⑵ 2ÉxÉ4에서 주어진 이차함수의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 최댓값은 7, 최솟값은 -1이 다.
367
⑴ y=xÛ -x+2={x-;2!;}2 +;4&;이므로 0ÉxÉ2에서 주어진 이차함수의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 최댓값은 4, 최솟값은 ;4&;이다.
⑵ y=-xÛ +10x-26=-(x-5)Û -1
이므로 2ÉxÉ4에서 주어진 이차함수의 그래프는 다음 그림과 같다.
제한된 범위에서의 이차함수의 최대, 최소
35
1 ⑴ 2, 0, -1, 3, 3, -1 ⑵ 1, 3, 0, 3, 0
본문 164쪽
개념 Check
본문 165쪽
개념 익히기
365 2, 3, 3, -1
366 ⑴ 최댓값 : 2, 최솟값 : -2
⑵ 최댓값 : 7, 최솟값 : -1 367 ⑴ 최댓값 : 4, 최솟값 : ;4&;
⑵ 최댓값 : -2, 최솟값 : -10
⑶ 최댓값 : 2, 최솟값 : -6
⑷ 최댓값 : 9, 최솟값 : 3 368 11
x y
O 2 2 -1 1 -1
-2
x y
O 2
4 7
-1 1 -2
x y
O 4 7 2 -4
-12 2
6
따라서 최댓값은 -2, 최솟값은 -10 이다.
⑶ y =-2xÛ -8x-6
=-2(x+2)Û +2
이므로 -4ÉxÉ-1에서 주어진 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다.
따라서 최댓값은 2, 최솟값은 -6 이다.
⑷ y=2xÛ -4x+3=2(x-1)Û +1이므로 2ÉxÉ3에서 주어진 이차함수의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 최댓값은 9, 최솟값은 3이다.
368
y=2xÛ -8x+k=2(x-2)Û +k-8
이때 꼭짓점의 x좌표 2는 1ÉxÉ4에 포함되므로 x=2에서 최솟값을 갖는다. 즉,
k-8=3 ∴ k=11
x y
-1O 2 -2
-10 4 5
2 -4 -2
-1
-6
x y
O
2 1 3 9
3
1
x
y
O
본문 166~173쪽
369 -3 370 2 371 y=-2x-6 372 kÉ1 373 a=6, b=-3 374 3+'3 375 -3 376 9 377 2 378 10 379 -2 380 16 381 2 382 1 383 -3 384 45`m 385 8`cm
유제
369
이차함수 y=-3xÛ +2kx+k-4의 그래프가 x축과 접하므로 이차방정식 -3xÛ +2kx+k-4=0의 판별식을 D라 하면 D
144 =kÛ -(-3)´(k-4)=0, kÛ +3k-12=0
따라서 kÛ +3k-12=0을 만족하는 모든 실수 k의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 -3이다.
370
y=xÛ -2x+a의 그래프가 x축과 만나지 않으므로 이차방 정식 xÛ -2x+a=0의 판별식을 D라 하면
D
144 =1-a<0 ∴ a>1
y=2xÛ +2ax+aÛ -2a의 그래프가 x축에 접하므로 이차방 정식 2xÛ +2ax+aÛ -2a=0의 판별식을 D'이라 하면 D'
144 =aÛ -2aÛ +2a=0, aÛ -2a=0 a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2 ∴ a=2
371
구하는 직선의 방정식을 y=-2x+k라 하자.
이차함수 y=xÛ +4x+3의 그래프가 직선 y=-2x+k에 접 하므로 이차방정식 xÛ +4x+3=-2x+k, 즉
xÛ +6x+3-k=0의 판별식을 D라 하면 D
144 =3Û -(3-k)=0, 6+k=0 ∴ k=-6
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-2x-6
372
이차함수 y=xÛ -2kx+k(k+2)의 그래프가 직선 y=2x-k와 적어도 한 점에서 만나므로
이차방정식 xÛ -2kx+k(k+2)=2x-k, 즉 xÛ -2(k+1)x+kÛ +3k=0의 판별식을 D라 하면 D
144 ={-(k+1)}Û`-(kÛ`+3k)¾0, 1-k¾0 ∴ kÉ1
373
이차함수 y=xÛ +x+3의 그래프와 직선 y=ax+b의 교점 의 x좌표는 이차방정식
xÛ +x+3=ax+b, 즉 xÛ +(-a+1)x-b+3=0
의 실근과 같으므로 2, 3은 이차방정식의 두 근이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
따라서 y=-;2!;(x+3)Û`+4=-;2!;xÛ`-3x-;2!;이므로 a=-;2!;, b=-3, c=-;2!;
y=axÛ -6ax+b=a(x-3)Û +b-9a (a>0) 꼭짓점의 x좌표 3이 1ÉxÉ2에 포함
6
⑶ y=axÛ +bx+c=a{x+;2õa;}2`- bÛ -4ac
11114a 는 x=-;2õa;
xÛ -2x+2yÛ +12y+16=(x-1)Û +2(y+3)Û -3 이때 x, y가 실수이므로
(x-1)Û ¾0, (y+3)Û ¾0 ∴ xÛ -2x+2yÛ +12y+16¾-3 따라서 주어진 식의 최솟값은 -3이다.
384
y=-5xÛ +30x=-5(x-3)Û +45 0ÉxÉ6에서 이 이차함수의 그래프는
본문 175~177쪽
중단원 연습문제 A
388 ⑤ 389 ⑤ 390 ④ 391 ② 392 a=-1, b=1 393 ①
394 a=2, b=2 395 6 396 -2 397 4 398 48 399 ① 400 3 401 5 402 최댓값 : 8, 최솟값 : ;3*;
403 8 404 ;4&; 405 ②
388
f(x)=axÛ`+bx+c라 하면
① 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
② 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b<0
③ y절편이 양수이므로 c>0
④ f(-2)=4a-2b+c이고 그래프에서 f(-2)>0이므로 4a-2b+c>0
⑤ f(1)=a+b+c이고 그래프에서 f(1)=0이므로 a+b+c=0
389
이차함수 y=xÛ -ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 1, 3이므로 1, 3은 이차방정식 xÛ -ax+b=0의 두 근이다.
근과 계수의 관계에 의하여
1+3=a, 1´3=b ∴ a=4, b=3
이차함수 y=xÛ -bx-a, 즉 y=xÛ -3x-4의 그래프와 x축 의 교점의 x좌표는 이차방정식 xÛ -3x-4=0의 근이므로 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4
따라서 두 교점의 x좌표는 -1, 4이므로 두 교점 사이의 거 리는
4-(-1)=5
390
이차함수 y=-xÛ +3x-2k의 그래프가 x축과 만나지 않으 므로 이차방정식 -xÛ +3x-2k=0, 즉 xÛ -3x+2k=0의 판별식을 D라 하면
D=(-3)Û -4´1´2k=9-8k<0 ∴ k>;8(;
391
이차함수 y=xÛ -2x+a의 그래프를 y축의 방향으로 -3만
큼 평행이동한 그래프의 식은
y+3=xÛ -2x+a HjK y=xÛ -2x+a-3
이 그래프가 x축에 접하므로 이차방정식 xÛ -2x+a-3=0 의 판별식을 D라 하면
D
144 =(-1)Û -(a-3)=4-a=0 ∴ a=4
392
이차함수 y=xÛ +2(a+k)x+kÛ -2k+b의 그래프가 x축과 접하므로 이차방정식 xÛ +2(a+k)x+kÛ -2k+b=0의 판별 식을 D라 하면
14D
4 =(a+k)Û -(kÛ -2k+b)=0
(2a+2)k+aÛ -b=0 …… ❶
위의 식이 실수 k의 값에 관계없이 성립하므로 2a+2=0, aÛ -b=0
∴ a=-1, b=1 …… ❷