P
-7 6
-3 y
OB 2 x
⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+1=0 사이의 거리 d는 d= |1|
"ƒ1€+(-1)€= '22
이때, 원의 반지름의 길이는 '2 이고 '2 2 <'2
따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서 만난다.
1
두 원 x€+y€-2x=0, x€+y€+2y=0에 대하여 ⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은x€+y€-2x-(x€+y€+2y)=0 4 x+y=0
⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€-2x+k(x€+y€+2y)=0 (k+-1) åå ㉠ 이 원이 점 (1, 0)을 지나므로
1-2+k=0 4 k=1 k=1을 ㉠에 대입하면
x€+y€-2x+(x€+y€+2y)=0 4 x€+y€-x+y=0
2
⑴ y=x+1을 x€+y€=2에 대입하면 x€+(x+1)€=2, 2x€+2x-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D4 =1€-2_(-1)=3>0
따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서 만난다.
개념 확인 290쪽~291쪽
1 ⑴ x+y=0 ⑵ x€+y€-x+y=0
2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
원과 직선
2
1
⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x€+y€-4-(x€+y€+2x-4y+4)=0 -2x+4y-8=04 x-2y+4=0
⑵ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x€+y€+2x-1-(x€+y€-2x+4y)=0 4 4x-4y-1=0
⑶ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
(x+3)€+(y+1)€-10-[(x-1)€+{y+;2#;}€-:¡4£:]=0 x€+y€+6x+2y-(x€+y€-2x+3y)=0
4 8x-y=0
2
⑴ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은x€+y€-2x+k(x€+y€-4x-6y+8)=0 (k+-1) å ㉠ 이 원이 점 A(0, 1)을 지나므로
1+k(1-6+8)=0, 1+3k=0 4 k=-;3!;
k=-;3!; 을 ㉠에 대입하면
x€+y€-2x-;3!;(x€+y€-4x-6y+8)=0 ;3@;x€+;3@; y€-;3@;x+2y-;3*;=0
4 x€+y€-x+3y-4=0
⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€-4+k(x€+y€-6x-8y-8)=0 (k+-1) åå ㉠ 이 원이 점 A(-1, 0)을 지나므로
1-4+k(1+6-8)=0, -3-k=0 4 k=-3 개념 드릴
1
STEP
| 292쪽 |1 ⑴ x-2y+4=0 ⑵ 4x-4y-1=0 ⑶ 8x-y=0 2 ⑴ x€+y€-x+3y-4=0 ⑵ x€+y€-9x-12y-10=0
⑶ x€+y€-y-20=0
3 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ 한 점에서 만난다.
4 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ 만나지 않는다.
k=-3을 ㉠에 대입하면
x€+y€-4-3(x€+y€-6x-8y-8)=0 -2x€-2y€+18x+24y+20=0 4 x€+y€-9x-12y-10=0 ⑶ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
(x-2)€+(y+3)€-25+k{(x+2)€+(y-4)€-48}=0 (k+-1) åå ㉠ 이 원이 점 A(0, 5)를 지나므로
4+64-25+k(4+1-48)=0, 43-43k=0 4 k=1 k=1을 ㉠에 대입하면
(x-2)€+(y+3)€-25+{(x+2)€+(y-4)€-48}=0 x€+y€-4x+6y-12+(x€+y€+4x-8y-28)=0 2x€+2y€-2y-40=0
4 x€+y€-y-20=0
3
⑴ y=-2x+3을 x€+y€=1에 대입하면 x€+(-2x+3)€=14 5x€-12x+8=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D
4 =(-6)€-5_8=-4<0
따라서 원 x€+y€=1과 직선 y=-2x+3은 만나지 않는다.
⑵ y=x-2를 x€+y€=9에 대입하면 x€+(x-2)€=9
4 2x€-4x-5=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D4 =(-2)€-2_(-5)=14>0
따라서 원 x€+y€=9와 직선 y=x-2는 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ x-y-4=0, 즉 y=x-4를 x€+y€=8에 대입하면 x€+(x-4)€=8
4 x€-4x+4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D
4 =(-2)€-1_4=0
따라서 원 x€+y€=8과 직선 x-y-4=0은 한 점에서 만난다.
4
⑴ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-3y-10=0 사이의 거리 d는 d= |-10|"ƒ1€+(-3)€='ß10
이때, 원의 반지름의 길이는 'ß10이고 'ß10='ß10
따라서 원 x€+y€=10과 직선 x-3y-10=0은 한 점에서 만 난다.
⑵ 원의 중심 (1, -2)와 직선 y=-x-3, 즉 x+y+3=0 사이 의 거리 d는
d= |1-2+3|
"ƒ1€+1€ ='2
이때, 원의 반지름의 길이는 '5이고 '2<'5
따라서 원 (x-1)€+(y+2)€=5와 직선 y=-x-3은 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ x€+y€+2x-2y-2=0에서 (x+1)€+(y-1)€=4 원의 중심 (-1, 1)과 직선 y=2x-2, 즉 2x-y-2=0 사이
의 거리 d는
d= |2_(-1)-1-2|
"ƒ2€+(-1)€ ='5
이때, 원의 반지름의 길이는 2이고 '5>2
따라서 원 x€+y€+2x-2y-2=0과 직선 y=2x-2는 만나 지 않는다.
01-1
5|해결 전략 | 두원x€+y€+ax+by+c=0,x€+y€+a'x+b'y+c'=0의교 점을지나는직선의방정식은
x€+y€+ax+by+c-(x€+y€+a'x+b'y+c')=0이다.
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x€+y€-2y-2-(x€+y€-2x+4y-4)=0 2x-6y+2=0 4 x-3y+1=0 이 직선이 점 (k, 2)를 지나므로 k-6+1=0 4 k=5
01-2
6|해결 전략 | 두원x€+y€+ax+by+c=0,x€+y€+a'x+b'y+c'=0의교 점을지나는원의방정식은
x€+y€+ax+by+c+k(x€+y€+a'x+b'y+c')=0(k+-1)이다.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€+ax+2y-2+k(x€+y€-2y)=0 (k+-1) åå ㉠ 이 원이 점 (0, 1)을 지나므로
1+2-2+k(1-2)=0, 1-k=0 4 k=1 k=1을 ㉠에 대입하면
x€+y€+ax+2y-2+(x€+y€-2y)=0 2x€+2y€+ax-2=0
x€+y€+;2A;x-1=0
4 {x+;4A;}€+y€= a€+1616
이 원의 넓이가 :¡4£:p이므로 a€+1616 =:¡4£:에서 a€+16=52, a€=36
4 a=6 (5 a>0)
02-1
⑴ -4<k<4 ⑵ k=-4 ⑶ k<-4 또는 k>4|해결 전략 | 원의방정식과직선의방정식을연립하여얻은이차방정식의판별 식을이용한다.
필수 유형
2
STEP
| 293쪽~297쪽 |y='3x+k를 x€+y€=4에 대입하면 x€+('3x+k)€=4
4 4x€+2'3kx+k€-4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D4 =('3k)€-4(k€-4)=-k€+16
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D
4 =-k€+16>0에서 k€-16<0 (k+4)(k-4)<0 4 -4<k<4
⑵ 접하려면
4 =-k€+16<0에서 k€-16>0
(k+4)(k-4)>0 4 k<-4 또는 k>4 다른 풀이
AH’="ƒ5€-3€=4
따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=8
="ƒ3€+3€=3'2
이때, 원의 반지름의 길이가 'ß13-k 이므로 'ß13-k=3'2, 13-k=18 4 k=-5
다른 풀이
원 x€+y€+4x-6y+k=0이 x축과 만나는 두 점의 y좌표는 0이므로
x€+4x+k=0 yy ㉠
이때, 두 점의 x좌표를 각각 a, b라 하면 a, b는 이차방정식 ㉠의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-4, ab=k
주어진 조건에서 |a-b|=6이고
4 AB’=2AH’=2'3
04-1
5직각삼각형 CPT에서 PT’ =
"ƒ
CP’ €-CT’ €="ƒ(2'ß10)€-('ß15)€ =5
접선의성질 원 O의 접선 l에 대하여
❶ OH’-l
❷ OP’ €=PH’ €+OH’ €
즉, 원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선의 길이는
PH’="ƒ PO’ €-r€
P H l
r O LECTURE
04-2
2'ß14|해결 전략 | 원의중심과점P를이은선분이색칠된부분의넓이를이등분함을
이용한다.
x€+y€-4x-6y+9=0에서 (x-2)€+(y-3)€=4 원의 중심을 C(2, 3)이라 하면 CP’="ƒ(5-2)€+(6-3)€=3'2 직각삼각형 ACP에서
PA’=
"ƒ
CP’ €-CA’ €="ƒ(3'2 )€-2€='ß14 4 ACBP=21ACP
=2_;2!;_PA’_CA’
=2_;2!;_'ß14_2=2'ß14
05-1
최댓값: 5+2'2, 최솟값: 5-2'2|해결 전략 | 원의중심과원점사이의거리와반지름의길이를이용한다.
x€+y€-6x-8y+17=0에서 (x-3)€+(y-4)€=8
원의 중심 (3, 4)와 원점 O 사이의 거리를 d라 하면 d="ƒ3€+4€=5
따라서 오른쪽 그림에서 원 위의 점과 원점 O 사이의 거리의
최댓값은 O”A’=d+r=5+2'2 최솟값은 OB’=d-r=5-2'2
05-2
8|해결 전략 | 점P와직선AB사이의거리가최소일때삼각형의넓이가최소
이다.
y
O x
P(5, 6)
C(2, 3) A
B
y
O 3
4
x d
r A
B
원 (x-2)€+(y-2)€=4 위의 점 P(x, y)에서 AB’에 내린 수선의 발을 H 라 하자.
1ABP의 넓이가 최소이려면 오른쪽 그 림과 같이 PH’의 길이가 최소이어야 한다.
두 점 A(-3, 0), B(0, -4)를 지나는 직 선의 방정식은
-3 +x y
-4 =1 4 4x+3y+12=0
원의 중심 (2, 2)와 직선 4x+3y+12=0 사이의 거리는
|4_2+3_2+12|
"ƒ4€+3€ = 265
이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 PH’의 길이의 최솟값은 265 -2=165
또, AB’="ƒ(0+3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최솟 값은
;2!;_5_ 165 =8 참고
1ABP의 넓이가 최대이려면 PH’의 길이가 최대이어야 한다.
이때, PH’의 길이의 최댓값은 :™5§:+2=:£5§:이므로 1ABP의 넓이의 최댓값 은 ;2!;_5_:£5§:=18
y
O P A
H -4 B
-3 2
2
x
1
⑴ y=-1_x\"ƒ(-1)€+1 4 y=-x\'2 ⑵ y=2x\3"ƒ2€+1 4 y=2x\3'52
⑴ 1_x+(-1)_y=2 4 x-y-2=0 ⑵ (3-2)(x-2)+(0+1)(y+1)=2 x-2+y+1-2=04 x+y-3=0
⑶ 3_x+(-1)_y-2_ 3+x2 +4_-1+y 2 =0 3x-y-(3+x)+2(-1+y)=0
4 2x+y-5=0
개념 확인 298쪽~300쪽
1 ⑴ y=-x\'2 ⑵ y=2x\3'5
2 ⑴ x-y-2=0 ⑵ x+y-3=0 ⑶ 2x+y-5=0