66
1 ⑴ 15, 6 ⑵ 1, '5
본문 338쪽
개념 Check
본문 339쪽
개념 익히기
789 ⑴ '10 ⑵ '5 ⑶ 6'2 ⑷ 2
⑸ 2 ⑹ 5 790 Ñ15
791 2
792 A{-;3*;, 0} 또는 A(6, 0)
789
⑴ |3´1+1´0+7|
1111112
"Ã3Û +1Û = 10 11'10='10
⑵ |1´2-2´1+5|
11111251"Ã1Û +(-2)Û = 5 12'5='5
⑶ |1´5-1´2+9|
11115211
"Ã1Û +(-1)Û =12 12'2=6'2
⑷ |5´(-1)+12´2+7|
1111111115
"Ã5Û +12Û =;1@3^;=2
⑸ 1111111515|1´6-3´2+2'10|
"Ã1Û +(-3)Û =1132'10'10=2
⑹ 111111111121|2'2´(-3)+1´15+6'2|
"Ã(2'2)Û +1Û =:Á3°:=5
790
원점과 직선 3x+4y+k=0 사이의 거리가 3이므로 |k|
11125"Ã3Û +4Û =3, |k|
125 =3, |k|=15 ∴ k=Ñ15
791
점 (a, 3)과 직선 x+2y-3=0 사이의 거리가 '5이므로 |a+6-3|
111125"Ã1Û +2Û ='5, |a+3|
111'5 ='5 |a+3|=5, a+3=Ñ5 ∴ a=-8 또는 a=2
따라서 구하는 양수 a의 값은 2이다.
792
x축 위의 점 A의 좌표를 A(a, 0)이라 하면 점 A(a, 0)과 직선 3x+2y-5=0 사이의 거리가 '13이므로
|3a-5|
11124
"Ã3Û +2Û ='13, |3a-5|
11124'13 ='13 |3a-5|=13, 3a-5=Ñ13 ∴ a=-;3*; 또는 a=6 ∴ A{-;3*;, 0} 또는 A(6, 0)
본문 340~351쪽
유제
793 y=x-1 794 y=2x+5
795 4 796 y=-4x+6
797 -8 798 y=;3$;x+:Á3Á:
799 ⑴ 제1, 2, 3사분면 ⑵ 제1, 3사분면
⑶ 제3, 4사분면
800 y=-3x+6 801 -5 802 -2 803 -2 804 2 805 -;2!; 806 4 807 m<-;2!; 또는 m>3 808 ;2!;<n<2 809 5x-y-19=0 810 -10 811 7 812 16 813 15 814 8
815 x-2y+2=0 또는 2x+y-4=0
793
기울기가 tan`45ù=1이고, 점 (4, 3)을 지나는 직선의 방정 식은
y-3=x-4 ∴ y=x-1
794
선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점의 좌표는 {1_3+2_(-3)
111111121+2 , 1_1+2_4
1111121+2 }, 즉 (-1, 3) 따라서 점 (-1, 3)을 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식은 y-3=2{x-(-1)} ∴ y=2x+5
12 795
두 점 (1, 4), (-3, -4)를 지나는 직선의 방정식은 y-4=-4-4
1112-3-1(x-1) ∴ y=2x+2 이 직선 위에 두 점 (a, -6), (3, b)가 있으므로 -6=2a+2 ∴ a=-4
b=6+2=8 ∴ a+b=4
796
x절편을 a라 하면 y절편은 4a이므로 직선의 방정식은 ;a{;+;4Õa;=1 ∴ 4x+y=4a
이 직선이 점 (2, -2)를 지나므로 8-2=4a ∴ a=;2#;
따라서 구하는 직선의 방정식은 4x+y=6 ∴ y=-4x+6
797
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB의 기울기 와 직선 AC의 기울기가 같아야 한다.
(직선 AB의 기울기)=-5-4 1112-2-1=3 (직선 AC의 기울기)= a-4
11111(a+5)-1=a-4 112a+4 즉, 3=a-4
112a+4이므로
3(a+4)=a-4, 2a=-16 ∴ a=-8
798
세 점 A, B, C가 직선 l 위에 있으려면 직선 AC의 기울기 와 직선 BC의 기울기가 같아야 한다.
(직선 AC의 기울기)= 1-a
111-2-1=a-1 1123 (직선 BC의 기울기)= 1-(-3)
111115-2-(-a)= 4 112a-2 즉, a-1
1123 = 4
112a-2이므로 (a-1)(a-2)=12 aÛ -3a-10=0, (a+2)(a-5)=0
∴ a=5 (∵ a>0)
따라서 직선 l은 기울기가 ;3$;이고 점 A(1, 5)를 지나므로 y-5=;3$;(x-1) ∴ y=;3$;x+:Á3Á:
799
⑴ ax+by+c=0에서 b+0 (∵ ab<0)이므로 y=-;bA;x-;bC;
이때 ab<0, ac>0이므로
a<0, b>0, c<0 또는 a>0, b<0, c>0 즉, ab<0, bc<0이므로 ;bA;<0, ;bC;<0 ∴ (기울기)=-;bA;>0
(y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0은 오른쪽
x y
O 그림과 같으므로 제1, 2, 3사분면을 지
난다.
⑵ ax+by+c=0에서 c=0이고, b+0 (∵ ab<0)이므로 y=-;bA;x
이때 ab<0이므로 ;bA;<0 ∴ (기울기)=-;bA;>0 따라서 직선 ax+by+c=0은 오른
x y
O 쪽 그림과 같으므로 제1, 3사분면을
지난다.
⑶ ax+by+c=0에서 a=0이고, b+0 (∵ bc>0)이므로 y=-;bC;
이때 bc>0이므로 ;bC;>0 ∴ -;bC;<0
따라서 직선 ax+by+c=0은 오른
x y
O
쪽 그림과 같으므로 제3, 4사분면을
지난다.
800
직선 x-3y+6=0, 즉 y=;3!;x+2의 기울기는 ;3!;이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면
;3!;m=-1 ∴ m=-3 또한 선분 AB의 중점의 좌표는 {3+0
1122 , 2+1
1122 }, 즉 {;2#;, ;2#;}
따라서 기울기가 -3이고 점 {;2#;, ;2#;}을 지나는 직선의 방정 식은
y-;2#;=-3{x-;2#;} ∴ y=-3x+6
801
두 직선 x+ay-3=0, bx-14y+9=0이 평행하므로 ;b!;= a
11-14+-3
119 ∴ ab=-14 yy ㉠ 두 직선 x+ay-3=0, 2x-(b+8)y+2=0이 수직이므로 1´2+a´{-(b+8)}=0, ab+8a-2=0
㉠을 위의 식에 대입하면
-14+8a-2=0 ∴ a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 2b=-14 ∴ b=-7 ∴ a+b=-5
802
두 직선이 두 개 이상의 교점을 가지려면 두 직선은 일치해 야 하므로
;2A;=-4a 112a-6=;a@;
;2A;=-4a
112a-6에서 aÛ -6a=-8a aÛ +2a=0, a(a+2)=0
∴ a=0 또는 a=-2 yy ㉠
;2A;=;a@;에서 aÛ =4
∴ a=-2 또는 a=2 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-2
803
두 점 A(2, -3), B(6, 3)를 지나는 직선 AB의 기울기는 3-(-3)
111136-2 =;2#;
이므로 선분 AB를 수직이등분하는 직선의 기울기는 -;3@;
이다.
선분 AB의 중점의 좌표는
{2+6
1122 , -3+3
11152 }, 즉 (4, 0)
따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;3@;이고 점 (4, 0)을 지나는 직선이므로
y-0=-;3@;(x-4) ∴ y=-;3@;x+;3*;
이 직선이 점 (a, 4)를 지나므로 4=-;3@;a+;3*; ∴ a=-2
804
두 점 A(a, 6), B(-5, -6)을 지나는 직선과 직선 y=-;2!;x+b가 서로 수직이므로
-6-6
1112-5-a ´{-;2!;}=-1, 5+a=6 ∴ a=1 직선 y=-;2!;x+b는 선분 AB의 중점
{a-5 1122 , 6-6
1122 }, 즉 (-2, 0) 을 지나므로 0=1+b ∴ b=-1 ∴ a-b=2
805
x+y+5=0에서 y=-x-5 x-2y-4=0에서 y=;2!;x-2 ax+y+1=0에서 y=-ax-1
두 직선 y=-x-5, y=;2!;x-2는 한 점에서 만나므로 세 직 선에 의하여 생기는 교점이 2개가 되는 경우는 다음과 같다.
Ú 두 직선 y=-x-5, y=-ax-1이 평행한 경우 : a=1
Û 두 직선 y=;2!;x-2, y=-ax-1이 평행한 경우 :
a=-;2!;
Ú, Û에서 a=1 또는 a=-;2!;이므로 모든 상수 a의 값의 곱은
1×{-;2!;}=-;2!;
다른 해설
Ú 두 직선 x+y+5=0, ax+y+1=0이 평행한 경우 : ;a!;=;1!;+;1%; ∴ a=1
12
Û 두 직선 x-2y-4=0, ax+y+1=0이 평행한 경우 :
;a!;=-2 111 +-4
111 ∴ a=-;2!;
806
2x+y+4=0에서 y=-2x-4 ax+3y+1=0에서 y=-;3A;x-;3!;
4x-by-5=0에서 y=;b$;x-;b%;
서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나누려면 세 직 선이 모두 평행해야 한다.
즉, 세 직선의 기울기는 모두 같고, y절편은 어느 두 직선도 같지 않아야 하므로
-2=-;3A;=;b$;, -4+-;b%;, -;3!;+-;b%;
따라서 a=6, b=-2이므로 a+b=6+(-2)=4
다른 해설
두 직선 2x+y+4=0, ax+3y+1=0이 평행해야 하므로 ;a@;=;3!;+;1$; ∴ a=6
두 직선 2x+y+4=0, 4x-by-5=0이 평행해야 하므로 ;4@;= 1
11-b+ 4
11-5 ∴ b=-2
807
mx-y+2m-2=0 HjK m(x+2)-y-2=0 ⋯⋯ ㉠ 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 두 직선 x=-2, y=-2의 교 점 (-2, -2)를 지난다.
㉠
x y
2x-3y+12=0
-6
O4
-2 -2
이때 m은 직선 ㉠의 기울기이므로 위의 그림과 같이 직선 ㉠ 이 직선 2x-3y+12=0과 제2사분면에서 만나도록 움직여 보면
Ú 직선 ㉠이 점 (-6, 0)을 지날 때, m(-6+2)-0-2=0 -4m-2=0 ∴ m=-;2!;
Û 직선 ㉠이 점 (0, 4)를 지날 때, m(0+2)-4-2=0 2m-6=0 ∴ m=3
Ü 직선 ㉠은 어떤 m의 값을 갖더라도 y축과 평행한 직선 이 될 수 없다.
Ú, Û, Ü에서
m<-;2!; 또는 m>3
808
nx-y-4n+4=0 HjK n(x-4)-y+4=0 ⋯⋯ ㉠ 직선 ㉠은 n의 값에 관계없이 두 직선 x=4, y=4의 교점 (4, 4)를 지난다.
㉠
x
y
x+y-2=0
O
2 4
4 2
이때 n은 직선 ㉠의 기울기이므로 위의 그림과 같이 직선 ㉠ 이 직선 x+y=2와 x>0, y>0인 교점을 가지도록, 즉 제1 사분면에서 만나도록 움직여 보면
Ú 직선 ㉠이 점 (2, 0)을 지날 때, n(2-4)-0+4=0 -2n+4=0 ∴ n=2 Û 직선 ㉠이 점 (0, 2)를 지날 때, n(0-4)-2+4=0 -4n+2=0 ∴ n=;2!;
Ú, Û에서 ;2!;<n<2
809
두 직선 x-2y+1=0, 2x-y-6=0의 교점을 지나는 직선 의 방정식은
(x-2y+1)+k(2x-y-6)=0 (단, k는 실수) ∴ (2k+1)x+(-k-2)y-6k+1=0 yy ㉠ 이 직선이 직선 5x-y+2=0에 평행하므로
2k+1
1115 =-k-2
1113-1 +-6k+1 11112 2k+1=5k+10 ∴ k=-3 k=-3을 ㉠에 대입하면
-5x+y+19=0 ∴ 5x-y-19=0
다른 해설
(3x+2y-1)+k(2x-y+a)=0 (단, k는 실수) ∴ (2k+3)x+(-k+2)y+ak-1=0 yy ㉠ 이 직선이 직선 x+3y-3=0에 수직이므로
1´(2k+3)+3(-k+2)=0 -k+9=0 ∴ k=9
k=9를 ㉠에 대입하면 21x-7y+9a-1=0 이 직선이 점 (4, -1)을 지나므로
k-2=-(3k-10) 또는 k-2=3k-10 ∴ k=3 또는 k=4
11111152"Ã3Û +(-4)Û =|k-1|
1115
∴ △ABC=;2!;´ABÓ´h=;2!;´3'5´2'5=15
814
12
본문 352쪽
Review Quiz 816 ⑴ y
⑵ ① 평행하다 ② 일치한다 ③ mm'=-1
⑶ a'x+b'y+c', ax+by+c=0 817 ⑴ 참 ⑵ 참 ⑶ 참 ⑷ 거짓 ⑸ 거짓
817
⑴ x축에 수직이므로 y축에 평행한 직선이다.
이 직선이 점 (-1, 1)을 지나므로 구하는 직선의 방정식 은 x=-1 (참)
⑵ 평행한 두 직선의 기울기는 같다.
따라서 기울기가 a인 직선과 평행한 직선의 기울기는 a이 다. (참)
⑶ 기울기가 a (a+0)인 직선과 수직인 직선의 기울기를 a라 하면
a´a=-1 ∴ a=-;a!; (참)
⑷ 평면에서 두 직선의 위치 관계가 서로 수직일 때는 항상 한 점에서 만난다.
단, 공간에서는 두 직선이 서로 수직이더라도 만나지 않 을 수 있다.(거짓)
⑸ 직선 a'x+b'y+c'=0도 두 직선의 교점을 지나는 직선이 지만 어떠한 k의 값으로도 직선 ax'+b'y+c'=0을 얻을 수는 없다. (거짓)
B라 하면 각의 이등분선의 성질에 의하여 PAÓ=PBÓ이다.
PAÓ=|x+3y-6|
111115'10 , PBÓ=|3x-y-2|
111115'10 이므로 |x+3y-6|
111115'10 =|3x-y-2|
111115'10 |x+3y-6|=|3x-y-2|
∴ x+3y-6=3x-y-2 또는 x+3y-6=-(3x-y-2) 따라서 구하는 직선의 방정식은 x-2y+2=0 또는 2x+y-4=0
본문 353~355쪽
중단원 연습문제 A
818 ① 819 y=2x 820 ①
821 y=2x-7 822 ② 823 -;2!;
824 y=-;2!;x+5 825 ③ 826 H(3, 1) 827 ① 828 ⑤ 829 ④ 830 3 831 -3 832 ⑤ 833 ④ 834 ;2%;
835 ①
818
기울기가 tan`30ù= '3
123 이고 점 (1, -2)를 지나는 직선의 방 정식은
y-(-2)= '3 123 (x-1) ∴ x-'3 y-1-2'3=0 따라서 a=-'3, b=-1-2'3이므로 a+b=-1-3'3
819
두 점 (1, a), (a, 4)를 지나는 직선의 기울기가 2이므로 4-a
112a-1=2, 4-a=2(a-1) ∴ a=2
따라서 기울기가 2이고 점 (1, 2)를 지나는 직선의 방정식은 y-2=2(x-1) ∴ y=2x
다른 해설
기울기가 2이고 점 (1, a)를 지나는 직선의 방정식은 y-a=2(x-1) ⋯⋯ ㉠
직선 ㉠이 점 (a, 4)를 지나므로 4-a=2(a-1), 4-a=2a-2 ∴ a=2
a=2를 ㉠에 대입하면
y-2=2(x-1) ∴ y=2x
820
직선 y=4x+1에 평행한 직선의 기울기는 4이므로 점 (-2, -4)를 지나고 기울기가 4인 직선의 방정식은 y-(-4)=4{x-(-2)} ∴ y=4x+4
구하는 선분의 길이는 직선이 x축과 만나는 점 (-1, 0)과 y축과 만나는 점 (0, 4) 사이의 거리와 같으므로
"Ã(0+1)Û +(4-0)Û ='17
821
선분 AB를 2 : 3으로 외분하는 점의 좌표는 {2´5-3´4
111122-3 , 2´(-6)-3´(-5)
1111111132-3 }, 즉 (2, -3) 따라서 두 점 (2, -3), (5, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-(-3)=3-(-3)
111125-2 (x-2) ∴ y=2x-7
822
a<0이고 직선 ;6{;+;a};=1과 x축 및 y축
a
6 x y
으로 둘러싸인 부분의 넓이가 24이므로 O ;2!;_6_|a|=24, |a|=8 ∴ a=-8 (∵ a<0)
823
세 점 A(3, 5), B(a, 7), C(5, 2a+1)이 한 직선 l 위에 있 으려면 직선 AB와 직선 AC의 기울기가 같아야 한다.
yy ❶
(직선 AB의 기울기)=7-5 112a-3= 2
112a-3 (직선 AC의 기울기)=(2a+1)-5
1111125-3 =a-2 즉, 2
112a-3=a-2이므로
2=aÛ -5a+6, aÛ -5a+4=0
(a-1)(a-4)=0 ∴ a=4 (∵ a>1) yy ❷ 따라서 직선 l의 기울기는 4-2=2이고 점 A(3, 5)를 지나 므로 직선 l의 방정식은
y-5=2(x-3) ∴ y=2x-1
따라서 x절편은 ;2!;, y절편은 -1이므로 x절편과 y절편의 곱
은 -;2!;이다. yy ❸
채점 기준 배점
❶
두 직선 AB와 AC의 기울기가 같음을 이해하기 40%
30%
30%