x<0 또는 x>1 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -3<x<0 또는 1<x<2

-3 0 1 2 x

⑵ x€-3x<x€-6에서 -3x<-6

∴ x>2 åå ㉠

x€-6<7x+2에서 x€-7x-8<0

(x+1)(x-8)<0 ∴ -1<x<8 åå ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

2<x<8

01 -2

 ⑴ -1<x<4 ⑵ -1<x<3

|해결 전략 | ⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나 누어 부등식의 해를 구한다.

⑴ |x-1|<3에서 -3<x-1<3

∴ -2<x<4 åå ㉠

-x€+4x+5>0에서 x€-4x-5<0

(x+1)(x-5)<0 ∴ -1<x<5 åå ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-1<x<4

⑵ |x+1|+|x-2|<5에서 1 x<-1일 때

-(x+1)-(x-2)<5에서 x>-2 그런데 x<-1이므로 -2<x<-1 2 -1<x<2일 때

x+1-(x-2)<5에서 3<5이므로 해는 모든 실수이다.

그런데 -1<x<2이므로 -1<x<2 3 x>2일 때

x+1+x-2<5에서 x<3 그런데 x>2이므로 2<x<3

1, 2, 3에서 -2<x<3 åå ㉠ x€-3x-4<0에서 (x+1)(x-4)<0

∴ -1<x<4 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -1<x<3

02 -1

^{ k<-1}

x€-(k+7)x+7k<0 åå ㉠

åå ㉡

㉠에서 x(x-5)>0 ∴ x<0 또는 x>5

㉡에서 (x-k)(x-7)<0 4<x(x-3)<10 ∴ 4<x€-3x<10 4<x€-3x에서 x€-3x-4>0

(x+1)(x-4)>0 ∴ x<-1 또는 x>4

그런데 x-3>0, 즉 x>3이므로 x>4 …… ㉠ x€-3x<10에서 x€-3x-10<0

(x+2)(x-5)<0 ∴ -2<x<5

그런데 x-3>0, 즉 x>3이므로 3<x<5 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

3x+1<(3x-1)+x ∴ x>2 …… ㉠ 또한, 둔각삼각형이 되려면 (3x+1)€>(3x-1)€+x€

9x€+6x+1>10x€-6x+1, x€-12x<0 x(x-12)<0 ∴ 0<x<12

그런데 3x-1>0, 즉 x>;3!;이므로 ;3!;<x<12 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<x<12

0 k 5 6 7 x

㉠ ㉠

㉡

참고

가장 긴 변의 길이가 c이고 나머지 두 변의 길이가 a, b인 삼각형이

❶ 둔각삼각형일 때 ➡ a€+b€<c€

❷ 직각삼각형일 때 ➡ a€+b€=c€

❸ 예각삼각형일 때 ➡ a€+b€>c€

04-1

 '3 <a<5

|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때 판별식 D<0임을 이용한다.

두 이차방정식 x€+2ax+a+20=0, x€-2x+a€-2=0이 모두 허근을 가지므로 판별식을 각각 D¡, D™라 하면

D¡4 =a€-(a+20)<0이므로

a€-a-20<0, (a+4)(a-5)<0

∴ -4<a<5 åå ㉠

D™4 =(-1)€-(a€-2)<0이므로

a€-3>0, (a+'3 )(a-'3 )>0

∴ a<-'3 또는 a>'3 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -4<a<-'3 또는 '3<a<5

∴ '3<a<5 (∵ a>0)

04-2

 -7<a<-3

|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때는 판별식 D<0, 서로 다른 두 실근을 가질 때는 판별식 D>0임을 이용한다.

이차방정식 x€+(a+1)x-a+2=0이 허근을 갖고, 이차방정식 x€+2ax+a+12=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 이차방정 식의 판별식을 각각 D¡, D™라 하면

D¡=(a+1)€-4(-a+2)<0이므로 a€+6a-7<0, (a+7)(a-1)<0

∴ -7<a<1 …… ㉠

D™4 =a€-(a+12)>0이므로

a€-a-12>0, (a+3)(a-4)>0

∴ a<-3 또는 a>4 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -7<a<-3

05-1

^{ k<-5}

|해결 전략 | 서로 다른 두 근이 모두 양수일 조건은 (판별식)>0, (두 근의 합)>0, (두 근의 곱)>0이다.

이차방정식 (k-2)x€-2(k-2)x-7=0의 서로 다른 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하면

1 D

4 ={-(k-2)}€-(k-2)_(-7)>0 k€+3k-10>0, (k+5)(k-2)>0

∴ k<-5 또는 k>2 …… ㉠

2 a+b=--2(k-2) k-2 =2>0 3 ab= -7

k-2 >0 ∴ k<2 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 k<-5

05-2

^{ -3}

|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호이고 절댓값이 같으면 (두 근의 곱)<0, (두 근의 합)=0이다.

이차방정식 x€-(9-k€)x+k€+3k-10=0의 두 근을 a, b라 하면 1 ab=k€+3k-10=(k+5)(k-2)<0

∴ -5<k<2

2 a+b=9-k€=-(k+3)(k-3)=0 ∴ k=-3 또는 k=3

1, 2에서 구하는 k의 값은 -3

06-1

 ⑴ k>2 ⑵ k>1 ⑶ k>1

|해결 전략 | 판별식의 부호, 경곗값의 부호, 축의 위치를 조사한다.

⑴ ÷f(x)=x€-2(k+1)x+2k+5라 하 면 ÷f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 크 므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그

림과 같다.

1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(k+1)€-(2k+5)>0 k€-4>0, (k+2)(k-2)>0

∴ k<-2 또는 k>2 åå ㉠

2 f(1)=1-2(k+1)+2k+5=4>0이므로 항상 성립한다.

3 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=k+1이므로

k+1>1 ∴ k>0 åå ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

k>2

⑵ ÷f(x)=x€+2kx+2-k라 하면 ÷ f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 작으므로

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=k€-(2-k)>0

k€+k-2>0, (k+2)(k-1)>0

∴ k<-2 또는 k>1 åå ㉠

2 f(1)=1+2k+2-k>0에서

k>-3 åå ㉡

3 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므로

-k<1 ∴ k>-1 åå ㉢ ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

k>1

-5 2 k

㉠ ㉠

㉡

1

y=f(x)

x

1 x y=f(x)

1 -1

 ;2%;<x<5

|해결 전략 | 부등식 f(x)<0<g(x)의 해는 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위와 같다.

부등식 ÷f(x)<0<g(x)에서 [÷f(x)<0 0<g(x)

즉, 주어진 부등식의 해는 ÷f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값 의 범위이다.

1 f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 -1<x<5

2 g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 x>;2%;

1, 2에서 구하는 부등식의 해는

;2%;<x<5

1 -2

 x<-2 또는 x>3

|해결 전략 | 부등식 f(x)g(x)<0의 해는 f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위와 같다.

주어진 부등식의 해는 ÷f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, g(x)>0 을 만족시키는 x의 값의 범위이다.

1 f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 주어진 그래프에서 g(x)>0이므로 존재하지 않는다.

2 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 x<-2 또는 x>3

1, 2에서 구하는 부등식의 해는 x<-2 또는 x>3

유형 드릴 ^| 227쪽~229쪽 ^|

3

STEP

⑶ ÷f(x)=x€-2kx+3k-6이라 하면 f(x)=0의 두 근 사이에 3이 있으므로

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같 다.

따라서 ÷f(3)<0이어야 하므로

f(3)=9-6k+3k-6<0, -3k+3<0 ∴ k>1

3

y=f(x)

x

2 -1

 -;3!;<x<2

|해결 전략 | 부등식의 양변을 a로 나누어 푼다.

a<0이므로 3ax€-5ax-2a>0의 양변을 a로 나누면 3x€-5x-2<0, (3x+1)(x-2)<0

∴ -;3!;<x<2

2 -2

^{ ⑤}

|해결 전략 | 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 해를 구한다.

① x€-2x<2-2x에서 x€-2<0

(x+'2 )(x-'2 )<0 ∴ -'2<x<'2

② x€-3x>3(x-3)에서 x€-6x+9>0 (x-3)€>0 ∴ 모든 실수

③ x€+4x+5>-1에서 x€+4x+6>0 (x+2)€+2>0 ∴ 모든 실수

④ -3x€+1>-2x€+2x+2에서 x€+2x+1<0 (x+1)€<0 ∴ x=-1

⑤ 4x€+8x<4x-1에서 4x€+4x+1<0 (2x+1)€<0 ∴ 해는 없다.

따라서 해가 없는 부등식은 ⑤이다.

3 -1

 x<-1 또는 x>3

|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한다.

해가 -1<x<2이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은 (x+1)(x-2)<0 ∴ x€-x-2<0

이 부등식이 x€+ax+b<0과 일치하므로

a=-1, b=-2 åå ㉠

㉠을 x€+bx+3a>0에 대입하면 x€-2x-3>0, (x+1)(x-3)>0

∴ x<-1 또는 x>3

3 -2

 -5<x<1

|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주 어진 부등식과 비교한다.

해가 x<-1 또는 x>4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은 (x+1)(x-4)>0 ∴ x€-3x-4>0 åå ㉠ 이때, ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0

㉠의 양변에 a를 곱하면 ax€-3ax-4a<0

이 부등식이 ax€+3x+b<0과 일치하므로

-3a=3, -4a=b ∴ a=-1, b=4 åå ㉡

㉡을 ax€-bx+5>0에 대입하면 -x€-4x+5>0, x€+4x-5<0 (x+5)(x-1)<0 ∴ -5<x<1

4 -1

^{ 9}

|해결 전략 | 근호 안의 식의 이차항의 계수가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어 푼다.

모든 실수 x에 대하여 "ƒ(2-a)x€-2(2-a)x-3이 허수가 되려면 (2-a)x€-2(2-a)x-3<0이어야 한다.

1 2-a=0, 즉 a=2일 때

0_x€-2_0_x-3<0에서 -3<0이므로 모든 실수 x에 대하 여 성립한다.

2 2-a+0, 즉 a+2일 때

부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면

2-a<0 ∴ a>2 åå ㉠

또, 이차방정식 (2-a)x€-2(2-a)x-3=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야 하므로

D

4 =(2-a)€-(2-a)_(-3)<0

(a-2)(a-5)<0 ∴ 2<a<5 åå ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<a<5

1, 2에서 a의 값의 범위는 2<a<5

따라서 구하는 모든 정수 a의 값의 합은 2+3+4=9

❶ 'a가 실수이면 ➡ a>0

❷ 'a가 허수이면 ➡ a<0 LECTURE

4 -2

^{ 3}

|해결 전략 | 이차부등식 ax€+bx+c<0이 항상 성립할 조건은 a<0이고 이차 방정식 ax€+bx+c=0의 판별식 D<0임을 이용한다.

이차부등식 (a-1)x€+(a-1)x-1<0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면

a-1<0 ∴ a<1 åå ㉠

또, 이차방정식 (a-1)x€+(a-1)x-1=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야 하므로

D=(a-1)€-4_(a-1)_(-1)<0

(a+3)(a-1)<0 ∴ -3<a<1 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -3<a<1 따라서 구하는 정수 a는 -2, -1, 0의 3개이다.

5 -1

^{ -6}

|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)>0이 항상 성립할 때의 y=f(x) 의 그래프를 그려서 푼다.

f(x)=-x€+2x+2-k라 하면 f(x)=-(x-1)€+3-k

0<x<4에서 f(x)>0이 항상 성립하려면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

0<x<4에서 함수 f(x)는 x=4일 때 최소이므로 f(4)>0에서

-16+8+2-k>0 ∴ k<-6 따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 -6이다.

y

y=f(x)

O 1 4 x

5-2

^{ k>7}

|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x) 의 그래프를 그려서 푼다.

f(x)=x€-kx-3k+3이라 하자.

-2<x<3에서 f(x)<0이 항상 성립하려면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

1 f(-2)<0에서 4+2k-3k+3<0 -k+7<0 ∴ k>7

2 f(3)<0에서 9-3k-3k+3<0 -6k+12<0 ∴ k>2 1, 2에서 구하는 k의 값의 범위는 k>7

6-1

^{ 80}

|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 이차부등식을 세운다.

정지거리가 80 m 이하이어야 하므로

;10!0;x€+;5!;x<80, x€+20x-8000<0 (x+100)(x-80)<0 ∴ -100<x<80 그런데 x>0이므로 0<x<80

따라서 자동차의 최대 속력은 시속 80 km이다.

∴ a=80

6-2

 0<x<5

|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 이차부등식을 세운다.

액자 틀의 넓이가 600 cm€ 이하가 되어야 하므로 (30+2x)(20+2x)-30_20<600

4x€+100x-600<0, x€+25x-150<0 (x+30)(x-5)<0 ∴ -30<x<5 그런데 x>0이므로 x의 값의 범위는 0<x<5

7-1

^{ 9}

|해결 전략 | 주어진 부등식을 [f(x)<g(x)

g(x)<h(x) 꼴로 변형하여 푼다.

x+2<2x€-1에서 2x€-x-3>0

(x+1)(2x-3)>0 ∴ x<-1 또는 x>;2#; …… ㉠ 2x€-1<6x+7에서 2x€-6x-8<0

x€-3x-4<0, (x+1)(x-4)<0

∴ -1<x<4 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

;2#;<x<4

따라서 정수 x의 값은 2, 3, 4이므로 구하는 합은 2+3+4=9

-2 3 x y=f(x)

;2#; x

-1 4

㉠

㉠

㉡

7 -2

^{ 1}

|해결 전략 | 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통부분을 찾는다.

x€+x-6<0에서 (x+3)(x-2)<0

∴ -3<x<2 …… ㉠

2x€-3x-5<0에서 (x+1)(2x-5)<0

[x€-5x-6<0

(x-k)(x-1)>0 åå ㉠

x€+(a-3)x-3a>0 åå ㉠

åå ㉡ (x+1)(x-3)>0 ∴ x<-1 또는 x>3

그런데 x>0이므로 x>3 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

∴ k<-3 또는 k>3 åå ㉠

D™=k€-4(k+3)<0이므로 k€-4k-12<0, (k+2)(k-6)<0

∴ -2<k<6 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 3<k<6

∴ -3<a<2 åå ㉠

D™4 =a€-4<0이므로

(a+2)(a-2)<0

∴ -2<a<2 åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<a<2 따라서 정수 a는 -1, 0, 1의 3개이다.

문서에서 2020 개념해결의법칙 수학상 답지 정답 (페이지 76-83)