22
1 ⑴ '7 ⑵ '15 ⑶ 9 ⑷ 10 2 ⑴ '3, '6 ⑵ 8, -8 ⑶ 2 ⑷ i Û`, -'5
본문 100쪽
개념 Check
4
⑷ 1125'¶-8'¶-2+ '1125'¶-636 ='4+(-'¶-6)=2-'6i
⑸ 111124 '¶-2 '¶-6'¶-3 =11252-'¶-3'12=-(-'¶-4)=2i
⑹ '¶-4 '¶-6+ '1125'¶-224 =-'24+(-'Ä-12) =-2'6-2'3i
다른 해설
먼저 음수의 제곱근을 허수단위 i를 사용하여 나타낸다.
⑴ 'Ä-3 '¶-9='3i´'9i='27i Û =-3'3
⑵ '¶-2 '¶-5 '¶-10 ='2i ´'5i ´'10i='¶100i Ü =-10i
⑶ 111'Ä-12'21 = '114'12i21= '1143'12i Û`21i=- '114'1221 i=- '7 1552 i
⑷ 1125'¶-8'¶-2+ '1125'¶-636 = '8i
11'2i+ '11'6i36='4+ '112'6i Û`36i=2-'6i
⑸ 111124 '¶-2 '¶-6'¶-3 + '111252i´'3i'6i='4i=2i
⑹ '¶-4 '¶-6+ '1125'¶-224 ='4i´'6i+ '11'2i24='24i Û`+ '112'2i Û`24i
=-'24-'12i=-2'6-2'3i
210
ㄱ. -3의 제곱근은 Ñ'3i이다.
ㄷ. '¶-2 '¶-3='2i´'3i='6i Û =-'6 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
본문 102~111쪽
211 ㄴ, ㅁ, ㅂ 212 ㄷ
213 ⑴ -16 ⑵ -;2!;-;2&;i 214 -9 215 -3 216 4 217 8
218 x=3, y=-2 219 -1-2i 220 1Ñ'3i 221 ⑴ -20 ⑵ -94 222 4+2i 223 26 224 i 225 50-50i 226 ⑴ -2 ⑵ -63 227 12'2 228 -1+i 229 a-2b 230 -2b 231 9
유제
211
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi z=zÕ에서 a+bi=a-bi
a, b가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 b=-b ∴ b=0
∴ z=a
따라서 z=zÕ를 만족시키는 복소수 z는 실수이므로 보기에서 찾으면 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다.
212
ㄱ. [반례] 0=0+0´i는 실수이지만 a=0, b=0이다. (거짓) ㄴ. [반례] 1+i는 허수이지만 a+0, b+0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다.
213
⑴ (1-3i)Û +(1+3i)Û =(1-6i-9)+(1+6i-9)
=(-8-6i)+(-8+6i)
=-16
⑵ 4+i
1141+i=(4+i)(1-i)
111111(1+i)(1-i)=4-4i+i+1
11111251+1 =;2%;-;2#; i 11253-2i13 = 13(3+2i)
11111125
(3-2i)(3+2i)=13(3+2i) 111129+4 =3+2i ∴ 4+i
1121+i- 13
11253-2i={;2%;-;2#; i}-(3+2i) =-;2!;-;2&; i
214
11251-2i1-i +1112-1-2i1+i =(1-2i)(1+i)+(-1-2i)(1-i) 111111111111112(1-i)(1+i)
=(1+i-2i+2)+(-1+i-2i-2) 1111111111111121+1
=-2i 1152 =-i
∴ 3-2i+1-2i
11251-i +-1-2i 111251+i
=3-2i+(-i)=3-3i 따라서 a=3, b=-3이므로 ab=-9
215
(1+i)xÛ +2xi-3i-1
=(xÛ -1)+(xÛ +2x-3)i
=(x+1)(x-1)+(x+3)(x-1)i
주어진 복소수가 0이 아닌 실수가 되려면 (실수부분)+0, (허수부분)=0이어야 하므로 (실수부분)=(x+1)(x-1)+0에서 x+-1이고 x+1 yy ㉠ (허수부분)=(x+3)(x-1)=0에서 x=-3 또는 x=1 yy ㉡
㉠, ㉡을 모두 만족하는 x의 값을 구하면 x=-3
216
z=x(3-i)+3(-4+i)=(3x-12)+(-x+3)i 제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로 z는 (실수부분)=0, (허수부분)+0이어야 한다. 즉, 3x-12=0, -x+3+0 ∴ x=4
217
주어진 등식의 좌변을 정리하면
(x+yi)(x-yi)=xÛ -(yi)Û =xÛ +yÛ 이므로
xÛ +yÛ =20+(x+y-6)i
xÛ +yÛ , x+y-6이 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 xÛ +yÛ =20, x+y=6 yy ㉠
곱셈 공식 (x+y)Û =xÛ +yÛ +2xy에 ㉠을 대입하면 6Û =20+2xy ∴ xy=8
218
(1-2i)Ó=1+2i이므로 주어진 등식은 (1+2i)(x+yi)=7+4i yy ㉠ ∴ x+yi=7+4i
11251+2i=(7+4i)(1-2i) 1111111(1+2i)(1-2i) =7-14i+4i+8
111111=21+4 =15-10i 111355 =3-2i x, y는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x=3, y=-2
참고
㉠의 좌변을 정리한 후 복소수가 서로 같을 조건을 이용해도 된다.
219
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로 주어진 등식의 좌변은
(1-i)(a-bi)+2i(a+bi) =a-bi-ai-b+2ai-2b =(a-3b)+(a-b)i
따라서 (a-3b)+(a-b)i=5+i이므로 복소수가 서로 같 을 조건에 의하여 a-3b=5, a-b=1
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2 ∴ z=-1-2i
220
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi이므로 z+zÕ=2에서 (a+bi)+(a-bi)=2 2a=2 ∴ a=1
zzÕ=4에서 (a+bi)(a-bi)=4 ∴ aÛ +bÛ =4
a=1을 위의 식에 대입하여 정리하면 bÛ =3 ∴ b=Ñ'3
∴ z=1Ñ'3i
221
x+y=(2+'3i)+(2-'3i)=4 xy=(2+'3i)(2-'3i)=4+3=7
⑴ xÜ +yÜ =(x+y)Ü -3xy(x+y)
=4Ü -3´7´4=-20
⑵ xÛ +yÛ =(x+y)Û -2xy=4Û -2´7=2 ∴ xÝ +yÝ =(xÛ )Û +(yÛ )Û
=(xÛ +yÛ )Û -2xÛ yÛ
=(xÛ`+yÛ`)Û`-2(xy)Û`
=2Û -2´7Û =-94
222
z=1-3i
11251+i=(1-3i)(1-i)
1111113(1+i)(1-i)=1-i-3i-3 1111121+1
=-2-4i
11122 =-1-2i
즉, z=-1-2i에서 z+1=-2i 양변을 제곱하면 zÛ +2z+1=-4 ∴ zÛ +2z+5=0
∴ zÜ +2zÛ +4z+3 =z(zÛ +2z+5)-z+3
=z´0-z+3=-z+3
=-(-1-2i)+3
=4+2i
4
223
aaÕ+bbÕ+abÕ+aÕb =aaÕ+abÕ+baÕ+bbÕ
=a(aÕ+bÕ)+b(aÕ+bÕ)
=(a+b)(aÕ+bÕ)
=(a+b)(a+b)Ó 이때 a=3+2i, b=2-3i이므로 a+b=(3+2i)+(2-3i)=5-i ∴ a+b Ó=5+i
따라서 주어진 식의 값은 (5-i)(5+i)=25+1=26
224
aaÕ=1에서 aÕ=;!;
bbÕ=1에서 bÕ=;º!;
∴ ;!;+;º!;=aÕ+bÕ=a+b Ó=-i Ó=i
225
i+2i Û +3i Ü +4i Ý +5i Þ +6i ß +7i à +8i ¡ +y+100i Ú`â`â
=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+y
+(97i-98-99i+100)
=(2-2i)+(2-2i)+y+(2-2i)
=25(2-2i)=50-50i
226
⑴ 1+i
1151-i= (1+i)Û 111111(1-i)(1+i)=2i
122 =i 1151-i1+i= (1-i)Û
111111(1+i)(1-i)=-2i 1152 =-i
∴ {1+i
1151-i }5`0 +{1-i
1151+i }5`0 =i Þ`â +(-i)Þ`â
=2i Þ`â =2´(i Ý`)Ú`Û`´i Û`
=-2
⑵ {11115-1+2'3i}2 =1111151-2'3i-34 =11115-1-2'3i {11115-1+2'3i}3 ={11115-1-2'3i}{11115-1+2'3i}
=1+3
1124 =;4$;=1
∴ {11115-1+2'3i}1`2 =[{11115-1+2'3i}3 ]4`=1Ý =1
또한 1+i
112i =1-i이고 (1-i)Û =-2i이므로 {1+i
112i }1`2 =(-2i)ß =2ß ´i ß =-64 ∴ {11121+2'3i}1`2 +{1+i
112i }1`2 =1-64=-63
227
(1+'¶-2)(1-'¶-2)+'¶-3 '¶-27+ '113'¶-324
=(1+'2i)(1-'2i)+'3i´3'3i+112'3i'6
=1+2-9+1132'3i Û`'6i
=-6-2'2i
따라서 a=-6, b=-2'2이므로 ab=12'2
228
a>0이므로 '¶-a='ai
∴ (주어진 식) = '111aa'ai+'111aia'ai+ 'a 123'ai+ 'ai
123'a
=i-1+1
1i+i=i-1-i+i
=-1+i
229
12'a'b=-®;bA; 이므로
a>0, b<0 (∵ a+0, b+0) 이때 b-a<0이므로
"bÛ +"Ã(b-a)Û =|b|+|b-a|
=-b-(b-a)=a-2b
230
'a'b=-'¶ab , 'c
125'b=-®;bC; 이므로
a<0, b<0, c>0 (∵ a+0, b+0, c+0) 이때 a+b<0, b-c<0, c-a>0이므로 "Ã(a+b)Û +"(b-c)Û -|c-a|
=|a+b|+|b-c|-|c-a|
=-(a+b)-(b-c)-(c-a) =-2b
231
Ú -x<0, x-8<0일 때 x>0이고 x-8<0이므로
25개
본문 112쪽
Review Quiz
232 ⑴ i, 실수부분, 허수부분 ⑵ 실수 ⑶ 분모
⑷ 'Ä-ai, -'ab, b<0
233 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓 ⑷ 거짓 ⑸ 참
⑹ 거짓 ⑺ 참 ⑻ 거짓
233
⑴ a, b, c, d가 실수인 경우에만 성립한다. (거짓)
⑵ (반례) z=i이면 zÛ =-1로 실수이지만 z는 허수이다.
(거짓)
참고
복소수 z에 대하여 zÛ 이 양의 실수가 된다면 z는 실수이다.
⑶ 실수 a=a+0i이므로
켤레복소수는 a-0i=a (거짓)
⑷ 1 123i= i
113i´i= i
125-3=-;3!; i (거짓)
⑸ 복소수 a=a+bi (a, b는 실수)의 역수는 1
1a = 1
1124a+bi=a-bi 111aÛ +bÛ
= 1
111aÛ +bÛ ´(a-bi) =(실수)´aÕ (참)
⑹ -i를 거듭제곱하면 -i, -1, i, 1이 반복된다. (거짓)
⑺ (1-i)Û =-2i이므로 순허수이다. (참)
⑻ (반례) (1+i)Û =2i이므로 (1+i)Û
11122 =i HjK {1+i 113'2 }2 =i 즉, 1+i
113'2 는 i의 제곱근 중의 하나이므로 제곱하여 i가 되 는 수는 복소수의 범위에서 존재한다. (거짓)
본문 113~115쪽
중단원 연습문제 A
234 ⑤ 235 ② 236 ④ 237 17 238 ① 239 ⑤ 240 -i 241 ④ 242 6i 243 5+i 244 ⑤ 245 2 246 -2 247 -2 248 ④ 249 ③ 250 ④ 251 2
234
⑤ a=0이어도 실수이다.
235
(3-6i)(3+2i) =9+6i-18i+12
=21-12i
따라서 (3-6i)(3+2i)Ó=21+12i이므로 a=21, b=12
∴ a+b=33
236
x+y=(1+i)+(1-i)=2 xy=(1+i)(1-i)=2 ∴ ;[};+;]{;=xÛ +yÛ
1124xy =(x+y)Û -2xy 1111115xy
=4-4 1122 =0
237
z=(xÛ +4x+3)+(xÛ -x-2)i에서 z가 실수이므로
xÛ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0)
∴ z=4+8+3=15 따라서 a=2, b=15이므로 a+b=17
238
(6+xi)(1-3i) =6-18i+xi+3x
=(6+3x)+(-18+x)i 주어진 복소수를 제곱하여 음의 실수가 되려면 위의 복소수는 순허수이어야 하므로
6+3x=0, -18+x+0 ∴ x=-2
0<x<8
Û -x=0 또는 x-8=0일 때 x=0 또는 x=8
Ú, Û에서 정수 x의 개수는 0, 1, 2, y, 8의 9이다.
4
239
xÛ +yÛ i-x-2yi-2-8i=0에서 (xÛ -x-2)+(yÛ -2y-8)i=0
x, y는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 xÛ -x-2=0, yÛ -2y-8=0
xÛ -x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2
yÛ -2y-8=0에서 (y+2)(y-4)=0 ∴ y=-2 또는 y=4
따라서 x+y의 값이 될 수 있는 것은
-1-2=-3, -1+4=3, 2-2=0, 2+4=6
240
aÕb=1이므로 abÕ=aÕbÓ=1Õ=1 aÕ+b=i이므로 a+bÕ=aÕ+bÓ=i Õ=-i ∴ 1
1a +1 1bÕ=a+bÕ
1124abÕ =-i 121 =-i
241
z=a+bi (a, b는 실수, b+0)라 하면 zÕ=a-bi
ㄱ. z-zÕ=a+bi-(a-bi)=2bi이므로 z-zÕ는 순허수이다. (참)
ㄴ. zÛ +zÕ Û =(a+bi)Û +(a-bi)Û =2(aÛ -bÛ )=0이므로 b=Ña에서 z=aÑai이다. (거짓)
ㄷ. z=-zÕ이므로 a+bi=-(a-bi) ∴ a=0
z=bi이므로 zÛ =-bÛ `(실수) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
242
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zÕ=a-bi yy ❶ z-zÕ=6i에서 (a+bi)-(a-bi)=6i
2bi=6i ∴ b=3
zzÕ=25에서 (a+bi)(a-bi)=25 aÛ +bÛ =25
b=3을 위의 식에 대입하여 정리하면
aÛ =16 ∴ a=Ñ4 yy ❷ 따라서 z=Ñ4+3i이므로 모든 z의 값의 합은 6i이다.
yy ❸
채점 기준 배점
❶ z=a+bi로 놓고 zÕ 구하기
20%50%
30%