2a´2b=4ab=4´3=12 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ -4x+12=0
284
⑴ xÛ`+9=0에서 xÛ`=-9 ∴ x=Ñ3i ∴ xÛ +9=(x+3i)(x-3i)
⑵ 3xÛ`+5x+1=0의 근을 구하면 근의 공식에 의하여 x=11114-5Ñ6'13
∴ 3xÛ +5x+1=3{x-11112-5+6'13}{x-11114-5-6'13}
=3{x+111255-6'13}{x+111255+6'13}
⑶ xÛ`-6x+11=0의 근을 구하면 근의 공식에 의하여 x=3Ñ'2i
∴ xÛ`-6x+11=(x-3-'2i)(x-3+'2i)
⑷ 4xÛ`-4x+5=0의 근을 구하면 근의 공식에 의하여 x=1Ñ2i
1122
∴ 4xÛ`-4x+5=4{x-1+2i
1122 }{x-1-2i 1122 }
이차방정식의 켤레근
29
1 ⑴ 1+'2 ⑵ -2-3i
2 1-i, 1-i, -2
개념 Check
본문 132쪽본문 133쪽
개념 익히기
285 8, 6, 8, 6, 8, 6
286 ⑴ 4-'2 ⑵ -1+2'2
⑶ -'5 ⑷ -'3-2 287 ⑴ 3-3i ⑵ '2+i
⑶ -2'3i ⑷ 4i
⑸ -2i-1 ⑹ -'5i+'3 288 다른 한 근 : 1-'2, k=-2
288
계수가 모두 유리수이므로 1+'2가 한 근이면 다른 한 근은 1-'2이다.따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(1+'2)+(1-'2)=-k ∴ k=-2
본문 134~145쪽
289 3 290 x=-4 291 x=;3@; 또는 x=10
292 7 293 ⑴ x= -1Ñ2i111245 ⑵ x='5Ñ3 294 x='2 또는 x='2+1 295 2 296 a=2, x=2 297 a=1, b=4 298 ⑴ x=-2 또는 x=2 ⑵ x=-3 또는 x=1 299 ⑴ 4Éx<5 또는 8Éx<9 ⑵ x=1
300 4`m 301 11`cm 302 1, 4
303 m<1 또는 1<m<2 304 2 305 ;2!;
306 ⑴ 20 ⑵ 2'6 ⑶ 22 ⑷ 36'6 307 12 308 4 309 ;2!;
310 ⑴ xÛ`-13x+4=0 ⑵ xÛ`-x-4=0 311 18 312 x= 1Ñ'7i11142
313 a=11, b=3
유제
289
aÛ x+a=9x-3에서 (aÛ -9)x=-a-3 (a+3)(a-3)x=-(a+3)
주어진 방정식이 0´x=(0이 아닌 상수) 꼴이어야 하므로 (a+3)(a-3)=0, a+3+0 ∴ a=3
290
a(ax-1)=6x-2-ax에서
aÛ`x+ax-6x=a-2, (a+3)(a-2)x=a-2 주어진 방정식이 0´x=0 꼴이어야 하므로 (a+3)(a-2)=0, a-2=0 ∴ a=2 (aÛ`-3)x+2+a=0에 a=2를 대입하면 x+2+2=0 ∴ x=-4
291
절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x+3=0, x-3=0에서
x=-3, x=3
Ú x<-3일 때 x+3<0, x-3<0이므로 -(x+3)+2(x-3)+1=0 ∴ x=8 그런데 x<-3이므로 x=8은 해가 아니다.
Û -3Éx<3일 때 x+3¾0, x-3<0이므로
(x+3)+2(x-3)+1=0, 3x=2 ∴ x=;3@;
Ü x¾3일 때 x+3>0, x-3¾0이므로
(x+3)-2(x-3)+1=0, -x=-10 ∴ x=10 Ú~Ü에서 구하는 해는
x=;3@; 또는 x=10
292
절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 2x+4=0, x-4=0에서
x=-2, x=4
Ú x<-2일 때 2x+4<0, x-4<0이므로
-(2x+4)+(x-4)=3x, -4x=8 ∴ x=-2 그런데 x<-2이므로 x=-2는 해가 아니다.
Û -2Éx<4일 때 2x+4¾0, x-4<0이므로 (2x+4)+(x-4)=3x
이때 0´x=0이므로 -2Éx<4에서 해가 무수히 많다.
Ü x¾4일 때 2x+4>0, x-4¾0이므로
(2x+4)-(x-4)=3x, -2x=-8 ∴ x=4 Ú~Ü에서 주어진 방정식을 만족시키는 모든 정수 x의 값 은 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4이므로 구하는 합은 7이다.
293
⑴ ;2!;xÛ`+;5!;x+;1Á0;=0의 양변에 10을 곱하면 5xÛ`+2x+1=0
근의 공식을 이용하면
x=1111112-1Ñ"Ã1Û`-5´15 =-1Ñ2i 11125
⑵ 근의 공식을 이용하면
x= '1111112115115Ñ"Ã(-'5)Û`-1´(-4)1 ='5Ñ3
294
주어진 식의 양변에 '2+1을 곱하면
('2-1)('2+1)xÛ`-(3-'2)('2+1)x+'2('2+1)=0 xÛ`-(2'2+1)x+'2('2+1)=0
좌변을 인수분해하면
(x-'2){x-('2+1)}=0 ∴ x='2 또는 x='2+1
다른 해설
xÛ`-(2'2+1)x+2+'2=0에서 근의 공식을 이용하면
x=111111211511111232'2+1Ñ"Ã(2'2+1)Û`-4(2+'2)2
=111111(2'2+1)Ñ12 ∴ x='2+1 또는 x='2
295
x=1을 주어진 방정식에 대입하면 1+(2a-1)+aÛ`-8=0
aÛ`+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0 ∴ a=-4 또는 a=2
그런데 a는 양수이므로 a=2
296
x=1을 주어진 방정식에 대입하면 a-1-(aÛ`-1)+2(a-1)=0 aÛ`-3a+2=0, (a-1)(a-2)=0 ∴ a=1 또는 a=2
그런데 주어진 방정식은 이차방정식이므로 a-1+0, 즉 a+1이어야 한다.
∴ a=2
a=2를 주어진 방정식에 대입하면 xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 x=2이다.
다른 해설
주어진 방정식이 이차방정식이므로 양변을 a-1로 나누면 xÛ`-(a+1)x+2=0
x=1을 대입하면
1-(a+1)+2=0 ∴ a=2
5 297
x=2를 주어진 방정식에 대입하면 4m-2(a-1)-mb=0 (4-b)m-2(a-1)=0
위의 식이 실수 m의 값에 관계없이 성립하므로 4-b=0, a-1=0
∴ a=1, b=4
298
⑴ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x=0
Ú x<0일 때
xÛ`-3x-10=0, (x+2)(x-5)=0 ∴ x=-2 또는 x=5
그런데 x<0이므로 x=-2 Û x¾0일 때
xÛ`+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2
그런데 x¾0이므로 x=2 Ú, Û에서 구하는 해는 x=-2 또는 x=2
⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x-1=0에서 x=1
Ú x<1일 때
xÛ`+(x-1)+x-2=0, xÛ`+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 그런데 x<1이므로 x=-3
Û x¾1일 때
xÛ`-(x-1)+x-2=0, xÛ`=1 ∴ x=Ñ1
그런데 x¾1이므로 x=1 Ú, Û에서 구하는 해는 x=-3 또는 x=1
299
⑴ [x]Û`-12[x]+32=0에서 ([x]-4)([x]-8)=0 ∴ [x]=4 또는 [x]=8 ∴ 4Éx<5 또는 8Éx<9
⑵ Ú 0Éx<1일 때 [x]=0이므로 xÛ`-5=0 ∴ x=Ñ'5
그런데 0Éx<1이므로 해는 없다.
Û 1Éx<2일 때 [x]=1이므로
xÛ`+4-5=0, xÛ`-1=0 ∴ x=Ñ1 그런데 1Éx<2이므로 x=1
Ú, Û에서 주어진 방정식의 해는 x=1
300
산책로의 폭을 x`m라고 하면 18_16-(18x+16x)+xÛ`=168 xÛ`-34x+120=0, (x-4)(x-30)=0 ∴ x=4 (∵ 0<x<16)
따라서 산책로의 폭은 4``m이다.
다른 해설
산책로의 폭을 x`m라 하면 산
x`m
x`m
{18-x}m
{16-x}m
책로를 제외한 나머지 부분의넓이는 가로의 길이가 (18-x)m, 세로의 길이가 (16-x)m인 직사각형의 넓이 와 같으므로
(18-x)(16-x)=168
xÛ`-34x+120=0, (x-4)(x-30)=0 ∴ x=4 (∵ 0<x<16)
따라서 산책로의 폭은 4``m이다.
301
처음 직사각형의 세로의 길이를 x`cm라 하면 가로의 길이는 (x+3)cm이므로 이 직사각형의 넓이는 x(x+3)cmÛ` 이다.
이때 나중의 직사각형의 넓이는 2(x+3)(x-5)cmÛ` 이므로 2(x+3)(x-5)-x(x+3)=14
xÛ`-7x-44=0, (x-11)(x+4)=0 ∴ x=11 (∵ x>5)
따라서 처음 직사각형의 세로의 길이는 11`cm이다.
302
이차방정식 xÛ`-2(m-2)x+m=0의 판별식을 D라 하면 D
154={-(m-2)}Û`-m=0
mÛ`-5m+4=0, (m-1)(m-4)=0 ∴ m=1 또는 m=4
303
이차방정식 (m-1)xÛ +2mx+m+2=0의 판별식을 D라 하면
D
154=mÛ`-(m-1)(m+2)>0 -m+2>0 ∴ m<2
그런데 주어진 방정식이 이차방정식이 되려면 m+1이어야 하므로 구하는 실수 m의 값의 범위는
m<1 또는 1<m<2
304
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 (k+1)xÛ`+2(k+1)x+2k-1=0이 중근을 가져야 한다.
위의 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D
154=(k+1)Û`-(k+1)(2k-1)=0
(k+1)(-k+2)=0 ∴ k=-1 또는 k=2 그런데 주어진 다항식이 이차식이 되려면 k+-1이어야 하 므로 구하는 실수 k의 값은
k=2
305
주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 xÛ`+(4k+1)x+(2k+a)Û`=0이 중근을 가져야 한다.
위의 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(4k+1)Û`-4(2k+a)Û`=0 ∴ (8-16a)k+1-4aÛ`=0
위 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 8-16a=0, 1-4aÛ`=0 ∴ a=;2!;
306
근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=-2
⑴ aÛ +bÛ` =(a+b)Û`-2ab
=4Û`-2´(-2)=20
⑵ (a-b)Û =(a+b)Û -4ab
=4Û`-4´(-2)=24 ∴ a-b='24=2'6 (∵ a>b)
⑶ b 15aÛ +a
15bÛ =aÜ +bÜ 111aÛ bÛ =
(a+b)Ü`-3ab(a+b) 11111111135(ab)Û
=4Ü -3´(-2)´4 1111112(-2)Û =22
⑷ aÜ -bÜ =(a-b)Ü`+3ab(a-b)
=(2'6)Ü`+3´(-2)´2'6=36'6
307
이차방정식 xÛ`-3x-6=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`-3a-6=0, bÛ`-3b-6=0
따라서 aÛ`-2a-3=a+3, bÛ`-2b-3=b+3이므로 (aÛ`-2a-3)(bÛ`-2b-3) =(a+3)(b+3)
=ab+3(a+b)+9 이때 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=-6
이므로 주어진 식의 값은 -6+3´3+9=12
308
두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1이라 하면 근과 계수 의 관계에 의하여
(두 근의 합)=a+(a+1)=2k+1
∴ a=k yy ㉠
(두 근의 곱)=a(a+1)=5k yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 kÛ`+k=5k, kÛ`-4k=0
k(k-4)=0 ∴ k=0 또는 k=4 ∴ k=4 (∵ k는 자연수)
309
한 근이 다른 근의 2배이므로 두 근을 a, 2a(a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)=a+2a=-6k ∴ a=-2k yy ㉠ (두 근의 곱)=a´2a=2k+1 ∴ 2aÛ =2k+1 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
8kÛ`=2k+1, 8kÛ`-2k-1=0
(4k+1)(2k-1)=0 ∴ k=;2!; (∵ k는 양수)
310
근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=-2
⑴ 두 근 aÛ`, bÛ`의 합과 곱을 구하면
aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3Û`-2´(-2)=13
5
aÛ`bÛ`=(ab)Û =(-2)Û =4 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ -13x+4=0
⑵ 두 근 a-1, b-1의 합과 곱을 구하면 (a-1)+(b-1)=a+b-2=3-2=1 (a-1)(b-1) =ab-(a+b)+1
=-2-3+1=-4 따라서 구하는 이차방정식은
xÛ`-x-4=0
311
근과 계수의 관계에 의하여 a+b=;2#;, ab=;2!;
두 근 a+;º!;, b+;!;의 합과 곱을 구하면 {a+;º!;}+{b+;!;}=a+b+a+b 112ab
=;2#;+3=;2(;
{a+;º!;}{b+;!;}=ab+2+ 1 12ab
=;2!;+2+2=;2(;
따라서 구하는 이차방정식은
2{xÛ`-;2(;x+;2(;}=0, 즉 2xÛ -9x+9=0 ∴ a=9, b=9
∴ a+b=18
312
계수가 유리수이고 주어진 방정식의 한 근이 -1+'2이므 로 다른 한 근은 -1-'2이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
(-1+'2)+(-1-'2)=-a ∴ a=2 (-1+'2)(-1-'2)=b ∴ b=-1
a=2, b=-1을 xÛ +bx+a=0에 대입하면 xÛ -x+2=0이 므로
x=1111121Ñ'Ä1-4´22 =11151Ñ2'7i
313
계수가 실수이므로 이차방정식 xÛ`-6x+a=0의 한 근이 b+'2i이면 다른 한 근은 b-'2i이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (b+'2i)+(b-'2i)=6 yy ㉠ (b+'2i)(b-'2i)=a yy ㉡
㉠에서 2b=6 ∴ b=3 b=3을 ㉡에 대입하면
a=(3+'2i)(3-'2i)=11
본문 146쪽
Review Quiz
314 ⑴ a+0, a=0, b+0, a=0, b=0
⑵ 2 ⑶ a(x-a)(x-b) ⑷ ¾ ⑸ p-qi 315 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 거짓 ⑸ 거짓
315
⑴ 방정식 ax=0에서
Ú a=0이면 0´x=0이므로 해가 무수히 많다.
Û a+0이면 하나의 근 x=0을 갖는다. (참)
⑵ 방정식 x(x+1)=2에서
xÛ`+x-2=0, (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 (거짓)
⑶ ac<0이므로 주어진 이차방정식의 판별식 bÛ -4ac는 항 상 양수이다.
따라서 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는 다. (참)
⑷ ‘계수가 유리수’라는 조건이 있으면 참이지만, 계수에 대 한 조건이 없으면 다음과 같이 아닌 경우도 있다.
(반례) {x-(1+'2)}(x-1)
=xÛ`-(2+'2)x+1+'2=0 (거짓)
⑸ 이차항의 계수가 1이면 조건을 만족시키는 이차방정식은 xÛ`-3x+2=0으로 하나뿐이다.
그러나 이차항의 계수가 1이 아니면
xÛ`-3x+2=0의 양변을 상수배한 이차방정식 2xÛ`-6x+4=0, 3xÛ`-9x+6=0
등도 조건을 만족시키는 이차방정식이다. (거짓)
본문 147~149쪽
중단원 연습문제 A
316 x=-3 317 x=-1 또는 x=3 318 ;2%;
319 ① 320 ⑤ 321 ② 322 ② 323 ② 324 10 325 ⑤ 326 ④ 327 x=1 또는 x=5 328 4 329 ③ 330 ⑤ 331 1 332 1Ñ'51112 333 106
316
3x-(2+x)a+aÛ -3=0에서
3x-2a-ax+aÛ -3=0, (a-3)x=aÛ`-2a-3 ∴ (a-3)x=(a+1)(a-3) …… ㉠
이때 해가 무수히 많으므로 ㉠은 0´x=0 꼴이어야 한다.
∴ a=3
따라서 방정식 a(x+5)=x+aÛ 에 a=3을 대입하면 3(x+5)=x+9, 2x=-6
∴ x=-3
317
절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x+1=0, x-1=0에서
x=-1, x=1
Ú x<-1일 때 x+1<0, x-1<0이므로 -(x+1)-(x-1)=x+3 -2x=x+3 ∴ x=-1
그런데 x<-1이므로 x=-1은 해가 아니다.
Û -1Éx<1일 때 x+1¾0, x-1<0이므로 (x+1)-(x-1)=x+3
2=x+3 ∴ x=-1 Ü x¾1일 때 x+1>0, x-1¾0이므로
(x+1)+(x-1)=x+3 2x=x+3 ∴ x=3 Ú~Ü에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=3
318
x=-1을 주어진 방정식에 대입하면 2´(-1)Û +k´(-1)+2k+1=0
k+3=0 ∴ k=-3 …… ❶ k=-3을 주어진 방정식에 대입하면
2xÛ -3x-5=0, (x+1)(2x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=;2%; …… ❷ 따라서 다른 한 근은 ;2%;이다. …… ❸
채점 기준 배점
❶ k의 값 구하기
40%40%
20%