2 1 0 k-4 -2k
2 4 2k
1 2 k 0
f(x)=(x-2)(xÛ +2x+k) 즉, 주어진 방정식은
(x-2)(xÛ +2x+k)=0
이때 이 방정식의 모든 근이 실수가 되려면 이차방정식 xÛ +2x+k=0이 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 D
154=1-k¾0 ∴ kÉ1
따라서 실수 k의 최댓값은 1이다.
464
사차방정식 xÝ -2xÜ +x-2=0을 인수분해하면 xÜ (x-2)+x-2=0, (x-2)(xÜ +1)=0
∴ (x+1)(x-2)(xÛ -x+1)=0 yy ❶ 이때 이차방정식 xÛ -x+1=0의 판별식을 D라 하면 D=1-4=-3<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
따라서 이차방정식 xÛ -x+1=0의 두 허근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여
a+b=1, ab=1
∴ aÛ +bÛ =(a+b)Û -2ab=1-2´1=-1 yy ❷
채점 기준 배점
❶ 좌변을 인수분해하기
50%❷ aÛ +bÛ 의 값 구하기
50%465
xÛ -2x=X로 치환하면 주어진 방정식은 (X-4)(X-2)-3=0
XÛ -6X+5=0, (X-1)(X-5)=0 ∴ X=1 또는 X=5
Ú X=1일 때 xÛ -2x=1, 즉 xÛ -2x-1=0의 판별식을 DÁ이라 하면
DÁ
154=1+1=2>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖고 근과 계수의 관계에 의 하여 두 실근의 곱은 -1이다.
Û X=5일 때 xÛ -2x=5, 즉 xÛ -2x-5=0의 판별식을 Dª라 하면
Dª
154=1+5=6>0
이므로 서로 다른 두 실근을 갖고 근과 계수의 관계에 의 하여 두 실근의 곱은 -5이다.
Ú, Û에서 주어진 방정식의 모든 실근의 곱은 (-1)×(-5)=5
466
(xÛ -4x+3)(xÛ -6x+8)=108에서 (x-1)(x-3)(x-2)(x-4)=108 {(x-1)(x-4)}{(x-3)(x-2)}=108 (xÛ -5x+4)(xÛ -5x+6)=108 xÛ -5x=X로 치환하면 주어진 방정식은 (X+4)(X+6)=108
XÛ +10X-84=0 (X+14)(X-6)=0 X=xÛ -5x를 대입하면
(xÛ -5x+14)(xÛ -5x-6)=0 (xÛ -5x+14)(x+1)(x-6)=0
이때 이차방정식 xÛ -5x+14=0의 판별식을 D라 하면 D=25-56=-31<0
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
즉, 주어진 방정식의 한 허근 x는 xÛ -5x+14=0의 근이므로 xÛ -5x+14=0 ∴ xÛ -5x=-14
467
사차식 xÝ +axÛ +b가 이차식 (x-1)(x-'2)로 나누어떨 어지므로 1, '2는 방정식 xÝ +axÛ +b=0의 근이다.
x=1, x='2를 방정식 xÝ`+axÛ`+b=0에 대입하면 1+a+b=0, 4+2a+b=0
a+b=-1, 2a+b=-4 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=2
즉, xÝ -3xÛ +2=0에서 xÛ =X로 치환하면 XÛ -3X+2=0, (X-1)(X-2)=0 ∴ X=1 또는 X=2
따라서 xÛ =1 또는 xÛ =2이므로 x=Ñ1 또는 x=Ñ'2 ∴ 1´(-1)´'2´(-'2)=2
468
x+0이므로 주어진 방정식의 양변을 xÛ 으로 나누면 2xÛ +x-6+;[!;+ 2
13xÛ =0 2{xÛ + 1
13xÛ }+{x+;[!;}-6=0
2{x+;[!;}2 +{x+;[!;}-10=0
x+;[!;=X로 치환하면
2XÛ +X-10=0, (2X+5)(X-2)=0 ∴ X=-;2%; 또는 X=2
Ú X=-;2%;일 때 x+;[!;=-;2%;에서 2xÛ`+5x+2=0, (x+2)(2x+1)=0 ∴ x=-2 또는 x=-;2!;
Û X=2일 때 x+;[!;=2에서 xÛ -2x+1=0, (x-1)Û =0 ∴ x=1
Ú, Û에서
x=-2 또는 x=-;2!; 또는 x=1
469
(밑면인 오각형의 넓이)
=x(x+3)+[{x+(x+3)}´2
11111112 ]=xÛ`+5x+3 오각기둥의 높이가 x+1이고 부피가 318이므로
(xÛ +5x+3)(x+1)=318 xÜ +6xÛ +8x-315=0 (x-5)(xÛ +11x+63)=0
이때 x의 값은 양수이고, xÛ +11x+63=0은 허근을 가지므 로 x=5
470
삼차방정식 xÜ +2xÛ -2x-1=0의 세 근이 a, b, c이므로 근 과 계수의 관계에 의하여
a+b+c=-2, ab+bc+ca=-2, abc=1 yy ❶ ∴ 1
12aÛ` + 1 12bÛ` + 1
12cÛ`
=(ab)Û +(bc)Û +(ca)Û 1111111112aÛ`bÛ`cÛ`
=(ab+bc+ca)Û -2abc(a+b+c) 111111111111111(abc)Û
=(-2)Û`-2´1´(-2)
1111111121Û` =8 yy ❷
채점 기준 배점
❶ 근과 계수의 관계 이용하기
40%60%
❷
13aÛ`1 +
13b`1 +
13cÛ`1
의 값 구하기471
삼차방정식 xÜ +6xÛ +ax+b=0의 세 근을 a, 2a, 3a(a+0) 라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
a+2a+3a=-6, 6a=-6 ∴ a=-1 a´2a+2a´3a+3a´a=a
∴ a=11aÛ =11´(-1)Û =11
a´2a´3a=-b ∴ b=-6aÜ =-6´(-1)Ü =6 ∴ a+b=11+6=17
472
xÜ +axÛ`+bx+c=0의 세 근이 a, b, c이므로 a+b+c=-a, ab+bc+ca=b, abc=-c 또한 xÜ -2xÛ +4x-1=0의 세 근이 1
13ab, 1 13bc, 1
13ca이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
1 13ab+1
13bc+ 1
13ca =a+b+c 11115abc
=-a
124-c=;cA;=2 …… ㉠
7
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 x+xÕ=1, xxÕ=1
∴ 1
112551+xÝ + 1 11124
`1+(xÕ)Ý = 1
111251+xÜ ´x+ 1 11111
`1+(xÕ) Ü`´xÕ
= 1
1121-x + 1 1121-xÕ
= 1-x+1-xÕ
11111115(1-x)(1-xÕ)
= 2-(x+xÕ)
1111111351-(x+xÕ)+xxÕ
= 2-1
111251-1+1=1
다른 해설
x=1-xÕ, xÕ=1-x이므로 1
112551+xÝ + 1
111241+(xÕ)Ý = 1
111251+xÜ ´x+ 1 1111225
`1+(xÕ)Ü ´xÕ
= 1
1121-x + 1 1121-xÕ=1
1xÕ+1 1x =1124x+xÕxxÕ =;1!;=1
478
ㄱ. xÜ +1=0에서 (x+1)(xÛ -x+1)=0
즉, 주어진 방정식의 한 허근 a는 xÛ -x+1=0의 근이다.
∴ aÛ -a+1=0 (참)
ㄴ. xÛ -x+1=0의 모든 계수가 실수이고 한 허근이 a이므 로 aÕ도 근이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 a+aÕ=1, aaÕ=1 (참)
ㄷ. a, aÕ는 xÜ +1=0의 근이므로 aÜ =-1, (aÕ)Ü =-1
∴ aÜ +(aÕ)Ü =-2 또한
aÛ +(aÕ)Û =(a+aÕ)Û -2aaÕ=1-2´1 (∵ ㄴ)
=-1
∴ aÜ +(aÕ)Ü +aÛ +(aÕ)Û (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
본문 208~209쪽
중단원 연습문제 B
479 1 480 13 481 ⑤ 482 -2 483 -48 484 -11 485 :Á7£: 486 ⑤ 487 ② 488 ㄱ, ㄴ, ㄷ
479
f(x)=xÜ +(2k-1)x+2k라 하면 f(-1)=-1-(2k-1)+2k=0 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
-1 1 0 2k-1 2k
-1 1 -2k
1 -1 2k 0
f(x)=(x+1)(xÛ -x+2k)
이때 방정식 f(x)=0이 오직 한 개의 실근을 가지려면 Ú 이차방정식 xÛ -x+2k=0이 실근을 갖지 않는 경우
이차방정식 xÛ -x+2k=0의 판별식을 D라 하면 D=1-8k<0 ∴ k>;8!;
Û 이차방정식 xÛ -x+2k=0이 x=-1을 중근으로 갖는 경우
x=-1을 xÛ -x+2k=0에 대입하면 1+1+2k=0 ∴ k=-1
그런데 xÛ -x+2k=0에서 xÛ -x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 즉, 이차방정식 xÛ -x+2k=0은 x=-1을 중근으로 갖 지 않는다.
Ú, Û에서 k>;8!;이므로 정수 k의 최솟값은 1이다.
480
어떤 이등변삼각형의 세 변의 길이가 삼차방정식의 세 근이
므로 방정식은 중근을 갖는다. yy ❶
(x-3)(xÛ -10x+k)=0에서 x=3 또는 xÛ -10x+k=0
Ú x=3이 이차방정식 xÛ -10x+k=0의 근일 때 3Û -10´3+k=0에서 k=21
즉, (x-3)(xÛ -10x+21)=0에서
(x-3)Û (x-7)=0이므로 세 근은 3, 3, 7이다.
그런데 세 변의 길이가 3, 3, 7이면 삼각형을 이루지 않는 다.