O LECTURE
04-2
2'ß14|해결 전략 | 원의중심과점P를이은선분이색칠된부분의넓이를이등분함을
이용한다.
x€+y€-4x-6y+9=0에서 (x-2)€+(y-3)€=4 원의 중심을 C(2, 3)이라 하면 CP’="ƒ(5-2)€+(6-3)€=3'2 직각삼각형 ACP에서
PA’=
"ƒ
CP’ €-CA’ €="ƒ(3'2 )€-2€='ß14 4 ACBP=21ACP
=2_;2!;_PA’_CA’
=2_;2!;_'ß14_2=2'ß14
05-1
최댓값: 5+2'2, 최솟값: 5-2'2|해결 전략 | 원의중심과원점사이의거리와반지름의길이를이용한다.
x€+y€-6x-8y+17=0에서 (x-3)€+(y-4)€=8
원의 중심 (3, 4)와 원점 O 사이의 거리를 d라 하면 d="ƒ3€+4€=5
따라서 오른쪽 그림에서 원 위의 점과 원점 O 사이의 거리의
최댓값은 O”A’=d+r=5+2'2 최솟값은 OB’=d-r=5-2'2
05-2
8|해결 전략 | 점P와직선AB사이의거리가최소일때삼각형의넓이가최소
이다.
y
O x
P(5, 6)
C(2, 3) A
B
y
O 3
4
x d
r A
B
원 (x-2)€+(y-2)€=4 위의 점 P(x, y)에서 AB’에 내린 수선의 발을 H 라 하자.
1ABP의 넓이가 최소이려면 오른쪽 그 림과 같이 PH’의 길이가 최소이어야 한다.
두 점 A(-3, 0), B(0, -4)를 지나는 직 선의 방정식은
-3 +x y
-4 =1 4 4x+3y+12=0
원의 중심 (2, 2)와 직선 4x+3y+12=0 사이의 거리는
|4_2+3_2+12|
"ƒ4€+3€ = 265
이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 PH’의 길이의 최솟값은 265 -2=165
또, AB’="ƒ(0+3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최솟 값은
;2!;_5_ 165 =8 참고
1ABP의 넓이가 최대이려면 PH’의 길이가 최대이어야 한다.
이때, PH’의 길이의 최댓값은 :™5§:+2=:£5§:이므로 1ABP의 넓이의 최댓값 은 ;2!;_5_:£5§:=18
y
O P A
H -4 B
-3 2
2
x
1
⑴ y=-1_x\"ƒ(-1)€+1 4 y=-x\'2 ⑵ y=2x\3"ƒ2€+1 4 y=2x\3'52
⑴ 1_x+(-1)_y=2 4 x-y-2=0 ⑵ (3-2)(x-2)+(0+1)(y+1)=2 x-2+y+1-2=04 x+y-3=0
⑶ 3_x+(-1)_y-2_ 3+x2 +4_-1+y 2 =0 3x-y-(3+x)+2(-1+y)=0
4 2x+y-5=0
개념 확인 298쪽~300쪽
1 ⑴ y=-x\'2 ⑵ y=2x\3'5
2 ⑴ x-y-2=0 ⑵ x+y-3=0 ⑶ 2x+y-5=0
원의 접선의 방정식
3
⑵ 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -3)을 지나므로 접선의 방정식은
y-(-3)=m(x-1) 4 y=mx-m-3 yy ㉠ ㉠ 을 x€+y€=2에 대입하면
x€+(mx-m-3)€=2
4 (m€+1)x€-2(m€+3m)x+m€+6m+7=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이므로 :4Î:=(m€+3m)€-(m€+1)(m€+6m+7)=0 m›+6m‹+9m€-(m›+6m‹+8m€+6m+7)=0 m€-6m-7=0, (m+1)(m-7)=0
4 m=-1 또는 m=7
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-x-2 또는 y=7x-10
⑶ 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -3)을 지나므로 접선의 방 정식은
y-(-3)=m(x-1) 4 mx-y-m-3=0 åå ㉠ 원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 '2와
같으므로 |-m-3|
"ƒm€+(-1)€='2 |-m-3|="ƒ2m€+2 양변을 제곱하여 정리하면 m€-6m-7=0
(m+1)(m-7)=0 4 m=-1 또는 m=7
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 x+y+2=0 또는 7x-y-10=0
4 y=-x-2 또는 y=7x-10
1
⑴ y=2x\"ƒ2€+1 4 y=2x\'5⑵ y=-3x\3"ƒ(-3)€+1 4 y=-3x\3'ß10 ⑶ y='5x\'6 "ƒ('5 )€+1 4 y='5x\6
2
⑴ 3_x+2_y=13 4 3x+2y-13=0⑵ (2-1)(x-1)+(-3+4)(y+4)=2 x-1+y+4-2=0
4 x+y+1=0
⑶ (-1+2)(x+2)+(1-3)(y-3)=5 x+2-2y+6-5=0
4 x-2y+3=0
⑷ 0_x+(-1)_y+4_ 0+x2 +6_-1+y 2 +5=0 -y+2x+3(-1+y)+5=0
4 x+y+1=0
⑸ -2_x+5_y-2_ -2+x2 -2_ 5+y2 -23=0 -2x+5y-(-2+x)-(5+y)-23=0
4 3x-4y+26=0
3
⑴ 접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 yO
(1, -3) '2 x '2 -'2
-'2
접선의 방정식은
x¡x+y¡y=2
이 접선이 점 (1, -3)을 지나 므로
x¡-3y¡=2
4 x¡=3y¡+2 åå ㉠
또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로 x¡€+y¡€=2 åå ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면
5y¡€+6y¡+1=0, (y¡+1)(5y¡+1)=0 4 y¡=-1 또는 y¡=-;5!;
이것을 ㉠에 대입하면
x¡=-1, y¡=-1 또는 x¡=;5&;, y¡=-;5!;
따라서 구하는 접선의 방정식은 -x-y=2 또는 ;5&;x-;5!; y=2 4 y=-x-2 또는 y=7x-10
개념 드릴
1
STEP
| 301쪽 |1 ⑴ y=2x\'5 ⑵ y=-3x\3'ß10 ⑶ y='5x\6 2 ⑴ 3x+2y-13=0 ⑵ x+y+1=0 ⑶ x-2y+3=0
⑷ x+y+1=0 ⑸ 3x-4y+26=0 3 ⑴ y=-x-2 또는 y=7x-10
⑵ y=-x-2 또는 y=7x-10 ⑶ y=-x-2 또는 y=7x-10
01-1
y=x\2|해결 전략 | y=mx\r"ƒm€+1을이용한다.
구하는 접선의 기울기를 m이라 하면 m=tan 45^=1
원 x€+y€=2의 반지름의 길이가 '2 이므로 구하는 직선의 방정식은 y=x-"2 "ƒ1€+1 4 y=x\2
다른 풀이
① 구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하고, 이것을 원의 방정식에 대입하면 x€+(x+n)€=2 4 2x€+2nx+n€-2=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로 D4 =n€-2(n€-2)=0, n€=4 4 n=\2
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x\2
필수 유형
2
STEP
| 302쪽~304쪽 |② 구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하면 원의 중심 (0, 0)과 직선
직선 x-3y-2=0, 즉 y=;3!;x-;3@;의 기울기가 ;3!;이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -3이다.
따라서 기울기가 -3인 접선의 방정식을 y=-3x+n이라 하면 원의 중심 (1, 3)과 직선 y=-3x+n, 즉3x+y-n=0 사이의 거 리가 원의 반지름의 길이 'ß10 과 같으므로
|3_1+1_3-n|
"ƒ3€+1€ ='ß10, |6-n|=10 6-n=\10 4 n=-4 또는 n=16 따라서 구하는 직선의 방정식은 4 10x€-2(3n-8)x+n€-6n=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로 D4 =(3n-8)€-10(n€-6n)=0
n€-12n-64=0, (n+4)(n-16)=0 4 n=-4 또는 n=16
1_x+(-2)_y=5 4 x-2y-5=0 이 직선이 점 (3, a)를 지나므로
3-2a-5=0, -2a=2 4 a=-1
02-2
8|해결 전략 | x€대신x¡x,y€대신y¡y,x대신x¡+x
2 ,y대신y¡+y 2 를대입 한다.
3_x+1_y-2_ 3+x2 +2_1+y 2 -6=0
① x€+y€-2x+2y-6=0에서 (x-1)€+(y+1)€=8 따라서 원 위의 점 (3, 1)에서의 접선의 방정식은
"ƒm€+(-1)€=1, |m+2|="ƒm€+1
양변을 제곱하여 정리하면 4m=-3 4 m=-;4#;
원의 중심이 직선 y=-x-1 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, -a-1)이라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 (x-a)€+{y-(-a-1)}€=r€
4 (x-a)€+(y+a+1)€=r€
이 원이 두 점 (1, -1), (1, 3)을 지나므로
(1-a)€+(-1+a+1)€=r€에서 2a€-2a+1=r€ yy ㉠ (1-a)€+(3+a+1)€=r€에서 2a€+6a+17=r€ yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, r€=13 따라서 구하는 원의 방정식은
(x+2)€+(y-1)€=13 다른 풀이
원의 중심의 좌표를 (a, -a-1)이라 하면 점 (a, -a-1)에서 두 점 (1, -1), (1, 3)에 이르는 거리가 반지름의 길이로 같으므로
"ƒ(a-1)€+a€="ƒ(a-1)€+(-a-4)€
양변을 제곱하여 정리하면 8a=-16 4 a=-2 즉, 원의 중심의 좌표는 (-2, 1)이고 반지름의 길이는
"ƒ(-2-1)€+(1+1)€='ß13 이므로 구하는 원의 방정식은 (x+2)€+(y-1)€=13
2 -2
(x-1)€+y€=5|해결 전략 | 중심이x축위에있으므로중심의좌표를(a,0)으로놓는다.
원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하고 반지 름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은
(x-a)€+y€=r€
이 원이 두 점 (0, 2), (3, 1)을 지나므로
a€+4=r€ yy ㉠
(3-a)€+1€=r€에서 a€-6a+10=r€ yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, r€=5 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+y€=5
3 -1
k<2|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후(반지름의길이)€>0임을이 용한다.
x€+y€+2x-4y+k+3=0에서 (x€+2x+1)+(y€-4y+4)+k-2=0 (x+1)€+(y-2)€=2-k
이 방정식이 원을 나타내려면 2-k>0 4 k<2
3 -2
1|해결 전략 | 주어진방정식을표준형으로나타낸후반지름의길이를k에대하 여나타낸다.
x€+y€-2kx+2y+k=0에서
(x€-2kx+k€)+(y€+2y+1)-k€+k-1=0 (x-k)€+(y+1)€=k€-k+1
03 -2
;3*;|해결 전략 | 접선의기울기를m이라하고원의중심과접선사이의거리가반지 름의길이와같음을이용한다.
접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -1)을 지나므로 접선의 방정식은 y-(-1)=m(x-1) 4 mx-y-m-1=0 åå ㉠ 원의 중심 (-1, 2)와 직선 ㉠ 사이의 거
(1, -1) -1
2 y
O x
리가 반지름의 길이 1과 같으므로
|-m-2-m-1|
"ƒm€+(-1)€ =1
|-2m-3|="ƒm€+1 양변을 제곱하여 정리하면 3m€+12m+8=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의 곱은 ;3*;이다.
1 -1
(x-4)€+(y-2)€=25|해결 전략 | 두점A,B를지름의양끝점으로하는원의중심은AB’의중점이 고반지름의길이는;2!;AB’이다.
구하는 원의 중심은 AB’의 중점이므로 원의 중심의 좌표는 { 0+82 , -1+5
2 }, 즉 (4, 2)
원의 중심을 P라 하면 원의 반지름의 길이는 AP’ 또는 BP’이므로 AP’="ƒ(4-0)€+(2+1)€=5
따라서 중심의 좌표가 (4, 2)이고 반지름의 길이가 5인 원의 방정식은 (x-4)€+(y-2)€=25
1 -2
-5|해결 전략 | 중심이점(a,b)이고반지름의길이가r인원의방정식은 (x-a)€+(y-b)€=r€이다.
중심이 점 (1, -2)이고 반지름의 길이가 'ß10인 원의 방정식은 (x-1)€+(y+2)€=10
이 원이 점 (2, a)를 지나므로
(2-1)€+(a+2)€=10, a€+4a-5=0 (a+5)(a-1)=0 4 a=-5 또는 a=1 그런데 a는 음수이므로 a=-5
2 -1
(x+2)€+(y-1)€=13|해결 전략 | 중심이직선y=-x-1위에있으므로중심의좌표를(a,-a-1) 로놓는다.
유형 드릴
3
STEP
| 305쪽~307쪽 |두 원의 공통현의 방정식은
x€+y€-x+ay+14-(x€+y€-2x+8y+3)=0
4 x+(a-8)y+11=0 yy ㉠
또, x€+y€-2x+8y+3=0에서
(x-1)€+(y+4)€=14 yy ㉡
따라서 직선 ㉠이 원 ㉡의 중심 (1, -4)를 지나야 하므로 1-4(a-8)+11=0, 4a=44 4 a=11
5-2
7|해결 전략 | 두원x€+y€+ax+by+c=0,x€+y€+a'x+b'y+c'=0의교 점을지나는원의방정식은
(x€+y€+ax+by+c)+k(x€+y€+a'x+b'y+c')=0(k+-1)이다.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은
x€+y€+4x-6y-48+k(x€+y€-18x-8y+48)=0 (k+-1) yy ㉠ 이 원이 원점을 지나므로
-48+48k=0 4 k=1 k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면 x€+y€-7x-7y=0
4 {x-;2&;}€+{y-;2&;}€=:¢2ª:
따라서 a=;2&;, b=;2&;이므로 a+b=7
6-1
9|해결 전략 | 원과직선이서로다른두점에서만날때,원의중심과직선사이의
거리는반지름의길이보다작다.
x€+y€-4x=0에서 (x-2)€+y€=4
원의 중심 (2, 0)과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리는
|2+k|
"ƒ1€+(-2)€= |k+2|
'5
원의 반지름의 길이는 2이고, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나 려면 (원의 중심과 직선 사이의 거리)<(반지름의 길이)이어야 하 므로
|k+2|
'5 <2, |k+2|<2'5
-2'5<k+2<2'5 4 -2-2'5<k<-2+2'5 따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, å, 2의 9개이다.
참고
'ß16<'ß20<'ß25, 즉 4<2'5<5이므로 2'5=4.___이다.
-2-2'5<k<-2+2'5 에서
-2-4.___<k<-2+4.___, -6.___<k<2.___
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, y, 2이다.
다른 풀이
x-2y+k=0에서 x=2y-k를 x€+y€-4x=0에 대입하면 (2y-k)€+y€-4(2y-k)=0
4 5y€-4(k+2)y+k€+4k=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D4 ={-2(k+2)}€-5(k€+4k)=-k€-4k+16 이 방정식이 반지름의 길이가 '7 인 원을 나타내려면
"ƒk€-k+1='7 4 k€-k-6=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 합은 1이다.
참고
k€-k+1={k-;2!;}€+;4#;>0
이므로 모든 실수 k에 대하여 방정식 (x-k)€+(y+1)€=k€-k+1은 원이 된다.
4 -1
8'2|해결 전략 | 중심이직선y=x+2위에있으므로중심의좌표를(a,a+2)로놓 고x축에접하는원의반지름의길이는|a+2|임을이용한다.
원의 중심이 직선 y=x+2 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, a+2)라 하자.
이 원이 x축에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a+2|이다.
4 (x-a)€+(y-a-2)€=(a+2)€
이 원이 점 (2, 2)를 지나므로 (2-a)€+(2-a-2)€=(a+2)€
4-4a+a€+a€=a€+4a+4 a€-8a=0, a(a-8)=0 4 a=0 또는 a=8
따라서 두 원의 중심의 좌표는 (0, 2), (8, 10)이므로 중심 사이의 거 리는
"ƒ(8-0)€+(10-2)€=8'2
4 -2
16|해결 전략 | x축,y축에동시에접하면서제1사분면위의점을지나는원의중심 은제1사분면위에있음을이용한다.
x축과 y축에 동시에 접하는 원이 점 (3, 5)를 지나므로 원의 중심이 제1사분면 위에 있어야 한다.
즉, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심의 좌표는 (r, r)이므로 원의 방정식은
(x-r)€+(y-r)€=r€
이 원이 점 (3, 5)를 지나므로 (3-r)€+(5-r)€=r€
4 r€-16r+34=0
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 원의 반 지름의 길이의 합은 16이다.
5 -1
11|해결 전략 | 원O가원O'의둘레를이등분하면두원의공통현은원O'의지름 임을이용한다.
원 x€+y€-x+ay+14=0이 원 x€+y€-2x+8y+3=0의 둘레 를 이등분하려면 두 원의 공통현이 원 x€+y€-2x+8y+3=0의 지 름이어야 한다.
이때, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 D4 >0에서 -k€-4k+16>0, k€+4k-16<0
{k-(-2-2'5 )}{k-(-2+2'5 )}<0 4 -2-2'5<k<-2+2'5
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, y, 2의 9개이다.
6 -2
6|해결 전략 | 원과직선이접할때,원의중심과직선사이의거리는반지름의길 이와같다.
x€+y€-6y-7=0에서 x€+(y-3)€=16
원의 중심 (0, 3)과 직선 y='3x+k, 즉 '3x-y+k=0 사이의 거 리는
k-3=\8 4 k=-5 또는 k=11 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 6이다.
다른 풀이
y='3x+k를 x€+y€-6y-7=0에 대입하면 x€+('3x+k)€-6('3x+k)-7=0 4 4x€+2'3(k-3)x+k€-6k-7=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D4 ={'3(k-3)}€-4(k€-6k-7)=-k€+6k+55
이때, 원과 직선이 접하려면 D4 =0에서 4 k=-'2 (∵ k<0)
y
A”H’=
"ƒ
O”A’ €-O”H’ €="ƒ4€-3€='7 4 AB’=2AH’=2'78 -1
4원의 중심 O(0, 0)과 점 P(3, 2) 사 y
O
="ƒ('ß13 )€-1€=2'3 4 OAPB=21AOP
=2_;2!;_AP’_OA’
=2_;2!;_2'3_1=2'3
9 -1
10이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로
원 x€+y€=4 위의 점 P(x, y)에서 AB’에 y
O x
또, AB’="ƒ(0-3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최댓 값은
y=;3!;x\3Ƙ{;3!;}€+1 4 y=;3!;x\'ß10
이때, 직선 y=;3!;x-'ß10과 직선 y=;3!;x+'ß10이 x축과 만나는 두 점은 각각 (3'ß10, 0), (-3'ß10, 0)이므로 구하는 두 점 사이의 거리는
|3'ß10-(-3'ß10)|=6'ß10
10-2
20 (-5+'5 )(-5-'5 )=2011-1
4|해결 전략 | x€대신x¡x,y€대신y¡y,x대신x¡+x
2 ,y대신y¡+y 2 를대입 한다.
1_x+1_y+2_ 1+x2 -8_1+y 2 +4=0 (x+1)€+(y-4)€=13
따라서 원 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 (1+1)(x+1)+(1-4)(y-4)=13
4 2x-3y+1=0
이 직선이 점 (a, 3)을 지나므로 2x+4y=20 4 x+2y=10
이 접선이 x축과 만나는 점은 A(10, 0)이다.
원 x€+y€=20 위의 점 (-4, 2) 에서의 접선의 방정식은
-4x+2y=20 4 2x-y=-10 이 접선이 x축과 만나는 점은 B(-5, 0)이다.