2-(2k+1)+4k=0, 2k+1=0
∴ k=-;2!;
Ú, Û에서 k=-;2!;이고 그때의 공통근은 x=1이다.
531
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면 [ aÛ +aa+b=0 ⋯⋯ ㉠
aÛ +ba+a=0 ⋯⋯ ㉡
㉠-㉡을 하면 (a-b)a+b-a=0, (a-b)(a-1)=0 ∴ a=b 또는 a=1
Ú a=b일 때 두 이차방정식은 xÛ +ax+a=0로 일치하므로 공통근은 2개이다.
Û a=1일 때 이것을 ㉠에 대입하면 1+a+b=0 Ú, Û에서 a+b=-1
532
xy+x-y+1=0에서 x(y+1)-(y+1)+2=0 ∴ (x-1)(y+1)=-2
x, y가 정수이므로 x-1, y+1도 정수이고 그 값은 다음과 같다.
x-1 -2 -1 1 2
y+1 1 2 -2 -1`
Ú x-1=-2, y+1=1일 때 x=-1, y=0 Û x-1=-1, y+1=2일 때 x=0, y=1 Ü x-1=1, y+1=-2일 때 x=2, y=-3 Ý x-1=2, y+1=-1일 때 x=3, y=-2 Ú~Ý에서 구하는 해는
[ x=-1
y=0 또는 [ x=0
y=1 또는 [ x=2
y=-3 또는 [ x=3 y=-2
533
;[!;+;]!;=;2!;에서 x+y
112xy =;2!;, 2(x+y)=xy xy-2x-2y=0, x(y-2)-2(y-2)=4 ∴ (x-2)(y-2)=4
x, y가 자연수이므로 x-2, y-2는 x-2¾-1, y-2¾-1 인 정수이고 그 값은 다음과 같다.
x-2 1 2 4
y-2 4 2 1
를 y라 하면
[ xÛ +yÛ =52 ⋯⋯ ㉠ (10y+x)+(10x+y)=110 ⋯⋯ ㉡
㉡에서 y=10-x ⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
xÛ +(10-x)Û =52, xÛ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 ∴ x=4 또는 x=6 x=4를 ㉢에 대입하면 y=6
x=6을 ㉢에 대입하면 y=4 따라서 처음 자연수는 46 또는 64이다.
529
처음 꽃밭의 가로와 세로의 길이를 각
y`m
x`m 2`m
3`m
각 x`m, y`m라 하면 가로와 세로를 늘 이기 전의 꽃밭의 둘레의 길이가 26`m이므로2x+2y=26 ∴ x+y=13 늘인 후의 꽃밭의 넓이는 처음 꽃밭의 넓이의 2배이므로
(x+2)(y+3)=2xy ∴ xy-3x-2y-6=0 [ x+y=13 ⋯⋯ ㉠
xy-3x-2y-6=0 ⋯⋯ ㉡
㉠에서 y=13-x ⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
x(13-x)-3x-2(13-x)-6=0 xÛ -12x+32=0, (x-4)(x-8)=0 ∴ x=4 또는 x=8
x=4를 ㉢에 대입하면 y=9 x=8을 ㉢에 대입하면 y=5
이때 세로의 길이가 가로의 길이보다 더 길어야 하므로 구하 는 처음 꽃밭의 가로의 길이는 4`m이다.
530
두 이차방정식의 공통근을 a라 하면
[ 2aÛ -(2k+1)a+4k=0 ⋯⋯ ㉠ 2aÛ +(k-1)a+k=0 ⋯⋯ ㉡
㉠-㉡을 하면 -3ka+3k=0, -3k(a-1)=0 ∴ k=0 또는 a=1
Ú k=0일 때 두 이차방정식은 2xÛ -x=0으로 일치하므로 공통근은 2개이다.
Û a=1일 때 이것을 ㉠에 대입하면
Ú x-2=1, y-2=4일 때 x=3, y=6 Û x-2=2, y-2=2일 때 x=4, y=4 Ü x-2=4, y-2=1일 때 x=6, y=3 Ú~Ü에서 구하는 해는
[ x=3
y=6 또는 [ x=4
y=4 또는 [ x=6 y=3
534
2xÛ -6xy+9yÛ -4x+4=0에서 (xÛ -6xy+9yÛ )+(xÛ -4x+4)=0 ∴ (x-3y)Û +(x-2)Û =0
이때 x, y가 실수이므로 x-3y=0, x-2=0 ∴ x=2, y=;3@;
다른 해설
주어진 방정식의 좌변을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 9yÛ -6xy+2xÛ -4x+4=0 ⋯⋯ ㉠
y가 실수이므로 y에 대한 방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D
134 =(-3x)Û -9(2xÛ`-4x+4)¾0 -9(xÛ -4x+4)¾0 ∴ (x-2)Û É0 x도 실수이므로 x-2=0 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면
9yÛ -12y+4=0, (3y-2)Û =0 ∴ y=;3@;
535
주어진 방정식의 좌변을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ -2(y+1)x+2yÛ +8y+10=0 ⋯⋯ ㉠
x가 실수이므로 x에 대한 방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D
134 ={-(y+1)}Û -(2yÛ +8y+10)¾0 -(yÛ +6y+9)¾0 ∴ (y+3)Û É0 y도 실수이므로 y+3=0 ∴ y=-3 y=-3을 ㉠에 대입하면
xÛ +4x+4=0, (x+2)Û =0 ∴ x=-2
다른 해설
xÛ -2xy+2yÛ -2x+8y+10=0에서
{xÛ -2x(y+1)+yÛ +2y+1}+(yÛ +6y+9)=0
∴ (x-y-1)Û +(y+3)Û =0
이때 x, y가 실수이므로 x-y-1=0, y+3=0 ∴ x=-2, y=-3
본문 236쪽
Review Quiz
536 ⑴ 정수, 약수 ⑵ 대입
⑶ 인수분해, 이차항 ⑷ tÛ`-at+b=0 537 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓
537
⑴ xy=6은 이차방정식이므로 연립이차방정식이다. (거짓)
⑵ 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식 의 해의 개수는 1쌍일 수도 있다.
(반례) [ 2x+y=5 xÛ`+yÛ`=5
이 방정식을 풀면 [ x=2 y=1 (거짓)
⑶ (반례) x=2, y=-1+i (거짓)
참고
해의 조건이 실수로 주어지면 주어진 방정식의 해는 x=3, y=-1뿐이다.
본문 237~239쪽
중단원 연습문제 A
538 ① 539 14 540 20 541 x=1, y=;4!;, z=-;6!;
542 해가 없다 543 ④ 544 2
545 ① 546 ③ 547 ① 548 25 549 -4 550 ;3@; 551 ② 552 64`mÛ 553 ① 554 -25 555 ③
8 541
( ;[!;+;]!;=5 ⋯⋯ ㉠
{
;]!;+;z!;=-2 ⋯⋯ ㉡ 9 ;z!;+;[!;=-5 ⋯⋯ ㉢㉠+㉡+㉢을 하면 2{;[!;+;]!;+;z!;}=-2
∴ ;[!;+;]!;+;z!;=-1 ⋯⋯ ㉣
㉣-㉠을 하면 ;z!;=-6 ∴ z=-;6!;
㉣-㉡을 하면 ;[!;=1 ∴ x=1
㉣-㉢을 하면 ;]!;=4 ∴ y=;4!;
∴ x=1, y=;4!;, z=-;6!;
542
( x+y-2z=4 ⋯⋯ ㉠ { x-2y+z=4 ⋯⋯ ㉡ 9 2x-y-z=2 ⋯⋯ ㉢
㉠+㉡_2을 하면 3x-3y=12 ∴ x-y=4 ⋯⋯ ㉣
㉡+㉢을 하면 3x-3y=6 ∴ x-y=2 ⋯⋯ ㉤
㉣-㉤을 하면 0´x+0´y=2 따라서 주어진 연립방정식의 해는 없다.
543
[ x-3y=0 yy ㉠ xÛ +2yÛ =44 yy ㉡
㉠에서 x=3y를 ㉡에 대입하면 (3y)Û`+2yÛ`=44, yÛ`=4 ∴ y=-2 또는 y=2
y=-2를 ㉠에 대입하면 x=-6 y=2를 ㉠에 대입하면 x=6
이때 a, b는 자연수이므로 a=6, b=2 ∴ a+b=8
544
두 연립방정식의 해는 연립방정식
538
해가 무수히 많거나 해가 없을 때는 k+0, k+1이어야 한다.
Ú 해가 무수히 많으려면 ;2K;= 1
113k-1=-2 114 ∴ k=-1 Û 해가 없으려면 ;2K;= 1
113k-1+-2 114 k(k-1)=2, kÛ`-k-2=0
(k+1)(k-2)=0 ∴ k=-1 또는 k=2
그런데 k=-1이면 조건을 만족시키지 않는다.
∴ k=2
Ú, Û에서 a=-1, b=2이므로 a-b=-3
539
( x-y+3z=4 ⋯⋯ ㉠
{ 2x-3y+5z=3 ⋯⋯ ㉡
9 3x+y+z=8 ⋯⋯ ㉢
㉠+㉢을 하면 4x+4z=12
∴ x+z=3 yy ㉣
㉡+㉢_3을 하면 11x+8z=27 yy ㉤
㉣_11-㉤을 하면 3z=6 ∴ z=2 z=2를 ㉣에 대입하면 x=1
x=1, z=2를 ㉠에 대입하면 y=3 따라서 a=1, b=3, c=2이므로 aÛ +bÛ +cÛ =1Û +3Û +2Û =14
540
( x+y=5 ⋯⋯ ㉠
{ y+z=6 ⋯⋯ ㉡
9 z+x=9 ⋯⋯ ㉢
㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=20 ∴ x+y+z=10 ⋯⋯ ㉣
㉣-㉠을 하면 z=5
㉣-㉡을 하면 x=4
㉣-㉢을 하면 y=1 ∴ xyz=4_1_5=20
[ x-y=2 yy ㉠ xÛ`+yÛ`=10 yy ㉡ 의 해와 같다.
㉠에서 y=x-2를 ㉡에 대입하면 xÛ`+(x-2)Û`=10, xÛ`-2x-3=0
(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 이때 x>0이므로 x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 y=1 따라서 연립방정식 [ x+y=a
x+by=1의 해가 x=3, y=1이므로 3+1=a, 3+b=1
∴ a=4, b=-2 ∴ a+b=2
545
[ xÛ`+yÛ`=60 yy ㉠ 4xÛ`+yÛ`=4xy yy ㉡
㉡에서 4xÛ`-4xy+yÛ`=0, (2x-y)Û =0 ∴ y=2x yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 xÛ`+(2x)Û``=60 5xÛ`=60, xÛ`=12 ∴ x=Ñ2'3
y=2x이므로 x=Ñ2'3, y=Ñ4'3 (복부호 동순) 따라서 a=Ñ2'3, b=Ñ4'3 (복부호 동순)이므로 ab=24
546
[ 2xÛ`+3xy-2yÛ`=0 yy ㉠ xÛ`+yÛ`=5 yy ㉡
㉠에서 (x+2y)(2x-y)=0 ∴ y=-;2!;x 또는 y=2x
Ú y=-;2!;x를 ㉡에 대입하면 xÛ +;4!;xÛ =5 xÛ`=4 ∴ x=Ñ2
y=-;2!;x이므로 x=Ñ2, y=Ð1 (복부호 동순) Û y=2x를 ㉡에 대입하면 xÛ +4xÛ =5
xÛ`=1 ∴ x=Ñ1
y=2x이므로 x=Ñ1, y=Ñ2 (복부호 동순) Ú, Û에서 구하는 해는 [ x=-2
y=1 또는 [ x=-1 y=-2 또는
[ x=1
y=2 또는 [ x=2
y=-1이므로 해가 아닌 것은 ③이다.
547
[ xÛ`-xy=2 yy ㉠ xy-yÛ`=6 yy ㉡
㉠_3-㉡을 하면 3xÛ`-4xy+yÛ`=0
(x-y)(3x-y)=0 ∴ y=x 또는 y=3x Ú y=x를 ㉠에 대입하면
xÛ`-xÛ`=2, 0´xÛ`=2 ∴ 해가 없다.
Û y=3x를 ㉠에 대입하면 xÛ`-3xÛ`=2, xÛ`=-1
∴ x=Ñi, y=Ñ3i (복부호 동순) 따라서 ab=3i Û`=-3이다.
548
[ xÛ`-yÛ`=6 yy ㉠ (x+y)Û`-2(x+y)=3 yy ㉡
㉡에서 x+y=t라 하면 tÛ -2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 ∴ x+y=-1 또는 x+y=3
그런데 x, y는 양수이므로 x+y도 양수이어야 한다.
∴ x+y=3 yy ㉢
㉠의 좌변을 인수분해하면 (x+y)(x-y)=6이므로 이 식 에 ㉢을 대입하면 3(x-y)=6
∴ x-y=2 yy ㉣
㉢+㉣을 하면
2x=5 ∴ x=;2%;
㉢에 x=;2%;를 대입하면 y=;2!;
∴ 20xy=20_;2%;_;2!;=25
549
[ x+y=k yy ㉠
xÛ`+yÛ`=8 yy ㉡
㉠에서 y=-x+k를 ㉡에 대입하면 xÛ`+(-x+k)Û`=8
2xÛ -2kx+kÛ -8=0 yy ㉢ yy ❶
㉢의 판별식을 D라 하면
8
xÛ`+2yÛ`=114 yy ㉠ 또 울타리의 길이의 합이 72`m이므로
4x+8y=72 HjK x+2y=18 yy ㉡ yy ❶
㉡에서 x=18-2y를 ㉠에 대입하면 (18-2y)Û`+2yÛ`=114, yÛ`-12y+35=0 (y-5)(y-7)=0 ∴ y=5 또는 y=7 y=5를 ㉡에 대입하면 x=8
y=7을 ㉡에 대입하면 x=4 yy ❷
그런데 x>y이므로 x=8, y=5
따라서 큰 화단의 넓이는 8Û =64(mÛ )이다. yy ❸
채점 기준 배점
❶ 연립방정식 세우기
40%40%
20%