문제유형 기본서
핵심개념과 대표유형으로 마스터하는고등 수학 (상)
정답 및 해설
Ⅰ
. 다항식
1. 다항식의 연산
다항식의 정리
01
1 ⑴ 3yÛ+2y ⑵ 2xÛ`+2x 본문 10쪽 개념 Check 본문 11쪽 개념 익히기 001 ⑴ 5 ⑵ 이차식 ⑶ 삼차식 ⑷ -4y ⑸ -4xÛ ⑹ 5 ⑺ -yÛ-3 ⑻ -3 002 ⑴ 3xÛ`+2x-1 ⑵ -2xÜ`-xÛ`+5x+4 ⑶ -xÛ`+(2y-4)x+3yÛ`+1 003 ⑴ 1-4x+2xÛ` ⑵ -3+x-4xÛ`-xÜ` ⑶ 7-y-xy+xÛ` 004 ⑴ x의 계수는 -y+5이다. ⑵ 상수항은 xÜ+5x+10이다.005
⑴ A+B=(xÜ-xÛ-x-3)+(2xÜ -3xÛ +2x) =3xÜ -4xÛ +x-3 ⑵ A-B=(xÜ -xÛ -x-3)-(2xÜ -3xÛ +2x) =xÜ -xÛ -x-3-2xÜ +3xÛ -2x =-xÜ +2xÛ -3x-3 ⑶ 3A+(B-A) =2A+B =2(xÜ -xÛ -x-3)+(2xÜ -3xÛ +2x) =2xÜ -2xÛ -2x-6+2xÜ -3xÛ +2x =4xÜ -5xÛ -6006
⑴ A+B=(xÛ -2xy-yÛ )+(xÛ +5xy-6yÛ) =2xÛ +3xy-7yÛ ⑵ 3A-B=3(xÛ -2xy-yÛ )-(xÛ +5xy-6yÛ) =3xÛ -6xy-3yÛ -xÛ -5xy+6yÛ =2xÛ -11xy+3yÛ ⑶ 4A+(3B-2A) =2A+3B =2(xÛ -2xy-yÛ )+3(xÛ +5xy-6yÛ) =2xÛ -4xy-2yÛ +3xÛ +15xy-18yÛ =5xÛ +11xy-20yÛ ⑷ 2(A-B)-(A+B) =2A-2B-A-B =A-3B =(xÛ -2xy-yÛ )-3(xÛ +5xy-6yÛ) =xÛ -2xy-yÛ -3xÛ -15xy+18yÛ =-2xÛ -17xy+17yÛ 다른 해설 A+B=2xÛ`+3xy-7yÛ` A-B=(xÛ`-2xy-yÛ`)-(xÛ`+5xy-6yÛ`) =xÛ`-2xy-yÛ`-xÛ`-5xy+6yÛ` =-7xy+5yÛ` ∴ 2(A-B)-(A+B) =2(-7xy+5yÛ`)-(2xÛ`+3xy-7yÛ`) =-14xy+10yÛ`-2xÛ`-3xy+7yÛ` =-2xÛ`-17xy+17yÛ`다항식의 덧셈과 뺄셈
02
1 ⑴ 3xy, 4xy ⑵ 2xy, 2xy, 4xy
2 9xÛ, -10 본문 12쪽 개념 Check 본문 13쪽 개념 익히기 005 ⑴ 3xÜ-4xÛ+x-3 ⑵ -xÜ+2xÛ-3x-3 ⑶ 4xÜ-5xÛ-6 006 ⑴ 2xÛ+3xy-7yÛ ⑵ 2xÛ-11xy+3yÛ ⑶ 5xÛ+11xy-20yÛ ⑷ -2xÛ-17xy+17yÛ 007 ⑴ -3xÛ+4xy+5yÛ ⑵ 5xÛ-6xy-7yÛ ⑶ 11xÛ-6xy-21yÛ 008 풀이 참조
007
⑴ A+B-C =(xÛ -xy-yÛ )+(-3xÛ +2xy+6yÛ )-(xÛ -3xy) =xÛ -xy-yÛ -3xÛ +2xy+6yÛ -xÛ +3xy =-3xÛ +4xy+5yÛ ⑵ A-(B-C) =A-B+C =(xÛ -xy-yÛ )-(-3xÛ +2xy+6yÛ )+(xÛ -3xy) =xÛ -xy-yÛ +3xÛ -2xy-6yÛ +xÛ -3xy =5xÛ -6xy-7yÛ ⑶ A-{B+C-2(A-B)} =A-(B+C-2A+2B) =A-(-2A+3B+C) =A+2A-3B-C =3A-3B-C =3(xÛÛ -xy-yÛ )-3(-3xÛ +2xy+6yÛ )-(xÛ -3xy) =3xÛ -3xy-3yÛ +9xÛ -6xy-18yÛ -xÛ +3xy =11xÛ -6xy-21yÛ008
⑴ A+B=(3xÛ +x-2)+(-xÛ +4x+3) =2xÛ +5x+1 B+A=(-xÛ +4x+3)+(3xÛ +x-2) =2xÛ +5x+1 따라서 두 식의 결과는 서로 같다. ⑵ (A+B)+C ={(3xÛ +x-2)+(-xÛ +4x+3)}+(xÛ -3) =(2xÛ +5x+1)+(xÛ -3) =3xÛ +5x-2 A+(B+C) =(3xÛ +x-2)+{(-xÛ +4x+3)+(xÛ -3)} =(3xÛ +x-2)+4x =3xÛ +5x-2 따라서 두 식의 결과는 서로 같다.009
⑶ x(4xÛ`-y)-2y(-xÛ`+4y) =4xÜ`-xy+2xÛ`y-8yÛ` =4xÜ`+2xÛ`y-xy-8yÛ`010
⑴ (x+3y)(3x-y) =3xÛ -xy+9xy-3yÛ =3xÛ +8xy-3yÛ ⑵ (2x+3y)(x-xy+2y) =2xÛ -2xÛ y+4xy+3xy-3xyÛ +6yÛ =2xÛ -2xÛ y+7xy-3xyÛ +6yÛ ⑶ (aÛ +3a-1)(2a-1) =2aÜ -aÛ +6aÛ -3a-2a+1 =2aÜ +5aÛ -5a+1 ⑷ (4xÛ -3xy+2yÛ )(x-y) =4xÜ -4xÛ y-3xÛ y+3xyÛ +2xyÛ -2yÜ =4xÜ -7xÛ y+5xyÛ -2yÜ ⑸ (xÛ +x-1)(xÛ -x+1) =xÝ -xÜ +xÛ +xÜ -xÛ +x-xÛ +x-1 =xÝ -xÛ +2x-1011
⑴ -2x(4xÛ -2x+1)의 전개식에서 본문 15쪽 개념 익히기 009 ⑴ aÜb-aÛbÛ+abÛ ⑵ 3xÝ`-6xÜ`+15xÛ` ⑶ 4xÜ`+2xÛ`y-xy-8yÛ` 010 ⑴ 3xÛ+8xy-3yÛ ⑵ 2xÛ-2xÛy+7xy-3xyÛ+6yÛ ⑶ 2aÜ+5aÛ-5a+1 ⑷ 4xÜ-7xÛy+5xyÛ-2yÜ ⑸ xÝ-xÛ+2x-1 011 ⑴ -2 ⑵ -7 ⑶ 3다항식의 곱셈
03
1 ⑴ 2, 5 ⑵ 3, 5 ⑶ 2, 7 2 3x, 3xy, xy, 1 본문 14쪽 개념 Check1
x항은 -2x이고 그 계수는 -2이다. ⑵ (x-5)(xÛ -2x+4)의 전개식에서 xÛ항은 x´(-2x)+(-5)´xÛ =-2xÛ -5xÛ =-7xÛ 따라서 xÛ 의 계수는 -7이다. ⑶ (xÛ +3xy-2y)(2x+y)의 전개식에서 xy항은 -2y´(2x)=-4xy xÛÛ y항은 xÛ ´y+3xy´2x=xÛ y+6xÛ y=7xÛ y 따라서 xy항의 계수는 -4이고 xÛ y항의 계수는 7이므로 합은 3이다. ⑷ (2x-y-3)Û =(2x)Û +(-y)Û +(-3)Û +2´2x´(-y) +2´(-y)´(-3)+2´(-3)´2x =4xÛ +yÛ +9-4xy+6y-12x =4xÛ +yÛ -4xy-12x+6y+9 ⑼ (x+y-2z)(xÛ +yÛ +4zÛ -xy+2yz+2zx) =(x+y-2z) {xÛ +yÛ +(-2z)Û -x´y-y´(-2z)-(-2z)´x} =xÜ +yÜ +(-2z)Ü -3´x´y´(-2z) =xÜ +yÜ -8zÜ +6xyz ⑽ (xÛ +x+1)(xÛ -x+1) =(xÛ +x´1+1Û )(xÛ -x´1+1Û) =xÝ +xÛ ´1Û +1Ý =xÝ +xÛ +1
곱셈 공식
04
1 ⑴ 3, 6 ⑵ 2a, 54 ⑶ 2, 8 ⑷ 2c, 8 본문 16쪽 개념 Check 본문 17쪽 개념 익히기 012 ⑴ 4xÛÛ+4x+1 ⑵ 9xÛ-12x+4 ⑶ 4xÛ-1 ⑷ xÛ-x-6 ⑸ 6xÛ+10x-4 013 ⑴ xÜ+6xÛ+11x+6 ⑵ xÜ-9xÛ+26x-24 ⑶ aÛ+4bÛ+cÛ+4ab-4bc-2ca ⑷ 4xÛ+yÛ-4xy-12x+6y+9 ⑸ xÜ+12xÛ+48x+64 ⑹ 8xÜ-12xÛ+6x-1 ⑺ xÜ+1 ⑻ 8xÜ-27 ⑼ xÜ+yÜ-8zÜ+6xyz ⑽ xÝ+xÛ+1013
⑴ (x+1)(x+2)(x+3) =xÜ +(1+2+3)xÛ +(1´2+2´3+3´1)x+1´2´3 =xÜ +6xÛ +11x+6 ⑵ (x-2)(x-3)(x-4) =xÛ -(2+3+4)xÛ +(2´3+3´4+4´2)x-2´3´4 =xÜ -9xÛ +26x-24 ⑶ (a+2b-c)Û =aÛ +(2b)Û +(-c)Û +2´a´2b+2´2b´(-c) +2´(-c)+a =aÛ +4bÛ +cÛ +4ab-4bc-2ca014
⑴ aÛ +bÛ =(a-b)Û +2ab=1Û +2´6=13 ⑵ (a+b)Û =(a-b)Û +4ab=1Û +4´6=25 다른 해설 (a+b)Û =aÛ +bÛ +2ab=13+2´6=25 ⑶ aÜ -bÜ =(a-b)Ü +3ab(a-b)=1Ü +3´6´1=19015
⑴ aÛ +141aÛ={a-;a!;}2 +2=5Û +2=27
본문 19쪽 개념 익히기 014 ⑴ 13 ⑵ 25 ⑶ 19 015 ⑴ 27 ⑵ 140 ⑶ '29 016 ⑴ 18 ⑵ 34'5 ⑶ 6 017 -1
곱셈 공식의 변형
05
1 ⑴ 2, 2, 6 ⑵ 3, 3, 14 2 ⑴ 2, 2, 7 ⑵ 3, 3, 18 3 ab+bc+ca, 1, 2 본문 18쪽 개념 Check⑵ aÜ -141aÜ={a-;a!;}3 +3{a-;a!;}=5ÜÜ +3´5=140 ⑶ a+;a!;=¾Ð{a-;a!;}2 +4="Ã5Û +4='29
016
⑴ xÛ +yÛ =(x+y)Û -2xy=(2'5)Û -2´1=18 ⑵ xÜ +yÜ =(x+y)Ü -3xy(x+y) =(2'5)Ü -3´1´2'5=34'5 ⑶ 12y 3x+ x 123y=111xÛ`+yÛ`3xy =:Á3¥:=6017
aÛ +bÛ +cÛ =(a+b+c)Û -2(ab+bc+ca)이므로 18=4Û -2(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+ca=-1 ⑵ xÛ`+5x-5 x+1<ÒxÜ`+6xÛ` -2 ²xÜ`+ xÛ` 5xÛ` ² 5xÛ`+5x -5x-2 ² -5x-5 3 ∴ 몫 : xÛ +5x-5, 나머지 : 3 ⑶ x+2 xÛ +x+3<ÒxÜ`+3xÛ`-2x+1 ²xÜ`+ xÛ +3x 2xÛ`-5x+1 ² 2xÛ`+2x+6 -7x-5 ∴ 몫 : x+2, 나머지 : -7x-5 ⑷ 2xÛ -4x+5 3xÛ +6x<Ò6xÝ - 9xÛ +4 ²6xÝ +12xÜ -12xÜ - 9xÛ ² -12xÜ -24xÛ 15xÛ ² 15xÛ +30x -30x+4 ∴ 몫 : 2xÛ -4x+5, 나머지 : -30x+4019
⑴ 2xÛ`+x-5 x+1<Ò2xÜ`+3xÛ`-4x+5 ²2xÜ`+2xÛ` xÛ`-4x ² xÛ`+ x -5x+5 ² -5x-5 10 따라서 Q=2xÛ`+x-5, R=10이므로 2xÜ`+3xÛ`-4x+5=(x+1)(2xÛ`+x-5)+10 ⑵ 3xÛ`-2x-3 xÛ +1<Ò3xÝ`-2xÜ` + x+4 ²3xÝ` +3xÛ` -2xÜ`-3xÛ`+ x ² -2xÜ` -2x -3xÛ`+3x+4 ² -3xÛ` -3 3x+7 따라서 Q=3xÛ`-2x-3, R=3x+7이므로 3xÝ`-2xÜ`+x+4=(xÛ +1)(3xÛ`-2x-3)+3x+7018
⑴ 2xÛ`-x-2 x-2<Ò2xÜ`-5xÛ` +2 ²2xÜ`-4xÛ` - xÛ` ² - xÛ`+2x -2x+2 ² -2x+4 -2 ∴ 몫 : 2xÛ`-x-2, 나머지 : -2다항식의 나눗셈
06
1 9, 36, 9, 36, xÛ+x-9, 36 본문 20쪽 개념 Check1
본문 21쪽 개념 익히기 018 ⑴ 몫 : 2xÛ`-x-2, 나머지 : -2 ⑵ 몫 : xÛ+5x-5, 나머지 : 3 ⑶ 몫 : x+2, 나머지 : -7x-5 ⑷ 몫 : 2xÛ-4x+5, 나머지 : -30x+4 019 ⑴ 2xÜ+3xÛ-4x+5=(x+1)(2xÛ+x-5)+10 ⑵ 3xÝ-2xÜ+x+4 =(xÛ+1)(3xÛ-2x-3)+3x+7 020 f(x)=2xÜ+5xÛ-5x+5∴ 몫 : 2xÛ`-5x+5, 나머지 : -4 ⑶ 2 3 -2 5 0 6 8 26 3 4 13 26 ∴ 몫 : 3xÛ`+4x+13, 나머지 : 26 ⑷ -2 1 2 0 4 0 -2 0 0 -8 1 0 0 4 -8 ∴ 몫 : xÜ`+4, 나머지 : -8
023
2x-1=2{x-;2!;}이므로 x-;2!;로 나눈 몫과 나머지를 조립 제법을 이용하여 먼저 구해야 한다. 즉, a=;2!;이다. ;2!; 2 -5 8 2 1 -2 3 2 -4 6 5 ⑴ a=;2!;, b=-4, c=5이므로 a+b+c=;2#; ⑵ 2xÜ -5xÛ +8x+2 ={x-;2!;}(2xÛ -4x+6)+5 =2{x-;2!;}(xÛ -2x+3)+5 =(2x-1)(xÛ -2x+3)+5 따라서 몫은 xÛ -2x+3, 나머지는 5이다.024
⑴ -1 1 4 3 2 -1 -3 0 1 3 0 2 xÜ +4xÛ +3x+2를 x+1로 나눈 몫은 xÛ +3x이고, 나머 지는 2이다. 따라서 xÜ +4xÛ +3x+2를 2x+2=2(x+1) 로 나눈 몫은 ;2!;(xÛ +3x)이고, 나머지는 2이다. ⑵ 2 1 4 3 2 2 12 30 1 6 15 32 xÜ +4xÛ +3x+2를 x-2로 나눈 몫은 xÛ +6x+15이고, 나머지는 32이다. 따라서 xÜ +4xÛ +3x+2를020
f(x) =(2x-1)(xÛ +3x-1)+4 =2xÜ +6xÛ -2x-xÛ -3x+1+4 =2xÜ +5xÛ -5x+5조립제법
07
1 (위에서부터) -5, 2, -10, 2xÛ-x-5, -10 개념 Check 본문 22쪽 본문 23쪽 개념 익히기 021 a=2, b=-1, c=-2,d=9 022 ⑴ 몫 : xÛ`+x+2, 나머지 : 4 ⑵ 몫 : 2xÛ`-5x+5, 나머지 : -4 ⑶ 몫 : 3xÛ`+4x+13, 나머지 : 26 ⑷ 몫 : xÜ`+4, 나머지 : -8 023 ⑴ ;2#; ⑵ 몫 : xÛ-2x+3, 나머지 : 5 024 ⑴ 몫 : ;2!;xÛ+;2#;x, 나머지 : 2 ⑵ 몫 : ;3!;xÛ`+2x+5, 나머지 : 32 ⑶ 몫 : 2xÛ`+2x, 나머지 : 2021
빈칸을 채운 다음 덧셈을 역으로 생각하여 a, b, c, d의 값을 구한다. 1 a b c d 2 1 -1 2 1 -1 8 ⊕ ⊕ ⊕ ∴ a=2, b=-1, c=-2, d=9022
⑴ 1 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 4 ∴ 몫 : xÛ`+x+2, 나머지 : 4 ⑵ -1 2 -3 0 1 -2 5 -5 2 -5 5 -43x-6=3(x-2)로 나눈 몫은 ;3!;(xÛ +6x+15)이고, 나 머지는 32이다. ⑶ -3 1 4 3 2 -3 -3 0 1 1 0 2 xÜ +4xÛ +3x+2를 x+3으로 나눈 몫은 xÛ +x이고, 나 머지는 2이다. 따라서 xÜ +4xÛ +3x+2를 ;2!;x+;2#;=;2!;(x+3)으로 나눈 몫은 2(xÛ +x)이고, 나머 지는 2이다. 본문 24~33쪽 025 -57 026 11 027 A=-2xÛ+3xy+yÛ, B=xÛ-xy-2yÛ 028 4 029 7 030 ③ 031 ⑴ xÝ-8xÛ+16 ⑵ xß+7xÜ-8 032 1-aÛ`à` 033 ⑴ xÝ+xÜ+2xÛ+2x+4 ⑵ xÛ-yÛ+zÛ+2xz 034 8 035 ① 036 ③ 037 ⑴ 9 ⑵ 17 ⑶ 129 038 25 039 ⑴ 5 ⑵ 1 ⑶ 14 040 4 041 -2 042 3xÛ+4x+6 043 ⑴ a=-;2!;, b=-1, c=11, d=6 ⑵ 몫 : xÛ-4x+5, 나머지 : 6 044 9 유제
025
f(x) =A-3{B-2(A-C)}=A-3(B-2A+2C) =A-3B+6A-6C=7A-3B-6C =7(xÜ +3xÛ +4x-5)-3(xÜ +x-6) -6(-2xÜ +xÛ +3x-7) =7xÜ +21xÛ +28x-35-3xÜ -3x+18 +12xÜ -6xÛ -18x+42 =16xÜ +15xÛ +7x+25 ∴ f(-2)=-128+60-14+25=-57 다른 해설 A=xÜ +3xÛ +4x-5에 x=-2를 대입하면 -8+12-8-5=-9 B=xÜ +x-6에 x=-2를 대입하면 -8-2-6=-16 C=-2xÜ +xÛ +3x-7에 x=-2를 대입하면 16+4-6-7=7 ∴ f(-2)=7×(-9)-3×(-16)-6×7=-57026
3(A-B)-5(B+C) =3A-3B-5B-5C =3A-8B-5C =3(xÛ -3xy+yÛ )-8(xÛ +xy-yÛ )-5(xÛ +4xy-2yÛ) =3xÛ -9xy+3yÛ -8xÛ -8xy+8yÛ -5xÛ -20xy+10yÛ =-10xÛ -37xy+21yÛ =axÛ -37xy+byÛ 따라서 a=-10, b=21이므로 a+b=11027
[ A+B=-xÛ +2xy-yÛ …… ㉠이라 하고 A-B=-3xÛ +4xy+3yÛ …… ㉡ ㉠+㉡을 하면 2A=(-xÛ +2xy-yÛ )+(-3xÛ +4xy+3yÛ) =-4xÛ +6xy+2yÛ ∴ A=-2xÛ +3xy+yÛ 이것을 ㉠에 대입하면 (-2xÛ +3xy+yÛ )+B=-xÛ +2xy-yÛ ∴ B=-xÛ +2xy-yÛ -(-2xÛ +3xy+yÛ) =-xÛ +2xy-yÛ +2xÛ -3xy-yÛ =xÛ -xy-2yÛ028
[ A+B=xÛ +6x+1 …… ㉠라 하고 3A-2B=3xÛ +13x-12 …… ㉡ 2×㉠+㉡을 하면 5A=2(xÛ +6x+1)+(3xÛ +13x-12) =5xÛ +25x-10 ∴ A=xÛ +5x-2 이것을 ㉠에 대입하면1
032
(1-a)(1+a+aÛ)(1+aÜ+aß)(1+aá+aÚ`¡`) =(1-aÜ`)(1+aÜ`+aß`)(1+aá`+aÚ`¡`) =(1-aá`)(1+aá`+aÚ`¡`)=1-aÛ`à`033
⑴ xÛ +2=A로 놓고 전개하면 (xÛ -x+2)(xÛ +2x+2) =(A-x)(A+2x) =AÛ +xA-2xÛ =(xÛ +2)Û +x(xÛ +2)-2xÛ =xÝ +4xÛ +4+xÜ +2x-2xÛ =xÝ +xÜ +2xÛ +2x+4 ⑵ x+z=A로 놓고 전개하면 (x+y+z)(x-y+z) =(A+y)(A-y) =AÛ -yÛ =(x+z)Û -yÛ =xÛ -yÛ +zÛ +2xz034
(x+1)(x+2)(x-3)(x-4) =(x+1)(x-3)(x+2)(x-4) =(xÛ -2x-3)(xÛ -2x-8) xÛ -2x=A로 놓고 전개하면 (주어진 식)=(A-3)(A-8) =AÛ -11A+24 =(xÛ -2x)Û -11(xÛ -2x)+24 =xÝ -4xÜ +4xÛ -11xÛ +22x+24 =xÝ -4xÜ -7xÛ +22x+24 따라서 a=-7, b=22이므로 2a+b=-14+22=8035
(2+1)(2Û +1)(2Ý +1)(2¡+1)y(2Û`Þ`ß+1) =(2-1)(2+1)(2Û +1)(2Ý +1)(2¡+1)y(2Û`Þ`ß+1) =(2Û -1)(2Û +1)(2Ý +1)(2¡+1)y(2Û`Þ`ß+1) =(2Ý -1)(2Ý +1)(2¡+1)y(2Û`Þ`ß+1) =(2¡-1)(2¡+1)y(2Û`Þ`ß+1) ⋮ =(2Û`Þ`ß-1)(2Û`Þ`ß+1) =2Þ`Ú`Û-1 (xÛ +5x-2)+B=xÛ +6x+1 ∴ B=xÛ +6x+1-(xÛ +5x-2) =xÛ +6x+1-xÛ -5x+2 =x+3 ∴ 2A-B=2(xÛ +5x-2)-(x+3) =2xÛ +10x-4-x-3 =2xÛ +9x-7 =axÛ +bx+c 따라서 a=2, b=9, c=-7이므로 a+b+c=4029
(xÛ +5x+a)(3xÛ -x+4)의 전개식에서 x항이 되는 경우 만을 전개하면 20x-ax=(20-a)x x의 계수가 13이므로 20-a=13 ∴ a=7030
(1+x+xÛ+xÜ+xÝ)Ü의 전개식에서 xÜ 의 계수를 구할 때, xÝ항은 영향을 주지 않으므로 xÝ 항을 제외하고 생각하면 (1+x+xÛ +xÜ )Ü의 전개식에서 xÜ 의 계수를 구하는 것과 같 다. 즉, a=b이므로 a-b=0 참고 a의 값을 구해 보자. (1+x+xÛ`+xÜ`)Ü``의 전개식에서 xÜ`항이 되는 경우만을 전개 하면 1´1´xÜ +1´xÜ ´1+xÜ ´1´1+1´x´xÛ +1´xÛ ´x+x´1´xÛ +x´xÛ ´1+xÛ ´1´x+xÛ ´x´1+x´x´x =10xÜ ∴ a=10031
⑴ (x-2)Û (x+2)Û ={(x-2)(x+2)}Û =(xÛ -4)Û =xÝ`-8xÛ`+16 ⑵ (x-1)(x+2)(xÛ +x+1)(xÛ -2x+4) =(x-1)(xÛ +x+1)(x+2)(xÛ -2x+4) =(xÜ -1)(xÜ +8) =xß +7xÜ -8036
99´(100Û`+100+1)=(100-1)(100Û`+100+1) =100Ü`-1Ü` =1000000-1 =999999037
;[!;+;]!;= x+y112xy =;2#;이고, xy=2이므로 x+y=3 ⑴ xÜ +yÜ =(x+y)Ü -3xy(x+y) =3Ü -3´2´3=9 ⑵ xÛ +yÛ =(x+y)Û -2xy=3Û -2´2=5이므로 xÝ +yÝ =(xÛ +yÛ)Û -2xÛ yÛ =5Û -2´2Û =17 ⑶ (xÜ +yÜ )(xÝ +yÝ )=xà +xÜ yÝ +xÝ yÜ +yà 에서 xà +yà =(xÜ +yÜ )(xÝ +yÝ )-xÜ yÜ (x+y) =9´17-2Ü ´3=129
038
xÛ -3x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x-3+;[!;=0 ∴ x+;[!;=3 ∴ xÜ +xÛ + 113xÛ+ 113xÜ ={xÜ + 113xÜ}+{xÛ + 113xÛ} =[{x+;[!;}3 -3{x+;[!;}]+[{x+;[!;}2 -2] =3Ü -3´3+3Û -2=27-9+9-2=25039
⑴ xÛ +yÛ +zÛ =(x+y+z)Û -2(xy+yz+zx) =1Û -2´(-2)=5 ⑵ xÜ +yÜ +zÜ =(x+y+z)(xÛ +yÛ +zÛ -xy-yz-zx)+3xyz =1´{5-(-2)}+3´(-2)=1 ⑶ (x-y)Û +(y-z)Û +(z-x)Û =xÛ -2xy+yÛ +yÛ -2yz+zÛ +zÛ -2zx+xÛ =2(xÛ +yÛ +zÛ -xy-yz-zx) =2´{5-(-2)}=14040
3(aÛ +bÛ +cÛ )=(a+b+c)Û 을 전개하면 3aÛ +3bÛ +3cÛ =aÛ +bÛ +cÛ +2ab+2bc+2ca 2aÛ +2bÛ +2cÛ -2ab-2bc-2ca=0 aÛ +bÛ +cÛ -ab-bc-ca=0 ;2!;[(a-b)Û +(b-c)Û +(c-a)Û ]=0 ∴ (a-b)Û =0, (b-c)Û =0, (c-a)Û =0 ∴ a=b=c abc=8이므로 a=b=c=2 ∴ 2a-b+c=4-2+2=4041
3xÛ -2x+3 xÛ +x-1<Ò3xÝ + xÜ -2xÛ - x+3 ²3xÝ +3xÜ -3xÛ -2xÜ + xÛ - x+3 ²-2xÜ -2xÛ +2x 3xÛ -3x+3 ²3xÛ +3x-3 -6x+6 따라서 Q(x)=3xÛ -2x+3, R(x)=-6x+6이므로 Q(1)+R(2)=4-6=-2042
3xÜ -2xÛ -7=A(x-2)+2x+5에서 A(x-2) =3xÜ -2xÛ -7-(2x+5) =3xÜ -2xÛ -2x-12 ∴ A=(3xÜ -2xÛ -2x-12)Ö(x-2) =3xÛ +4x+6043
⑴ a 2 -7 6 c b 4 -5 2 -7+b 10 d 조립제법을 이용하여 다항식 2xÜ -7xÛ +6x+11을 x+;2!;로 나누었으므로 a=-;2!;, c=11 b=2×a=2×{-;2!;}=-1 d=c-5=11-5=6 ⑵ 다항식 2xÜ -7xÛ +6x+11을 x+;2!;로 나누었을 때의 몫 이 2xÛ -8x+10, 나머지가 6이므로1
2xÜ -7xÛ +6x+11={x+;2!;}(2xÛ -8x+10)+6 ={x+;2!;}´2(xÛ -4x+5)+6 =2{x+;2!;}(xÛ -4x+5)+6 =(2x+1)(xÛ -4x+5)+6 ∴ 몫 : xÛ -4x+5, 나머지 : 6
044
조립제법을 이용하여 4xÛ +6x+3을 x-;2!;로 나누면 아래와 같으므로 ;2!; 4 6 3 2 4 4 8 7 4xÛ +6x+3={x-;2!;}(4x+8)+7 =2{x-;2!;}(2x+4)+7 =(2x-1)(2x+4)+7 ∴ 몫 : 2x+4, 나머지 : 7 또한 조립제법을 이용하여 3xÜ -5xÛ +4x+a를 x+;3!;로 나 누면 아래와 같으므로 -;3!; 3 -5 4 a -1 2 -2 3 -6 6 a-2 3xÜ -5xÛ +4x+a ={x+;3!;}(3xÛ -6x+6)+(a-2) =3{x+;3!;}(xÛ -2x+2)+a-2 =(3x+1)(xÛ -2x+2)+a-2 ∴ 몫 : xÛ -2x+2, 나머지 : a-2 두 나눗셈의 나머지가 같으므로 a-2=7 ∴ a=9 본문 34쪽 Review Quiz 045 ⑴ 상수항 ⑵ 내림차순 ⑶ 동류항 ⑷ aÜ+bÜ,3abÛ-bÜ ⑸ BQ+R ⑹ 이차 ⑺ 조립제법 046 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓 ⑷ 참 ⑸ 거짓046
⑴ xÛ +x+1=0은 다항식이 아니라 방정식이다. (거짓) ⑵ 다항식의 뺄셈은 교환법칙과 결합법칙 모두 성립하지 않 는다. (거짓) ⑶ xÛ 의 계수는 -1이다. (거짓) ⑷ xÜ Ñ13xÜ1={xÑ;[!;}3 Ð3{xÑ;[!;}`(복부호 동순)로 구할 수 있다. (참) ⑸ x-2로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면 2x-4로 나 눈 몫은 ;2!;Q(x), 나머지는 R이다. (거짓) 본문 35~37쪽 중단원 연습문제 A 047 ④ 048 2xÛ`+xy+yÛ` 049 ③ 050 11 051 ① 052 ③ 053 ① 054 xá-24xß+192xÜ-512 055 ⑤ 056 16'5 057 10'2 058 ② 059 ③ 060 36 061 ① 062 몫 : 3x-14, 나머지 : 35 063 ③ 064 ①047
2A-{3(A-B)-C} =2A-3A+3B+C =-A+3B+C =-(3xÜ`+5xÛ`-6x-2)+3(3xÜ`+7xÛ`-3) +(-2xÜ`-9xÛ`+5x-4) =-3xÜ`-5xÛ`+6x+2+9xÜ`+21xÛ`-9-2xÜ`-9xÛ`+5x-4 =4xÜ`+7xÛ`+11x-11048
A-3(X-B)=2B에서A-3X+3B=2B, 3X=A+B ∴ X=;3!;(A+B) =;3!;{(4xÛ`-5xy+6yÛ`)+(2xÛ`+8xy-3yÛ`)} =;3!;(6xÛ`+3xy+3yÛ`) =2xÛ`+xy+yÛ`
049
(1+3x+5xÛ`+7xÜ`)(1+2x+4xÛ`+8xÜ`)의 전개식에서 xÜ항은 1´8xÜ +3x´4xÛ +5xÛ ´2x+7xÜ ´1 =8xÜ +12xÜ +10xÜ +7xÜ =37xÜ 따라서 구하는 xÜ 의 계수는 37이다.050
(xÛ +2x-1)(2xÛ -3x+a)의 전개식에서 xÛ항은 xÛ`´a+2x´(-3x)+(-1)´2xÛ` =axÛ`-6xÛ`-2xÛ` =(a-8)xÛ` yy ❶ xÛ 의 계수가 -4이므로a-8=-4 ∴ a=4 yy ❷
(xÛ`+2x-1)(2xÛ`-3x+4)의 전개식에서 x항은 2x´4+(-1)´(-3x)=8x+3x=11x 따라서 구하는 x의 계수는 11이다. yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ xÛ의 계수를 a로 나타내기 30% 20% 50% ❷ a의 값 구하기 ❸ x의 계수 구하기
051
(10xÚ`â`+9xá`+y+x+1)Û` =(10xÚ`â`+9xá`+y+x+1)(10xÚ`â`+9xá`+y+x+1) 의 전개식에서 xÜ항은 3xÜ ´1+2xÛ ´x+x´2xÛ +1´3xÜ=10xÜ 따라서 xÜ 의 계수는 10이다. 참고 주어진 식의 전개식에서 xÜ 의 계수는 (3xÜ`+2xÛ`+x+1)(3xÜ`+2xÛ`+x+1) 의 전개식에서의 xÜ 의 계수와 같다.052
xÛ`+8x+5=0에서 xÛ`+8x=-5 ∴ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) ={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)} =(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15) =(-5+7)(-5+15) =2´10=20053
(a-1)(a+1)(aÛ`+1)(aÝ`+1)(a¡`+1) =(aÛ`-1)(aÛ`+1)(aÝ`+1)(a¡`+1) =(aÝ`-1)(aÝ`+1)(a¡`+1) =(a¡`-1)(a¡`+1) =aÚ`ß`-1=18-1 =17054
(x-2)Ü`(xÛ`+x+4)Ü` ={(x-2)(xÛ`+x+4)}Ü` =(xÜ`-8)Ü` =xá`-24xß`+192xÜ`-512055
xÛ +yÛ =(x+y)Û -2xy에서 20=6Û -2xy ∴ xy=8 ∴ xÜ +yÜ =(x+y)Ü -3xy(x+y) =6Ü -3´8´6=72056
x=3+'5, y=3-'5에서 x-y=2'5, xy=4 ∴ xÜ -yÜÜ =(x-y)ÜÜ +3xy(x-y) =(2'5)Ü +3´4´2'5 =64'5 ∴ 13xÛ y -13x =yÛ 11245xÜ -yÜ xy =11264'5 4 =16'5057
xÛ`-2x-1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x-2-;[!;=0 ∴ x-;[!;=21
{x+;[!;}2 ={x-;[!;}2 +4이므로 {x+;[!;}2 =2Û`+4=8 ∴ x+;[!;=2'2 (∵ x>0) ∴ xÜ +121xÜ={x+;[!;}3 -3{x+;[!;} =(2'2)Ü -3´2'2=16'2-6'2=10'2
058
aÛ +bÛ +cÛ =(a+b+c)Û -2(ab+bc+ca) =6Û -2´11=14 aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca=;2!;{(a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`} 에서 (a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û` =2(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca) =2(14+11)=50059
(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 (-1)Û`=15+2(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+ca=-7 aÜ`+bÜ`+cÜ`=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc 에서 -13=(-1)´{15-(-7)}+3abc 3abc=9 ∴ abc=3060
직육면체의 가로, 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c라 하면"ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='29 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=29 yy ❶ 겉넓이가 52이므로 2(ab+bc+ca)=52 ∴ ab+bc+ca=26 yy ❷ (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca) =29+2´26=81 이므로 a+b+c=9 yy ❸ 따라서 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)=4´9=36 yy ❹ 채점 기준 배점 ❶ 세 모서리의 길이를 a, b, c로 놓고 aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값 구하기 20% 20% ❷ ab+bc+ca의 값 구하기 40% ❸ a+b+c의 값 구하기 20% ❹ 모든 모서리의 길이의 합 구하기
061
f(x)를 x-3으로 나눌 때의 몫과 나머지는 각각 4xÛ -2x-4, -7이므로 f(x)=(x-3)(4xÛ -2x-4)-7 ∴ f(-1)=-4´(4+2-4)-7=-15062
f(x) =(x-3)(3x+4)+5 =3xÛ`-5x-7 3x-14 x+3<Ò3xÛ`- 5x- 7 ²3xÛ`+ 9x -14x- 7 ²-14x-42 35 따라서 몫은 3x-14, 나머지는 35이다.063
2x-3 2xÛ`+2x+1<Ò4xÜ`-2xÛ`-2x+1 ²²4xÜ`+4xÛ`+2x -6xÛ`-4x+1 ²-6xÛ`-6x-3 2x+4 따라서 Q(x)=2x-3, R(x)=2x+4이므로 Q(5)+R(5)=7+14=21064
f(x)를 3{x-;3@;}2 으로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이므로 f(x)=3{x-;3@;}2 Q(x)+R =;3!;(3x-2)Û Q(x)+R =(3x-2)Û ´;3!; Q(x)+R 따라서 f(x)를 (3x-2)Û 으로 나누었을 때의 몫은 ;3!; Q(x),=6Û`-2´(-1)Û` =34 yy ❶ 또한 xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y) =2Ü`-3´(-1)´2=14 (xÛ`+yÛ`)(xÜ`+yÜ`)=xÞ`+xÛ`yÜ`+xÜ`yÛ`+yÞ` 이므로 xÞ`+yÞ`=(xÛ`+yÛ`)(xÜ`+yÜ`)-xÛ`yÛ`(x+y) =6´14-(-1)Û ´2 =82 yy ❷ ∴ xÝ`+yÝ`+xÞ`+yÞ`=34+82=116 yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ xÝ+yÝ의 값 구하기 40% 40% 20% ❷ xÞ+yÞ의 값 구하기 ❸ xÝ+yÝ+xÞ+yÞ의 값 구하기
068
ACÓ=x, CBÓ=y라 하면 ABÓ=8이므로 x+y=8 두 정육면체의 부피의 합은 224이므로 xÜ +yÜ =224 이때 (x+y)Ü=xÜ+3xÛy+3yÛ+yÜ =(xÜ+yÜ)+3xy(x+y) 이므로 8Ü =224+3xy´8 ∴ xy=12 따라서 두 정육면체의 겉넓이의 합은 6(xÛ+yÛ)이므로 6(xÛ +yÛ )=6{(x+y)Û -2xy} =6´(8Û`-2´12)=240069
a+b+c=1의 양변을 제곱하면 aÛ +bÛ +cÛ +2(ab+bc+ca)=1 aÛ +bÛ +cÛ =9이므로 2(ab+bc+ca)=-8 ∴ ab+bc+ca=-4 yy ㉠ (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc 에서 1´{9-(-4)}=19-3abc, 3abc=6 ∴ abc=2 ㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2(abÛ`c+abcÛ`+aÛ`bc)=16 aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c)=16 본문 38~39쪽 중단원 연습문제 B 065 -6 066 ④ 067 116 068 240 069 12 070 ④ 071 15 072 ② 073 30 074 135065
[ 3A+B=5xÛ`+2x-13 A-2B=4xÛ`-4x-9 yy ㉠ yy ㉡ 라 하고 2_㉠+㉡을 하면 7A=2(5xÛ`+2x-13)+(4xÛ`-4x-9) =10xÛ`+4x-26+4xÛ`-4x-9 =14xÛ`-35 ∴ A=2xÛ`-5 이것을 ㉠에 대입하면 3(2xÛ`-5)+B=5xÛ`+2x-13 ∴ B=5xÛ`+2x-13-3(2xÛ-5) =5xÛ`+2x-13-6xÛ`+15 =-xÛ`+2x+2 ∴ A-B=(2xÛ`-5)-(-xÛ`+2x+2) =2xÛ`-5+xÛ`-2x-2 =3xÛ`-2x-7 따라서 a=3, b=-2, c=-7이므로 a+b+c=-6
066
(a+b+c)(a-b-c)=(a+b-c)(-a+b-c) {a+(b+c)}{a-(b+c)}={(b-c)+a}{(b-c)-a} aÛ -(b+c)Û =(b-c)Û -aÛ aÛ -(bÛ +2bc+cÛ )=bÛ -2bc+cÛ -aÛ ∴ aÛ =bÛ +cÛ 따라서 삼각형 ABC는 a를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형 이다.067
xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy =2Û`-2´(-1)=6 ∴xÝ`+yÝ`=(xÛ`)Û`+(yÛ`)Û` =(xÛ`+yÛ`)Û-2xÛ`yÛ` 나머지는 R이다.1
aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2´2´1=16 ∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=12
070
c-a=-{(a-b)+(b-c)} =-(4+'3+4-'3)=-8 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca =;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`} =;2!;{(4+'3)Û`+(4-'3)Û`+(-8)Û`} =;2!;(16+8'3+3+16-8'3+3+64) =51071
a, b, c가 삼각형의 변의 길이이므로 a>0, b>0, c>0 aÜ`+bÜ`+cÜ`=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc 에서 aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc이므로 (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0 이때 a+b+c>0이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0 ;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 ∴ a=b=c 한편 aÛ`+bÛ`+cÛ`=75에서 a=b=c이므로 3aÛ`=75, aÛ`=25 ∴ a=5 (∵ a>0) 따라서 주어진 삼각형은 한 변의 길이가 5인 정삼각형이므로 둘레의 길이는 3_5=15이다.072
f(x)=a(x+1)Ü+b(x+1)Û+c(x+1)+d =(x+1){a(x+1)Û+b(x+1)+c}+d =(x+1)[(x+1){a(x+1)+b}+c]+d 이므로 a, b, c, d`는 조립제법을 이용하여 f(x)를 x+1로 세 번 나누었을 때의 몫과 나머지에 해당한다. 조립제법의 결과를 보고 f(x)를 x+1에 대한 내림차순으로 정리하면 -1 4 3 3 2 -4 1 -4 -1 4 -1 4 -2 -4 5 -1 4 -5 9 -4 4 -9 f(x) =(x+1)(4xÛ -x+4)-2 =(x+1){(x+1)(4x-5)+9}-2 =(x+1)[(x+1){4(x+1)-9}+9]-2 =4(x+1)Ü-9(x+1)Û+9(x+1)-2 따라서 a=4, b=-9, c=9, d=-2이므로 a+b-c-d=4-9-9+2=-12073
오른쪽 그림과 같이 반직선 NM 이 △ABC의 외접원과 만나는 점을 Q라 하면 QÕMÓ=1 △AQN과 △PCN에서 ∠AQN=∠PCN (∵µAP에 대한 원주각) ∠ANQ=∠PNC (맞꼭지각) 즉, △AQN»△PCN (AA 닮음)이므로 (1+x) : x=x : 1, xÛ -x-1=0, x-1-;[!;=0 따라서 x-;[!;=1이므로 10{xÛ+12xÛ}1 =10[{x-;[!;}2 +2]=10_3=30 다른 해설 원의 성질에 의해 N®AÓ_NCÓ=NPÓ_NQÓ이므로 x_x=1_(x+1), xÛ =x+1 xÛ -x-1=0, x-1-;[!;=0 ∴x-;[!;=1074
조건 ㈎에서 x, y, 2z 중 적어도 하나가 3이므로 x-3, y-3, 2z-3의 곱은 0이 된다. ∴ (x-3)(y-3)(2z-3)=0 x f{x}=mx@+x+8 2Ⅰ
. 다항식
2. 항등식과 나머지정리
항등식
08
1 ⑴ 방정식 ⑵ xÛ+2x+1, 항등식 2 ⑴ 2, 1 ⑵ 3, -2, 4 본문 42쪽 개념 Check 본문 43쪽 개념 익히기 075 ⑴ × ⑵ × ⑶ ○ ⑷ × ⑸ ○ ⑹ × ⑺ ○ ⑻ × 076 ⑴ 3 ⑵ 1 077 a=3, b=2 078 3076
⑴ 5-a=2 ∴ a=3 ⑵ a-1=0, aÛ-1=0 ∴ a=1078
(3k+2)x+(4-2k)y=4k+8을 k에 대하여 정리하면 (3x-2y-4)k+(2x+4y-8)=0 위 식이 k에 대한 항등식이므로 3x-2y-4=0, 2x+4y-8=0 두 식을 연립하면 x=2, y=1 ∴ x+y=3 위 식의 좌변을 전개하면 (xy-3x-3y+9)(2z-3) =2xyz-6xz-6yz+18z-3xy+9x+9y-27 =2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27 이때 조건 ㈏에서 3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx이므로 (좌변) =2xyz-3{3(x+y+2z)}+9(x+y+2z)-27 =2xyz-27=0 따라서 xyz=;ª2¦;이므로 10xyz=135 다른 해설 x, y, 2z 중에서 적어도 하나는 3이므로 x=3으로 두면 조건 ㈏에서 3(3+y+2z)=3y+2yz+6z 9+3y+6z=2yz+3y+6z ∴ 9=2yz ∴ yz=;2(; ∴ 10xyz=10´3´;2(;=1352
x=2를 대입하면 -b=-1 ∴ b=1 x=3을 대입하면 a=1 ⑵ 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 5=-b ∴ b=-5 x=1을 대입하면 6=2c ∴ c=3 x=-1을 대입하면 12=2a ∴ a=6 ⑶ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=2b ∴ b=0 x=-2를 대입하면 -7=-c ∴ c=7 x=-3을 대입하면 -26=2a ∴ a=-13
082
주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1=c x=0을 대입하면 0=a-b+c ……㉠ x=2를 대입하면 4=a+b+c ……㉡ ㉠, ㉡에 c=1을 각각 대입하면 a-b=-1, a+b=3 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2 본문 47쪽 개념 익히기 083 ⑴ 0⑵ -6⑶ ;2#; 084 ⑴ 1⑵ -3⑶ -1 085 a=-7, b=0 086 1083
⑴ f(-1)=-2-5+3+4=0 ⑵ f(2)=16-20-6+4=-6 ⑶ f {;2!;}=;4!;-;4%;-;2#;+4=;2#;나머지정리 ⑴
-
일차식으로 나누는 경우
10
1 ⑴ 0, 8 ⑵ 1, 3 ⑶ -2, -12 ⑷ -;2!;, :¤8£: 본문 46쪽 개념 Check079
⑴ (a+b)x+a-b=3x-1이 x에 대한 항등식이므로 a+b=3, a-b=-1 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2 ⑵ 좌변을 전개하여 정리하면 3xÛ +(a-3)x-a=3xÛ +bx+2 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a-3=b, -a=2 ∴ a=-2, b=-5 ⑶ 좌변을 전개하여 정리하면 xÜ +axÛ +bx-xÛ -ax-b=xÜ +cx-3 xÜ +(a-1)xÛ +(b-a)x-b=xÜ +cx-3 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a-1=0, b-a=c, -b=-3 ∴ a=1, b=3, c=2080
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=b-3, ab-3=0 ∴ a-b=-3, ab=3 ∴ aÛ +bÛ =(a-b)Û +2ab =(-3)Û +2´3=15081
⑴ 주어진 등식의 양변에미정계수법
09
1 ⑴ 1, 0, 1, 0 ⑵ 2, 4, 2 2 7, 10, 5 본문 44쪽 개념 Check 본문 45쪽 개념 익히기 079 ⑴ a=1, b=2 ⑵ a=-2, b=-5 ⑶ a=1, b=3, c=2 080 15 081 ⑴ a=1, b=1 ⑵ a=6, b=-5, c=3 ⑶ a=-13, b=0, c=7 082 a=1,b=2,c=1084
⑴ f(1)=4에서 1+a+1+1=4 ∴ a=1 ⑵ f(-1)=3에서 -3-a-2+5=3 ∴ a=-3 ⑶ f(1)=0에서 -1+a+2=0 ∴ a=-1085
P(2)=2에서 16+2a+b=2 ∴ 2a+b=-14 …… ㉠ P(-1)=5에서 -2-a+b=5 ∴ a-b=-7 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=0086
f(1)=9에서 1+3+k+2=9 ∴ k=3 따라서 f(x)=xÜ +3xÛ +3x+2를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 f(-1)=-1+3-3+2=1 본문 49쪽 개념 익히기 087 11,11,7,7 088 -2x+3 089 2x+1나머지정리 ⑵
-
이차식으로 나누는 경우
11
1 -2, 4, -2, 4, 6, 6 2 1, -7, 1, -7, -2, 2 본문 48쪽 개념 Check088
f(x)를 (x-1)(x-3)으로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b 나머지정리에 의하여 f(1)=1, f(3)=-3이므로 f(1)=a+b=1 …… ㉠ f(3)=3a+b=-3 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3 따라서 구하는 나머지는 -2x+3이다.089
P(x)를 xÛ -3x-4로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 P(x) =(xÛ -3x-4)Q(x)+ax+b =(x+1)(x-4)Q(x)+ax+b 나머지정리에 의하여 P(-1)=-1, P(4)=9이므로 P(-1)=-a+b=-1 …… ㉠ P(4)=4a+b=9 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 따라서 구하는 나머지는 2x+1이다.090
f(x)=3xÜ -xÛ +ax-2라 하면 인수정리에 의하여 ⑴ f(-1)=0이므로 -3-1-a-2=0 ∴ a=-6 ⑵ f(1)=0이므로 3-1+a-2=0 ∴ a=0 ⑶ f(2)=0이므로 24-4+2a-2=0 ∴ a=-9 본문 51쪽 개념 익히기 090 ⑴ -6 ⑵ 0 ⑶ -9 091 -20 092 a=0, b=-4 093 a=-2, b=6인수정리
12
1 ⑴ 0, 0, 4 ⑵ 0, 0, -11 2 0, 0, 0, 0, -1, -5, -2, -1 본문 50쪽 개념 Check2
091
f(x)=4xÝ -2xÜ -kxÛ +x-5라 하면 f(x)는 2x+1로 나누 어떨어지므로 인수정리에 의하여 f {-;2!;}=0 ;4!;+;4!;-;4K;-;2!;-5=0 ∴ k=-20092
f(x)=xÜ +3xÛ +ax+b라 하면 f(x)는 x-1, x+2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(1)=0, f(-2)=0 1+3+a+b=0, -8+12-2a+b=0 ∴ a+b=-4, 2a-b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=-4093
f(x)=axÜ +bxÛ +8x-24라 하면 f(x)는 (x+2)(x-3) 으로 나누어떨어진다. 따라서 f(x)는 x+2, x-3으로 각각 나누어떨어지므로 인 수정리에 의하여 f(-2)=0, f(3)=0 -8a+4b-16-24=0, 27a+9b+24-24=0 ∴ 2a-b=-10, 3a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=6 본문 52~57쪽 094 a=2, b=3 095 24 096 -;9*; 097 ⑴ 11 ⑵ 30 098 ⑴ 9 ⑵ 1 ⑶ 5 099 a=3, b=3 100 5 101 -7 102 18 103 4 104 119 105 -13 106 -16 107 9 유제094
주어진 등식의 좌변을 x, y에 대하여 정리하면 (a+3b)x+(-a+b)y=11x+y 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a+3b=11, -a+b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=3095
x-y=1에서 y=x-1 이를 주어진 식에 대입하여 x에 대한 내림차순으로 정리하면 axÛ +b(x-1)Û +cx+2(x-1)+4=0 (a+b)xÛ +(-2b+c+2)x+b+2=0 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a+b=0, -2b+c+2=0, b+2=0 따라서 a=2, b=-2, c=-6이므로 abc=24096
ax+by+2 111112x-y+3 =k (k는 상수)라 하면 ax+by+2=k(2x-y+3) ax+by+2=2kx-ky+3k (a-2k)x+(b+k)y+2-3k=0 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-2k=0, b+k=0, 2-3k=0 ∴ k=;3@;, a=;3$;, b=-;3@; ∴ ab=-;9*;097
⑴ 양변에 x=2를 대입하면 8+4-1=a+b+c+d ∴ a+b+c+d=11 ⑵ xÜ +2x-1=a(x-1)Ü +b(x-1)Û +c(x-1)+d가 x에 대한 항등식이고 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 a=1 즉, xÜ +2x-1=(x-1)Ü +b(x-1)Û +c(x-1)+d의 양변에 x=1을 대입하면 1+2-1=d ∴ d=2 양변에 x=0을 대입하면 -1=-1+b-c+2 ∴ b-c=-2 yy ㉠ 양변에 x=2를 대입하면 8+4-1=1+b+c+2 ∴ b+c=8 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=3, c=5 ∴ abcd=30098
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 ⑴ 양변에 x=1을 대입하면 (1+1+1)Û=a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤ ∴ a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤=9 ⑵ 양변에 x=-1을 대입하면 (-1+1+1)Û=a¼-aÁ+aª-a£+a¢-a°+a¤ ∴ a¼-aÁ+aª-a£+a¢-a°+a¤=1 ⑶ ⑴, ⑵의 결과를 변변 더하면 2(a¼+aª+a¢+a¤)=10 ∴ a¼+aª+a¢+a¤=5099
xÜ +axÛ +bx+2를 xÛ +x+1로 나누었을 때의 몫을 x+k (k는 상수)라 하면 xÜ +axÛ +bx+2=(xÛ +x+1)(x+k) 우변을 전개하여 정리하면 xÜ +axÛ +bx+2=xÜ+(k+1)xÛ +(k+1)x+k 이 등식이 x에 대한 항등식으로 a=k+1, b=k+1, 2=k ∴ a=3, b=3100
다항식 xÜ -axÛ +2x+4를 xÛ -x+1로 나누었을 때의 나머 지를 px+q (p, q는 상수)라 하면 xÜ -axÛ +2x+4=(xÛ -x+1)(x-1)+px+q 우변을 전개하여 정리하면 xÜ -axÛ +2x+4=xÜ -2xÛ +(p+2)x+q-1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=2, 2=p+2, 4=q-1 ∴ p=0, q=5 따라서 나머지는 5이다. 참고 다항식의 나눗셈에서 (나머지의 차수)<(나누는 식의 차수) 이므로 나누는 식이 이차식이면 나머지를 px+q (p, q는 상 수)로 놓는다.101
다항식 f(x)를 xÛ -4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 2x-3이므로 f(x) =(xÛ -4)Q(x)+2x-3 =(x+2)(x-2)Q(x)+2x-3 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 f(-2)=0-4-3=-7102
다항식 f(x)+g(x)를 x-3으로 나눈 나머지는 f(3)+g(3) 이므로 f(3)+g(3)=9 …… ㉠ 다항식 f(x)-g(x)를 x-3으로 나눈 나머지는 f(3)-g(3) 이므로 f(3)-g(3)=3 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(3)=6, g(3)=3 다항식 f(x)g(x)를 x-3으로 나눈 나머지는 f(3)g(3)이므 로 f(3)g(3)=6´3=18103
f(x)를 (x+2)Û (x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ +bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x+2)Û (x+3)Q(x)+axÛ+bx+c f(x)를 (x+2)Û 으로 나눈 나머지가 x+1이려면 axÛ`+bx+c를 (x+2)Û 으로 나눈 나머지가 x+1이어야 한다. ∴ f(x) =(x+2)Û`(x+3)Q(x)+axÛ`+bx+c =(x+2)Û (x+3)Q(x)+a(x+2)Û +x+1 이때 나머지정리에 의하여 f(-3)=2이므로 a-3+1=2 ∴ a=4 ∴ R(x) =a(x+2)Û`+x+1 =4(x+2)Û +x+1=4xÛ +17x+17 따라서 R(x)를 x+1로 나눈 나머지는 R(-1)=4-17+17=4104
f(x)를 xÛ -2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x) =(xÛ -2x-3)Q(x)+x+5 =(x+1)(x-3)Q(x)+x+5 …… ㉠ (x+2)f(x+2)를 xÛ +2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 (x+2)f(x+2) =(xÛ +2x-3)Q'(x)+ax+b =(x+3)(x-1)Q'(x)+ax+b …… ㉡ ㉠의 양변에 x=3을 대입하면 f(3)=8 x=-1을 대입하면 f(-1)=4 ㉡의 양변에 x=-3, x=1을 각각 대입하면 -f(-1)=-3a+b, 3f(3)=a+b ∴ 3a-b=4, a+b=242
두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=17 ∴ ab=119
105
다항식 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 4이므로 f(x)=(x-4)Q(x)+3 …… ㉠ 또 다항식 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 -2이므 로 나머지정리에 의하여 Q(-1)=-2 xf(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의 하여 -f(-1)과 같으므로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 f(-1)=-5´(-2)+3=13 ∴ -f(-1)=-13 다른 해설 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지 가 -2이므로 Q(x)=(x+1)Q'(x)-2 …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 f(x)=(x-4){(x+1)Q'(x)-2}+3 =(x-4)(x+1)Q'(x)-2(x-4)+3 =(x-4)(x+1)Q'(x)-2x+11 …… ㉢ 이때 xf(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -f(-1)이므로 ㉢에서 -f(-1)=-13106
f(x)-3xÛ 이 x-2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 f(2)-12=0 ∴ f(2)=12 f(x)=xÜ +6xÛ +kx+12에서 f(2)=8+24+2k+12=12 2k=-32 ∴ k=-16107
다항식 f(x)-9가 (x-1)(x-3)으로 나누어떨어지므로 f(x)-9는 x-1, x-3으로 각각 나누어떨어진다. 이때 인수정리에 의하여 f(1)-9=0, f(3)-9=0 ∴ f(1)=9, f(3)=9 …… ㉠ 다항식 f(x+1)을 x(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x+1)=x(x-2)Q(x)+ax+b …… ㉡ ㉡의 양변에 x=0을 대입하면 f(1)=b=9 (∵ ㉠) 본문 58쪽 Review Quiz 108 ⑴ a=b=c=0 ⑵ 미정계수법, 계수비교법, 수치대입법 ⑶ f(a) ⑷ ;a!; Q(x),R ⑸ x-a 109 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓109
⑴ 양변을 각각 내림차순으로 정리하면 양변이 같으므로 항 등식이다. (참) ⑵ 주어진 식의 양변을 전개하여 x에 대하여 정리하면 (x에 대한 2차식)=(x에 대한 3차식) 이므로 항등식이 아니다. (거짓) ⑶ 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하의 식, 즉 일차식 또 는 상수이다. (거짓) 본문 59~61쪽 중단원 연습문제 A 110 ② 111 3 112 12 113 ⑤ 114 ④ 115 ⑤ 116 64 117 k=-1, 나머지 : -5x+6 118 11 119 36 120 ① 121 9 122 ③ 123 ⑤ 124 4x+7 125 ⑤ 126 ④ 127 2x+4 ㉡의 양변에 x=2를 대입하면 f(3)=2a+b=9 (∵ ㉠) 2a+9=9 ∴ a=0 따라서 구하는 나머지는 9이다. 다른 해설 f(x)-9를 (x-1)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)-9=(x-1)(x-3)Q(x) ∴ f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+9 따라서 f(x+1)=x(x-2)Q(x+1)+9이므로 f(x+1)을 x(x-2)로 나눈 나머지는 9이다.110
kxÛ`+x+kyÛ`+y-10k+2=0을 k에 대하여 정리하면 (xÛ`+yÛ`-10)k+x+y+2=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로 xÛ`+yÛ`-10=0, x+y+2=0 ∴ xÛ`+yÛ`=10, x+y=-2 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy이므로 10=4-2xy, 2xy=-6 ∴ xy=-3111
a(x+y)+b(3x-2y) =(a+3b)x+(a-2b)y =13x-12y 이 식이 x, y에 대한 항등식이므로 a+3b=13, a-2b=-12 yy ❶ 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=5 yy ❷ ∴ a+b=3 yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 항등식의 성질을 이용하여 a, b에 대한 식 세우기 60% 30% ❷ a, b의 값 구하기 10% ❸ a+b의 값 구하기112
ax+by+6 11111x+3y+2 =k (k는 상수)로 놓으면 ax+by+6=k(x+3y+2) ∴ (a-k)x+(b-3k)y+6-2k=0 이 식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-k=0, b-3k=0, 6-2k=0 ∴ k=3, a=3, b=9 ∴ a+b=12113
주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 4+10+2=8c ∴ c=2 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 2=-4b ∴ b=-;2!; 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 4-10+2=8a ∴ a=-;2!; ∴ a+b+c=-;2!;-;2!;+2=1114
주어진 방정식이 x=1을 근으로 가지므로 1+(m+3)+(m-3)p+q=0 이 식을 m에 대하여 정리하면 (1+p)m+(-3p+q+4)=0 이 식은 m에 대한 항등식이므로 1+p=0, -3p+q+4=0 따라서 p=-1, q=-7이므로 p+q=-8115
x+y=1에서 y=1-x 이것을 주어진 식에 대입하면 axÛ`+3ax+b(1-x)Û`+cx-(1-x)+2=0 (a+b)xÛ`+(3a-2b+c+1)x+b+1=0 이 식은 x에 대한 항등식이므로 a+b=0, 3a-2b+c+1=0, b+1=0 따라서 a=1, b=-1, c=-6이므로 a+b+c=-6116
(2xÛ`-5x+7)Ü =a¼+aÁx+aªxÛ +a£xÜ+a¢xÝ+a°xÞ+a¤xß yy ㉠ 이라 하면 모든 항의 계수들의 합은 a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 a¼+aÁ+aª+a£+a¢+a°+a¤ =(2-5+7)Ü` =4Ü`=64 참고 전개한 다항식이 a¼+aÁx+aªxÛ`+y+aÇxÇ 꼴일 때, 계수들 의 총합은 a¼+aÁ+aª+y+aÇ이고, 이것은 x=1일 때의 값이므로 다항식의 전개식에서 계수들의 총합을 구할 때는 다항식의 문자에 1을 대입한다.117
나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 2xÜ`+kxÛ`+3x+2=(xÛ`+4)(2x-1)+ax+b =2xÜ`-xÛ`+(a+8)x+b-4 이 식은 x에 대한 항등식이므로2
k=-1, a+8=3, b-4=2 ∴ a=-5, b=6 따라서 k=-1이고, 나머지는 -5x+6이다.
118
f(x)=3xÜ +axÛ +bx-6이라 하면 f(x)는 x-1로 나누어 떨어지고, x-2로 나누었을 때의 나머지가 16이므로 나머지 정리에 의하여 f(1)=0, f(2)=16 f(1)=0에서 3+a+b-6=0∴ a+b=3 yy ㉠ yy ❶ f(2)=16에서 24+4a+2b-6=16
∴ 2a+b=-1 yy ㉡ yy ❷ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=7 yy ❸ ∴ b-a=11 yy ❹ 채점 기준 배점 ❶ f(1)=0일 때, a, b에 대한 식 세우기 30% 30% 30% 10% ❷ f(2)=16일 때, a, b에 대한 식 세우기 ❸ a, b의 값 구하기 ❹ b-a의 값 구하기
119
다항식 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지가 6이고 다항식 g(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지가 -2이므로 나머지정리에 의하여 f(4)=6, g(4)=-2 따라서 5f(x)-3g(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 5f(4)-3g(4)=5´6-3´(-2)=36120
f(x)를 3xÛ`+8x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 3x-2이므로 f(x) =(3xÛ`+8x-3)Q(x)+3x-2 =(3x-1)(x+3)Q(x)+3x-2 따라서 f(x)를 3x-1로 나누었을 때의 나머지는 f {;3!;}=3´;3!;-2=-1121
f(x)를 (4x+3)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 2x+3이므로 f(x)=(4x+3)(x-3)Q(x)+2x+3 한편 f(2x-1)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2´2-1)=f(3) 따라서 구하는 나머지는 f(3)=2´3+3=9122
f(x)=xÜ`-3xÛ`+ax+b라 하면 f(x)가 (x+2)(x-3)으로 나누어떨어지므로 f(x)는 x+2, x-3으로 각각 나누어떨어 진다. 이때 인수정리에 의하여 f(-2)=0, f(3)=0 -8-12-2a+b=0, 27-27+3a+b=0 ∴ -2a+b=20, 3a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-4, b=12 ∴ f(x)=xÜ`-3xÛ`-4x+12 따라서 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 f(-1)=-1-3+4+12=12123
다항식 f(x)를 x+1, x-3으로 각각 나누었을 때의 나머지 가 -8, 4이므로 나머지정리에 의하여 f(-1)=-8, f(3)=4 다항식 f(x)를 xÛ`-2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x) =(xÛ`-2x-3)Q(x)+ax+b =(x+1)(x-3)Q(x)+ax+b 이 식의 양변에 x=-1, x=3을 각각 대입하면 f(-1)=-a+b, f(3)=3a+b ∴ -a+b=-8, 3a+b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-5 따라서 R(x)=3x-5이므로 R(2)=1124
f(x)를 xÛ`+x-6으로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 나 머지가 -5이므로 f(x) =(xÛ`+x-6)QÁ(x)-5 =(x+3)(x-2)QÁ(x)-5 ∴ f(-3)=-5 yy ❶ f(x)를 xÛ`+x-2로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면 나머 지가 2x+9이므로 f(x) =(xÛ`+x-2)Qª(x)+2x+9=(x+2)(x-1)Qª(x)+2x+9 ∴ f(1)=11 yy ❷ f(x)를 xÛ`+2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x) =(xÛ`+2x-3)Q(x)+ax+b =(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b yy ❸ 이 식의 양변에 x=-3, x=1을 각각 대입하면 f(-3)=-3a+b=-5 yy ㉠ f(1)=a+b=11 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=7 따라서 구하는 나머지는 4x+7이다. yy ❹ 채점 기준 배점 ❶ f(-3)의 값 구하기 20% 20% 20% ❷ f(1)의 값 구하기 ❸ f(x)를 xÛ+2x-3으로 나누었을 때의 식 세우기 40% ❹ 나머지 구하기
125
f(x)를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 -x+4이므로 f(x)=(xÛ`-x+1)Q(x)-x+4 yy ㉠ Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지 가 2이므로 Q(x)=(x+1)Q'(x)+2 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 f(x)=(xÛ`-x+1){(x+1)Q'(x)+2}-x+4 =(xÛ-x+1)(x+1)Q'(x)+2(xÛ-x+1)-x+4 =(xÜ`+1)Q'(x)+2xÛ`-3x+6 따라서 R(x)=2xÛ`-3x+6이므로 R(1)=2-3+6=5126
다항식 f(x)를 (xÛ +2)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(xÛ`+2)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c f(x)를 xÛ`+2로 나누었을 때의 나머지가 -3x+1이려면 axÛ`+bx+c를 xÛ`+2로 나누었을 때의 나머지가 -3x+1이 어야 한다. ∴ f(x) =(xÛ`+2)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c =(xÛ`+2)(x-1)Q(x)+a(xÛ`+2)-3x+1 이때 나머지정리에 의하여 f(1)=4이므로 3a-2=4 ∴ a=2 따라서 구하는 나머지는 2(xÛ`+2)-3x+1=2xÛ`-3x+5127
f(x)를 xÛ -3x-4로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 f(x) =(xÛ -3x-4)QÁ(x) =(x+1)(x-4)QÁ(x) …… ㉠ f(x)-4를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면 f(x)-4=(x-1)Qª(x) ∴ f(x)=(x-1)Qª(x)+4 …… ㉡ f(x)+2를 xÛ -1로 나누었을 때의 몫을 Q£(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(x)+2=(xÛ -1)Q£(x)+ax+b ∴ f(x)=(x+1)(x-1)Q£(x)+ax+b-2 …… ㉢ ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 f(-1)=0 ㉡의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=4 ㉢의 양변에 x=-1, x=1을 각각 대입하면 f(-1)=-a+b-2=0 f(1)=a+b-2=4 ∴ -a+b=2, a+b=6 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=4 따라서 구하는 나머지는 2x+4이다. 본문 62~63쪽 중단원 연습문제 B 128 ② 129 -528 130 9 131 ① 132 ③ 133 ③ 134 10 135 ④ 136 ② 137 26128
xÞ`+axÛ`+b=(x-1)(x+2)f(x)+6x+5가 x에 대한 항 등식이므로 x=1, x=-2를 대입해도 성립한다. 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면1+a+b=11 ∴ a+b=10 yy ㉠
양변에 x=-2를 대입하면
-32+4a+b=-7 ∴ 4a+b=25 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=5 ∴ xÞ`+5xÛ`+5=(x-1)(x+2)f(x)+6x+5 위 식의 양변에 x=2를 대입하면 32+20+5=(2-1)(2+2)f(2)+12+5 4f(2)=40 ∴ f(2)=10
129
주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 (1-4-1)Þ`=a¼+aÁ+aª+y+aÁ° ∴a¼+aÁ+aª+y+aÁ°=(-4)Þ`=-1024 yy ㉠ 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 (-1+4-1)Þ =a¼-aÁ+aª-y-aÁ° ∴ a¼-aÁ+aª-y-aÁ°=2Þ=32 yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 2(aÁ+a£+y+aÁ°)=-1056 ∴ aÁ+a£+y+aÁ°=-528130
다항식 f(x)를 (x+1)(x+2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수) 라 하면 f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)Q(x)+axÛ`+bx+c f(x)가 (x+1)(x+2)로 나누어떨어지므로 axÛ`+bx+c=a(x+1)(x+2) ∴ f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)Q(x) +a(x+1)(x+2) yy ㉠ 또 f(x)를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 x+6이므로 f(x)=(x-2)(x+3)Q'(x)+x+6 즉, f(-3)=3이므로 ㉠에서 f(-3)=2a=3 ∴ a=;2#; 따라서 R(x)=;2#;(x+1)(x+2)이므로 R(1)=;2#;´2´3=9131
조건 ㈎`에서 (x-1)P(x-2)=(x-7)P(x)이므로 양변에 x=1을 대입하면 P(1)=0 양변에 x=7을 대입하면 P(5)=0 P(x)는 삼차다항식이므로 조건 ㈏`에 의해 P(x)=(xÛ -4x+2)(ax+b)+2x-10 (a, b는 상수) 이라 하자. P(1)=0이므로 -a-b-8=0 ∴ a+b=-8 yy ㉠ P(5)=0이므로 35a+7b=0 ∴ 5a+b=0 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-10 따라서 P(x)=(xÛ -4x+2)(2x-10)+2x-10이므로 P(4)=2´(-2)+8-10=-6132
f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 QÁ(x), 나머지가 7이 고, f(x)를 x-4로 나누었을 때의 몫이 Qª(x), 나머지가 5 이므로 f(x)=(x-2)QÁ(x)+7 yy ㉠ f(x)=(x-4)Qª(x)+5 yy ㉡ QÁ(x)+Qª(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 QÁ(3)+Qª(3)이므로 ㉠, ㉡의 양변에 x=3을 대입하면 f(3)=QÁ(3)+7=-Qª(3)+5 ∴ QÁ(3)+Qª(3)=-2133
3Û`â`Ú`á`=(3Û`)Ú`â`â`á`´3=3´9Ú`â`â`á` f(x)=3xÚ`â`â`á`으로 놓으면 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나 머지는 f(1)=3이므로 몫을 Q(x)라 할 때 3xÚ`â`â`á`=(x-1)Q(x)+3 이 식의 양변에 x=9를 대입하면 3´9ÚÚ`â`â`á`=(9-1)Q(9)+3 ∴ 3Û`â`Ú`á`=8Q(9)+3 따라서 3Û`â`Ú`á`을 8로 나누었을 때의 나머지는 3이다.134
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3에서 f(1)-1=0, f(2)-2=0, f(3)-3=0 이므로 f(x)-x는 x-1, x-2, x-3으로 각각 나누어떨어 진다. 이때 f(x)는 xÜ`의 계수가 1인 삼차식이므로 f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3) ∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x 따라서 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 f(4) =(4-1)(4-2)(4-3)+4 =10135
f(x)는 삼차식이므로 f(x)를 xÛ -2x-1로 나누었을 때의 몫을 ax+b`(a, b는 상수, a+0)라 하면 f(x)=(xÛ`-2x-1)(ax+b) 이때 f(0)=4이므로 -b=4 ∴ b=-4 ∴ f(x)=(xÛ`-2x-1)(ax-4) yy ㉠ 또 f(x)-16을 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫을 ax+c (c는 상수)라 하면 f(x)-16=(xÛ`+1)(ax+c) ∴ f(x)=(xÛ`+1)(ax+c)+16 f(0)=4이므로 c+16=4 ∴ c=-12 ∴ f(x)=(xÛ`+1)(ax-12)+16 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 (xÛ`-2x-1)(ax-4)=(xÛ`+1)(ax-12)+16 axÜ`+(-2a-4)xÛ`+(-a+8)x+4 =axÜ`-12xÛ`+ax+4 양변의 계수를 비교하면 -2a-4=-12, -a+8=a ∴ a=4 따라서 f(x)=(xÛ`-2x-1)(4x-4)이므로 f(3)=2´8=16136
조건 ㈎에서 xÜ +3xÛ +4x+2를 이차다항식 f(x)로 나눈 나 머지 g(x)는 일차 이하의 다항식이므로 조건 ㈏에서 xÜ +3xÛ +4x+2를 g(x)로 나눈 나머지 f(x)-xÛ -2x는 상수이다. 이때 f(x)-xÛ -2x=a (a는 상수)라 하면 f(x)=xÛ +2x+a x+1 xÛ`+2x+a<ÒxÜ`+3xÛ`+ 4x+2 ²xÜ`+2xÛ`+ ax xÛ`+(4-a)x+2 ² xÛ`+ 2x+a (2-a)x+2-a 위의 나눗셈에 의하여 g(x)=(2-a)x+2-a=(2-a)(x+1) 조건 ㈏에서 xÜ +3xÛ +4x+2를 g(x)로 나눈 몫을 Q(x)라 하면 xÜ +3xÛ +4x+2=(2-a)(x+1)Q(x)+a 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 -1+3-4+2=a ∴ a=0 따라서 g(x)=2(x+1)이므로 g(1)=4이다.137
조건 ㈏에 의해 삼차다항식 f(x)를 f(x)=(x-1)Û (ax+b)+ax+b yy ㉠ 라 하자. 조건 ㈎에서 f(1)=2이므로 ㉠에 x=1을 대입하면2=a+b ∴ b=2-a yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 f(x) =(x-1)Û (ax+2-a)+ax+2-a =(x-1)Û {a(x-1)+2}+a(x-1)+2 =a(x-1)ÜÜ +2(x-1)Û +a(x-1)+2 즉, f(x)를 (x-1)ÜÜ 으로 나눈 나머지는 R(x)=2(x-1)Û +a(x-1)+2 이때 R(0)=R(3)이므로 2-a+2=8+2a+2 ∴ a=-2 따라서 R(x)=2(x-1)Û -2(x-1)+2이므로 R(5)=2(5-1)Û -2(5-1)+2=26
2
I. 다항식
3. 인수분해
인수분해의 뜻과 인수분해 공식
13
1 ⑴ 2y, 2y ⑵ x, 1 ⑶ 2x ⑷ 3ab 본문 66쪽 개념 Check 본문 67쪽 개념 익히기 138 ⑴ 2a(ab+2) ⑵ a(a-1)(b-1) ⑶ (x+4)Û ⑷ (3x+5y)Û ⑸ (2x+1)(2x-1) ⑹ 3(4a+3)(4a-3) ⑺ (a+2)(2a+1) ⑻ (3x+2y)(x-3y) 139 ⑴ (a+b+1)Û ⑵ (2x+3y-1)Û ⑶ (x+2)Ü ⑷ (2x-3y)Ü ⑸ (x+3)(xÛ-3x+9) ⑹ (2a-b)(4aÛ+2ab+bÛ) 140 ⑴ (a-b+c)(aÛ+bÛ+cÛ+ab+bc-ca) ⑵ (x+y+2)(xÛ+yÛ-xy-2x-2y+4) ⑶ (xÛ`+2xy+4yÛ`)(xÛ`-2xy+4yÛ`) ⑷ (aÛ`+a+1)(aÛ`-a+1)138
⑴ 2aÛ b+4a=2a(ab+2) ⑵ aÛ (b-1)+a(1-b) =aÛ (b-1)-a(b-1) =(aÛ -a)(b-1) =a(a-1)(b-1) ⑶ xÛ +8x+16=(x+4)Û ⑷ 9xÛ +30xy+25yÛ =(3x+5y)Û ⑸ 4xÛ -1=(2x+1)(2x-1) ⑹ 48aÛ -27=3(16aÛ -9) =3(4a+3)(4a-3) ⑺ 2aÛ +5a+2=(a+2)(2a+1) ⑻ 3xÛ -7xy-6yÛ =(3x+2y)(x-3y)139
⑴ aÛ +bÛ +2ab+2a+2b+1 =aÛ +bÛ +1Û +2ab+2´b´1+2´1´a =(a+b+1)Û ⑵ 4xÛ +9yÛ +1+12xy-4x-6y =(2x)Û +(3y)Û +(-1)Û +2´2x´3y+2´3y´(-1) +2´(-1)´2x =(2x+3y-1)Û ⑶ xÜ +6xÛ +12x+8 =xÜ +3´xÛ ´2+3´x´2Û +2Ü =(x+2)Ü ⑷ 8xÜ -36xÛ y+54xyÛ -27yÜ =(2x)Ü -3´(2x)Û ´3y+3´2x´(3y)Û -(3y)Ü =(2x-3y)Ü ⑸ xÜ+27=xÜ+3Ü =(x+3)(xÛ-3x+3Û ) =(x+3)(xÛ-3x+9) ⑹ 8aÜ-bÜ=(2a)Ü-bÜ =(2a-b){(2a)Û+2ab+bÛ} =(2a-b)(4aÛ+2ab+bÛ)140
⑴ aÜ-bÜ+cÜ`+3abc =aÜ +(-b)Ü +cÜ -3´a´(-b)´c =(a-b+c){aÛ+(-b)Û+cÛ-a(-b)-(-b)c-ca} =(a-b+c)(aÛ +bÛ +cÛ +ab+bc-ca) ⑵ xÜ +yÜ -6xy+8 =xÜ +yÜ +2Ü -3´x´y´2 =(x+y+2)(xÛ +yÛ +2Û -xy-y´2-2´x) =(x+y+2)(xÛ +yÛ -xy-2x-2y+4) ⑶ xÝ +4xÛ yÛ +16yÝ =xÝ +xÛ ´(2y)Û +(2y)Ý ={xÛ+x´2y+(2y)Û}{xÛ-x´2y+(2y)Û} =(xÛ +2xy+4yÛ )(xÛ -2xy+4yÛ) ⑷ aÝ +aÛ +1=aÝ +aÛ ´1Û +1Ý =(aÛ +a´1+1Û )(aÛ -a´1+1Û) =(aÛ +a+1)(aÛ -a+1)치환을 이용한 인수분해
14
1 ⑴ 1, x+y ⑵ 4, 4 ⑶ 1, 1, 1 ⑷ 1, x 본문 68쪽 개념 Check 본문 69쪽 개념 익히기 141 ⑴ (a+b+2)(a+b-6) ⑵ (x+2)(x-1)(xÛ+x-4) ⑶ (a+b-1)(a+b-5) ⑷ (x-1)(x-4)(xÛ-5x-3) 142 ⑴ (x+1)(x-1)(xÛ-2) ⑵ (xÛ+3)(xÛ-2) ⑶ (xÛ+4)(xÛ+2) ⑷ (x+2)(x-2)(x+3)(x-3) 143 ⑴ (xÛ+x+2)(xÛ-x+2) ⑵ (xÛ+x-3)(xÛ-x-3) ⑶ (xÛ+3x-6)(xÛ-3x-6) ⑷ (xÛ+2x+2)(xÛ-2x+2)141
⑴ a+b=X로 놓으면 (a+b)Û -4a-4b-12 =(a+b)Û -4(a+b)-12 =XÛ -4X-12 =(X+2)(X-6) =(a+b+2)(a+b-6) ⑵ xÛ +x=X로 놓으면 (xÛ +x)Û -6(xÛ +x)+8 =XÛ -6X+8 =(X-2)(X-4) =(xÛ +x-2)(xÛ +x-4) =(x+2)(x-1)(xÛ +x-4) ⑶ a+b=X로 놓으면 (a+b-2)(a+b-4)-3 =(X-2)(X-4)-3 =XÛ -6X+5 =(X-1)(X-5) =(a+b-1)(a+b-5) ⑷ xÛ -5x=X로 놓으면 (xÛ -5x+3)(xÛ -5x-2)-6 =(X+3)(X-2)-6 =XÛ +X-12=(X+4)(X-3) =(xÛ -5x+4)(xÛ -5x-3) =(x-1)(x-4)(xÛ -5x-3)142
⑴ xÛ =X로 놓으면 xÝ -3xÛ +2=XÛ -3X+2 =(X-1)(X-2) =(xÛ -1)(xÛ -2) =(x+1)(x-1)(xÛ -2) ⑵ xÛ =X로 놓으면 xÝ +xÛ -6=XÛ +X-6 =(X+3)(X-2) =(xÛ +3)(xÛ -2) ⑶ xÛ =X로 놓으면 xÝ +6xÛ +8=XÛ +6X+8 =(X+4)(X+2) =(xÛ +4)(xÛ +2) ⑷ xÛ =X로 놓으면 xÝ -13xÛ +36=XÛ -13X+36 =(X-4)(X-9) =(xÛ -4)(xÛ -9) =(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)143
⑴ xÝ +3xÛ +4=(xÝ +4xÛ +4)-xÛ =(xÛ +2)Û -xÛ =(xÛ +x+2)(xÛ -x+2) ⑵ xÝ -7xÛ +9=(xÝ -6xÛ +9)-xÛ =(xÛ -3)Û -xÛ =(xÛ +x-3)(xÛ -x-3) ⑶ xÝ -21xÛ +36=(xÝ -12xÛ +36)-9xÛ =(xÛ -6)Û -9xÛ =(xÛ +3x-6)(xÛ -3x-6) ⑷ xÝ +4=(xÝ +4xÛ +4)-4xÛ =(xÛ +2)Û -4xÛ =(xÛ +2x+2)(xÛ -2x+2)3
여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해
15
1 ⑴ b, b, b ⑵ 3x-1, 3x-1 본문 70쪽 개념 Check 본문 71쪽 개념 익히기 144 ⑴ (2x-1)(2y-1) ⑵ (x+y-2)(x-y) 145 ⑴ (x-2)(x+y+3) ⑵ (2x-y-3)(y+1) ⑶ (aÛ+c)(b-ac) ⑷ (a-b)(aÛ+bÛ+cÛ) 146 ⑴ (x+y)(x+y-1) ⑵ (x+3y-2)(x+y+1) ⑶ (x+y+2)(x-2y+1)144
⑴ 4xy-2x-2y+1=2x(2y-1)-(2y-1) =(2x-1)(2y-1) ⑵ xÛ-2x+2y-yÛ`=xÛ-yÛ-2x+2y =(x+y)(x-y)-2(x-y) =(x+y-2)(x-y)145
⑴ 차수가 가장 낮은 문자 y에 대하여 정리하면 xÛ +xy+x-2y-6=xy-2y+xÛ +x-6 =(x-2)y+(x+3)(x-2) =(x-2)(x+y+3) ⑵ 차수가 가장 낮은 문자 x에 대하여 정리하면 2x+2xy-yÛ -4y-3=2x(1+y)-(y+1)(y+3) =(2x-y-3)(y+1) ⑶ 차수가 가장 낮은 문자 b에 대하여 정리하면 aÛ b-aÜ c+bc-acÛ =aÛ b+bc-aÜ c-acÛ =b(aÛ +c)-ac(aÛ +c) =(aÛ +c)(b-ac) ⑷ 차수가 가장 낮은 문자 c에 대하여 정리하면 aÜ -aÛ b+abÛ +acÛ -bÜ -bcÛ =acÛ -bcÛ +aÜ -aÛ b+abÛ -bÜ =(a-b)cÛ +aÛ (a-b)+bÛ (a-b) =(a-b)(aÛ +bÛ +cÛ)146
⑴ x에 대하여 정리하면 xÛ +2xy+yÛ -x-y=xÛ +2xy-x+yÛ -y =xÛ +(2y-1)x+y(y-1) =(x+y)(x+y-1) 다른 해설 xÛ +2xy+yÛ -x-y=(x+y)Û -(x+y) =(x+y)(x+y-1) ⑵ x에 대하여 정리하면 xÛ +4xy+3yÛ -x+y-2 =xÛ +(4y-1)x+3yÛ +y-2 =xÛ +(4y-1)x+(3y-2)(y+1) =(x+3y-2)(x+y+1) ⑶ x에 대하여 정리하면 xÛ -xy-2yÛ +3x-3y+2 =xÛ -xy+3x-2yÛ -3y+2 =xÛ -(y-3)x-(y+2)(2y-1) =(x+y+2)(x-2y+1)인수정리를 이용한 인수분해
16
1 ⑴ 2, 2, 2, 2, (왼쪽부터) 2, -2, -4 ⑵ 1, 2, 2, (왼쪽부터) -1, -2, -2, 2, -2 본문 72쪽 개념 Check 본문 73쪽 개념 익히기147
⑴ (x+2)(x-1)(x-4) ⑵ (x+1)(x-2)(x-3) ⑶ (x+1)(xÛ-x+3) ⑷ (x+1)(xÛ-6x+6)148
⑴ (x+2)(x+1)(3x-2) ⑵ (x+1)(3x+1)(2x-1) ⑶ (2x-1)(xÛ+2x+2) ⑷ (3x-1)(2xÛ+x+1)149
⑴ (x+1)(x-1)(xÛ-3x+1) ⑵ (x+1)(x-1)(xÛ+2x+3) ⑶ (x+2)Û(x-1)(x-3) ⑷ (x+2)(x+1)(x-2)(x-4)3xÜ +7xÛ -4=(x+1)(3xÛ +4x-4) =(x+2)(x+1)(3x-2) ⑵ f(x)=6xÜ +5xÛ -2x-1로 놓으면 f(-1)=0이므로 x+1은 f(x)의 인수이다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 6 5 -2 -1 -6 1 1 6 -1 -1 0 6xÜ +5xÛ -2x-1=(x+1)(6xÛ -x-1) =(x+1)(3x+1)(2x-1) ⑶ f(x)=2xÜ +3xÛ +2x-2로 놓으면 f {;2!;}=0이므로 x-;2!;은 f(x)의 인수이다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면 ;2!; 2 3 2 -2 1 2 2 2 4 4 0 2xÜ +3xÛ +2x-2={x-;2!;}(2xÛ +4x+4) =(2x-1)(xÛ +2x+2) ⑷ f(x)=6xÜ +xÛ +2x-1로 놓으면 f {;3!;}=0이므로 x-;3!;은 f(x)의 인수이다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면 ;3!; 6 1 2 -1 2 1 1 6 3 3 0 6xÜ +xÛ +2x-1={x-;3!;}(6xÛ +3x+3) =(3x-1)(2xÛ +x+1)
