62
1 ⑴ 3, -1, 2, 1, 1 ⑵ 4, 1, 2, 2, 2
본문 310쪽
개념 Check
718
⑴ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 G(x, y)라 하면 x=-4+0+1
1111253 =-1, y=3+4+2 11113 =3 ∴ G(-1, 3)
⑵ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 G(x, y)라 하면 x=111111111121(1-2'2)+'2+(2+'2)3 =1
본문 311쪽
개념 익히기
718 ⑴ G(-1, 3)` ⑵ G(1, 4)`
719 C(3, -6)
720 m+n, m+n, xÁ+xª+x£, yÁ+yª+y£
본문 312~323쪽
유제
721 -1 722 -1 723 2'2 724 (3, 4) 725 ② 726 2 727 5'2 728 ② 729 최솟값 : 28, P(1, 0) 730 62
731 풀이 참조 732 11'2
733 (2, 1), (5, 5) 734 6 735 C(5, 8) 736 3 737 3 738 11
739 D{;5!;, :Á5¦:} 740 ;3%; 741 4 742 :Á3£: 743 2 744 최솟값 : 28, P(1, 3) 745 3
721
OAÓ=ABÓ, 즉 OAÓ Û =ABÓ Û 이므로 aÛ +3Û =(2-a)Û +(4-3)Û aÛ +9=aÛ -4a+5 4a=-4 ∴ a=-1
722
ABÓ ="Ã(1-a)Û +(a+3)Û
="Ã2aÛ +4a+10
="Ã2(a+1)Û +8
따라서 a=-1일 때, 선분 AB의 길이가 최소가 된다.
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x)라 하면 x=2_7-3_(-2)
111111132-3 =-20 ∴ Q(-20)
716
⑴ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면 x=5_5-3_3
1111125-3 =8, y= 5_2-3_(-6) 111111125-3 =14 ∴ Q(8, 14)
⑵ 점 Q의 좌표를 Q(x, y)라 하면 x=3_5-5_3
1111153-5 =0, y=3_2-5_(-6) 111111153-5 =-18 ∴ Q(0, -18)
717
점 Q의 y좌표가 -4이므로 3_a-1_2
1111123-1 =-4, 3a-2=-8 3a=-6 ∴ a=-2
y= '111111123+(5-3'3)+7=4 ∴ G(1, 4)
719
삼각형 ABC의 무게중심이 원점이므로 점 C의 좌표를 C(a, b)라 하면
3+(-6)+a
1111113 =0, 2+4+b 11113 =0 따라서 a=3, b=-6이므로
C(3, -6)
11 723
점 P의 좌표를 P(a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ, 즉 APÓ Û =BPÓ Û 이므로 (a-2)Û +(-1)Û =(a+1)Û +(-4)Û aÛ -4a+5=aÛ +2a+17
-6a=12 ∴ a=-2 ∴ P(-2, 0)
또 점 Q의 좌표를 Q(0, b)라 하면 AQÓ=BQÓ, 즉 AQÓ Û =BQÓ Û 이므로 (-2)Û +(b-1)Û =1Û +(b-4)Û bÛ -2b+5=bÛ -8b+17 6b=12 ∴ b=2 aÛ -16a+bÛ -8b+80=aÛ -6a+bÛ +2b+10 -10a-10b=-70
∴ a+b=7 ⋯⋯ ㉠ Û BOÓ=COÓ, 즉 BOÓ Û =COÓ Û 이므로
(a-3)Û +(b+1)Û =(a-6)Û +(b-8)Û
aÛ -6a+bÛ +2b+10=aÛ -12a+bÛ -16b+100 6a+18b=90
(aÛ +2a+2)+(aÛ -6a+18)=20 2aÛ -4a=0, 2a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2
732
선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점 P의 좌표를 P(a, b)라 하면 a=1_1+2_(-2)
111111151+2 =-1, b=1_(-6)+2_(-3)
11111111121+2 =-4 ∴ P(-1, -4)
선분 AB를 4 : 3으로 외분하는 점 Q의 좌표를 Q(c, d)라 하면 c=4_1-3_(-2)
111111154-3 =10, d=4_(-6)-3_(-3)
111111151154-3 =-15 ∴ Q(10, -15)
∴ PQÓ="Ã(10+1)Û`+(-15+4)Û`=11'2
733
ABÓ를 삼등분하는 점 중 점 A에 가까운 점부터 P, Q라 하 면 점 P는 ABÓ를 1 : 2로 내분하는 점이고, 점 Q는 ABÓ를 2 : 1로 내분하는 점이다.
따라서 두 점 P, Q의 좌표는 P{1_8+2_(-1)
111111151+2 , 1_9+2_(-3) 111111151+2 } ∴ P(2, 1)
Q{2_8+1_(-1)
111111152+1 , 2_9+1_(-3) 111111152+1 } ∴ Q(5, 5)
즉, ABÓ를 삼등분하는 두 점의 좌표는 (2, 1), (5, 5)
734
선분 AB를 b : 1로 내분하는 점의 좌표는 {b_1+1_4
111115b+1 , b_a+1_(-3) 11111115b+1 }, 즉 {b+4
112b+1, ab-3 111b+1 } 이 점의 좌표가 (2, 3)이므로 b+4
112b+1=2, ab-3 111b+1 =3 두 식을 정리하면
b=2, ab-3b=6 ∴ a=6
735
2ABÓ=BCÓ에서 ABÓ : BCÓ=1 : 2이므로 점 C는 선분 AB를 APÓ=AÕ'PÓ이므로
APÓ+BPÓ =AÕ'PÓ+BPÓ
¾AÕ'BÓ
="Ã(3+1)Û +(5+2)Û ='65
따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 '65이므로 삼각형 APB의 둘 레의 길이의 최솟값은 5+'65이다.
729
점 P의 좌표를 P(a, 0)이라 하면
PAÓ Û +PBÓ Û =(a+2)Û +(-1)Û +(a-4)Û +3Û
=2aÛ -4a+30
=2(a-1)Û +28
따라서 PAÓ Û +PBÓ Û 은 a=1일 때 최솟값 28을 갖고, 이때의 점 P의 좌표는 P(1, 0)이다.
730
점 P가 직선 y=-x+3 위의 점이므로 점 P의 좌표를 P(a, -a+3)이라 하면
PAÓ Û +PBÓ Û
=(a-5)Û +(-a)Û +(a-4)Û +(-a-5)Û =4aÛ -8a+66
=4(a-1)Û +62
따라서 PAÓ Û +PBÓ Û 은 a=1일 때 최솟값 62를 갖는다.
731
오른쪽 그림과 같이 직선 BC 를 x축으로 하고, 점 B를 지나 고 직선 BC에 수직인 직선을 y축으로 하는 좌표평면을 잡으 면 점 B는 원점이 된다.
이때 두 점 A, C의 좌표를 각
각 A(a, b), C(c, 0)이라 하면 D(a+c, b)이므로 ACÓ Û +BDÓ Û
={(c-a)Û`+(0-b)Û`}+{(a+c)Û`+bÛ`}
={(cÛ`-2ac+aÛ`+bÛ`}+(aÛ`+2ac+cÛ`+bÛ`) =2(aÛ`+bÛ`+cÛ`) ⋯⋯ ㉠ ABÓ Û +BCÓ Û =(aÛ`+bÛ`)+cÛ`
=aÛ`+bÛ`+cÛ` ⋯⋯ ㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 ACÓ Û +BDÓ Û =2(ABÓ Û +BCÓ Û )이 성립한다.
O {B}
x
y
A{a,`b} D{a+c,`b}
C{c,`0}
11
3 : 2로 외분하는 점이다.
따라서 점 C의 좌표는 C{3_1-2_(-1)
1111111553-2 , 3_4-2_2 1111123-2 } ∴ C(5, 8)
736
선분 AB를 t : 2로 외분하는 점의 좌표는 { t_4-2_1
111112t-2 , t_5-2_1
111112t-2 }, 즉 {4t-2
1124t-2 +3, 5t-2=4t-2+3(t-2) -2t=-6 ∴ t=3
1111111553+2 , 3_3+2_4 1111123+2 }
a+c
1122 =0, b+d 1122 =4
∴ a+c=0, b+d=8 ⋯⋯ ㉠ 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 (m, n)이므로 3+a+c
11113 =m, 2+b+d
11113 =n ⋯⋯ ㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면
m=1, n=:Á3¼: ∴ m+n=:Á3£:
다른 해설
점 A와 BCÓ의 중점을 잇는 선분을 2 : 1로 내분하는 점이 삼 각형 ABC의 무게중심이므로
{2_0+1_3
1111122+1 , 2_4+1_2
1111122+1 }, 즉 {1, :Á3¼:}
∴ m=1, n=:Á3¼: ∴ m+n=:Á3£:
743
A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£)이라 하면
ABÓ, BCÓ, CAÓ의 중점이 각각 P(2, 0), Q(3, 5), R(-1, 1) 이므로
xÁ+xª
1112 =2, yÁ+yª 1112 =0
에서 xÁ+xª=4, yÁ+yª=0 ⋯⋯ ㉠ xª+x£
1112 =3, yª+y£
1112 =5
에서 xª+x£=6, yª+y£=10 ⋯⋯ ㉡ xÁ+x£
1112 =-1, yÁ+y£
1112 =1
에서 xÁ+x£=-2, yª+y£=2 ⋯⋯ ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서
2(xÁ+xª+x£)=8, 2(yÁ+yª+y£)=12 ∴ xÁ+xª+x£=4, yÁ+yª+y£=6 따라서 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 {xÁ+xª+x£
111113 , yÁ+yª+y£
111113 }, 즉 {;3$;, 2}
이므로 a=;3$;, b=2 ∴ 3a-b=3´;3$;-2=2
다른 해설
삼각형 ABC의 무게중심과 삼각형 PQR의 무게중심이 일치 하므로 구하는 점의 좌표는
{2+3+(-1)
111112453 , 0+5+1
11113 }, 즉 {;3$;, 2}
744
삼각형 ABC와 이 삼각형 내부의 임의의 점 P에 대하여 PAÓ Û +PBÓ Û +PCÓ Û 의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는 삼각 형 ABC의 무게중심과 일치한다.
삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 {(-1)+4+0
111112453 , 2+6+1
11113 }, 즉 (1, 3)
따라서 P(1, 3)일 때 PAÓ Û +PBÓ Û +PCÓ Û 은 최솟값을 갖고, 이때의 최솟값은
(1+1)Û +(3-2)Û +(1-4)Û +(3-6)Û
+(1-0)Û +(3-1)Û =28
다른 해설
점 P의 좌표를 P(a, b)라 하면 PAÓ Û +PBÓ Û +PCÓ Û
=(a+1)Û +(b-2)Û +(a-4)Û +(b-6)Û
+(a-0)Û +(b-1)Û
=3(a-1)Û +3(b-3)Û +28
따라서 PAÓ Û +PBÓ Û +PCÓ Û 은 a=1, b=3일 때 최솟값 28을 갖고, 이때의 점 P의 좌표는 P(1, 3)이다.
745
PAÓ Û +PBÓ Û +PCÓ Û 의 값이 최소가 되도록 하는 점 P는 삼각 형 ABC의 무게중심이다.
이때 세 점 A(a, 6), B(-4, 4), C(6, -4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
{a+(-4)+6
111112453 , 6+4+(-4)
111112453 }, 즉 {a+2 1123 , 2} 이 점이 점 (1, b)와 일치해야 하므로
a+2
112=3 =1, 2=b
따라서 a=1, b=2이므로 a+b=3
11
본문 324쪽
Review Quiz
746 ⑴ |b-a|, "Ã(c-a)Û +(d-b)Û
⑵ a+b
1152 ⑶ 왼쪽, 오른쪽
⑷ xÁ+xª+x£
1111133 , yÁ+yª+y£
1111133
747 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 거짓 ⑸ 참
⑹ 참 ⑺ 거짓 ⑻ 참
747
⑴ 세 점이 일직선 위에 있을 때, 같은 거리만큼 떨어져 있는 점은 없다. (참)
⑵ 점 C의 좌표를 변형하면 0.3x+0.7y=7y+3x
111210 =7y+3x 11127+3
이므로 점 C는 선분 AB를 7 : 3으로 내분하는 점이다.
(거짓)
⑶ 점 C의 좌표를 변형하면
(1-t)x+ty= ty+(1-t)x 1111111 =ty+(1-t)x
111111t+(1-t)
이므로 점 C((1-t)x+ty)는 선분 AB를 t : (1-t)로 내분하는 점이다. (참)
⑷ 선분 AB의 외분점은 항상 ABÓ의 연장선 양쪽 중 한 곳에 위치한다.
따라서 선분 AB의 외분점은 두 점 A, B 사이에 있지 않 는다. (거짓)
⑸ 선분 AB의 내분점은 항상 ABÓ 위에 있다. 한편 ABÓ는 직 선 AB의 일부이므로 선분 AB의 내분점은 모두 직선 AB 위에 있다. (참)
⑹ 두 점 A(a, b), B(c, d)를 이은 선분 AB를 1 : 1로 내분 하는 점은
{1_c+1_a
1111511+1 , 1_d+1_b
1111121+1 }, 즉 {c+a 1142 , d+b
1142 } 이므로 선분 AB의 중점과 같다. (참)
⑺ ABÓ의 연장선 위에 있으면서 ACÓ : CBÓ=1 : 1이 되도록 하는 외분점 C는 존재하지 않는다. (거짓)
⑻
A B
m n
P
점 P가 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이면 점 B는
본문 325~327쪽
중단원 연습문제 A
748 ① 749 ① 750 5 751 ② 752 136 753 '¶113 754 30 755 17 756 10 757 Q(16, 25)
758 C(17, -5) 759 t>1 760 ① 761 14 762 13 763 4 764 (1, 3) 765 ⑤
748
ABÓ=2'5이므로
"Ã(-2-a)Û +(1-3)Û =2'5 양변을 제곱하면
(-2-a)Û +4=20, aÛ +4a-12=0 (a+6)(a-2)=0 ∴ a=-6 또는 a=2 그런데 a>0이므로 a=2
749
삼각형 OAB에서 세 변 OA, OB, AB의 길이를 각각 구하면 OAÓ="ÃmÛ +nÛ
OBÓ="Ã(m+n)Û +(n-m)Û ="Ã2(mÛ +nÛ ) ABÓ="Ã(m+n-m)Û +(n-m-n)Û ="ÃmÛ +nÛ 이때 OAÓ Û +ABÓ Û =OBÓ Û 을 만족하므로 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이가 OBÓ이고, OAÓ=ABÓ이므로 삼각형 OAB 는 빗변의 길이가 OBÓ인 직각이등변삼각형이다.
750
삼각형 ABC의 외심의 좌표를 O(a, b)라 하면 (외접원의 반지름의 길이)=AOÓ=BOÓ=COÓ Ú AOÓ=BOÓ, 즉 AOÓ Û =BOÓ Û 이므로
(a-7)Û +(b-1)Û =(a-5)Û +(b+3)Û aÛ -14a+bÛ -2b+50=aÛ -10a+bÛ +6b+34 -4a-8b=-16
∴ a+2b=4 ⋯⋯ ㉠
선분 AP를 (m+n) : n으로 외분하는 점이다. (참)
Û AOÓ=COÓÓ, 즉 AOÓ Û =COÓ Û 이므로
(a-7)Û +(b-1)Û =(a+1)Û +(b-5)Û aÛ -14a+bÛ -2b+50=aÛ +2a+bÛ -10b+26 -16a+8b=-24
∴ 2a-b=3 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1
따라서 외심의 좌표는 (2, 1)이므로 외접원의 반지름의 길이 AOÓ는
AOÓ="Ã(2-7)Û +(1-1)Û =5
751
삼각형 ABC의 외심을 O'이라 B
C A{2,`1}
x y
O
O'{-1,`-1}
하면 외심 O'에서 각 꼭짓점까 지의 거리가 같으므로 점 O'은 변 BC의 중점이다.
따라서 삼각형 ABC는 오른쪽 그림과 같이 변 BC를 빗변으 로 하는 직각삼각형이다.
∴ ABÓ Û +ACÓ Û =BCÓ Û =(2 OÕ'BÓ)Û =(2 OÕ'AÓ)Û =4 OÕ'AÓ Û
=4{(-1-2)Û`+(-1-1)Û`}
=4´13=52
752
사각형 ABCD는 정사각
x y
O B{6,`0} E C{10,`6}
D
A{0,`4}
형이므로 ABÓ=BCÓ 오른쪽 그림과 같이 점 C 에서 x축에 내린 수선의 발을 E라 하면
∠CBE+∠BCE=90ù 이고
∠CBE+∠ABO=90ù이므로 ∠BCE=∠ABO ∴ △AOBª△BEC (RHA 합동)
즉, BEÓ=AOÓ=4이고 CEÓ=BOÓ=6이므로 C(10, 6) ∴ OCÓ Û =10Û`+6Û`=136
753
점 A와 y축에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(-1, 3)
점 B와 x축에 대하여 대칭인 점을 B'이라 하면 B'(6, -5)
x y
O PQ A{1,`3}
B{6,`5}
A'{-1,`3}
B'{6,`-5}
이때 APÓ=AÕ'PÓ, BQÕÓ=BÕ'QÓ이므로
APÓ+PQÓ+QBÓ =AÕ'PÓ+PQÓ+BÕ'QÓ
¾AÕ'B'Ó
="Ã(6+1)Û +(-5-3)Û ='¶113 따라서 APÓ+PQÓ+QBÓ의 최솟값은 '¶113이다.
754
점 P(a, b)가 직선 l : 2x+3y=12 위의 점이므로 2a+3b=12 yy ㉠
PAÓ=PBÓ, 즉 PAÓ Û =PBÓ Û 이므로 (a-4)Û +bÛ =aÛ +(b-2)Û
aÛ -8a+16+bÛ =aÛ +bÛ -4b+4 ∴ 2a-b=3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=:ª8Á:, b=;4(;
∴ 8a+4b=8´:ª8Á:+4´;4(;=30
755
두 점 A, B가 x축 위의 점이므로 변 AB 위의 점 P도 x축 위에 있다.
점 P의 좌표를 P(a, 0) (-4ÉaÉ2)이라 하면 APÓ Û +CPÓ Û =(a+4)Û +aÛ +3Û
=2aÛ +8a+25=2(a+2)Û +17 따라서 APÓ Û +CPÓ Û 은 a=-2일 때 최솟값 17을 갖는다.
756
점 M이 변 BC의 중점이므로 삼각형의 중선 정리에 의하여 ABÓ Û +ACÓ Û =2(AÕMÓ Û +BÕMÓ Û )
8Û +6Û =2(5Û +BÕMÓ Û ) 50=25+BÕMÓ Û , BÕMÓ Û =25 ∴ BÕMÓ=5 (∵ BÕMÓ>0) ∴ BCÓ=2BÕMÓ=2_5=10
757
선분 AB를 2 : b로 내분하는 점 P의 좌표가 P(3, -1)이므로
11
2_6+b_1
1111122+b =3, 2_a+b_(-5) 111111142+b =-1 12+b=6+3b, 2a-5b=-2-b 2b=6, a-2b=-1
∴ a=5, b=3 yy ❶
따라서 두 점 A(1, -5), B(6, 5)에 대하여 선분 AB를 3 : 2 로 외분하는 점 Q의 좌표는
Q{3_6-2_1
1111213-2 , 3_5-2_(-5) 11131121253-2 }
∴ Q(16, 25) yy ❷
2ABÓ=3BCÓ이므로 ABÓ : BCÓ=3 : 2
이때 점 C는 선분 AB의 점 B의 방향으로의 연장선 위에 있 으므로 점 C는 ABÓ를 5 : 2로 외분하는 점이다.
따라서 점 C의 좌표는 C{5_11-2_2
1111115-2 , 5_3-2_15
1111115-2 }, 즉 C(17, -5)
다른 해설
점 B는 ACÓ를 3:2로 내분하는 점이므로 점 C의 좌표를 C(a, b)라 하면
3_a+2_2
1111123+2 =11, 3_b+2_15 1111113+2 =3 따라서 a=17, b=-5이므로 점 C의 좌표는 C(17, -5)
759
선분 AB를 (t+1) : t로 외분하는 점의 좌표는 {(t+1)_(-4)-t_1
1111111115(t+1)-t , (t+1)_(-1)-t_(-2) 111111111115(t+1)-t }, 즉 (-5t-4, t-1)
이 점이 제2사분면 위에 있으므로 -5t-4<0, t-1>0 ∴ t>1
760
선분 AB를 t : 1로 내분하는 점의 좌표는 {t_5+1_(-1)
111111135t+1 , t_(-5)+1_4 11111112t+1 }, 즉
{5t-1 -5t+4=2(5t-1)-8(t+1) -7t=-14 ∴ t=2 aÛ -6a+5=0, (a-1)(a-5)=0 ∴ a=5 (∵ a>3) PÕMÓ : QÕMÓ=OPÓ : OQÓ=5 : 13
따라서 점 M은 선분 PQ를 5 : 13으로 내분하므로 점 M의 x좌표는
5_12+13_3
11111125+13 =;1(8(;=:Á2Á:
즉, a=2, b=11이므로 a+b=13
763
삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 (2, -2)이므로 a+(-b-2)+5
111111133 =2, -3+(2a+3)+b 111111113 =-2 ∴ a-b=3, 2a+b=-6