㉠
이때 부등식 ㉠은 해가 -3ÉxÉ5이고 xÛ`의 계수가 1인 이 차부등식이므로
(x+3)(x-5)É0, xÛ`-2x-15É0
∴ a=15 yy ❶
부등식 ㉡은 해가 x<-1 또는 x>4이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식이므로
(x+1)(x-4)>0, xÛ`-3x-4>0
∴ b=4 yy ❷
∴ a+b=19 yy ❸
채점 기준 배점
❶ a의 값 구하기
40%40%
20%
❷ b의 값 구하기
❸ a+b의 값 구하기
690
이차부등식 xÛ`-ax+12É0의 해가 aÉxÉb이므로 (x-a)(x-b)É0
즉, xÛ`-(a+b)x+abÉ0에서
10
또 이차방정식 xÛ`-(m-4)x+9=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª=(m-4)Û`-36<0
mÛ`-8m-20<0, (m+2)(m-10)<0 ∴ -2<m<10
따라서 구하는 실수 m의 값의 범위는 -2<m<10
694
주어진 이차방정식의 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하면 Ú D
144=(3k+1)Û`-3(k+1)¾0
9kÛ`+3k-2¾0, (3k+2)(3k-1)¾0
∴ kÉ-;3@; 또는 k¾;3!;
Û a+b=-2(3k+1)
1111153 <0 ∴ k>-;3!;
Ü ab=k+1
1123 >0 ∴ k>-1
Ú, Û, Ü의 공통 부분을 구하면 k¾;3!;
695
P(x)-3(x+1)Q(x)+mxÛ`
=3xÜ +x+11-3(x+1)(xÛ -x+1)+mxÛ
=3xÜ +x+11-3(xÜ +1)+mxÛ
=mxÛ +x+8
이차방정식 mxÛ +x+8=0의 실근은 이차함수
f(x)=mxÛ +x+8의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표이다.
이때 한 근이 2보다 크고 다른 한 근이 2보다 작은 경우는 다 음과 같다.
2 x
f{x}=mx@+x+8
x f{x}=mx@+x+8
2
Ú m>0일 때
f(2)=4m+10<0이므로 m<-;2%;
그런데 m>0이어야 하므로 주어진 조건을 만족하는 m 은 존재하지 않는다.
Û m<0일 때
f(2)=4m+10>0이므로 m>-;2%;
∴ -;2%;<m<0 a+b=a, ab=12 yy ㉠
이차부등식 xÛ`-5x+b¾0의 해가 xÉa-1 또는 x¾b-1 이므로
{x-(a-1)}{x-(b-1)}¾0
즉, xÛ`-(a+b-2)x+(a-1)(b-1)¾0에서 a+b-2=5, (a-1)(b-1)=b yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=a+b=7
b=(a-1)(b-1) =ab-(a+b)+1
=12-7+1=6 ∴ ab=7´6=42
691
xÛ`+4x-21É0에서 (x+7)(x-3)É0
∴ -7ÉxÉ3 yy ㉠
xÛ`-5kx-6kÛ`>0에서 (x+k)(x-6k)>0 ∴ x<-k 또는 x>6k (∵ k>0) yy ㉡
-7 -k0 3 6k x
㉠ ㉡
㉡
㉠, ㉡에서 해가 존재하기 위한 k의 값의 범위는 0<k<7
따라서 양의 정수 k의 개수는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6이다.
692
새로 만든 직육면체의 밑면의 가로와 세로의 길이, 높이는 각각 a+4, a, a-3이고, 0보다 커야 하므로
a-3>0 ∴ a>3 yy ㉠
이 직육면체의 부피는 a(a+4)(a-3)이고 처음 정육면체의 부피는 aÜ`이므로
a(a+4)(a-3)<aÜ`, aÛ`-12a<0 a(a-12)<0 ∴ 0<a<12 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 부분은 3<a<12
따라서 자연수 a의 개수는 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11의 8이다.
693
이차방정식 xÛ`+2'2x-m(m+1)=0의 판별식을 DÁ이라 하면
DÁ
144=2+m(m+1)=mÛ`+m+2¾0 그런데 mÛ`+m+2={m+;2!;}2`+;4&;>0이므로 위의 부등식은 모든 실수 m에 대하여 성립한다.
k는 양의 정수이므로 항상 6k>3이다.
본문 300~301쪽
중단원 연습문제 B
696 ② 697 ⑤ 698 10 699 ① 700 ③ 701 ① 702 k>4
703 ④ 704 ② 705 18
696
부등식 f(x)É0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나거 나 x축보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위와 같으므로 주어 진 그래프에서 -1ÉxÉ2
따라서 부등식 f {x+k
1122 }É0의 해는 -1Éx+k
1122 É2, -2Éx+kÉ4 ∴ -2-kÉxÉ4-k yy ㉠
㉠이 -3ÉxÉ3과 같아야 하므로
-2-k=-3이고 4-k=3 ∴ k=1
697
y=f(x)의 그래프와 직선 y=x+1의 교점의 y좌표가 4와 9 이므로 교점의 x좌표는 3과 8이다.
이때 y=f(x)의 이차항의 계수가 음
x y y=f(x) y=x+1
O 3 1 4 9
8 수이므로 y=f(x)의 그래프와 직선
y=x+1의 개형은 오른쪽 그림과 같다.
f(x)-x-1>0에서 f(x)>x+1
즉, 주어진 이차부등식의 해는
y=f(x)의 그래프가 직선 y=x+1보다 위쪽에 있는 x의 값 의 범위와 같으므로
3<x<8
따라서 이를 만족시키는 정수 x는 4, 5, 6, 7이므로 구하는 합은
4+5+6+7=22
698
모든 실수 x에 대하여 |x-a|¾0이므로 Ú |x-a|=0, 즉 x=a일 때
0É0이므로 주어진 부등식이 성립한다.
Û |x-a|>0, 즉 x+a일 때
(x-9)|x-a|É0의 양변을 |x-a|로 나누면 x-9É0 ∴ xÉ9
Ú, Û에서 부등식의 해는
x=a 또는 xÉ9 yy ㉠
이때 ㉠을 만족시키는 자연수 x의 개수가 10이려면 a는 9보 다 큰 자연수이어야 하므로 a의 최솟값은 10이다.
699
주어진 연립부등식의 해가 1ÉxÉ2 또는 x=4가 되려면 두 부등식의 해가 다음 그림과 같아야 한다.
4 x 1 2
이차부등식 xÛ`+ax+b¾0의 해가 xÉ2 또는 x¾4이므로 (x-2)(x-4)¾0, xÛ`-6x+8¾0
∴ a=-6, b=8
또 이차부등식 xÛ`+cx+dÉ0의 해가 1ÉxÉ4이므로 (x-1)(x-4)É0, xÛ`-5x+4É0
∴ c=-5, d=4
∴ a+b+c+d=-6+8-5+4=1
700
xÛ`-x-2É0에서 (x+1)(x-2)É0 ∴ -1ÉxÉ2 yy ㉠ (x-3)(x-a)É0에서
Ú a¾3일 때 3ÉxÉa
이 경우 주어진 연립부등식의 해가 없다.
Û a<3일 때 aÉxÉ3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 부분에 정수가 3
3 4 x a 0 1
㉠㉡
-1 2
개만 존재하려면 오른쪽 그림 과 같아야 하므로 구하는 a의 값의 범위는
-1<aÉ0
701
xÛ`-2x-24É0에서
(x+4)(x-6)É0 ∴ -4ÉxÉ6 yy ㉠ Ú, Û에서 -;2%;<m<0
따라서 정수 m의 개수는 -2, -1의 2이다.
10
Û g(1)=1-6+k-3>0에서 k>8 Ü 축의 방정식은 x=3이므로 항상 성립한다.
Ú, Û, Ü에 의하여 8<k<12
따라서 이를 만족시키는 정수 k는 9, 10, 11이므로 구하는 합 은 9+10+11=30
704
[ -xÛ +3x+2Émx+n mx+nÉxÛ -x+4 에서
[ xÛ +(m-3)x+n-2¾0 yy ㉠ xÛ -(m+1)x-n+4¾0 yy ㉡ 모든 실수 x에 대하여 ㉠, ㉡이 성립하므로
㉠에서 xÛ +(m-3)x+n-2=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ=(m-3)Û`-4n+8É0
mÛ -6m+17-4nÉ0 yy ㉢
또 ㉡에서 xÛ -(m+1)x-n+4=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª=(m+1)Û`+4n-16É0
mÛ +2m-15+4nÉ0 yy ㉣
㉢, ㉣을 변변 더하면 2mÛ -4m+2É0 mÛ -2m+1É0, (m-1)Û`É0 ∴ m=1 m=1을 ㉢, ㉣에 각각 대입하면
1-6+17-4nÉ0 ∴ n¾3 1+2-15+4nÉ0 ∴ nÉ3 ∴ n=3
∴ mÛ +nÛ =1Û +3Û =10
다른 해설
이차함수 y=-xÛ +3x+2와 y=xÛ -x+4에 대하여 -xÛ +3x+2=xÛ -x+4
2xÛ -4x+2=0, xÛ -2x+1=0 (x-1)Û =0 ∴ x=1
이때 두 이차함수의 그래프 y y=x@-x+4 y=mx+n
y=-x@+3x+2 O x
는 점 (1, 4)에서 접하므로 모든 실수 x에 대하여 주어 진 부등식을 만족하려면 오 른쪽 그림과 같이 직선 y=mx+n이 점 (1, 4)에
서 두 그래프에 동시에 접해야 한다.
직선 y=mx+n이 점 (1, 4)를 지나므로
4=m+n yy ㉠
이차방정식 xÛ -x+4=mx+n, 즉 xÛ -(m+1)x+4-n=0 -6É[x-1]É1에서 -6Éx-1<2
∴ -5Éx<3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 부분은 -4Éx<3이므로 정수 x의 개수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2의 7이다.
702
xÝ -(k+2)xÛ +k+5=0에서 xÛ =t로 치환하면 주어진 방 정식은
tÛ -(k+2)t+k+5=0 yy ㉠
이때 주어진 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 t의 값은 반드시 양수이어야 한다. 즉, ㉠은 서로 다른 두 양 의 실근을 가져야 한다.
Ú ㉠의 판별식을 D라 하면 D=(k+2)Û -4(k+5)>0 kÛ -16>0, (k+4)(k-4)>0 ∴ k<-4 또는 k>4
Û (두 근의 합)=k+2>0 ∴ k>-2 Ü (두 근의 곱)=k+5>0 ∴ k>-5 Ú, Û, Ü의 공통 부분을 구하면
k>4
703
f(x)=xÜ`-5xÛ`+(k-9)x+k-3이라 하면 f(-1)=0이므로 x+1은 f(x)의 인수이다.
조립제법을 이용하여 f(x)를 x+1로 나눈 몫을 구하면 다음 과 같으므로
-1 1 -5 k-9 k-3 -1 6 -k+3 1 -6 k-3 0 f(x) =xÜ`-5xÛ`+(k-9)x+k-3
=(x+1)(xÛ`-6x+k-3)
즉, x=-1은 주어진 삼차방정식의 한 근이므로 이차방정식 xÛ`-6x+k-3=0이 1보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
g(x)=xÛ`-6x+k-3이라 하면 이차방 y=g(x)
1 x
정식 g(x)=0의 두 근이 모두 1보다 커 야 하므로 y=g(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.
Ú 이차방정식 g(x)=0의 판별식을 D라 하면 14D4=9-(k-3)>0에서 k<12