75
1 ⑴ y축 ⑵ 원점
본문 396쪽
개념 Check
923
⑴ y 대신 -y를 대입하여도 자기 자신과 같으므로 x축에 대 하여 대칭인 도형이다.
본문 397쪽
개념 익히기
923 ⑴ x축에 대하여 대칭
⑵ x축, y축, 원점에 대하여 각각 대칭 924 풀이 참조
∴ a+2b=17 ⋯⋯ ㉡
⑶ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=9
∴ Q(-1, 9)
922
점 P(1, 6)을 직선 x+y-4=0에 대하여 대칭이동한 점을 Q(a, b)라 하면 선분 PQ의 중점 M의 좌표는
M{1+a 1122 , 6+b
1122 }
이때 점 M이 직선 x+y-4=0 위에 있으므로 1+a
1122 +6+b
1122 -4=0 ∴ a+b=1 ⋯⋯ ㉠ 또 두 점 P, Q를 지나는 직선이 직선 y=-x+4에 수직이므 로
b-6
112a-1´(-1)=-1 ∴ a-b=-5 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3 따라서 구하는 점의 좌표는 (-2, 3)이다.
14
① y=f(x)의 그래프를 그린다.
② y¾0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대 하여 대칭이동한다.
y
O 2
x
-2-2 2
-4 4
①
②
본문 398~407쪽
유제
925 5 926 3 927 -4 928 4 929 a=-8, b=11 930 (-2, -12) 931 2 932 y=-;2!;x+5
933 y=-;4!;x-;4#; 934 4'5 935 풀이 참조 936 3 937 -6 938 11 939 -7 940 7 941 3 942 2'17 943 풀이 참조
925
점 (6, 4)를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 점의 좌표를 (3, 2)라 하면
6+m=3, 4+n=2 ∴ m=-3, n=-2
이때 평행이동 (x, y) 3Ú (x-3, y-2)에 의하여 점 (a, 2)가 점 (2, b)로 옮겨지므로
a-3=2, 2-2=b ∴ a=5, b=0 ∴ a+b=5
926
평행이동 (x, y) 3Ú (x-2, y+4)에 의하여 점 (a, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는
(a-2, -1+4) ∴ (a-2, 3) 이 점이 직선 y=2x+1 위에 있으므로 3=2(a-2)+1 ∴ a=3
⑵ x 대신 -x 또는 y 대신 -y를 대입하여도 자기 자신과 같으므로 x축, y축, 원점에 대하여 각각 대칭인 도형이다.
참고
① 직선은 직선 위의 점이나 수직인 직선에 대하여 대칭이다.
② 원은 중심을 지나는 모든 직선에 대하여 대칭이다.
924
⑴ 도형 y=f(|x|)는 y축에 대하여 대칭이므로
① x¾0일 때(제1, 4사분면에서) y=f(x)의 그래프를 그린다.
② x<0일 때(제2, 3사분면에서)
①의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하여 그린다.
y
O 2
x
-2-2 2
-4 4
①
②
⑵ 도형 |y|=f(x)는 x축에 대하여 대칭이므로
① y¾0일 때(제1, 2사분면에서) y=f(x)의 그래프를 그린다.
② y<0일 때(제3, 4사분면에서)
①의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하여 그린다.
y
O 2
x
-2-2 2
-4 4
①
②
⑶ 도형 |y|=f(|x|)는 x축, y축 원점에 대하여 각각 대칭 이므로
① x¾0, y¾0일 때(제1사분면에서) y=f(x)의 그래프를 그린다.
② x<0, y¾0일 때(제2사분면에서)
①의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하여 그린다.
③ x<0, y<0일 때(제3사분면에서)
①의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하여 그린다.
④ x¾0, y<0일 때(제4사분면에서)
①의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하여 그린다.
y
O 2
x
-2-2 2
-4 4
①
②
③ ④
⑷ 도형 y=|f(x)|에서 y¾0이므로
927
직선 ax-y+2-a=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방 향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은
a(x-m)-(y-3)+2-a=0 ∴ ax-y-am+5-a=0
이 직선이 직선 3x+y-5=0, 즉 -3x-y+5=0과 일치하 므로
a=-3, -am+5-a=5
따라서 a=-3, m=-1이므로 a+m=-4
928
직선 l이 점 (3, 1)을 지나므로 3a+b=-4 ⋯⋯ ㉠
직선 l을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 6만큼 평행 이동한 직선 l'의 방정식은
a(x-4)+b(y-6)+4=0
이때 직선 l'을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 직선의 방정식은
a{(x+2)-4}+b{(y+5)-6}+4=0 ∴ ax+by-2a-b+4=0
이 직선이 직선 l과 일치하므로 계수를 비교하면 -2a-b+4=4
∴ 2a+b=0 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=8 ∴ a+b=4
929
y=xÛ -2x-2에서
y=(x-1)Û -3 ⋯⋯ ㉠
이 포물선을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만 큼 평행이동한 포물선의 방정식은
y+2={(x-3)-1}Û -3, y=(x-4)Û -5 ∴ y=xÛ -8x+11
이 포물선이 y=xÛ +ax+b와 일치하므로 a=-8, b=11
다른 해설
포물선 y=xÛ -2x-2, 즉 y=(x-1)Û -3의 꼭짓점 (1, -3) 을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이 동한 점의 좌표는
(1+3, -3-2), 즉 (4, -5)
따라서 xÛ 의 계수가 1이고 꼭짓점이 (4, -5)인 포물선의 방 정식은
y=(x-4)Û -5 ∴ y=xÛ -8x+11
참고
포물선은 평행이동해도 포물선의 모양이 변하지 않으므로 포물선의 평행이동에 대한 문제는 포물선의 꼭짓점의 평행 이동으로 생각해도 된다.
930
xÛ +yÛ -8x-14y+16=0에서 (x-4)Û +(y-7)Û =49
이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행 이동한 원의 방정식은
{(x-a)-4}Û +{(y-b)-7}Û =49 ∴ {x-(a+4)}Û +{y-(b+7)}Û =49 이 식이 xÛ +yÛ =49와 일치하므로
a+4=0, b+7=0 ∴ a=-4, b=-7
y=2xÛ -8x+3에서 y=2(x-2)Û -5
이 포물선을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 -7 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
y+7=2{(x+4)-2}Û -5 ∴ y=2(x+2)Û -12
따라서 구하는 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (-2, -12)이다.
931
점 (-5, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (5, 2)
다시 이 점을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표 는 (-2, -5)
이 점이 포물선 y=xÛ +ax-5 위에 있으므로 -5=4-2a-5 ∴ a=2
932
점 P(6, -2)를 x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는 A(6, 2)
점 P(6, -2)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌 표는
B(-2, 6)
14
P
P' -2 +2
O
y
x
다른 해설
주어진 도형은 다음과 같이 도형 f(x, y)=0을 ① y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 후,
② x축에 대하여 대칭이동한 것으로도 생각할 수 있다.
f(x, y)=0 ÆÆ ① ÆJð f(x, y-2)=0 ÆÆ ② ÆJð f(x, -y-2)=0
⑵ 주어진 도형은 다음과 같이 도형 f(x, y)=0을 ① 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 후, ② y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
f(x, y)=0 ÆÆ ① ÆJð f(y, x)=0 ÆÆ ② ÆJð f(y+2, x)=0
P P'
-2
-2 O
y y=x
x
다른 해설
주어진 도형은 다음과 같이 도형 f(x, y)=0을
① x축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 후,
② 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것으로도 생각할 수 있다.
f(x, y)=0 ÆÆ ① ÆJð f(x+2, y)=0
ÆÆ ② ÆJð f(y+2, x)=0
⑶ 주어진 도형은 다음과 같이 도형 f(x, y)=0을
① : y 대신 y-2를 대입
② : y 대신 -y를 대입
① : x 대신 y, y 대신 x를 대입
② : y 대신 y-(-2)를 대입
① : x 대신 x-(-2)를 대입
② : x 대신 y, y 대신 x를 대입 따라서 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은
y-2= 6-2
111-2-6 (x-6) ∴ y=-;2!;x+5
933
직선 y=4x-3을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y=4x-3 ∴ y=-4x+3
이 직선을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -x=-4´(-y)+3 ∴ y=-;4!;x-;4#;
934
xÛ +yÛ -4x-8y-5=0에서
(x-2)Û +(y-4)Û =25 ⋯⋯ ㉠ 원 ㉠의 중심 (2, 4)를
x축에 대하여 대칭이동한 점 (2, -4)는 원 CÁ의 중심이고, y축에 대하여 대칭이동한 점 (-2, 4)는 원 Cª의 중심이다.
따라서 두 점 (2, -4), (-2, 4) 사이의 거리는 "Ã(-2-2)Û +(4+4)Û =4'5
다른 해설
원 ㉠을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 CÁ : (x-2)Û +(-y-4)Û =25
∴ CÁ : (x-2)Û +(y+4)Û =25
원 ㉠을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 Cª : (-x-2)Û +(y-4)Û =25
∴ Cª : (x+2)Û +(y-4)Û =25
따라서 원 CÁ의 중심 (2, -4)와 원 Cª의 중심 (-2, 4) 사 이의 거리는
"Ã(-2-2)Û +(4+4)Û =4'5
935
⑴ 주어진 도형은 다음과 같이 도형 f(x, y)=0을 ① x축에 대하여 대칭이동한 후,
② y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.
f(x, y)=0 ÆÆ ① ÆJð f(x, -y)=0 ÆÆ ②ÆJð f(x, -(y+2))=0
① : y 대신 -y를 대입
② : y 대신 y-(-2)를 대입
① 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 후,
y=xÛ -6x+15에서 y=(x-3)Û +6
주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (3, 6)이고, 두 포물선이